直线与圆知识点及经典例题(含答案)

圆的方程、直线和圆的位置关系
【知识要点】 一、圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆 (一) 圆的标准方程
(x a)2 (y b)2『这个方程叫做圆的标准方程。

-
____ 2 2 2
说明：1、若圆心在坐标原点上，这时 a b 0，则圆的方程就是 x y r 。

2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了 圆，所以，
只要a ，b ，r 三个量确定了且r > 0,圆的方程就给定了。

就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件
-确定a ，b ，r ，可以根据条件，利用待定系数法来解决。

(二) 圆的一般方程
2 2 2 2 2 2 2 2
将圆的标准方程(x a) (y b) r ，展开可得x y 2ax 2by a b r。

可见，任何一个
2
圆的方程都可以写成 ：X
2
y Dx Ey F 0
2 2
问题：形如x
y Dx
Ey F 0
的方程的曲线是不是圆？
2 2
F
D 2
E 2 J D ‘ E 4F
将方程X y Dx Ey
左边配方得：
2)
2) 2
D E
0表示以 2
2为圆
2 2
(1)当 D E 4F >° 时，
方程(1 )与标准方程比较，方程x
y
Dx Ey F
D 2
E 2 4F
心，以
2
为半径的圆。

DE DE
⑵当DmE —4F=Q 时,方fc a +y a +Dx+Ey+F = OR 有实数解汁亍 厂亍 所以表示一个点(亍-計
2 2
(3)当D 2
E 2
4F v 0时，方程x y Dx Ey F °没有实数解，因而它不表示任何图形。

圆的一般方程的定义：
2 2
当D 2 E 2 4F >°时，方程x y Dx Ey F °称为圆的一般方程. 圆的一般方程的特点：
2
2
(1) X 和y 的系数相同，不等于零；
(2) 没有xy 这样的二次项。

(三) 直线与圆的位置关系 1、 直线与圆位置关系的种类 (1)相离---求距离； ⑵相切---求切线； (3)相交---求焦点弦长。

2、 直线与圆的位置关系判断方法： 几何方法主要步骤：
(1) 把直线方程化为一般式，利用圆的方程求出圆心和半径 (2) 利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离
3) 作判断：当d>r 时，直线与圆相离；当 d = r 时，直线与圆相切；当d<r 时，直线与圆相交。

代数方法主要步骤： (1) 把直线方程与圆的方程联立成方程组
(2) 利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程 (3) 求出其△的值，比较△与°的大小：
4) 当△ <0时，直线与圆相离；当 △= °时，直线与圆相切 ；当△ >0时，直线与圆相交。

【典型例题】
类型一：圆的方程
例1求过两点A(1,4)、B(3, 2)且圆心在直线y 0上的圆的标准方程并判断点 P(2,4)与圆的关系.
变式1：求过两点A(1,4)、B(3,2)且被直线y 0平分的圆的标准方程
变式2：求过两点 A(1,4)、B(3,2)且圆上所有的点均关于直线 y 0对称的圆的标准方程
分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小， 而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点 P 与圆心
的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，贝U 点在圆外；若距离等于半径，贝U 点在圆上；若距离小于半径， 则点
在圆内.
解法一：(待定系数法)
解法二：(直接求出圆心坐标和半径)
的斜率为1,又AB 的中点为(2,3)，故AB 的垂直平分线I 的方程为：y 3
又知圆心在直线 y 0上，故圆心坐标为 C( 1,0) •半径r
故所求圆的方程为(x 1)2 y 2 20 •又点P(2,4)到圆心C( 1,0)的距离为
d |PC J(2 1)2 42 V25 r .•点 P 在圆外.
例2：求过三点O ( 0, 0), M ( 1, 1), N (4, 2)的圆的方程，并求出这个圆的圆心和半径。

解：设圆的方程为：X 2 + y 2 + Dx
+ Ey + F = 0,将三个点的坐标代入方程
F 0
D E F
2 0
4D 2E F 20 0
F = 0, D = 8, E = 6 圆方程为: 2 2
x 2 + y 8x + 6y = 0
配方: (x 4 ) 2 + ( y + 3 ) 2 = 25 圆心： (4, 3 ), 半径r = 5 例3求经过点A(0,5)，且与直线x 2y 0和2x y 0都相切的圆的方程.
分析：欲确定圆的方程.需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点 A ，故只需确定圆心坐标.又圆与两已知
直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上.
解：•••圆和直线x 2y 0与2x y 0相切，•圆心 C 在这两条直线的交角平分线上,
化简整理得t 2 6t 5 0 .解得：t 1或t 5 •圆心是(1,3)，半径为 5或圆心是(5,15)，半径为5. 5 .
设圆的标准方程为(x a)2
(y b)2
.•••圆心在 y 0
上，故b 0 . •••圆的方程为(x a)2
又•••该圆过 A(1,4)、B(3,2)两点.•••
(1
(3
a)2
16 a)2 4 2
r
2
解之得：a
r
1 , r 2
20 .
所以所求圆的方程为(x 1)2 y 2
20
因为圆过A(1,4)、B(3,2)两点,
所以圆心C 必在线段 AB 的垂直平分线 I 上，又因为 k
AB
AC J (1 1)2 42
又圆心到两直线 x 2y 0和2x
y 0的距离相等.
x 2y ■5
x 2y .5
•两直线交角的平分线方程是
x 3y 0或3x y 0 .又•••圆过点 A(0,5)，•圆心C 只能在直线3x y 0 上.
设圆心C(t,3t) •/ C 到直线2x y
0的距离等于
t 2 (3t 5)2 .
•••所求圆的方程为(x 1)2 (y 3)2
5 或(X 5)2 (y 15)2
125.
说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是 过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法. 类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程
例4 已知圆O : x 2 y 2 4，求过点P 2,4与圆0相切的切线.
解：•••点P 2,4不在圆0上，二切线 PT 的直线方程可设为 y kx 2 4
2k 4 3 3
r •亍2.解得k 4，所以y 4x2
因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在•易求另一条切线为 x 2.
说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解. 本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于
0解决(也要注意漏解)•还可以运用
2
x °x y °y r ,求出切点坐标x °、y 的值来解决，此时没有漏解.
共弦AB 所在直线的方程.
分析：首先求A 、B 两点的坐标，再用两点式求直线 AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁.为了避免 求交点，可以采用 设而不求"的技巧.
解：设两圆C i 、C 2的任一交点坐标为(x °,y °)，则有:
二两圆C i 、C 2的公共弦 AB 所在直线的方程为(D i D 2)X (E i E 2)y F i F 2 0 . 说明：上述解法中，巧妙地避开了求
A 、
B 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用
曲线与方程的概念达到了目标.从解题的角度上说，这是一种
设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现
了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识•它的应用很广泛. 例6、求过点M(3,i)，且与圆(x i)2 y 2 4相切的直线丨的方程.
解：设切线方程为 y i k(x 3)，即kx y 3k i 0，:圆心(i,0)到切线丨的距离等于半径2 ,
Ik 3k il
3
3
•-
2，解得k ,
•切线方程为y i -(x 3)，即3x 4y i3 0,
,k 2 i 2
4
4
当过点M 的直线的斜率不存在时，其方程为
x 3，圆心(i,0)到此直线的距离等于半径
2，故直线x 3也适合题
意。

所以，所求的直线丨的方程是3x 4y i3 0或x 3. 类型三：弦长、弧问题
根据d 4 即 3x 4y 10 0
例 5 两圆 C 1： x 2 y 2
D ,x
E ,y
F ,
0与 C 2： x 2 y 2 D 2x E 2y F 2 0相交于A 、B 两点，求它们的公
2
X。

2
y 。

D i x 0
E i y 0
F i 0
2 X。

2
y 0 D 2x 0
E 2y 0
F 2 0
①一②得: (D i D 2 )x °
(E i E 2) y °
F i
F 2
•/ A 、B 的坐标满足方程
(D i
D 2)X (
E i
E 2)y
F i
F 2
•方程(D^! D 2)x (E i
E 2)y
F i F 2
是过A 、B 两点的直线方程•又过 A 、B 两点的直线是唯一的.
例7、求直线丨：3x y 6 0被圆C : x 2 y 2 2x 4y 0截得的弦AB 的长.
例8、直线3x y 2 3 0截圆x2 y2 4得的劣弧所对的圆心角为_
解：依题意得，弦心距d J3，故弦长|AB 2、;—尹2，从而△ OAB是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为AOB -.
3
例9、求两圆x2 y2 x y 2 0和x2 y2 5的公共弦长
类型四：直线与圆的位置关系
例10、已知直线3x y 2 3 0和圆x2y24，判断此直线与已知圆的位置关系
例11、若直线y x m与曲线y (42)
x有且只有「个公共点，求实数m的取值范围.
4x 表示半圆x y4( y0), •利用数形结合法，可得实数m的取值范围是2 m 2
解: •••曲
线y
或m 2 2.
例12、圆(x3)2(y 3)2 9上到直线3x 4y110的距离为1的点有几个？
分析：借助图形直观求解•或先求出直线
h：3x 4y 6 0,或l 2：3x 4y 16 0 .
l i、J的方程，从代数计算中寻找解答.
解法一：圆(x 3)2 (y 3)29的圆心为0^3,3)，半径r 3•设圆心到直线
3x 4y 11 0的距离为d，则d
3 3
4 3 11
侧，与直线3x 4y 11 0平行且距离为1的直线11与圆有两个交点，这两个交点符
合题意.又r d 3 2 1..・.与直线3x 4y 11 0平行的圆的切线的两个切点中
有一个切点也符合题意••••符合题意的点共有3个.
解法二：符合题意的点是平行于直线3x 4y 11 0，且与之距离为1的直线和圆的交点.设所求直线为
3x 4y m 0，则d m 11
3242
1,「. m 11 5，即m 6，或m 16，也即
3 .如图，在圆心01同
设圆O ：x 3)2 (y 3)2
9的圆心到直线l i 、J 的距离为d i 、d 2,
类型五：圆与圆的位置关系
直线与圆相离，•圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是
例i6 (i)已知圆O i :(x 3)2 (y 4)2 i , P(x , y)为圆O 上的动点，求d x 2 y 2的最大、最小值.
⑵已知圆O 2:(x 2)2 y 2 i , P(x, y)为圆上任一点.求 匚2的最大、最小值，求 x 2y 的最大、最小值.
x i
分析：(i)、⑵两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决.
解：(i)圆上点到原点距离的最大值 d i 等于圆心到原点的距离 d i'加上半径i ,圆上点到原点距离的最小值 d 2等 于圆心到原点的距离 d i'减去半径i .所以d i
. 32 42 i 6. d 2 32 42 i 4.
(2)设-—2 k ，则kx y k 2
0 .由于P(x, y)是圆上点，当直
x i
线与圆有交点时，如图所示，
两条切线的斜率分别是最大、最小值.
,
2k k 2 * 3 3
y 2 …「3
. 3
由d ----- i ，得k
.所以
的最大值为
4
x i
4
则 d i
3 3
4 3 6
3, d 2
3 3
4 3 16
32
42
..32
42
1.
-l i 与O i 相切，与圆O i 有一个公共点;
J 与圆O i 相交,
O i 有两个公共点•即符合题意的点共
3 个.
例i3、判断圆 C i : x 2
y 2
2x 6y
26 . 2
0与圆C 2 : x
4x 2y 4 0的位置关系,
例i4：圆x 2 y 2 2x 0和圆x 2 y 2 4y 0的公切线共有
______ 条。

解：•••圆(x i)2 y 2 i 的圆心为O i (i,0)，半径r i i ，圆x 2
(y 2)2
4的圆心为。

2(0, 2)，半径2 ,
二 O Q 2I
5,r i r 2 3, r 2 r i i .： r 2 r i |O i O 2
类型六：圆中的最值问题
r i r 2 ,•••两圆相交•共有2条公切线。

例i5：圆x 2 y 2 4x
4y i0 0上的点到直线x y
i4 0的最大距离与最小距离的差是 ___________ 解：•••圆(X 2)2
(y 2)2
i8的圆心为(2, 2),半径r
3一2，•圆心到直线的距离 d i0 2
(d r) (d r) 2r 6、2.
所以 d max 36 . d min
i6.
最小值为13 •令x 2y t,同理两条切线在x轴上的截距分别是最大、最小值•由 d I 2罚1，得
4 J5
m 2 ,5 •所以x 2y的最大值为2 ..5，最小值为2 ,5 •
例17：已知A( 2,0) , B(2,0)，点P 在圆(x 3)2 (y 4)2 OP min OC r 5 2 3，二PA2 PB 2的最小值为2 328 26.
2 2
4上运动，则PA PB的最小值是
7
解：设P(x, y)，则PA PB (x 2)2y2 (x 2)2
2(x2 y2) 8 2OP28.设圆心为C(3,4)，则。