多项式回归、非线性回归模型
非线性回归 方法
非线性回归方法非线性回归是机器学习中的一种重要方法，用于建立输入和输出之间的非线性关系模型。
线性回归假设输入和输出之间存在线性关系，而非线性回归则允许更复杂的模型形式，可以更好地适应现实世界中的复杂数据。
下面将介绍几种常见的非线性回归方法，并说明它们的原理、应用场景和优缺点。
1. 多项式回归多项式回归通过引入高次多项式来拟合数据。
例如，在一元情况下，一阶多项式即为线性回归，二阶多项式即为二次曲线拟合，三阶多项式即为三次曲线拟合，依此类推。
多项式回归在数据不规则变化的情况下能够提供相对灵活的拟合能力，但随着多项式次数的增加，模型的复杂度也会增加，容易出现过拟合问题。
2. 非参数回归非参数回归方法直接从数据中学习模型的形式，并不对模型的形式做出先验假设。
常见的非参数回归方法包括局部加权回归（LWLR）、核回归（Kernel Regression）等。
局部加权回归通过给予离目标点较近的样本更大的权重来进行回归，从而更注重对于特定区域的拟合能力。
核回归使用核函数对每个样本进行加权，相当于在每个样本周围放置一个核函数，并将它们叠加起来作为最终的拟合函数。
非参数回归方法的优点是具有较强的灵活性，可以适应各种不同形状的数据分布，但计算复杂度较高。
3. 支持向量回归（SVR）支持向量回归是一种基于支持向量机的非线性回归方法。
它通过寻找一个超平面，使得样本点离该超平面的距离最小，并且在一定的松弛度下允许一些样本点离超平面的距离在一定范围内。
SVR通过引入核函数，能够有效地处理高维特征空间和非线性关系。
SVR的优点是对异常点的鲁棒性较好，并且可以很好地处理小样本问题，但在处理大规模数据集时计算开销较大。
4. 决策树回归决策树回归使用决策树来进行回归问题的建模。
决策树将输入空间划分为多个子空间，并在每个子空间上拟合一个线性模型。
决策树能够处理离散特征和连续特征，并且对异常点相对较鲁棒。
决策树回归的缺点是容易过拟合，因此需要采取剪枝等策略进行降低模型复杂度。
计量经济学_詹姆斯斯托克_第8章_非线性的回归模型
Ln(TestScore) = 6.336 + 0.0554 ln(Incomei) (0.006) (0.0021)
假设 Income 从$10,000 增加到$11,000（或者 10%）。
则 TestScore 增加大约 0.0554 10% = 0.554%。
如果 TestScore = 650, 意味着测试成绩预计会增加
非线性的回归模型
非线性的回归函数
“非线性”的含义：
（1）非线性的函数 自变量与解释变量之间的非线性
函 数形式。
（2）非线性的回归 参数与随机项的非线性形式。
非线性的回归函数
一、多项式回归 二、对数回归 三、自变量的交互作用 四、其他非线性形式的回归 五*、非线性回归（参数非线性）
一、多项式回归
1、指数函数曲线
指数函数方程有两种形式：
yˆ aebx yˆ abx
y a＞0，b＞0
a＞0，b＜0
x
图11.1方yˆ 程 aebx 的图象
二、对数函数曲线
对数函数方程的一般表达式为：
yˆ a b ln x
y
b＞0
b＜0
x
图11.2 方程yˆ =a+blnx 的图象
（2）根据拟合程度的好坏来确定（如，利用spss 的相关功能） 在社会科学领域里，阶数不会太高！
一、多项式回归
形式： Y 0 1X 2 X 2 ...r X r u
（2）多项式的本质 泰勒展开
一、多项式回归
形式： Y 0 1X 2 X 2 ...r X r u
Y——收入； D1——性别（1——男；0——女） D2——学历（1——大学学历；0——没有）
趋势追踪的几大模型
趋势追踪的几大模型
1. 线性回归模型：该模型基于线性关系进行预测，通过拟合数据的线性函数来预测未来的趋势。
它是最简单和常见的趋势追踪模型之一。
2. 移动平均模型：该模型使用过去一段时间内的平均值来预测未来的趋势。
常见的移动平均模型包括简单移动平均（SMA）和指数加权移动平均（EMA）等。
3. 自回归移动平均模型（ARIMA）：ARIMA模型结合了自回归、移动平均和差分技术，用于分析和预测时间序列数据。
它可以捕捉到数据的长期和短期趋势。
4. 随机游走模型：随机游走模型假设未来的趋势与当前时刻的值无关，即未来的值完全随机。
这种模型通常用于预测不存在趋势的随机数据。
5. 非线性回归模型：非线性回归模型可以捕捉到不符合线性关系的数据趋势。
常见的非线性回归模型包括多项式回归、指数回归和对数回归等。
这些模型可以根据实际需求和数据特征选择使用，也可以组合多个模型进行集成预测，以提高趋势追踪的准确性和稳定性。
数据建模—非线性回归
数据建模—非线性回归
什么是非线性回归
一般线性回归假设因变量与自变量呈线性关系，但现实中有很
多问题并非是线性相关的。
而非线性回归可以用来拟合非线性关系。
非线性模型示例
下面以一些示例来介绍非线性回归：
1. 多项式回归
多项式回归就是一种非线性回归，它将线性模型中的自变量的
各次幂作为回归系数，即将 $y=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$ 作为
模型进行回归。
这种方法适用于自变量$x$与因变量$y$之间的关系
大致呈多项式分布。
2. 对数函数回归
对数函数回归是一类将对数函数作为函数形式的非线性回归方法，它们适用于特定类型的数据。
如指数增长、充分增长、衰减等类型的数据。
3. Sigmoid函数回归
Sigmoid函数（S型函数）经常用于二分类问题，由于其形状为S型，经过合适的处理可以用来拟合非线性关系。
Sigmoid函数的形式为： $y=\frac{1}{1+e^{-ax+b}}$
非线性回归方法
与线性回归不同，非线性模型中的回归系数无法直接求解，需要使用非线性优化算法对其进行拟合。
非线性优化算法有很多种，常见的有：梯度下降法、拟牛顿法、Levenberg-Marquardt算法等。
总结
非线性回归适用于许多实际问题，可以通过多项式回归、对数函数回归、Sigmoid函数回归等方法进行建模。
然后，我们可以使用非线性优化算法对模型进行优化拟合以得到最优参数。
非线性回归分析与曲线拟合方法
非线性回归分析与曲线拟合方法回归分析是一种常见的统计分析方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。
在实际应用中，很多数据并不符合线性关系，而是呈现出曲线形式。
这时，我们就需要使用非线性回归分析和曲线拟合方法来更好地描述数据的规律。
一、非线性回归分析的基本原理非线性回归分析是一种通过拟合非线性方程来描述自变量与因变量之间关系的方法。
与线性回归不同，非线性回归可以更准确地反映数据的特点。
在非线性回归分析中，我们需要选择适当的非线性模型，并利用最小二乘法来估计模型的参数。
二、常见的非线性回归模型1. 多项式回归模型：多项式回归是一种常见的非线性回归模型，它通过多项式方程来拟合数据。
多项式回归模型可以描述数据的曲线特征，但容易出现过拟合问题。
2. 指数回归模型：指数回归模型适用于自变量与因变量呈指数关系的情况。
指数回归模型可以描述数据的增长或衰减趋势，常用于描述生物学、物理学等领域的数据。
3. 对数回归模型：对数回归模型适用于自变量与因变量呈对数关系的情况。
对数回归模型可以描述数据的增长速度，常用于描述经济学、金融学等领域的数据。
4. S形曲线模型：S形曲线模型适用于自变量与因变量呈S形关系的情况。
S形曲线模型可以描述数据的增长或衰减过程，常用于描述市场营销、人口增长等领域的数据。
三、曲线拟合方法曲线拟合是一种通过选择合适的曲线形状来拟合数据的方法。
在曲线拟合过程中，我们需要根据数据的特点选择适当的拟合方法。
1. 最小二乘法：最小二乘法是一种常用的曲线拟合方法，通过最小化观测值与拟合值之间的残差平方和来确定拟合曲线的参数。
2. 非线性最小二乘法：非线性最小二乘法是一种用于拟合非线性模型的方法，它通过最小化观测值与拟合值之间的残差平方和来确定模型的参数。
3. 曲线拟合软件：除了手动选择拟合方法，我们还可以使用曲线拟合软件来自动拟合数据。
常见的曲线拟合软件包括MATLAB、Python的SciPy库等。
四、应用实例非线性回归分析和曲线拟合方法在实际应用中有着广泛的应用。
机器学习中的五种回归模型及其优缺点
机器学习中的五种回归模型及其优缺点1.线性回归模型：线性回归模型是最简单和最常用的回归模型之一、它通过利用已知的自变量和因变量之间的线性关系来预测未知数据的值。
线性回归模型旨在找到自变量与因变量之间的最佳拟合直线。
优点是简单易于实现和理解，计算效率高。
缺点是假设自变量和因变量之间为线性关系，对于非线性关系拟合效果较差。
2.多项式回归模型：多项式回归模型通过添加自变量的多项式项来拟合非线性关系。
这意味着模型不再只考虑自变量和因变量之间的线性关系。
优点是可以更好地拟合非线性数据，适用于复杂问题。
缺点是容易过度拟合，需要选择合适的多项式次数。
3.支持向量回归模型：支持向量回归模型是一种非常强大的回归模型，它通过在数据空间中构造一个最优曲线来拟合数据。
支持向量回归模型着眼于找到一条曲线，使得在该曲线上离数据点最远的距离最小。
优点是可以很好地处理高维数据和非线性关系，对离群值不敏感。
缺点是模型复杂度高，计算成本也较高。
4.决策树回归模型：决策树回归模型将数据集划分为多个小的决策单元，并在每个决策单元中给出对应的回归值。
决策树由一系列节点和边组成，每个节点表示一个特征和一个分割点，边表示根据特征和分割点将数据集分配到下一个节点的规则。
优点是容易理解和解释，可处理离散和连续特征。
缺点是容易过度拟合，对噪声和离群值敏感。
5.随机森林回归模型：随机森林回归模型是一种集成学习模型，它基于多个决策树模型的预测结果进行回归。
随机森林通过对训练数据进行有放回的随机抽样来构建多个决策树，并利用每个决策树的预测结果进行最终的回归预测。
优点是可以处理高维数据和非线性关系，对噪声和离群值不敏感。
缺点是模型较为复杂，训练时间较长。
总之，每种回归模型都有其独特的优点和缺点。
选择适当的模型取决于数据的特点、问题的要求和计算资源的可用性。
在实际应用中，研究人员需要根据具体情况进行选择，并对模型进行评估和调整，以获得最佳的回归结果。
多项式回归、非线性回归模型
多项式回归、非线性回归模型关键词：回归方程的统计检验、拟合优度检验、回归方程的显著性检验、F 检验、回归系数的显著性检验、残差分析、一元多项式回归模型、一元非线性回归模型一、回归方程的统计检验 1. 拟合优度检验1. 概念介绍SST 总离差平方和total SSR 回归平方和regression SSE 剩余平方和error∑∑∑∑====--=---=ni i ini i ini i ini i iy yy y y yyy R 121212122)()ˆ()()ˆ(12. 例题1存在四点(-2,-3)、(-1,-1)、(1,2)、(4,3)求拟合直线与决定系数。
2. 回归方程的显著性检验)2/()2/()ˆ()ˆ(1212-=---=∑∑==n SSE SSAn yyy yF ni i i ni i i例6（F 检验）在合金钢强度的例1中，我们已求出了回归方程，这里考虑关于回归方程的显著性检验，经计算有：表5 X 射线照射次数与残留细菌数的方差分析表这里值很小，因此，在显著性水平0.01下回归方程是显著的。
3. 回归系数的显著性检验 4. 残差分析二、一元多项式回归模型模型如以下形式的称为一元多项式回归模型：0111a x a x a x a y n n n n ++++=--例1（多项式回归模型）为了分析X 射线的杀菌作用，用200千伏的X 射线来照射细菌，每次照射6分钟，用平板计数法估计尚存活的细菌数。
照射次数记为t ，照射后的细菌数为y 见表1。
试求：（1）给出y 与t 的二次回归模型。
（2）在同一坐标系内作出原始数据与拟合结果的散点图。
（3）预测16=t 时残留的细菌数。
（4）根据问题的实际意义，你认为选择多项式函数是否合适？表1 X 射线照射次数与残留细菌数程序1 t=1:15;y=[352 211 197 160 142 106 104 60 56 38 36 32 21 19 15]; p=polyfit(t,y,2)%作二次多项式回归 y1=polyval(p,t);%模型估计与作图plot(t,y,'-*',t,y1,'-o');%在同一坐标系中做出两个图形 legend('原始数据','二次函数') xlabel('t(照射次数)')%横坐标名 ylabel('y(残留细菌数)')%纵坐标名 t0=16;yc1=polyconf(p,t0)%预测t0=16时残留的细菌数，方法1 yc2=polyval(p,t0)%预测t0=16时残留的细菌数，方法2 即二次回归模型为：8967.3471394.519897.121+-=t t y图1 原始数据与拟合效果的散点图原始数据与拟合结果的散点图如图所示，从图形可知拟合效果较好。
回归曲线方程
回归曲线方程一、引言回归分析是一种统计学方法，用于研究自变量与因变量之间的相关关系，并通过对自变量的已知值来预测因变量的未知值。
回归曲线方程是回归分析中常用的数学模型，用于描述因变量如何随自变量的变化而变化。
本文将介绍回归曲线方程的种类、参数估计以及应用。
二、回归曲线方程的种类1.线性回归方程：线性回归方程是最简单的回归模型，其形式为y=ax+b，其中a是斜率，b是截距。
线性回归方程假设因变量y与自变量x之间存在线性关系。
2.多项式回归方程：当线性回归方程不能很好地拟合数据时，可以考虑使用多项式回归方程。
多项式回归方程的一般形式为y=a0+a1x+a2x2+…+anxn，其中an是最高次项的系数。
3.非线性回归方程：非线性回归方程的形式与线性回归方程类似，但关系不是线性的。
常见的非线性回归方程包括对数回归方程、指数回归方程等。
三、回归曲线方程的参数估计在建立回归曲线方程后，需要估计方程中的参数。
最小二乘法是最常用的参数估计方法，其基本思想是通过最小化预测值与实际观测值之间的平方误差来估计参数。
最小二乘法能够给出参数的“最佳”估计值，使得预测值与实际观测值之间的差距最小。
四、回归曲线方程的应用1.生物医学研究：在生物医学领域中，回归曲线方程常被用来分析生物标志物与疾病之间的关系，或者评估治疗效果与药物剂量的关系。
通过建立回归曲线方程，可以更好地理解生物系统的复杂性和动态性。
2.社会科学调查：在社会科学调查中，回归曲线方程可以用于研究各种社会问题，例如收入水平、教育程度、性别等因素对就业的影响。
通过回归分析，能够深入了解各种因素之间的相关关系和因果关系。
3.工程领域：在工程领域中，回归曲线方程可以用于分析工程数据，例如机械性能、材料强度等。
通过建立回归曲线方程，可以更好地了解工程系统的性能和行为，优化设计并提高产品质量。
4.环境监测：在环境监测中，回归曲线方程可以用于分析环境因素与生态系统之间的关系。
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大容积的非线性拟合图，如图 2 所示。
4
11
原始数据
10.5
拟合曲线
10
9.5
9
8.5
8
7.5
7
6.5
6
2
4
6
8
10
12
14
16
图 2 钢包使用次数与增大容积的非线性拟合图 （2）预测钢包使用 17 次后增大的容积： 程序 4 ypred=nlpredci(fun,17,beta,r,J)%预测钢包使用 17 次后增大的容积 （3）置信区间： 程序 5 ci=nlparci(beta,r,J)%置信区间 运行后得到 ci =
0.0814 0.0876 0.0934 0.1370 即回归模型中参数的置信度为的置信区间分别为[0.0814,0.0876]与[0.0934,0.1370]。我们
求出的最佳参数分别为 a 0.0845 和 b 0.1152 ，均属于上述置信区间。
调用多项式回归的 GUI 界面，可显示出钢包使用次数与增大容积的拟合交互图，见图 3。 程序 6 polytool(x,y,2)
例 1（多项式回归模型）
为了分析 X 射线的杀菌作用，用 200 千伏的 X 射线来照射细菌，每次照射 6 分钟，用
平板计数法估计尚存活的细菌数。照射次数记为 t ，照射后的细菌数为 y 见表 1。试求： （1）给出 y 与 t 的二次回归模型。
（2）在同一坐标系内作出原始数据与拟合结果的散点图。
（3）预测 t 16 时残留的细菌数。
表 2 钢包使用次数与增大容积
使用次数 （x）
增大容积 （y）
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.42 8.2 9.58 9.5 9.7 10 9.93 9.99 10.49 10.59 10.6 10.8 10.6 10.9 10.76
解：（1）建立非线性回归模型： 程序 2 x=[2:16]; y= [6.42 8.2 9.58 9.5 9.7 10 9.93 9.99 10.49 10.59 10.6 10.8 10.6 10.9 10.76]; %建立非线性双曲线回归模型 b0=[0.084,0.1436];%回归系数初值 fun=inline('x./(b(1)*x+b(2))','b','x');%建立函数 [beta,r,J]=nlinfit(x,y,fun,b0);%非线性拟合命令；其中，beta 表示最佳回归系数的估计值， r 是残差，J 是雅可比矩阵 beta%输出最佳参数 y1=x./(0.0845*x+0.1152);%拟合曲线 plot(x,y,'*',x,y1,'-or') legend('原始数据','拟合曲线')%legend 为图例命令 初始值要先计算后才能得到上面程序中的 b0，选择已知程序中的点（2，6.42）和点（16， 10.76），可选择手工方法解方程，也可利用以下 MATLAB 程序求解。 程序 3 [a,b]=solve('1/6.42=a+b/2','1/10.76=a+b/16')%解方程 注：当所求解的方程过于复杂时，MATLAB 运行会出现错误，此时需将方程尽量化简后 再进行求解，如以下形式： [a,b]=solve('6.42*(2*a+b)=2','10.76*(16*a+b)=16')
多项式回归、非线性回归模型
关键词：回归方程的统计检验、拟合优度检验、回归方程的显著性检验、F 检验、回归
系数的显著性检验、残差分析、一元多项式回归模型、一元非线性回归模型
一、回归方程的统计检验
1. 拟合优度检验
1. 概念介绍
SST 总离差平方和 total
SSR 回归平方和 regression
SSE 剩余平方和 error
SSA
n
( yi yˆi )2 /(n 2)
SSE /(n 2)
i 1
例 6（F 检验）
在合金钢强度的例 1 中，我们已求出了回归方程，这里考虑关于回归方程的显著性检验，
经计算有：
表 5 X 射线照射次数与残留细菌数的方差分析表
来源
平方和
自由度
均方
F比 p值
回归
SR 327.34
fR 1
MSR 327.34
184.94 0.0000
残差
Se 17.72
fe 10
MSe 1.77
总计
ST 345.06
fT 11
这里值很小，因此，在显著性水平 0.01 下回归方程是显著的。 3. 回归系数的显著性检验 4. 残差分析 二、一元多项式回归模型
1
模型如以下形式的称为一元多项式回归模型：
y an xn an1xn1 a1x a0
二次函数计算出细菌残留数为 39.0396，显然与实际不符。由实际问题的意义可知，尽管二
次多项式拟合效果较好，但是用于预测并不理想。因此如何根据原始数据散点图的规律，选
择适当的回归曲线是非常重要的，这样就有必要给出非线性回归模型。
三、一元非线性回归模型
为了便于正确选择合适的函数进行回归分析建模，我们给出通常选择的 6 类曲线：
（1）双曲线 1 a b （如图所示）
y
x
（2）幂函数曲线 y axb ，其中 x 0 ， a 0 （如图所示）
（3）指数曲线 y aebx ，其中参数 a 0 （如图所示）
（4）倒指数曲线 y aeb / x ，其中 a 0 （如图所示）
（5）对数曲线 y a b ln x （如图所示）
y1 1.9897t2 51.1394t 347.8967
2
y(残留细菌数)
400 350 300 250 200 150 100
50 0 0
原始数据 二次函数
5
10
15
t(照射次数)
图 1 原始数据与拟合效果的散点图
原始数据与拟合结果的散点图如图所示，从图形可知拟合效果较好。照射 16 次后，用
（6）
S
型曲线
y
a
1 bex
，其中
ab
பைடு நூலகம்
0
（如图所示）
非线性回归建模通常有两种方法：一是通过适当的变换转化为线性回归模型，例如双曲
线模型 1 a b （如图 1 所示），如果作变换 y 1 ， x 1 则有 y a bx ，此时就
y
x
y
x
是线性回归模型。如果无法实现线性化，可以利用最小二乘法直接建立非线性回归模型，求
（4）根据问题的实际意义，你认为选择多项式函数是否合适？
表 1 X 射线照射次数与残留细菌数
t
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
y
352 211 197 160 142 106 104 60 56 38 36 32 21 19 15
程序 1 t=1:15; y=[352 211 197 160 142 106 104 60 56 38 36 32 21 19 15]; p=polyfit(t,y,2)%作二次多项式回归 y1=polyval(p,t);%模型估计与作图 plot(t,y,'-*',t,y1,'-o');%在同一坐标系中做出两个图形 legend('原始数据','二次函数') xlabel('t(照射次数)')%横坐标名 ylabel('y(残留细菌数)')%纵坐标名 t0=16; yc1=polyconf(p,t0)%预测 t0=16 时残留的细菌数，方法 1 yc2=polyval(p,t0)%预测 t0=16 时残留的细菌数，方法 2 即二次回归模型为：
5
图 3 钢包使用次数与增大容积的拟合交互图 图中的星号代表实验的原始数据点，绿色实线是回归模型曲线，两条红色虚线为 95% 上下置信区间的曲线，纵向的虚线表示自变量为 9 时，横向虚线对应的预测值为 10.4118。
6
解最佳参数。
例 2（非线性回归模型、置信区间）
炼钢厂出钢时所用盛钢水的钢包，由于钢水对耐火材料的侵蚀，容积不断增大，我们希
望找出使用次数与增大容积之间的函数关系。实验数据见表 2。
3
（1）建立非线性回归模型 1 a b ；
y
x
（2）预测钢包使用 x0 17 次后增大的容积 y0 ；
（3）计算回归模型参数的置信度为 95%的置信区间。
n
n
( yi yˆi )2
( yˆi yi )2
R2
1
i 1 n
i1
n
( yi yi )2
( yi yi )2
i 1
i 1
2. 例题 1
存在四点(-2,-3)、(-1,-1)、(1,2)、(4,3)求拟合直线与决定系数。
2. 回归方程的显著性检验
n
F
( yˆi yi )2
i 1