高等数学上册同济第七版知识点总结
高等数学第七版 同济大学数学系编
高等数学第七版同济大学数学系编引言高等数学是大学数学的重要基础课程之一，在同济大学数学系编写的《高等数学第七版》中，涵盖了数学分析的基本概念、理论和方法。
本文将对该教材进行简要介绍，并总结其中一些重要的内容。
第一章函数与极限在高等数学中，函数是一个基本概念。
第一章主要介绍了函数的定义、性质以及各种类型的函数。
同时，还介绍了极限的概念和计算方法。
通过学习这一章，学生可以建立起对函数和极限的基本认识，并掌握一些常用函数的性质和极限的计算方法。
第二章导数与微分导数是微积分的重要概念，也是研究函数变化率的工具。
第二章主要介绍了导数的定义、基本运算规则以及导数的几何意义。
同时，还对一些特殊函数的导数进行了详细的讲解，如幂函数、指数函数、对数函数等。
此外，还介绍了高阶导数、隐函数的导数以及相关的微分公式。
第三章微分中值定理与导数的应用在第三章中，介绍了微分中值定理及其应用。
微分中值定理是研究函数在某一区间上的平均变化率与瞬时变化率之间关系的重要工具。
通过学习这一章，学生可以了解到微分中值定理的基本思想和证明方法，并学会使用它来解决一些实际问题，如函数的增减性、极值点的存在性等方面的问题。
第四章不定积分不定积分是微积分的重要组成部分，也是导数的逆运算。
第四章主要介绍了不定积分的概念、基本性质以及一些常用的积分公式和计算方法。
此外，还介绍了分部积分法、换元积分法和定积分的求值法等内容。
第五章定积分与其应用定积分是微积分中的另一个重要概念，它不仅可以表示曲线下的面积，还可以表示一些实际问题中的累积量。
第五章主要介绍了定积分的定义、基本性质以及计算方法。
同时，还介绍了定积分的几何应用、物理应用和经济应用等方面的内容。
第六章微分方程微分方程是数学中的一门重要课程，也是自然科学、工程技术和经济管理等领域中常用的数学工具。
第六章主要介绍了一阶和二阶常微分方程以及它们的基本性质和解法。
通过学习这一章，学生可以了解到微分方程的基本概念和解法，并学会应用微分方程解决一些实际问题。
高等数学同济第七版上册笔记
高等数学同济第七版上册笔记
高等数学同济第七版上册笔记：
一、第1章函数及其图象。
1、函数：定义域、值域和定义域与值域、函数的唯一性、函数的表示式。
2、一元函数：一元函数关系、函数增减性及极值、函数的单调性。
3、二元函数：一般性函数定义、定义域及值域、函数变换、矩阵运算。
4、函数的图象：函数的图象的判断、函数的图象的绘制和性质。
二、第2章一次函数。
1、一次函数的斜率：斜率的定义、斜率的性质、斜率的应用。
2、一次函数的判别式：一次函数的判别式的性质。
3、一次函数的图象：一次函数的图象的对称性、一次函数的图象的性质。
4、一次函数的运算：一次函数的加法、减法、乘法、除法、幂次。
三、第3章线性函数。
1、线性函数的法则：线性函数的性质、线性函数的图象。
2、线性变换：线性变换的定义和性质。
3、矩阵的运算：矩阵的定义和性质、矩阵的加法和乘法、矩阵的乘方。
四、第4章二次函数。
1、二次函数的性质：二次函数的判定、二次函数的标准形式。
2、二次函数的图象：二次函数的图象的判断和绘制、二次函数的图象的性质。
3、二次函数的运算：二次函数的加法、减法和乘法。
4、二次函数的拟合：二次函数的拟合问题、最小二乘法。
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高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章函数与极限一. 函数的概念1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim x g x f 且lx g x f )()(lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以 f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。
（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以 f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ，1-cos x ~ 2/2^x ，xe -1 ~ x ，)1ln(x ~ x ，1)1(x ~ x二．求极限的方法1．两个准则准则 1.单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤h (x )若A x h A x g )(lim ,)(lim ，则Ax f )(lim 2．两个重要公式公式11sin limx x x公式2ex xx /10)1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换4．用泰勒公式当x0时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332n n nnnxxo n xx x xxx o n x x x x e)(!2)1(...!4!21cos 2242nnnx o n xxxx )()1(...32)1ln(132nnn x o n xxxxx )(!))1()...(1(...!2)1(1)1(2nnx o xn n xx x )(12)1( (5)3arctan 1212153n n n xo n xxxxx 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0x f x x，0)(lim 0x F x x；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(x F ；（3）)()(limx F x f xx 存在（或为无穷大），则这个定理说明：当)()(limx F x f xx 存在时，)()(limx F x f xx 也存在且等于)()(limx F x f xx ；当)()(limx F x f x x为无穷大时，)()(limx F x f xx 也是无穷大．这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L ospital ）法则.型未定式定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）)(lim 0x f xx ，)(lim 0x F xx ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(x F ；（3）)()(limx F x f xx 存在（或为无穷大），则注：上述关于0x x时未定式型的洛必达法则，对于x 时未定式型同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“”型才能运用该法则；)()(lim)()(limx F x f x F x f x xx x)()(lim)()(lim 0x F x f x F x f x xxx（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．6．利用导数定义求极限基本公式)()()(lim0'00x f xx f x x f x (如果存在）7.利用定积分定义求极限基本格式11)()(1limdx x f n kf nnk n（如果存在）三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f (x)的间断点。
高等数学(同济第七版)(上册)-知识点
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第二章 导数与微分 一．基本概念
1．可微和可导等价，都可以推出连续，但是连续不能推出可微和可导。
∈[ a,b] ，有公式
，
, 称为拉格朗日余项 上面展开式称为以0(x) 为中心的n 阶泰勒公式。当 x0 =0 时，也称为n阶麦克劳林
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公式。 常用公式( 前8个)
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五．导数的应用
一．基本知识 设函数f ( x) 在 x0 处可导，且 x0 为f ( x) 的一个极值点，则 f '(x0) 0 。 我们称x 满足 f '(x0) 0 的 x0 称为 f (x) 的驻点，可导函数的极值点一定是驻点， 反之不然。极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点中进一步去判断。
二．求导公式
三．常见求导
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1. 复合函数运算法则 2. 由参数方程确定函数的运算法则
设x =( t) ，y =(t) 确定函数y = y( x) ，其中'(t),'(t) 存在，且'(t) ≠ 0，则 dy '(t)
dx '(t) 3. 反函数求导法则 设y = f ( x) 的反函数x = g( y) ，两者皆可导，且f ′( x) ≠ 0 则 g'( y) 1 1 ( f '(x) 0)
2. 第二充分条件
f (x) 在 x0 处二阶可导，且 f (x0) 0 ，f (x0 ) 0 ，则①若 f (x0 ) 0 ， 则 x0 为极大值点；②若 f (x0 ) 0 ，则 x0 为极小值点.
高等数学第七版上册知识点总结
高等数学第七版上册知识点总结一、函数的概念1. 定义域：定义域是指一个函数允许定义的变量的集合。
2. 值域：函数对应的输出值的集合就是函数的值域。
3. 函数的图像：函数的定义图形可以通过函数的值域和定义域构成。
4.函数的性质：函数的单调性、奇偶性、最大值最小值等性质。
二、一元函数的分析1. 一元函数的极限：极限的概念、极限的性质、极限的计算方法。
2. 无穷小量的概念：无穷小量的概念、无穷小量的性质、无穷小量的运算。
3. 无穷级数及极限：无穷级数的概念、无穷级数的性质、极限的概念及极限的计算方法。
4. 函数的求导：导数的概念、求导法则、函数的求导方法。
三、复变函数1. 坐标变换：坐标系的概念、坐标变换的意义及方法。
2. 二元函数：二元函数的定义、图像的意义及特性、二元函数的求导。
3. 二元可变函数：二元可变函数的定义、图像的意义及特性、二元可变函数的极限及求导。
4. 泰勒公式：泰勒公式的定义、泰勒公式的构成、泰勒公式应用。
四、极限和无穷级数1. 函数的极限：函数的极限的定义、求函数极限的基本思想及极限的性质。
2. 无穷级数：无穷级数的定义、无穷级数的性质、无穷级数的收敛性及计算方法。
3. 相称收敛：相称收敛的定义、相称收敛的收敛性及计算方法、相称收敛的性质。
4. 无界和无限近似：无界的概念、无限近似数的意义及计算方法。
五、积分1. 定积分：定积分的定义、定积分的计算方法以及定积分的理论基础。
2. 容积：求容积的意义、容积的定义及容积的计算方法。
3. 不定积分：不定积分的定义、不定积分的计算方法及不定积分的性质。
4. 部分积分：部分积分的定义、部分积分的意义及部分积分的计算方法。
六、微分方程1. 微分方程的概念：微分方程的概念、普通微分方程的分类、普通微分方程的特征。
2. 微分方程的解法：通解的求法、初值问题的解法、定常点的求法、特解的求法。
3. 微分不等式：微分不等式的概念、微分不等式的性质及特点、微分不等式的解法。
同济大学高等数学(第七版)上册第一章函数
如何学好微积分 ?
1、深刻理解基本概念
2、勤于思考，敢于提问，独立完 成作业
3、快乐学习，在学习中提升自己、
华罗庚
认识自己
第一章
函数与极限
分析基础
函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁
第一节 函数
一、基本概念 二、函数及其几种基本特性 三、反函数 四、复合函数 初等函数
一、基本概念
值域 f (D) [0, )
f
(
1 2
)
2
1 2
2
f
(
1 t
)
11 , t
2, t
0t 1 t 1
y
y 1 x
y2 x
O
1
x
例：某市的出租车按如下规定收费：当行驶里程不 超过3km 时，一律收起步费 10 元；当行驶里程超 过 3km 时,除起步费外，对超过 3km 但不超过 10 km 的部分，按每千米 2 元计费，对超过 10 km 的部 分按每千米 3 元计费,试写出车费 C 与行驶里程 s 之间的函数关系。
数学中的转折点是笛卡儿的变数. 有了变数 , 运动进入了数学, 有了变数， 辩证法进入了数学 , 有了变数 , 微分和积分也就立刻成 为必要的了,而它们也就立刻产生.
高等数学的主要内容
1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续 2. 微积分学: 一元微积分 (上册)
多元微积分 (下册) 3. 向量代数与空间解析几何 4. 无穷级数 5. 常微分方程
1.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a,b R,且a b.
{x a x b} 称为开区间, 记作 (a,b)
oa
高等数学教材第七版同济
高等数学教材第七版同济高等数学是大学数学课程中的一门重要课程，涵盖了微积分、线性代数、概率论与数理统计等内容。
同济大学出版社出版的《高等数学教材第七版》是一本经典的教材，被广大学生和教师广泛使用。
第一章微分学微分学是高等数学中的重要分支，研究函数的局部变化规律和相关概念与定理。
微分学的基本概念包括导数和微分，导数表示函数在某一点的瞬时变化率，微分表示函数在某一点附近的线性逼近。
第二章积分学积分学是高等数学中另一重要分支，主要研究函数的整体特征和相关定理。
常见的积分有定积分和不定积分，定积分表示函数在一定区间上的面积或曲线长度，不定积分求出函数的原函数。
第三章无穷级数无穷级数是高等数学中的一个重要概念，指由无穷多个数相加或相乘所得到的数列或数列的极限。
常见的无穷级数包括等比级数、调和级数等，对于收敛级数可以求和，对于发散级数可以研究其性质和敛散性。
第四章常微分方程常微分方程是高等数学中的一门重要课程，研究函数的导数与自变量之间的关系。
常微分方程可分为一阶、二阶以及高阶常微分方程，通过求解常微分方程可以得到函数的解析解或数值解。
第五章多元函数微分学多元函数微分学是高等数学中的一门重要课程，研究多元函数的导数、偏导数和方向导数等。
通过多元函数微分学的学习，可以深入理解函数的局部变化规律和极值问题。
第六章重积分重积分是高等数学中的一个重要概念，用于研究多元函数在闭区域上的积分。
常见的重积分包括二重积分和三重积分，可以求解曲面面积、质量、重心等问题。
第七章曲线积分与曲面积分曲线积分和曲面积分是高等数学中的两个重要内容，分别用于研究曲线和曲面上的积分问题。
曲线积分常常用于计算力学中的功和电磁学中的电场强度，曲面积分常常用于计算流体力学中的流量和电磁学中的电通量。
第八章数列和序列数列和序列是高等数学中的基础内容，研究数的无限排列和乘积。
数列是按照一定规律排列的数的集合，序列是取数列的有限个数而得到的结果。
第九章空间解析几何空间解析几何是高等数学中的一门重要课程，研究空间中的点、直线、平面的位置关系和相关性质。
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章 函数与极限一. 函数的概念1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim（1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。
（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x)2.常见的等价无穷小 当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ，1− cos x ~ 2/2^x ， x e −1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α二．求极限的方法1．两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x )若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim2．两个重要公式公式11sin lim 0=→x xx公式2e x x x =+→/10)1(lim3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n nxx o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n nn x o nx x x x x +-++-=++ )(!))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα)(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.∞∞型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞∞型同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须)()(lim)()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则； （2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在． 6．利用导数定义求极限基本公式)()()(lim 0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆(如果存在）7.利用定积分定义求极限基本格式⎰∑==∞→101)()(1lim dx x f n kf n n k n （如果存在）三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f (x )的间断点。
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高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章 函数与极限一. 函数的概念1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim（1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。
（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x)2.常见的等价无穷小 当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ，1− cos x ~ 2/2^x ， x e −1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α二．求极限的方法1．两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x )若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim2．两个重要公式公式11sin lim 0=→x xx公式2e x x x =+→/10)1(lim3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n nxx o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n nn x o nx x x x x +-++-=++ )(!))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα)(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.∞∞型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞∞型同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则； )()(lim)()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在． 6．利用导数定义求极限基本公式)()()(lim 0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆(如果存在）7.利用定积分定义求极限基本格式⎰∑==∞→11)()(1lim dx x f n kf n n k n （如果存在）三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f (x )的间断点。
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...高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章函数与极限一.函数的概念1.两个无穷小的比较f(x)设l imf(x)0,limg(x)0且llimg(x)（1）l=0，称f(x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f(x)=0[g(x)]，称g(x) 是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l≠0，称f(x)与g(x)是同阶无穷小。
（3）l=1，称f(x)与g(x)是等价无穷小，记以f(x)~g(x)2.常见的等价无穷小当x→0时sinx~x，tanx~x，arcsinx~x，arccosx~x，1-cosx~x^2/2，xe-1~x，ln(1x)~x，(1x)1~x二．求极限的方法1．两个准则准则1.单调有界数列极限一定存在准则2.（夹逼定理）设g(x)≤f(x)≤h(x)若limg(x)A,limh(x)A，则l imf(x)A2．两个重要公式sinx公式11limx0x1/x公式2xelim(1)x03．用无穷小重要性质和等价无穷小代换4．用泰勒公式当x0时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次xe 1x2x2!3x3!...nxn!no(x )sinxx3x3!5x5!... (n1)(2nx2n11)!2no(x1)WORD格式可编辑版...cosx12x2!4x4!... (2nxnox2n1)(2n!)ln(1x)x2x23x3... (nxnox n11)(n)(1x)1x (1)2!2x n ox n(1)...((n1))x...(n!)arctanxx3x35x5... (2n1xnox2n11)(2n11)5．洛必达法则定理1设函数f(x)、F(x)满足下列条件：（1）lim()0fxxx0 ，limF(x)0xx；（2）f(x)与F(x)在x的某一去心邻域内可导，且F(x)0；（3）f(x)limxx0Fx)(f(x)f(x)存在（或为无穷大），则limlimxx0FFx(x)xx()这个定理说明：当f(x)limx0Fxx()存在时，f(x)limxx0Fx()也存在且等于f(x)limxx0F(x)；当f(x) limxx()0Fx 为无穷大时，f(x)limx()x0Fx也是无穷大．这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（LHospital）法则.型未定式定理2设函数f(x)、F(x)满足下列条件：（1）lim()fxxx0 ，limF(x)xx；（2）f(x)与F(x)在x的某一去心邻域内可导，且F(x)0；（3）f(x)limx)x0F(x存在（或为无穷大），则f(x)f(x)limlimxx0F(x)x x F(x)注：上述关于x时未定式型的洛必达法则，对于x时未定式型x同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“0”和“”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“0”或“”型才能运用该法则；（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．6．利用导数定义求极限WORD格式可编辑版...f(xx)f(x)00'基本公式()limfx0x0x(如果存在）3.利用定积分定义求极限基本格式1n1klimf()f(x)dxnnnk1（如果存在）三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设x是函数y=f(x)的间断点。
高等数学(同济第七版)上册-知识点汇总
高等数学(同济第七版)上册-知识点汇总————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章 函数与极限一. 函数的概念1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。
（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x)2.常见的等价无穷小当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ，1− cos x ~ 2/2^x ， x e −1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法1．两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x )若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim2．两个重要公式公式11sin lim 0=→xx x 公式2e x x x =+→/10)1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n nxx o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o nx x x x x +-++-=++ )(!))1()...(1( (2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα)(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.∞∞型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞∞型同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则； )()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．6．利用导数定义求极限 基本公式)()()(lim 0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆(如果存在） 7.利用定积分定义求极限基本格式⎰∑==∞→101)()(1lim dx x f n k f n n k n （如果存在） 三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f (x )的间断点。
同济大学高等数学第七版1-5极限的运算法则知识讲解
x l x 0 i f ( x m ) a 0 ( x l x 0 i x ) n m a 1 ( x l x 0 i x ) n m 1 a n a 0 x 0 n a 1 x 0 n 1 a n f(x0).
常见的有界函数
4
注意： 也有界
记忆口诀：外函数有界，复合函数必有界。
5
定理 2. 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 . 注: 无限个无穷小的乘积不一定是无穷小 !
6
问: 无穷大是否有类似的性质？ 以下命题成立？ （1）两个无穷大之和也是无穷大 ？ （2）两个无穷大的积也是无穷大？ （3）无穷大与有界函数的和也是 无穷大？ （4）无穷大与有界函数的乘积也是无穷大？ （5）无穷大与无穷小的乘积是什么？
10
定理 4.
若
lim
n
xn
A，lim n
yn
B ，则
(1)
lim
n
(
xn
yn )
A B;
(2)
lim
n
xn
yn
AB;
(3)
当 yn
0且
B
0时， lim n
xn yn
A. B
注意：极限的四则运算法则成立的条件为：
参与四则运算的各项的极限都存在！
定 理 5若 lim f(x ) A ， lim g (x ) B ， 且 f(x ) g (x ) ， 则 A B .
同济高等数学第七版教材
同济高等数学第七版教材同济高等数学第七版教材是一本经典的数学教材，广泛应用于中国高校的数学教育领域。
本教材具有详细的数学理论知识，丰富的例题和习题，以及清晰的数学思维方法，对于培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力具有重要意义。
以下将对教材内容进行概述。
第一章：数列与极限本章主要介绍了数列的定义、数列极限的概念和性质。
数列是数学中重要的基本概念之一，通过对数列的研究能够帮助我们理解数学中的各种变化规律和趋势。
本章通过一系列的例题和习题，帮助学生掌握数列的性质和极限的概念，并培养他们的数学思维能力。
第二章：函数与极限此章节主要介绍了函数的概念、函数的极限和连续性。
函数是描述变化规律的重要数学工具，对于解决实际问题具有重要影响。
通过对函数的极限和连续性的学习，我们可以更好地理解函数的行为和性质，并能够应用于实际问题的解决中。
第三章：导数与微分导数是微积分的重要内容，它描述了函数局部变化的速率。
本章节主要介绍了导数的定义、性质和计算方法，以及微分的概念和应用。
通过对导数的学习，我们可以了解函数的瞬时变化率，进而应用导数来解决实际问题。
第四章：积分与不定积分积分是微积分的另一个重要内容，它描述了函数的累计变化。
本章主要介绍了定积分和不定积分的概念、性质以及计算方法。
通过对积分的学习，我们可以理解函数的累积变化，并能够应用积分解决一些实际问题，如求曲线的长度、面积等。
第五章：常微分方程此章节主要介绍了常微分方程的概念和基本解法。
常微分方程是描述自然界中变化的数学模型，对于理解和分析实际问题中的变化规律具有重要意义。
通过对常微分方程的学习，我们可以了解不同类型的常微分方程，掌握常微分方程的求解方法，并能够应用于实际问题的解决。
第六章：多重积分多重积分是微积分的拓展内容，它描述了多变量函数在多维空间中的累积变化。
本章主要介绍了二重积分和三重积分的概念、性质和计算方法。
通过对多重积分的学习，我们可以理解多变量函数的累积变化，并应用多重积分解决实际问题，如求体积、质量、重心等。
高等数学同济第七版上册
高等数学同济第七版上册简介《高等数学同济第七版上册》是中国著名的高等教育教材之一，广泛应用于大学高等数学课程中。
本书由来自同济大学的杨传辉等人编写，旨在帮助学生全面掌握高等数学的基本概念和方法。
目录1.函数与极限2.导数及其应用3.微分中值定理与导数的应用4.不定积分5.定积分及其应用6.微分方程与其应用7.空间解析几何8.多元函数微分学9.重积分10.曲线积分与曲面积分11.空间向量与空间直线12.平面及其方程13.空间曲面及其方程内容概要1. 函数与极限本章介绍了函数的概念以及一些常见的函数类型，如多项式函数、指数函数和对数函数。
同时，重点介绍了极限的定义和相关性质，帮助学生理解极限的概念和运算法则。
2. 导数及其应用本章主要讲述了导数的概念和性质，以及如何利用导数解决实际问题。
具体内容包括导数的定义、导数的计算方法、高阶导数、隐函数求导、相关变化率与极值问题等。
3. 微分中值定理与导数的应用本章介绍了微分中值定理及其应用。
主要内容包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理等内容。
同时，通过实际问题的例子，帮助学生理解微分中值定理的意义和应用。
4. 不定积分本章主要介绍了不定积分的概念、性质和计算方法。
包括基本不定积分公式、换元积分法、分部积分法、有理函数的积分等。
同时，引入了定积分的概念，并简要介绍了与不定积分的关系。
5. 定积分及其应用本章深入讲解了定积分的概念和性质。
主要内容包括定积分的定义、计算方法、定积分的几何意义、平均值定理、牛顿-莱布尼茨公式等。
同时，介绍了定积分在物理学、经济学等领域的应用。
6. 微分方程与其应用本章介绍了常微分方程的基本概念和求解方法。
主要内容包括一阶常微分方程、高阶常微分方程、常系数线性齐次微分方程等。
同时，通过一些实际问题的例子，帮助学生理解微分方程的意义和应用。
7. 空间解析几何本章介绍了空间直角坐标系和空间直线的相关知识。
具体内容包括空间直线方程的标准式和一般式、空间直线的位置关系、平面方程等。