初一数学下册三角形知识点归纳
七年级数学下册三角形知识点总结
七年级数学下册第五章三角形知识点总结 考点一、三角形1、三角形的三边关系定理及推论1三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边. 推论：三角形的两边之差小于第三边. 2、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°. 推论：①直角三角形的两个锐角互余.②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和. ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角.4、三角形的面积三角形的面积=21×底×高 考点二、全等三角形 1、全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 2、三角形全等的判定 三角形全等的判定定理：1边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可简写成“边角边”或“SAS”2角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等可简写成“角边角”或“ASA”3边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等可简写成“边边边”或“SSS”.4角角边定理：有两角和一边对应相等的两个三角形全等可简写成“角角边”或“AAS”.直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,还有HL定理斜边、直角边定理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等可简写成“斜边、直角边”或“HL”3、全等变换只改变图形的位置,不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换.全等变换包括一下三种：1平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换.2对称变换：将图形沿某直线翻折180°,这种变换叫做对称变换.3旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置,这种变换叫做旋转变换.考点三、等腰三角形1、等腰三角形的性质1等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等简称：等边对等角推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边.即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合.推论2：等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于60°.2、三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.1三角形共有三条中位线,并且它们又重新构成一个新的三角形.2要会区别三角形中线与中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半.三角形中位线定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行.数量关系：可以证明线段的倍分关系.常用结论：任一个三角形都有三条中位线,由此有：结论1：三条中位线组成一个三角形,其周长为原三角形周长的一半.结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形.结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形.结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分.结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等.解直角三角形考点一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余2、在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半.3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、直角三角形两直角边a,b 的平方和等于斜边c 的平方,即222c b a =+5、摄影定理在直角三角形中,斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项,每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项∠ACB=90° BD AD CD •=2⇒AB AD AC •=2CD ⊥AB AB BD BC •=2 6、常用关系式由三角形面积公式可得： AB •CD=AC •BC考点二、锐角三角函数的概念 3~8分 1、如图,在△ABC 中,∠C=90° ①c asin =∠=斜边的对边A A②c bcos =∠=斜边的邻边A A③batan =∠∠=的邻边的对边A A A④abcot =∠∠=的对边的邻边A A A2、一些特殊角的三角函数值3、各锐角三角函数之间的关系1互余关系：sinA=cos90°—A,cosA=sin90°—A,tanA=cot90°—A,cotA=tan90°—A2平方关系：1cos sin 22=+A A 3倒数关系：tanA •tan90°—A=1 4弦切关系：tanA=AAcos sin 三角形相似考点一、比例线段 1、比例的性质 1基本性质①a ：b=c ：d ⇔ad=bc ②a ：b=b ：c ac b =⇔22更比性质交换比例的内项或外项dbc a =交换内项 ⇒=d c b a acb d =交换外项 abc d =同时交换内项和外项3反比性质交换比的前项、后项：cd a b d c b a =⇒= 4合比性质：ddc b b ad c b a ±=±⇒= 5等比性质：ba n f db m ec a n fd b n m fe d c b a =++++++++⇒≠++++==== )0( 3、黄金分割把线段AB 分成两条线段AC,BCAC>BC,并且使AC 是AB 和BC 的比例中项,叫做把线段AB 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,其中AC=215-≈ 考点二、平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 考点三、相似三角形 1、相似三角形的概念对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似用符号“∽”来表示2、相似三角形的基本定理平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交,所构成的三角形与原三角形相似.相似三角形的等价关系：1反身性：对于任一△ABC,都有△ABC∽△ABC；2对称性：若△ABC∽△A’B’C’,则△A’B’C’∽△ABC3传递性：若△ABC∽△A’B’C’,并且△A’B’C’∽△A’’B’’C’’,则△ABC∽△A’’B’’C’’.3、三角形相似的判定1三角形相似的判定方法①定义法：对应角相等,对应边成比例的两个三角形相似②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交,所构成的三角形与原三角形相似③判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似,可简述为两角对应相等,两三角形相似.④判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似,可简述为两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.⑤判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似,可简述为三边对应成比例,两三角形相似2直角三角形相似的判定方法①以上各种判定方法均适用②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似4、相似三角形的性质1相似三角形的对应角相等,对应边成比例2相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比3相似三角形周长的比等于相似比4相似三角形面积的比等于相似比的平方.5、相似多边形1如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比或相似系数2相似多边形的性质①相似多边形的对应角相等,对应边成比例②相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比③相似多边形中的对应三角形相似,相似比等于相似多边形的相似比④相似多边形面积的比等于相似比的平方6、位似图形如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在直线都经过同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,此时的相似比叫做位似比.性质：每一组对应点和位似中心在同一直线上,它们到位似中心的距离之比都等于位似比.由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换.利用位似变换可以把一个图形放大或缩小.。
初中数学知识点：三角形的内心、外心、中心、重心
初中数学知识点：三角形的内心、外心、中心、重心三角形的四心定义：1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。
内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角(原理：角平分线上点到角两边距离相等)。
2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。
该点叫做三角形的外心。
3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。
4、重心：重心是三角形三边中线的交点。
三角形的外心的性质：1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心;2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合;3.锐角三角形的外心在三角形内;钝角三角形的外心在三角形外;直角三角形的外心与斜边的中点重合。
在△ABC中4.OA=OB=OC=R5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA6.S△ABC=abc/4R三角形的内心的性质：1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r3.r=2S/(a+b+c)4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2.5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90°+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/26.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)三角形的垂心的性质:1.锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外。
七年级数学下册第四章三角形知识归纳
第四章三角形三角形三边关系三角形三角形内角和定理角平分线三条重要线段中线高线全等图形的概念全等三角形的性质SSS三角形SAS全等三角形全等三角形的判定ASAAASHL（适用于RtΔ）全等三角形的应用利用全等三角形测距离作三角形一、三角形概念1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形,称为三角形,可以用符号“Δ”表示.2、顶点是A、B、C的三角形，记作“ΔABC”，读作“三角形ABC”.3、组成三角形的三条线段叫做三角形的边,即边AB、BC、AC，有时也用a，b，c来表示，顶点A所对的边BC用a表示，边AC、AB分别用b，c来表示；4、∠A、∠B、∠C为ΔABC的三个内角。
二、三角形中三边的关系1、三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.用字母可表示为a+b〉c，a+c〉b，b+c〉a;a—b<c,a-c<b,b-c 〈a.2、判断三条线段a,b,c能否组成三角形：（1）当a+b>c,a+c>b,b+c〉a同时成立时，能组成三角形；（2）当两条较短线段之和大于最长线段时，则可以组成三角形。
3、确定第三边（未知边）的取值范围时，它的取值范围为大于两边的差而小于两边的和，即a b c a b-<<+.三、三角形中三角的关系1、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于1800。
2、三角形按内角的大小可分为三类:(1)锐角三角形，即三角形的三个内角都是锐角的三角形；(2）直角三角形,即有一个内角是直角的三角形,我们通常用“RtΔ”表示“直角三角形”，其中直角∠C所对的边AB称为直角三角表的斜边，夹直角的两边称为直角三角形的直角边.注：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。
（3）钝角三角形，即有一个内角是钝角的三角形。
3、判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数.4、直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半.5、任意一个三角形都具备六个元素，即三条边和三个内角.都具有三边关系和三内角之和为1800的性质。
初一数学三角形公式总结归纳
初一数学三角形公式总结归纳数学三角公式看似很多、很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律,就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。
下面是小编为大家整理的关于初一数学三角形公式，希望对您有所帮助!常见三角诱导公式公式一：终边相同的角的同一三角函数的值相等设α为任意锐角，弧度制下的角的表示：sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)公式二：π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系设α为任意角，弧度制下的角的表示：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα公式五:利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα初中数学三角函数公式大全两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积公式2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB倍角公式Sin2A=2SinA.CosACos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2)(注：SinA^2是sinA的平方sin2(A))半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))积化和差公式sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2万能公式sinα=2tan(α/2)/[1+tan^(α/2)]cosα=[1-tan^(α/2)]/1+tan^(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^(α/2)]三角形的公式定理1.过两点有且只有一条直线2.两点之间线段最短3.同角或等角的补角相等4.同角或等角的余角相等5.过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7.平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8.如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9.同位角相等，两直线平行10.内错角相等，两直线平行11.同旁内角互补，两直线平行12.两直线平行，同位角相等13.两直线平行，内错角相等14.两直线平行，同旁内角互补15.定理三角形两边的和大于第三边16.推论三角形两边的差小于第三边17.三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18.推论1直角三角形的两个锐角互余19.推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20.推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21.全等三角形的对应边、对应角相等22.边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23.角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24.推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等26斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27.定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28.定理2：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29.角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30.等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等31.推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合33.推论3：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)35.推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形36.推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38.直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39.定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40.逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41.线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42.定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形43.定理2如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44.定理3两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45.逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46.勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a+b=c47.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a+b=c，那么这个三角形是直角三角形48.定理四边形的内角和等于360°49.四边形的外角和等于360°50.多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)×180°51.推论任意多边的外角和等于360°52.平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等53.平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等54.推论夹在两条平行线间的平行线段相等55.平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分56.平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形57.平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形58.平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形59.平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形60.矩形性质定理1矩形的四个角都是直角61.矩形性质定理2矩形的对角线相等62.矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形63.矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形64.菱形性质定理1菱形的四条边都相等65.菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66.菱形面积=对角线乘积的一半，即S=(a×b)÷267.菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形68.菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形69.正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等70.正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71.定理1关于中心对称的两个图形是全等的72.定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73.逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74.等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75.等腰梯形的两条对角线相等76.等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77.对角线相等的梯形是等腰梯形78.平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79.推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80.推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81.三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82.梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=(a+b)÷2S=L×h83.(1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d84.(2)合比性质如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d85.(3)等比性质如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b86.平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87.推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例88.定理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89.平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90.定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似91.相似三角形判定定理1两角对应相等，两三角形相似(ASA)92.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93.判定定理2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(SAS)94.判定定理3三边对应成比例，两三角形相似(SSS)95.定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96.性质定理1相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97.性质定理2相似三角形周长的比等于相似比98.性质定理3相似三角形面积的比等于相似比的平方。
七年级下册数学 三角形和不等式的复习 知识点讲解【精编】
三角形和不等式复习温故而知新(一)三角形知识梳理1、等腰三角形的性质：①等腰三角形的两底角相等（等边对等角）②等腰三角形“三线合一”的性质：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
③等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的高、中线也相等等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角边对等边）2、等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等的直角三角形，其中一个锐角等于30º，这它所对的直角边必然等于斜边的一半。
等边三角形的判定：有一个角等于60º的等腰三角形是等边三角形。
3、如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有：①勾股定理：222+=（注意区分斜边与直角边）a b c②在直角三角形中，如有一个内角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半4、线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。
线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。
5、角平分线上的点到角两边的距离相等。
角平分线逆定理：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。
三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。
6、互逆命题和互逆定理7、全等三角形课堂复习等腰三角形1、已知，等腰三角形的一条边长等于6，另一条边长等于，则此等腰三角形的周长是（）A．9 B．12 C．15 D．12或152. 等腰三角形的底角为15°,腰上的高为16,那么腰长为______ ____3、等腰三角形的一个角是80度，则它的另两个角是4、等腰三角形的顶角为120°，腰长为4，则底边长为__________C EA D B等边三角形1、如图：等边三角形ABC 中，D 为AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且DB=DE,若△ABC 的周长为12，则△DCE 的周长为___________. 垂直平分线1、如图1，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长.2、如图：△ABC 中，AB=AC,∠BAC=1200,EF 垂直平分AB, EF=2,求AB 与BC 的长。
(完整版)人教版七年级数学三角形知识点归纳和常见题型总结,推荐文档
P，若∠A=500，求∠BPC 的度数。
A
20.已知，如图 8，∠ABD=∠DBC,∠ACD=∠DCE (1) ∠A=500, 求∠D 的度数。 （2）∠D 与∠A 有什么关系，并说明理由。
D B
P (图 6)
E C
7.3 多边形及其内角和 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。 连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
7.2.2 三角形的外角
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
1.在△ABC 中，若∠A=∠B= 1 ∠C，则∠C 等于（
）
2
A.45° B.60° C.90°
D.120°
2.如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4 的度数为（
）
A100° B.180° C.360°
D.无法确定
3.如图所示，AB∥CD，AD，BC 交于 O，∠A=35°，∠BOD= 76°，则∠C 的度数是（ ）
A.31°
B.35° C.41° D.76°
4.如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4 的度数为
.
第 2 题图
第 4 题图
第 3 题图
第 6 题图
5.一幅三角板，如图所示叠放在一起，则 图中 a 的度数为（
11.如图 11 所示,在△ABC 中,∠A=70°,BO,CO 分别平分∠ABC 和∠ACB,求∠BOC 的度数.
A
A
A
D
O
B
O
C
D
E
图9
七年级数学下册北师大版第五章《三角形》知识点总结
七年级数学下册北师大版第五章《三角形》知识点总结第一篇：七年级数学下册北师大版第五章《三角形》知识点总结第五章《三角形》知识点总结（北师大版七年级下）一、三角形及其有关概念1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
2、三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。
3、三角形的三边关系：（1）三角形的任意两边之和大于第三边。
（2）三角形的任意两边之差小于第三边。
（3）作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。
③证明线段不等关系。
4、三角形的内角的关系：（1）三角形三个内角和等于180°。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
5、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
6、三角形的分类：(1)三角形按边分类：不等边三角形三角形等腰三角形底和腰不相等的等腰三角形等边三角形(2)三角形按角分类：直角三角形（有一个角为直角的三角形）锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。
它是两条直角边相等的直角三角形。
7、三角形的三种重要线段：（1）三角形的角平分线：定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
性质：三角形的三条角平分线交于一点。
交点在三角形的内部。
（2）三角形的中线：定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
性质：三角形的三条中线交于一点，交点在三角形的内部。
（3）三角形的高线：定义：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
初一下册几何知识点总结归纳
初一下册几何知识点总结归纳一、初中数学几何知识点1、三角形内角定理定理：三角形两边的和大于第三边推论：三角形两边的差小于第三边三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°2、几何平行平行定理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行推论：如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行证明两直线平行定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行两直线平行推论：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补3、点、线、角点的定理：过两点有且只有一条直线点的定理：两点之间线段最短角的定理：同角或等角的补角相等角的定理：同角或等角的余角相等直线定理：过一点有且只有一条直线和已知直线垂直直线定理：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短4、全等三角形判定定理：全等三角形的对应边、对应角相等边角边定理(SAS)：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等角边角定理(ASA)：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等推论(AAS)：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等边边边定理(SSS)：有三边对应相等的两个三角形全等斜边、直角边定理(HL)：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等5、角的平分线定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等定理2：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合6、等腰三角形性质等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角)推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)7、对称定理定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形定理2：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线定理3：两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上逆定理：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称8、直角三角形定理定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半判定定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形9、多边形内角和定理定理：四边形的内角和等于360°；四边形的外角和等于360°多边形内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)×180°推论：任意多边的外角和等于360°10、平行四边形定理平行四边形性质定理：1.平行四边形的对角相等2.平行四边形的对边相等3.平行四边形的对角线互相平分推论：夹在两条平行线间的平行线段相等平行四边形判定定理：1.两组对角分别相等的四边形是平行四边形2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形3.对角线互相平分的四边形是平行四边形4.一组对边平行相等的四边形是平行四边形11、矩形定理矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角矩形性质定理2：矩形的对角线相等矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形12、菱形定理菱形性质定理1：菱形的四条边都相等菱形性质定理2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角菱形面积=对角线乘积的一半，即S=(a×b)÷2菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形13、正方形定理正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角14、中心对称定理定理1：关于中心对称的两个图形是全等的定理2：关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分逆定理：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称15、等腰梯形性质定理等腰梯形性质定理：1.等腰梯形在同一底上的两个角相等2.等腰梯形的两条对角线相等等腰梯形判定定理：1.在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形2.对角线相等的梯形是等腰梯形平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边16、中位线定理三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=(a+b)÷2S=L×h17、相似三角形定理相似三角形定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似相似三角形判定定理：1.两角对应相等，两三角形相似(ASA)2.两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(SAS)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似(SSS)相似直角三角形定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似性质定理：1.相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比2.相似三角形周长的比等于相似比3.相似三角形面积的比等于相似比的平方18、三角函数定理任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值19、圆的定理定理：过不共线的三个点，可以作且只可以作一个圆定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且评分弦所对的两条弧推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧推论2：弦的垂直平分弦经过圆心，并且平分弦所对的两条弧推论3：平分弦所对的一条弧的直径，垂直评分弦，并且平分弦所对的另一条弧定理：1.在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等2.经过圆的半径外端点，并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线3.圆的切线垂直经过切点的半径4.三角形的三个内角平分线交于一点，这点是三角形的内心5.从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角6.圆的外切四边形的两组对边的和相等7.如果四边形两组对边的和相等，那么它必有内切圆8.两圆的两条外公切线的长相等;两圆的两条内公切线的长也相等20、比例性质定理比例的基本性质：如果a：b=c：d，那么ad=bc如果ad=bc，那么a：b=c：d合比性质如果a/b=c/d，那么(a±b)/b=(c±d)/d等比性质如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0)，那么(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b二、数学知识点总结热冰时间在学习中流逝着,不觉间又一学期走了一半,七下数学的几何部分也告一段落,故将一些重要的和易错的知识点总结于此,供日后学习完善!此内容仅限于人教版内容顺序平行线与相交线部分1过两点有且只有一条直线（强调唯一性和存在性）2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短7 平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行9 同位角相等,两直线平行10 内错角相等,两直线平行11 同旁内角互补,两直线平行12两直线平行,同位角相等13 两直线平行,内错角相等14 两直线平行,同旁内角互补尺规作图（这是重难点）作线段等于已知线段和作角等于已知角（1）理解尺规作图的含义①只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图.显然,尺规作图的工具只能是直尺和圆规.其中直尺用来作直线、线段、射线或延长线段等；圆规用来作圆或圆弧等.值得注意的是直尺是没有刻度的或不考虑刻度的存在.②基本作图：a.用尺规作一条线段等于已知线段；b.用尺规作一个角等于已知角.利用这两个基本作图,可以作两条线段或两个角的和或差.（2）熟练掌握尺规作图题的规范语言Ⅰ.用直尺作图的几何语言：①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××；②连结两点××；或连结××；③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×,使××＝××；或延长××交××于点×；Ⅱ.用圆规作图的几何语言：①在××上截取××＝××；②以点×为圆心,××的长为半径作圆（或弧）；③以点×为圆心,××的长为半径作弧,交××于点×；④分别以点×、点×为圆心,以××、××的长为半径作弧,两弧相交于点×、×.（3）尺规作图题的步骤：①已知：当题目是文字语言叙述时,要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；②求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；③作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时,一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图,可先画出草图,使它同所要作的图大致相同,然后借助草图寻找作法.在目前,我们只要能够写出已知,求作,作法三步（另外还有第四步证明）就可以了,而且在许多中考作图题中,又往往只要求保留作图痕迹,不需要写出作法,可见在解作图题时,保留作图痕迹很重要.15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°（掌握证明此定理的两种方法）附加：画三角形的高时,只需向对边或对边的延长线作垂线,连接顶点与垂足的线段就是该边上的高.（易错点）注意：（1）三角形的高是线段,垂线段.（2）锐角三角形的高都在三角形内部；直角三角形仅斜边上的高在三角形内部,另两边上的高为三角形的两条直角边；钝角三角形仅一条高在三角形内部,另两条高在三角形外部.（3）三角形三条高所在直线交于一点.且这点叫做三角形的垂心.三角形的三条中线交于三角形内部,这一点叫做三角形的重心.三角形三条角平分线交于三角形内部,这一点叫做三角形的内心.四边形内容部分18定理四边形的内角和等于360°19四边形的外角和等于360°20多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°21推论任意多边的外角和等于360°22多边形对角线公式n (n-3)/21点、线、面、体知识点三、几何图形的组成点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。
七年级数学三角形知识点总结归纳
七年级数学三角形知识点总结归纳数学中的三角形是一个重要的概念，它不仅在几何学中有广泛的应用，也在实际生活中存在着丰富的实例。
作为一个七年级学生，我们需要掌握一些关于三角形的基本知识。
在本文中，我将对七年级数学课程中的三角形知识进行总结和归纳。
一、三角形的定义和分类三角形是一个有三条边和三个角的几何形状。
根据边的长度，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
根据角的大小，三角形可以分为直角三角形、钝角三角形和锐角三角形。
二、三角形的性质1. 三角形内角和定理：- 所有三角形的内角和等于180度。
- 直角三角形中，一个内角为90度，其他两个内角之和为90度。
2. 三角形的外角性质：- 三角形的外角等于其对应内角的补角。
3. 三角形的边长关系：- 等边三角形的三条边相等。
- 等腰三角形的两边相等。
4. 三角形的角度关系：- 锐角三角形的三个内角都是锐角。
- 钝角三角形至少有一个内角是钝角。
三、特殊三角形1. 45-45-90三角形：- 一个45度的角和一个45度的角的三角形。
- 其他一个角为90度。
- 其中的两个直角边长度相等。
2. 30-60-90三角形：- 一个30度的角和一个60度的角的三角形。
- 其他一个角为90度。
- 三条边的长度之间存在特殊关系。
四、勾股定理勾股定理是三角形中的一个重要定理，它描述了直角三角形中两条直角边和斜边之间的关系。
勾股定理可以用公式表示为：c² = a² + b²，其中c为斜边的长度，a和b为直角边的长度。
五、三角形的相似性1. 两个三角形相似的条件：- 对应角相等。
- 对应边成比例或者平行。
2. 相似三角形的性质：- 相似三角形的对应角相等。
- 相似三角形的对应边成比例。
六、三角形的中位线和高线1. 中位线：- 连接三角形的一个角和对边中点的线段。
- 三角形的三条中位线交于一点，这个点被称为质心。
2. 高线：- 四边形的一个边和对角线所成角的平分线。
七年级下册数学全等三角形的模型及应用(知识点串讲)(解析版)
专题12 全等三角形的模型及应用知识网络重难突破知识点一全等三角形常见模型（1）一线三等角常见图形如下：（含特殊的一线三垂直）（2）手拉手模型常见图形如下：（等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形）（2）半角模型常见图形如下：（正方形、一般四边形）（1）一线三等角典例1（2019春•莲湖区期末）如图1，在ABC⊥∆中，90∠=︒，AB ACBAC=，过点A作直线DE，且满足BD DE 于点D，CE DE⊥于点E，当B，C在直线DE的同侧时，（1）求证：DE BD CE=+．（2）如果上面条件不变，当B，C在直线DE的异侧时，如图2，问BD、DE、CE之间的数量关系如何？写出结论并证明．（3）如果上面条件不变，当B，C在直线DE的异侧时，如图3，问BD、DE、CE之间的数量关系如何？写出结论并证明．【解答】（1）证明：如图1，BD DE⊥，CE DE⊥，90D E ∴∠=∠=︒，90BAC ∠=︒，90BAD CAE ∴∠+∠=︒．90BAD ABD ∠+∠=︒，CAE ABD ∴∠=∠．在ADB ∆和CEA ∆中，D E ABD CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADB CEA AAS ∴∆≅∆，BD AE ∴=，AD CE =，DE AD AE =+，DE CE BD ∴=+；（2）解：BD DE CE =+，理由：如图2，BD DE ⊥，CE DE ⊥，90ADB CEA ∴∠=∠=︒．90BAD ABD ∴∠+∠=︒．90BAD EAC ∠+∠=︒ABD EAC ∴∠=∠．在ADB ∆和CEA ∆中，ADB CEA ABD EAC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADB CEA AAS ∴∆≅∆，BD AE ∴=，AD CE =．AE AD ED =+，BD DE CE ∴=+．（3）解：DE CE BD =-，理由是：如图3，同理易证得：()ABD CAE AAS ∆≅∆，BD AE ∴=，AD CE =，DE AD AE =-，DE CE BD ∴=-．典例2（2019春•长清区期末）CD 是经过BCA ∠顶点C 的一条直线，CA CB =，E 、F 分别是直线CD 上两点，且BEC CFA α∠=∠=∠．（1）如图（1），若直线CD 经过BCA ∠的内部，且E 、F 在射线CD 上，当90BCA α∠=∠=︒时，线段BE与CF有怎样的大小关系？并说明理由．（2）如图（2），若直线CD经过BCA∠的外部，当90∠=∠>︒时，则EF、BE、AF三条线段之间BCAα有怎样的数量关系？并说明理由．【解答】解：（1）BE CF=，理由：FCA FAC∠+∠=︒，90∠+∠=︒，90BCE ACF∴∠=∠，（同角的余角相等）BCE FCA=，∠=∠，CA CBBEC CFA∴∆≅∆，Rt BCE Rt CAF(AAS)∴=；BE CF（2）EF AF BE=+，理由：CAF ACFα∠+∠=︒-∠，BCE ACFα∠+∠=︒-∠，180180∴∠=∠，（同角的补角相等）BCE CAF=，∠=∠，CA CBBEC CFA∴∆≅∆，BCE CAF AAS()=，∴=，BE CFCE AF∴=+=+．EF CE CF AF BE（2）手拉手全等典例1如图，等边ABC∆中，D是AB边上的一动点，以CD为一边，向上作等边EDC∆，连接AE．（1）求证：ACE BCD∆≅∆；（2）判断AE与BC的位置关系，并说明理由．【解答】证明：（1）ABC ∆和DCE ∆都是等边三角形，BC AC ∴=，DC CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，ACB DCA DCE DCA ∴∠-∠=∠-∠，即BCD ACE ∠=∠，在ACE ∆和BCD ∆中，BC AC BCD ACE DC CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACE BCD SAS ∴∆≅∆；（2）//AE BC ，理由是：ACE BCD ∆≅∆，CAE ABC ∴∠=∠，ABC ∆是等边三角形，ABC ACB ∴∠=∠，CAE ACB ∴∠=∠，//AE BC ∴．典例2（2019春•金牛区期末）如图．已知∠BAD ＝∠CAE ＝90°，AB ＝AD ，AE ＝AC ，AF ⊥CB ，垂足为F ．（1）求证：△ABC ≌△ADE ；（2）求∠F AB +∠DAE 的度数；（3）请问线段CE 、BF 、DE 之间有什么数量关系？请说明理由．【解答】（1）证明：∵∠BAD ＝∠CAE ＝90°，∴∠BAC +∠CAD ＝90°，∠CAD +∠DAE ＝90°，∴∠BAC＝∠DAE，在△BAC和△DAE中，，∴△BAC≌△DAE（SAS）；（2）解：∵∠CAE＝90°，AC＝AE，∴∠E＝45°，由（1）知△BAC≌△DAE，∴∠CAB＝∠DAE，∠BCA＝∠E＝45°，∠F AB+∠DAE＝∠F AB+∠CAB＝∠F AC，∵∠AFC＝90°，∠BCA＝45°，∴∠F AC＝45°，∴∠F AB+∠DAE＝45°；（3）解：CE＝2BF+2DE；理由如下：延长BF到G，使得FG＝FB，连接AG，如图所示：∵AF⊥BG，∴AB＝AG，∴∠ABF＝∠G，∵△BAC≌△DAE，∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA，∴∠G＝∠CDA，∵∠GCA＝∠DCA＝45°，在△CGA和△CDA中，，∴△CGA≌△CDA（AAS），∴CG＝CD，∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF，∴CD＝2BF+DE，∴CE＝2BF+2DE．典例3（2019春•天桥区期末）如图1，在ABC ∆中，AB AC =，点D 是BC 边上一点（不与点B 、C 重合），以AD 为边在AD 的右侧作ADE ∆，使AD AE =，DAE BAC ∠=∠，连接CE ，设BAC α∠=，BCE β∠=．（1）线段BD 、CE 的数量关系是 ；并说明理由；（2）探究：当点D 在BC 边上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；（3）如图2，若90BAC ∠=︒，CE 与BA 的延长线交于点F ．求证：EF DC =．【解答】解：（1）结论：BD CE =．理由：如图1中，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，BAD CAE ∴∠=∠，()BAD CAE SAS ∴∆≅∆，BD CE ∴=．（2）结论：180αβ+=︒．理由：如图1中，BAD CAE ∆≅∆（已证），ABD ACE ∴∠=∠，BCE ACB ABC ABC ACE β∴∠=∠+∠=∠+∠=，180BAC ABC ACB ∠+∠+∠=︒，BAC α∠=，180αβ∴+=︒．（3）如图2中，由（1）可知BAD CAE ∆≅∆，BD EC ∴=，B ACE ∠=∠，AB DC =，90BAC ∠=︒，45B ACB ACF ∴∠=∠=∠=︒，90BCF ∴∠=︒，45F ∠=︒，B F ∴∠=∠，CB CF ∴=，BD EC =，EF CD ∴=．（3）半角模型典例1（2019春•罗湖区期末）四边形ABCD 是正方形（四条边相等，四个角都是直角）．（1）如图1，将一个直角顶点与A 点重合，角的两边分别交BC 于E ，交CD 的延长线于F ，试说明BE＝DF；（2）如图2，若将（1）中的直角改为45°角，即∠EAF＝45°，E、F分别在边BC、CD上，试说明EF＝BE+DF；（3）如图3，改变（2）中的∠EAF的位置（大小不变），使E、F分别在BC、CD的延长线上，若BE ＝15，DF＝2，试求线段EF的长．【解答】证明：（1）∵正方形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，∵∠EAF＝90°，∴∠BAE+∠EAD＝∠EAD+∠DAF＝90°，∴∠BAE＝∠DAF，在△BAE和△DAF中，∵，∴△ABE≌△ADF（ASA），∴BE＝DF；（2）如图2，∵AD＝AB，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADE'，此时AB与AD重合．由旋转可得∠BAE＝∠DAE'，BE＝DE'，∠B＝∠ADE'＝90°．∴∠ADF+∠ADE'＝90°+90°＝180°，∴点F、D、E'在同一条直线上，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝∠DAF+∠DAE'＝45°＝∠EAF，在△EAF和△E'AF中，∵，∴△EAF≌△E'AF（SAS），∴EF＝E'F，∵E'F＝DF+DE'＝DF+BE，∴EF＝BE+DF；（3）将△ADF绕着点A按顺时针方向旋转90°，得△ABF′，如图3所示，由四边形ABCD为正方形可知点B、C、F′在一条直线上，∵∠BAF′＝∠DAF，∠EAF＝∠EAD+∠DAF＝45°，∴∠EAF′+∠EAD+∠DAF＝90°，∴∠EAF′＝∠EAF＝45°．在△EAF和△EAF′中，，∴△EAF≌△EAF′（SAS），∴EF＝EF′，∴EF＝EF'＝BE﹣BF'＝BE﹣DF＝15﹣2＝13．知识点二全等三角形的应用典例1（2019春•皇姑区期末）要测量河岸相对两点A、B的距离，已知AB垂直于河岸BF，先在BF上取两点C、D，使CD CB=，再过点D作BF的垂线段DE，使点A、C、E在一条直线上，如图，测出10BD=，5ED=，则AB的长是()A．2.5B．10C．5D．以上都不对【解答】解：AB BD⊥，ED AB⊥，90ABC EDC∴∠=∠=︒，在ABC∆和EDC∆中，90ABC EDCBC DCACB ECD∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ABC EDC ASA∴∆≅∆，5AB ED∴==．故选：C．典例2（2019春•灵石县期末）某大学计划为新生配备如图1所示的折叠凳图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长相等，O是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30cm，由以上信息能求出CB的长度吗？如果能，请求出BC的长度，如果不能，请你说明理由．【解答】解：O是AB、CD的中点，OA OB∴=，OC OD=，在AOD∆和BOC∆中，OA OBAOD BOC OC OD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOD BOC SAS∴∆≅∆，CB AD∴=，30AD cm=，30CB cm∴=．巩固训练一、单选题（共6小题）1．（2019春•罗湖区期末）如图，为估计罗湖公园小池塘岸边A、B两点之间的距离，思雅学校小组在小池塘的一侧选取一点O，测得OA＝28m，OB＝20m，则A，B间的距离可能是（）A．8m B．25m C．50m D．60m【解答】解：连接AB，根据三角形的三边关系定理得：28﹣20＜AB＜28+20，即：8＜AB＜48，则AB的值在8和48之间．2．（2019春•市中区期末）如图，有一池塘，要测池塘两端A ，B 间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A 和B 的点C ，连接AC 并延长至D ，使CD CA =，连接BC 并延长至E ，使CE CB =，连接ED ．若量出58DE =米，则A ，B 间的距离即可求．依据是( )A ．SASB ．SSSC ．AASD ．ASA【解答】解：在ABC ∆和DEC ∆中，AC CD ACB DCE BC CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABC DEC SAS ∆≅∆，58AB DE ∴==米，故选：A ．3．（2018春•槐荫区期末）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD 是一个筝形，其中AD CD =，AB CB =，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC BD ⊥；②12AO CO AC ==；③ABD CBD ∆≅∆；④四边形ABCD 的面积12AC BD =⨯其中正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：在ABD ∆与CBD ∆中，AD CD AB BC DB DB =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ABD CBD SSS ∴∆≅∆，ADB CDB ∴∠=∠，在AOD ∆与COD ∆中，AD CD ADB CDB OD OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOD COD SAS ∴∆≅∆，90AOD COD ∴∠=∠=︒，AO OC =，AC DB ∴⊥，故①②正确；四边形ABCD 的面积111222S ADB S BDC DB OA DB OC AC BD =∆+∆=⨯+⨯=， 故④正确；故选：D ．4．小明不小心把一块三角形形状的玻璃打碎成了三块，如图①②③，他想要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，你认为应带( )A ．①B ．②C ．③D ．①和②【解答】解：带③去可以利用“角边角”得到全等的三角形．故选：C ．5．（2019春•青羊区期末）如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AE ⊥CE 于点E ，BD ⊥CE 于点D ，AE ＝5cm ，BD ＝2cm ，则DE 的长是（ ）A ．8cmB ．5cmC ．3cmD ．2cm【解答】解：∵AE ⊥CE 于点E ，BD ⊥CE 于点D ，∴∠AEC ＝∠D ＝∠ACB ＝90°，∴∠A+∠ACE＝90°，∠ACE+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∵AC＝BC，∴△ACE≌△CBD（AAS），∴AE＝CD＝5cm，CE＝BD＝2cm，∴DE＝CD﹣CE＝5﹣2＝3cm．故选：C．6．（2019春•罗湖区期末）如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC，下列结论中，正确的个数是（），①BE＝CD；②∠BOD＝60°；③∠BDO＝∠CEO；④若∠BAC＝90°，且DA∥BC，则BC⊥CE．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵△ABD与△AEC都是等边三角形，∴AD＝AB，AE＝AC，∠ADB＝∠ABD＝60°，∠DAB＝∠EAC＝60°，∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE，在△DAC和△BAE中，，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴BE＝DC，∠ADC＝∠ABE，∵∠BOD＝180°﹣∠ODB﹣∠DBA﹣∠ABE＝180°﹣∠ODB﹣60°﹣∠ADC＝120°﹣（∠ODB+∠ADC）＝120°﹣60°＝60°，∴∠BOD＝60°，∴①正确；②正确；∵△ABD与△AEC都是等边三角形，∴∠ADB＝∠AEC＝60°，但根据已知不能推出∠ADC＝∠AEB，∴∠BDO＝∠CEO错误，∴③错误；∵DA ∥BC ，∴∠DAB ＝∠ABC ＝60°，∵∠BAC ＝90°，∴∠ACB ＝30°，∵∠ACE ＝60°，∴∠ECB ＝90°，∴BC ⊥CE ，④正确，综上所述，①②④正确，故选：C ．二、填空题（共5小题）7．（2018春•历下区期中）如图，两棵大树间相距13m ，小华从点B 沿BC 走向点C ，行走一段时间后他到达点E ，此时他仰望两棵大树的顶点A 和D ，两条视线的夹角正好为90︒，且EA ED =．已知大树AB 的高为5m ，小华行走的速度为1/m s，小华走的时间是 ．【解答】解：90AED ∠=︒，90AEB DEC ∴∠+∠=︒，90ABE =︒，90A AEB ∴∠+∠=︒，A DEC ∴∠=∠，在ABE ∆和DCE ∆中B C A DEC AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE ECD AAS ∴∆≅∆，5EC AB m ∴==，13BC m =，8BE m ∴=，∴小华走的时间是818()s ÷=，故答案为：8s ．8．（2018春•槐荫区期末）如图，要测量河两岸相对两点A 、B 间的距离，先在过点B 的AB 的垂线上取两点C 、D ，使CD BC =，再在过点D 的垂线上取点E ，使A 、C 、E 三点在一条直线上，可证明EDC ABC ∆≅∆，所以测得ED 的长就是A 、B 两点间的距离，这里判定EDC ABC ∆≅∆的理由是．【解答】解：AB BD ⊥，ED BD ⊥，90ABD EDC ∴∠=∠=︒，在EDC ∆和ABC ∆中，ABC EDC BC DCACB ECD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()EDC ABC ASA ∴∆≅∆．故答案为：ASA ．9．（2019春•商河县期末）如图，要在湖两岸A ，B 两点之间修建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接测量A 、B 两点间的距离，于是小明想出来这样一种做法：在AB 的垂线BF 上取两点C 、D ，使BC CD =，再定出BF 的垂线DE ，使A ，C ，E 三点在一条直线上，这时测得50DE =米，则AB = 米．【解答】解：根据题意可知90B D ∠=∠=︒，BC CD =，ACB ECD ∠=∠()ABC EDC ASA ∴∆≅∆50AB DE ∴==米．故答案为：5010．（2019春•平阴县期末）如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作等边ABC ∆和等边CDE ∆，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ ．以下五个结论：①AD BE =；②//PQ AE ；③AP BQ =；④DE DP =；⑤120AOE ∠=︒，其中正确结论有 （填序号）．【解答】解：等边ABC ∆和等边CDE ∆，AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，ACB BCD DCE BCD ∴∠+∠=∠+∠，即ACD BCE ∠=∠，在ACD ∆与BCE ∆中，AC BC ACD BCECD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD BCE SAS ∴∆≅∆， AD BE ∴=，①正确，ACD BCE ∆≅∆，CBE DAC ∴∠=∠， 又60ACB DCE ∠=∠=︒，60BCD ∴∠=︒，ACP BCQ ∴∠=∠，在CQB ∆和CPA ∆中，CBE DAC AC BCBCQ ACP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()CQB CPA ASA ∴∆≅∆，CP CQ ∴=， 又60PCQ ∠=︒，PCQ ∴∆为等边三角形，60PQC DCE ∴∠=∠=︒，//PQ AE ∴，②正确，CQB CPA ∆≅∆，AP BQ ∴=③正确，AD BE =，AP BQ =，AD AP BE BQ ∴-=-，即DP QE =，60DQE ECQ CEQ CEQ ∠=∠+∠=︒+∠，60CDE ∠=︒，DQE CDE ∴∠≠∠，故④错误；//BC DE ，CBE BED ∴∠=∠，CBE DAE ∠=∠，60AOB OAE AEO ∴∠=∠+∠=︒，同理可得出120AOE ∠=︒，60DOE ∴∠=︒，故⑤正确；∴正确结论有：①②③⑤；故答案为：①②③⑤．11．（2019春•金牛区期末）如图，已知四边形ABCD 中，AB ＝12厘米，BC ＝8厘米，CD ＝14厘米，∠B ＝∠C ，点E 为线段AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以3厘米秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CD 上由C 点向D 点运动．当点Q 的运动速度为 厘米/秒时，能够使△BPE 与以C 、P 、Q 三点所构成的三角形全等．【解答】解：设点P 运动的时间为t 秒，则BP ＝3t ，CP ＝8﹣3t ，∵∠B ＝∠C ，∴①当BE ＝CP ＝6，BP ＝CQ 时，△BPE 与△CQP 全等，此时，6＝8﹣3t ，解得t，∴BP＝CQ＝2，此时，点Q的运动速度为23厘米/秒；②当BE＝CQ＝6，BP＝CP时，△BPE与△CQP全等，此时，3t＝8﹣3t，解得t，∴点Q的运动速度为6厘米/秒；故答案为：3或．三、解答题（共2小题）12．如图，Rt ABC⊥于D，CE AE∠=︒，直线l为经过点A的任一直线，BD l⊥，∆中，AB AC=，90BAC若BD CE>，试问：（1）AD与CE的大小关系如何？请说明理由；（2）线段BD，DE，CE之间的数量之间关系如何？并说明理由．【解答】解：（1）AD与CE的大小关系为AD CE=，理由是：90∠+∠=∠=︒，BAD EAC BAC又CE l⊥于E，90∴∠+∠=︒，ACE EAC∴∠=∠；BAD ACEBD l ⊥于D ，CE l ⊥于E ，90BDA AEC ∴∠=∠=︒；又AB AC =；()ABD CAE AAS ∴∆≅∆，AD CE ∴=．（2）线段BD ，DE ，CE 之间的数量之间关系为：BD DE CE =+，理由如下： ABD CAE ∆≅∆，BD AE ∴=，AD CE =，又AE DE AD =+，BD DE CE ∴=+．13．（2018秋•宿松县期末）（1）问题背景：如图1：在四边形ABCD 中，AB AD =，120BAD ∠=︒，90B ADC ∠=∠=︒，E 、F 分别是BC ，CD 上的点且EAF ∠=60︒，探究图中线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点G ．使DG BE =．连结AG ，先证明ABE ADG ∆≅∆，再证明AEF AGF ∆≅∆，可得出结论，他的结论应是 ；（2）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且12EAF BAD ∠=∠，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O 处）北偏西30︒的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70︒的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50︒的方向以60海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达E 、F 处，且两舰艇之间的夹角为70︒，试求此时两舰艇之间的距离．【解答】解：（1）EF BE DF =+，证明如下：DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE ADG SAS ∴∆≅∆，AE AG ∴=，BAE DAG ∠=∠，12EAF BAD ∠=∠， GAF DAG DAF BAE DAF BAD EAF EAF ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=∠， EAF GAF ∴∠=∠，在AEF ∆和GAF ∆中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AEF AGF SAS ∴∆≅∆，EF FG ∴=，FG DG DF BE DF =+=+，EF BE DF ∴=+；故答案为EF BE DF =+．（2）结论EF BE DF =+仍然成立；理由：延长FD 到点G ．使DG BE =．连结AG ，如图2，在ABE ∆和ADG ∆中，DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AE AG∴=，BAE DAG∠=∠，12EAF BAD∠=∠，GAF DAG DAF BAE DAF BAD EAF EAF∴∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=∠，EAF GAF∴∠=∠，在AEF∆和GAF∆中，AE AGEAF GAFAF AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AEF AGF SAS∴∆≅∆，EF FG∴=，FG DG DF BE DF=+=+，EF BE DF∴=+；（3）如图3，连接EF，延长AE、BF相交于点C，3090(9070)140AOB∠=︒+︒+︒-︒=︒，70EOF∠=︒，12EOF AOB∴∠=∠，又OA OB=，(9030)(7050)180OAC OBC∠+∠=︒-︒+︒+︒=︒，∴符合探索延伸中的条件，∴结论EF AE BF=+成立，即2(4560)210EF=⨯+=（海里）．答：此时两舰艇之间的距离是210海里．。
人教版七年级下数学三角形知识点归纳、典型例题及考点分析
BC三角形知识点归纳、典型练习题及考点分析一、三角形相关概念 1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形 要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A 、B 、C 表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC ，其中线段AB 、BC 、AC 是三角形的三条边，∠A 、∠B 、∠C 分别表示三角形的三个内角．3．三角形中的三种重要线段三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段．（1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注意：①三角形的角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部．③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画．（2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线． 注意：①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点．②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．（3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高．注意：①三角形的三条高是线段②画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．练习题：1、图中共有（ A ：5 B ：6 C ：7 D ：82、如图，AE ⊥BC ，BF ⊥AC ，CD ⊥AB ，则△ABC 中AC 边上的高是（ ） A ：AE B ：CD C ：BF D ：AF 3、三角形一边上的高（ ）。
A ：必在三角形内部B ：必在三角形的边上C ：必在三角形外部D ：以上三种情况都有可能 4、能将三角形的面积分成相等的两部分的是（ ）。
初一数学三角形知识点
初⼀数学三⾓形知识点初⼀数学三⾓形知识点归纳⼀、与三⾓形有关的线段1、不在同⼀条直线上的三条线段⾸尾顺次相接组成的图形叫做三⾓形2、等边三⾓形：三边都相等的三⾓形3、等腰三⾓形：有两条边相等的三⾓形4、不等边三⾓形：三边都不相等的三⾓形5、在等腰三⾓形中，相等的两边都叫腰，另⼀边叫底，两腰的夹⾓叫做顶⾓，腰和底边的夹⾓叫做底⾓6、三⾓形分类：不等边三⾓形等腰三⾓形：底边和腰不等的等腰三⾓形等边三⾓形7、三⾓形两边之和⼤于第三边，两边之差⼩于第三边注：1）在实际运⽤中，只需检验最短的两边之和⼤于第三边，则可说明能组成三⾓形2）在实际运⽤中，已经两边，则第三边的取值围为：两边之差<第三边<两边之和3）所有通过周长相加减求三⾓形的边，求出两个答案的，注意检查每个答案能否组成三⾓形8、三⾓形的⾼：从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂⾜为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的⾼9、三⾓形的中线：连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线注：两个三⾓形周长之差为x，则存在两种可能：即可能是第⼀个△周长⼤，也有可能是第⼀个△周长⼩10、三⾓形的⾓平分线：画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于D，所得线段AD叫做△ABC的⾓平分线11、三⾓形的稳定性，四边形没有稳定性⼆、与三⾓形有关的⾓1、三⾓形⾓和定理：三⾓形三个⾓的和等于180度。
证明⽅法：利⽤平⾏线性质2、三⾓形的外⾓：三⾓形的⼀边与另⼀边的延长线组成的⾓，叫做三⾓形的外⾓3、三⾓形的⼀个外⾓等于与它不相邻的两个⾓的和4、三⾓形的⼀个外⾓⼤于与它不相邻的任何⼀个⾓5、三⾓形的外⾓和为360度6、等腰三⾓形两个底⾓相等三、多边形及其⾓和1、多边形：在平⾯，由⼀些线段⾸尾顺次相接组成的图形叫做多边形2、N边形：如果⼀个多边形由N条线段组成，那么这个多边形就叫做N边形。
3、⾓：多边形相邻两边组成的⾓叫做它的⾓4、外⾓：多边形的边与它的邻边的延长线组成的⾓叫做多边形的外⾓5、对⾓线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对⾓线6、正多边形：各个⾓都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形7、多边形的⾓和：n边形⾓和等于（n-2）*1808、多边形的外⾓和：360度注：有些题，利⽤外⾓和，能提升解题速度9、从n边形的⼀个顶点出发，可以引n-3条对⾓线，它们将n边形分成n-2个△注：探索题型中，⼀定要注意是否是从N边形顶点出发，不要盲⽬背诵答案10、从n边形的⼀个顶点出发，可以引n-3条对⾓线，n边形共有对⾓线23)-n(n条。
初一数学下册知识点汇总
初一数学下册知识点汇总初一数学下册知识点1.已知面积和底边长求高回想三角形的面积公式。
三角形的面积公式是A=1/2bh。
A=三角形的面积b=三角形底边长h=三角形底边的高看一下你的三角形，确定哪些变量是已知的。
在本例中，你已经知道了面积，可以将面积的数值代入公式中的A。
你也已知底边长的大小，可以将数值代入公式中的"'b'"。
如果你不知道面积或底边长，那么你只能尝试其它的方法了。
无论三角形是如何绘制的，三角形的任意一边都可以作为底边。
为了更形象地展示它，你可以想象把三角形进行旋转，直到已知边长位于底部。
例如，如果已知三角形面积是20，一边长为4，那么带入得A=20，b=4。
将数值代入公式A=1/2bh，然后进行计算。
首先将底边长(b)乘以1/2，然后用面积(A)除以它。
运算得到的结果应该就是三角形的高!本例中：20=1/2(4)h20=2h10=h2.求等边三角形的高回忆等边三角形的特征。
等边三角形有三条相等大小的侧边，每个夹角都是60度。
如果你将等边三角形分成两半，就会得到两个相同的直角三角形。
在本例中，我们使用边长为8的等边三角形。
回忆勾股定理。
勾股定理将两个直角边描述为a和b、斜边为c：a2+b2=c2。
我们可以使用这个定理求出等边三角形的高!将等边三角形对半切开，并将数值代入变量a、b和c。
斜边c等于原始的斜边长。
直角边a的长度就变成了边长的1/2，直角边b就是所求的三角形的高。
以边长为8的等边三角形为例，其中c=8，a=4。
将数值代入勾股定理的公式，求出b2。
边长c和a分别乘以自身求平方值。
然后用c2减去a2。
42+b2=8216+b2=64b2=48求出b2的开方值就得到三角形的高了!使用计算机的开根号计算求得Sqrt(2)。
得到的结果就是等边三角形的高!b=Sqrt(48)=6.933.已知边长和角求高确定你已知的变量。
如果你知道三角形的一个夹角和一条边长，如果这个角是底边和已知侧边的夹角，或是已知三条边长，你就能求出三角形的高。
七下三角形知识点归纳
七下三角形知识点归纳嘿，同学们！今天让我来给大家好好讲讲七年级下册数学里超级重要的三角形知识点！首先，咱们得知道啥是三角形呀？三角形就像是我们生活中的好多东西，比如说三明治，是不是切成三角形的？还有金字塔，那也是三角形组成的呀！三角形不就是由三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形嘛。
三角形有三条边，这三条边可有讲究啦！两边之和一定大于第三边，这就好像你跑步，两条短腿加起来跑的距离都得比最长的那条腿跑的距离长，不然怎么能跑得快呢？要是两边之和小于或者等于第三边，那还能组成三角形吗？这可不行呀！再说说三角形的内角和，那可是固定的180 度哟！这就像一个魔法数字，不管三角形长得啥样，它的三个内角加起来就是180 度。
比如说一个直角三角形，一个角是90 度，那剩下的两个锐角加起来不就得是90 度嘛！这多神奇！还有三角形的外角。
外角是啥？就是三角形一边的延长线和另一边所夹的角。
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
这就好比你有一堆糖果，外角就像是你从别人那又多拿了一些，加起来就更多啦！三角形的分类也很重要哟！按角分，可以分成锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
锐角三角形的三个角都小于90 度，就像三个活泼的小朋友，都蹦蹦跳跳的。
直角三角形有一个角是90 度，多威风呀，像个站岗的小卫士。
钝角三角形呢，有一个角大于90 度，就像个有点调皮的小家伙。
按边分，又可以分成等腰三角形和等边三角形。
等腰三角形两条边相等，等边三角形三条边都相等。
这就好像一群小伙伴，有的两个关系特别好，长得差不多，有的三个好得跟一个人似的，完全一样！在做题的时候，咱们可得把这些知识点用起来呀！比如说，给你三条边的长度，让你判断能不能组成三角形，你就得看看两边之和是不是大于第三边。
要是求三角形的内角，就得想到内角和是180 度。
总之，三角形的知识点可多啦，咱们得好好学，认真记，这样才能在考试的时候轻松应对，取得好成绩呀！你们说是不是？。
七年级初一下学期数学 专题03 三角形(知识点串讲)(解析版)
专题03 三角形知识网络重难突破知识点一三角形的有关概念及分类1、三角形的有关概念名称内容图形三角形由3条不在同一条直线上的线段，首尾依次相接组成的图形叫作三角形．边组成三角形的线段叫作三角形的边．组成三角形的三条线段叫做三角形的三条边．三角形的边可以用一个小写字母或两个大写字母表示，如：a，b，c或BC，CA，AB．顶点相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点．角相邻两条边所组成的角，叫作三角形的内角，简称三角形的角．三角形的记法三角形用符号“V”来表示，顶点是A，B，C的三角形记作ABCV，读作“三角形ABC”．2、三角形的分类（1）按角分类三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形．（2）按边分类注意：①任何一个三角形最多有三个锐角，最少有两个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角；②等边三角形是特殊的等腰三角形；③顶点是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形.典例1（2019春•东台市校级月考）若一个三角形三个内角度数的比为3:4:11，那么这个三角形是() A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．钝角三角形【解答】解：设这个三角形三个内角度数依次为3x︒，4x︒，11x︒，则3411180++=，x x x解得：10x=，∴这个三角形三个内角度数依次为30︒，40︒，110︒，则这个三角形是钝角三角形，故选：D ． 典例2（2019春•徐州期中）ABC ∆中，若::1:2:3A B C ∠∠∠=，则ABC ∆的形状是( ) A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形【解答】解：Q 在ABC ∆中，::1:2:3A B C ∠∠∠=，∴设A x ∠=，则2B x ∠=，3C x ∠=．180A B C ∠+∠+∠=︒Q ，即23180x x x ++=︒，解得30x =︒， 390C x ∴∠==︒， ABC ∴∆是直角三角形．故选：A ．知识点二 三角形的三边关系（1）对于任意的ABC V ，如果把其中任意两个顶点看成定点（假设B 、C 为定点），由“两点之间，线段最短”可得：b c a +>．同理可得：a b c +>，a c b +>．即：三角形任意两边之和大于第三边．推论：三角形任意两边之差小于第三边． 理论依据：两点之间，线段最短. （2）三角形三边关系的应用①已知三角形的两边长，求第三边的取值范围； ②判断三条线段能否组成三角形.注意：判断三条线段能否组成三角形时，首先找出三条边中的最长边，然后计算另外两边的长度和，若两条短边的长度之和大于最长边的长度，就能组成三角形.典例1（2019春•泰州市泰兴市期中）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是( ) A ．3cm ，4cm ，8cm B ．8cm ，7cm ，15cm C ．5cm ，5cm ，11cmD ．13cm ，12cm ，20cm【解答】解：A 、348+<，故以这三根木棒不可以构成三角形，不符合题意；B 、8715+=，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；C 、5511+<，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；D 、121320+>，故以这三根木棒能构成三角形，符合题意．故选：D ．典例2（2019春•新吴区期中）有4根小木棒，长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm ，任意取3根小木棒首尾相接搭三角形，可搭出不同的三角形的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：可搭出不同的三角形为：2cm 、3cm 、4cm ；2cm 、4cm 、5cm ；3cm 、4cm 、5cm 共3个．故选：C ．典例3（2019春•常熟市校级月考）已知三角形的三边长分别为4，5，x ，则x 不可能是( ) A ．3B ．5C ．7D ．9【解答】解：5454x -<<+，即19x <<，则x 的不可能的值是9，故选D ．知识点三三角形的高、中线与角平分线名称图形定义几何语言三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线．顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高线．简称三角形的高因为AD是ABCV的高（已知），所以AD BC⊥于点D （或90ADC ADB∠∠︒==）三角形的角平分线在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线因为AD是ABCV的角平分线（已知），所以1122BAC∠∠∠==三角形的中线在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫作三角形的中线．三角形的三条中线相交于一点，交点叫作三角形的重心因为AD为ABCV的中线（已知），所以12BD DC BC==（或22BC BD DC==）注意：三角形的中线、角平分线、高都是一条线段；中线、角平分线都在三角形内部，三角形的高有两种特例：直角三角形中其中一条直角边的高就是另一条直角边；钝角三角形中锐角所对的边上的高在三角形的外部．（2019春•相城区期中）在ABC∆中，画出边AC上的高，下面4幅图中画法正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：如图，BE为AC边上的高．故选：D．典例2（2019春•盐城市东台市期中）下列说法中错误的是()A．三角形的中线、角平分线、高线都是线段B．任意三角形的内角和都是180︒C．三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形D．三角形的一个外角大于任何一个内角【解答】解：A、正确，符合线段的定义；B、正确，符合三角形内角和定理；C、正确；D、三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，错误．故选：D．（2019春•徐州期中）如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥，AE 平分BAC ∠． （1）若70C ∠=︒，30B ∠=︒求DAE ∠的度数； （2）若20C B ∠-∠=︒，则DAE ∠= ︒．【解答】解：（1）如图，Q 在ABC ∆中70C ∠=︒，30B ∠=︒，180180703080BAC C B ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，AE Q 平分BAC ∠，11804022CAE BAC ∴∠=∠=⨯︒=︒；AD BC ⊥Q ，70C ∠=︒，90907020CAD C ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，40CAE ∠=︒Q ，402020DAE CAE CAD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒；（2）如图，AE Q 平分BAC ∠，1(180)2CAE C B ∴∠=︒-∠-∠，AD BC ⊥Q ，90CAD C ∴∠=︒-∠，11(90)(180)()1022DAE CAD CAE C C B C B ∴∠=∠-∠=︒-∠-︒-∠-∠=∠-∠=︒．故答案为：10．巩固训练一、单选题（共8小题）1．（2019春•靖江市期中）下列长度的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架的是( ) A ．4cm 、7cm 、3cm B ．7cm 、3cm 、8cmC ．5cm 、6cm 、7cmD ．2cm 、4cm 、5cm【解答】解：A 、437+=，不能组成三角形，故本选项正确；B 、738+>，能组成三角形，故本选项错误；C 、567+>，能组成三角形，故本选项错误；D 、425+>，能组成三角形，故本选项错误．故选：A ．2．图中三角形的个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8【解答】解：图中是三角形的有：ABC ∆、ADE ∆、BDF ∆、DEF ∆、CEF ∆共5个． 故选：A ．3．（2019春•邗江区校级月考）已知三角形三边分别为2，1a -，4，那么a 的取值范围是( ) A ．15a <<B ．26a <<C ．37a <<D ．46a <<【解答】解：依题意得：42142a -<-<+， 即：216a <-<， 37a ∴<<．故选：C ． 4．下列说法：①三角形按边分类可分为三边不等的三角形、等腰三角形和等边三角形； ②等边三角形是特殊的等腰三角形； ③等腰三角形是特殊的等边三角形； ④有两边相等的三角形一定是等腰三角形；其中，说法正确的个数是( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：①三角形按边分类可分为三边不等的三角形、等腰三角形和等边三角形；错误． ②等边三角形是特殊的等腰三角形；正确． ③等腰三角形是特殊的等边三角形；错误． ④有两边相等的三角形一定是等腰三角形；正确， 故选：B ．5．如图，若CD 是ABC ∆的中线，10AB =，则(AD = )A ．5B ．6C ．8D ．4【解答】解：Q 如图，若CD 是ABC ∆的中线，10AB =， 152AD BD AB ∴===． 故选：A ．6．如图所示，ABC ∆中AC 边上的高线是( )A ．线段DAB ．线段BAC ．线段BCD ．线段BD【解答】解：由图可得，ABC ∆中AC 边上的高线是BD ， 故选：D ．7．（2019春•东台市校级月考）如图，AD 是ABC ∆的角平分线，点O 在AD 上，且OE BC ⊥于点E ，60BAC ∠=︒，80C ∠=︒，则EOD ∠的度数为( )A ．20︒B ．30︒C ．10︒D ．15︒【解答】解：60BAC ∠=︒Q ，80C ∠=︒， 40B ∴∠=︒．又AD Q 是BAC ∠的角平分线， 1302BAD BAC ∴∠=∠=︒，70ADE ∴∠=︒，又OE BC ⊥Q ， 20EOD ∴∠=︒．故选：A ．8．如图，ABC ∆中，12∠=∠，G 为AD 中点，延长BG 交AC 于E ，F 为AB 上一点，且CF AD ⊥于H ，下列判断，其中正确的个数是( ) ①BG 是ABD ∆中边AD 上的中线；②AD 既是ABC ∆中BAC ∠的角平分线，也是ABE ∆中BAE ∠的角平分线； ③CH 既是ACD ∆中AD 边上的高线，也是ACH ∆中AH 边上的高线．A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：①G 为AD 中点，所以BG 是ABD ∆边AD 上的中线，故正确；②因为12∠=∠，所以AD 是ABC ∆中BAC ∠的角平分线，AG 是ABE ∆中BAE ∠的角平分线，故错误； ③因为CF AD ⊥于H ，所以CH 既是ACD ∆中AD 边上的高线，也是ACH ∆中AH 边上的高线，故正确． 故选：C ．二、填空题（共3小题）9．（2019春•东台市校级月考）已知等腰三角形两边的长分别是15和7，则其周长为．【解答】解：①7cm是腰长时，三角形的三边分别为7、7、15，Q，771415+=<∴不能组成三角形，②7cm是底边时，三角形的三边分别为7、15、15，能组成三角形，周长7151537=++=，综上所述，它的周长是37．故答案为：37．10．已知三角形的三边长都是整数，其中两条边长分别是1cm和3cm，则第三条边长_____cm．【解答】解：Q两条边长分别是1cm和3cm，<，∴第三边的取值范围是2<第三边4Q三边均为整数，∴第三边的长为3cm，故答案为：3．11．已知三角形的三边长均为整数，其中两边长分别为1和3，则第三边长为．【解答】解：设第三边长为a，则3131-<<+，a即24<<，aQ是整数，a∴=．a3故答案为：3．三、解答题（共3小题）12．（2019春•大丰区期中）如图，在ABC∆中，点D在BC上，且BAD CAD∠=∠，E是AC的中点，BE 交AD于点F．图中哪条线段是哪个三角形的角平分线？哪条线段是哪个三角形的中线？【解答】解：AD是ABC∆的角平分线；∆的角平分线，AF是ABEBE是ABC∆的中线，DE是ADC∆的中线．13．（2018秋•丹阳市期中）如图，ABC∆中，90∆的高、中线、角ACB∠=︒，CD、CE、CF分别是ABC平分线．求证：12∠=∠．【解答】证明：CFQ是ACB∠的平分线，∴∠=∠．ACF BCF∠=︒，CD ABACBQ，90⊥∴∠=∠（同角的余角相等）．ACD BCEQ是AB边上的中线，∴=，BE CE∴∠=∠（等边对等角），BCE B1ACF ACD ACF B∴∠=∠-∠=∠-∠，∠=∠-∠=∠-∠，2BCF BCE ACF B∴∠=∠．1214．如图，ABC∆中，点D在AC上，点P在BD上，求证：AB AC BP CP+>+．【解答】证明：在ABD+>，∆中，AB AD BD 在PDC+>，∆中，CD PD PCAB AD CD PD BD PC∴+++>+∴+>+．AB AC BP CP。
初一数学三角形公式总结归纳
初一数学三角形公式总结归纳
在初一数学中，三角形公式是首先要学习和掌握的内容之一。
下面是一些常见的初一数学三角形公式的总结归纳：
1. 勾股定理：直角三角形中，直角边的平方等于斜边两边的平方和。
a² + b² = c²
2. 正弦定理：三角形中，任意角的正弦值与相对边的长度的比例相等。
a/sinA = b/sinB = c/sinC
3. 余弦定理：三角形中，任意角的余弦值与两边的长度的平方和与两边长度的乘积的比例相等。
a² = b² + c² - 2bc*cosA
b² = a² + c² - 2ac*cosB
c² = a² + b² - 2ab*cosC
4. 正弦定理的推论：在直角三角形中，正弦值与斜边的长度的比例相等。
sinA = a/c
sinB = b/c
sinC = c/c
5. 三角形的面积公式：
S = 1/2 * 底边长度 * 对应高的长度
S = 1/2 * a * b * sinC （已知两边和夹角）
S = 1/2 * a² * sinB * sinC / sinA （已知一个边和两个夹角）
S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)] （已知三边长度，其中s为半周长）
以上是一些常见的初一数学三角形公式的总结归纳，希望对你有帮助！。
初一下册数学全等三角形知识点总结
选择题
下列哪个条件不能判定两个三角形全等？
A. 三边对应相等
B. 两边和它们的夹角对应相等
C. 两角和它们的夹边对应相等
D. 两个直角三角形的直角边和斜边分别相等（正确答案）
若两个三角形全等，则它们的对应角的关系是？
A. 相等（正确答案）
B. 互补
C. 互余
D. 无法确定
下列哪个是全等三角形判定定理之一？
A. SSS定理（正确答案）
B. SSA定理
C. ASA定理的逆定理
D. AAS定理的逆定理
若两个三角形有两边及其中一边的对角对应相等，则这两个三角形？
A. 一定全等
B. 一定不全等
C. 可能全等也可能不全等（正确答案）
D. 无法判断
已知两个三角形全等，且其中一个三角形的面积为10平方厘米，则另一个三角形的面积为？
A. 5平方厘米
B. 10平方厘米（正确答案）
C. 15平方厘米
D. 20平方厘米
下列哪个不是全等三角形判定定理的简写？
A. SAS
B. ASA
C. AAS
D. SSA（正确答案）
若两个三角形全等，则它们的对应边的关系是？
A. 相等（正确答案）
B. 成比例
C. 互补
D. 无法确定
下列哪个条件可以判定两个直角三角形全等？
A. 一个锐角和一条直角边对应相等（正确答案）
B. 两个锐角对应相等
C. 一条直角边和斜边对应成比例
D. 斜边和一条直角边对应成比例
若两个三角形有两角和一边对应相等，但这一边不是两角的夹边，则这两个三角形？
A. 一定全等
B. 一定不全等（正确答案）
C. 可能全等也可能不全等
D. 无法判断。
初一下册数学《三角形》知识点复习总结
初一下册数学《三角形》知识点复习总结初一下册数学《三角形》知识点复习总结章一一、三角函数1.定义：在rt△abc中，∠c=rt∠，则sina= ;cosa= ;tga= ;ctga= .2. 特殊角的三角函数值：0° 30° 45° 60° 90°sinαcosαtgα /ctgα /3. 互余两角的三角函数关系：sin(90°-α)=cosα;…4. 三角函数值随角度变化的关系5.查三角函数表二、解直角三角形1. 定义：已知边和角(两个，其中必有一边)→所有未知的边和角。
2. 依据：①边的关系：②角的关系：a+b=90°③边角关系：三角函数的定义。
注意：尽量避免使用中间数据和除法。
三、对实际问题的处理1. 俯、仰角：2.方位角、象限角：3.坡度：4.在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。
初一下册数学《三角形》知识点复习总结章二一、目标与要求1.认识三角形，了解三角形的意义，认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形。
2.经历度量三角形边长的实践活动中，理解三角形三边不等的关系。
3.懂得判断三条线段可否构成一个三角形的方法，并能运用它解决有关的问题。
4.三角形的内角和定理，能用平行线的性质推出这一定理。
5.能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题。
二、重点三角形内角和定理;对三角形有关概念的了解，能用符号语言表示三条形。
三、难点三角形内角和定理的推理的过程;在具体的图形中不重复，且不遗漏地识别所有三角形;用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形。
四、知识框架五、知识点、概念总结1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2.三角形的分类3.三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
4.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
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初一数学下册《三角形》知识点归纳
一、目标与要求
认识三角形，了解三角形的意义，认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形。
经历度量三角形边长的实践活动中，理解三角形三边不等的关系。
懂得判断三条线段可否构成一个三角形的方法，并能运用它解决有关的问题。
三角形的内角和定理，能用平行线的性质推出这一定理。
能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题。
二、重点
三角形内角和定理;
对三角形有关概念的了解，能用符号语言表示三条形。
三、难点
三角形内角和定理的推理的过程;
在具体的图形中不重复，且不遗漏地识别所有三角形;
用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形。
四、知识框架
五、知识点、概念总结
三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所
组成的图形叫做三角形。
三角形的分类
三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。
角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
高线、中线、角平分线的意义和做法
三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°
推论1直角三角形的两个锐角互余;
推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和;
推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角;
三角形的内角和是外角和的一半。
0.三角形的外角：三角形的一条边与另一条边延长线的
夹角，叫做三角形的外角。
．
1.三角形外角的性质
顶点是三角形的一个顶点，一边是三角形的一边，另一边是三角形的一边的延长线;
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和;
三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角;
三角形的外角和是360°。
多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
3.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
多边形的分类：分为凸多边形及凹多边形，凸多边形又可称为平面多边形，凹多边形又称空间多边形。
多边形还可以分为正多边形和非正多边形。
正多边形各边相等且各内角相等。
正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。
公式与性质
多边形内角和公式：n边形的内角和等于·180°
0.多边形外角和定理：
n边形外角和等于n·180°-·180°=360°
多边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，所以n边形内角和加外角和等于n·180°
1.多边形对角线的条数：
从n边形的一个顶点出发可以引条对角线，把多边形分词个三角形。
n边形共有n/2条对角线。
六、经典例题
例1如图，已知△ABc中，AQ=PQ、PR=PS、PR⊥AB于R，PS⊥Ac于S，有以下三个结论：①AS=AR;②QP∥AR;③△BRP ≌△cSP，其中.
全部正确仅①正确仅①、②正确仅①、③正确
例2如图，结合图形作出了如下判断或推理：
①如图甲，cD⊥AB，D为垂足，那么点c到AB的距离等于
c、D两点间的距离;
②如图乙，如果AB∥cD，那么∠B=∠D;
③如图丙，如果∠AcD=∠cAB，那么AD∥Bc;
④如图丁，如果∠1=∠2，∠D=120°，那么∠BcD=60°.. 其中正确的个数是个
34
例3在如图所示的方格纸中，画出，△DEF和△DEG，使得△ABc≌△DEF≌DEG.你能说明它们为什么全等吗?
例4测量小玻璃管口径的量具cDE上，cD=l0，DE=80.如果小管口径AB正对着量具上的50刻度，那么小管口径AB 的长是多少?
例5在直角坐标系中，已知A、B、c三点.请按以下要求设计两种方案：作一条与
轴不重合，与△ABc的两边相交的直线，使截得的三角形与△ABc相似，并且面积是△Aoc面积的
分别在下面的两个坐标中系画出设计图形，并写出截得的三角形三个顶点的坐标。