非线性回归模型的线性化

6
(β< 0)
5
4
3
2
1 50 100 150 200 250 300 350 400
13
（4） 、S-型曲线模型 S-性曲线模型的一般形式为：
1
Yi e Xi ui
首先对上式做倒数变换得：
1 Yi
eXi

* i
e Xi
则可将原模型化为标准的线性回归模型
Yi*
X
例： yt = b0 +b1 xt + b2 xt2 + b3 xt3 + ut 令 x 1t = xt，x 2t = xt2，x 3t = xt3，上式变为
yt = b0 +b1 x 1t + b2 x 2t + b3 x 3t + ut 这是一个三元线性回归模型。如经济学中的总成本与产 品产量曲线与左图相似。
( b1>0, b2>0, b3>0)
(b1<0, b2>0, b3<0)
例4.1：总成本与产品产量的关系（课本91页）
Ｃ＾t= 2434.7+ 85.7 xt - 0.028 xt2 + 0.00004 xt3
(1.8) (12.0) (-2.8)
(9.6)
R2 = 0.9998, N = 15
50 100 150 200 250 300 350 400
yt aebxt ut , (b 0)
L p fp (X1, X2,L , Xk )
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5
4.2线性化方法
1、非标准线性回归模型的线性化方法 非标准线性回归模型的线性化方法是变量替换法。
非标准线性回归模型的一般形式为：
Y 0 1 f1( X1, X 2 ,L , X k ) 2 f2 ( X1, X 2 ,L , X k )
L p f p ( X1, X 2 ,L , X k ) ＋u
令
LZ1 f1(X1, X2,L , X k ) Z2 f2 (X1, X2,L , X k )
Z p f p (X1, X2,L , Xk )
则可以把原模型转化为一个标准的多元线性回归模型
Y 0 1Z1 2Z2 L pZ p u
（2） 双曲函数模型
双曲函数模型的一般形式为：
令
Yi*
1 Yi
,
X
* i
1 Xi
1 Yi
1 Xi
ui
则可将原模型化为标准的线性回归模型
Yi*
X
* i
ui
双曲线函数还有另一种表达方式，
yt = a + b/xt + ut 令xt* = 1/xt，得 yt = a + b xt* + ut 上式已变换
成线性回归模型。
11
（2） 双曲函数模型
1/yt = a + b/xt + ut
yt = a + b/xt + ut
（3） 对数函数模型
对数函数模型的一般形式为：Yi ln X i ui
令
X
* i
ln
Xi
则可将原模型化为标准的线性回归模型
Yi
X
* i
ui
5
7
4
3
2
(β> 0)
1
0 50 100 150 200 250 300 350 400
6
下面介绍在经济问题时经常遇到的几种非标准线性 回归模型
（1）多项式函数模型 多项式函数模型的一般形式为：
Yi
0
1 X i
2
X
2 i
L
k
X
k i
ui
令
Z1i
Xi , Z2i
X
2 i
,L
, Zki
X
k i
则可将原模型化为标准的线性回归模型
Y 0 1Z1i 2Z2i L k Zki ui
7
也不能通过适当的变换将其化为标准的线性回归
模型，这种类型的非线性回归模型称为不可线性
化的非线性回归模型．
4
4.2线性化方法
1、非标准线性回归模型的线性化方法 非标准线性回归模型的线性化方法是变量替换法。
非标准线性回归模型的一般形式为：
Y 0 1 f1( X1, X 2 ,L , X k ) 2 f2 ( X1, X 2 ,L , X k )
3
2 虽然被解释变量Y与解释变量 X1, X 2 ,L , X k和未 知参数 0, 1,L , p 之间不存在线性关系，但是可 以通过适当的变换将其化为标准的线性回归模型
，这种类型的非线性回归模型称为可线性化的非
线性回归模型．
如柯布－道格拉斯生产函数模型：Yi
AK
i
Li
eui
3 如果被解释变量Y与解释变量 X1, X 2 ,L , X k 和未 知参数 0, 1,L , p 之间都不存在线性关系，而且
* i
ui
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2 可线性化的非线性回归模型的线性化方法
下面几种在研究经济问题时经常遇到的可线性化的非线性 回归模型
（1）指数函数模型
60 50 40 30 20 10
0 -10
50 100 150 200 250 300 350 400
yt aebxt ut , (b 0)
1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4
其一般形式为：
Y 0 1 f1( X1, X 2 ,L , X k ) 2 f2 ( X1, X 2 ,L , X k )
L p fp (X1, X2,L , Xk )
其中 f1,L , f p 是关于 X1, X 2 ,L , X k 的p个已知的非 线性函数，0, 1,L , p 是（p+1）个未知参数．
另一种多项式方程的表达形式是
yt = b0 + b1 xt + b2 xt2 + ut 令x 1t = xt，x 2t = xt 2，上式线性化为， yt = b0 + b1 x1t + b2 x2t + ut 如经济学中的边际成本曲线、平均成本曲线与左图相似。
( b1>0, b2>0)
(b1<0, b2 <0
在这样一些非线性关系中，有些可以通过代数 变换变为线性关系处理，另一些则不能。下面我们 通过一些例子来讨论这个问题。
2020/7/4
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线性模型的含义
线性模型的基本形式是:
Y 0 1X1 2 X 2 ...... k X k u
线性模型的线性包含两重含义：
（1）变量的线性
变量以其原型出现在模型之中，而不是以 X 2 或
X 之类的函数形式出现在模型中。
（2）参数的线性 因变量Y是各参数βi的线性函数。 这种模型称为标准的线性回归模型．
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非线性回归模型的分类： 1 虽然被解释变量Y与解释变量 X1, X 2 ,L , X k之间
不存在线性关系，但与未知参数 0, 1,L , p 之间 存在着线性关系，这种类型的非线性回归模型被 称为非标准线性回归模型。