回溯法ppt课件
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分析：
可能解由一个等长向量（x1, x2, …, xn）组成， 其中
xi＝1(1≤i≤n)表示物品i装入背包 xi＝0(1≤i≤n)表示物品i没有装入背包
如：
当n＝3时，其解空间是：
{ (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}
第5章 回溯法
学习要点
5.1 回溯法概述 5.2 回溯法的典型示例 5.3 回溯法的效率分析 本章小结
1
5.1 回溯法概述
5.1.1 问题的解空间 问题的解空间 两类典型的解空间
5.1.2 回溯法的基本思想 回溯法的基本思想 算法的框架 例：排列与组合 小结
15
排列树
分析
求赋权图G的具有最小权的Hamilton圈1
1解空间30：
2
2 34
64
5 10
3 42 4 2 3
3
4
20
4
34
23
2
当起点1固定时，上图有3!个周游路线（排列问题）
16
回溯法的基本思想
回溯法
回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜 索，以达到目标。
但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或 达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不 通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条 件的某个状态的点称为“回溯点”。
若(x1, x2,… xi xi+1)满足约束条件, 则继续添加 xi+2 ；
若所有可能的xi+1 si+1均不满足约束条件,则去 掉xi , 回溯到(x1, x2,… xi-1), 添加尚未考虑过的xi；
如此反复进行,直到(x1, x2,… xk) kn满足所有的
约束条件或证明无解。
问题的解向量：
问题的解可以表示成一个n元式(x1, x2,… xn)的形
式。
问题的解空间
E={(x1, x2,… xn)| xi si , si为有限集 }称为问题的
解空间
约束条件
显约束:每个xi的范围都给定的约束。
隐约束:元组的分量间满足函数关系 f(x1,...xn)
4
问题的解空间
12
排列树
排列树（Permutation Trees）：
当所给问题是确定n个元素满足某种性质的排 列时，相应的解空间树称为排列树。
通常情况下：|S1|＝n，|S2|＝n－1，…，|Sn|＝1， 解空间为：
（1，2，3，……，n－1，n） （2，1，3，……，n－1，n）
…… （n，n－1，……，3，2，1）
如：
当n＝3时，解空间： { (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1),
(1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}
7
子集树
例1：
可以用一棵满二叉树表示解空间树（如n＝3） 。
8
子集树
例2：0-1背包问题
5
两类典型的解空间
两类典型的解空间
子集树 排列树
6
子集树
例1：
集合A＝{a1,a2,…,an}，求A的所有子集合。
分析：
问题的解（子集）可以表示为X=（x1, x2, …, xn） 其中
xi＝1(1≤i≤n) ：ai属于X xi＝0(1≤i≤n) ：ai不属于X
在子集树中，一般地： |S1|＝|S2|＝…＝|Sn|＝2， 即每个结点有2棵的子树。
解空间为：
（0，0，……，0，0） （0，0，……，0，1）
…… （1，1，……，1，1）
11
子集树
所以：
解空间有2n个元素。 若表示为树形结构就是一棵有2n个叶结点的
满二叉树，遍历子集树需Ω(2n)的计算时间。
9
子集树
可以用一棵满二叉树表示解空间树
例如：W＝ (20,15, 15) ，V＝ (40,25, 25)， C＝30
问题的求解过程：相当于在解空间树中搜索满足条件的叶结点 。
10
子集树
子集树（Subset Trees）
当所给问题是从n个元素的集合中找出满足某种性 质的子集时，相应的解空间树称为子集树。
13
排列树
所以：
解空间有n!个元素 若表示为树形结构就是一个n度树，这样的树
有n! 个叶结点，遍历排列树需Ω(n!)计算时间。
14
排列树
例：旅行商问题
问题提出： 某售货员要到若干个城市去推销商品。已 知各个城市之间的路程（或旅费）。 要选定一条从驻地出发，经过每个城市一 遍，最后回到驻地的路线，使得总的路程 （或总旅费）最小。
17
回溯法的基本思想
主要应用
解决一些复杂问题在求解的过程中，需要经过 若干步骤，而每一个步骤都有若干种可能的分 支，为了完成这一过程，又必须遵守一些规则，
但这些规则又无法精确地用数学公式或语言来 描述的一类问题中。
18
回溯法的基本思想
1.基本思想
设问题的解可表示为n元组(x1, x2,… xn), xisi , si为有限集, 设已有满足约束条件的部分解(x1, x2,… xi)添加xi+1 si+1,
2
问题的解空间
复杂问题的求解
复杂问题常常有很多的可能解，这些可能解构 成了问题的解空间。
解空间也就是进行穷举的搜索空间，所以，解 空间中应该包括所有的可能解。
问题解的求解方法
搜索问题的解空间，获得问题的解，依据搜索 策略的不同，可以分为：
回溯法
分支限界法
3
问题的解空间
问题的解空间
由笛卡儿积A＝S1×S2×…×Sn构成，且
第1层的根结点有|S1|棵子树， 第2层共有|S1|个结点， 第3层共有|S1|×|S2|个结点，
依此类推，
第n＋1层共有|S1|×|S2|×…×|Sn|个结点，他们都是 叶子结点，代表问题的所有可能解。
显式图和隐式图
19
回溯法的基本思想
2.求解过程
求解过程可表示为在一棵解空间树作深度优先搜索。 具体过程：
搜索按深度优先策略从根开始, 当搜索到任一结点时，度优先搜索， 否则，跳过该结点以下的子树（剪枝），向上逐级
可能解由一个等长向量（x1, x2, …, xn）组成， 其中
xi＝1(1≤i≤n)表示物品i装入背包 xi＝0(1≤i≤n)表示物品i没有装入背包
如：
当n＝3时，其解空间是：
{ (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}
第5章 回溯法
学习要点
5.1 回溯法概述 5.2 回溯法的典型示例 5.3 回溯法的效率分析 本章小结
1
5.1 回溯法概述
5.1.1 问题的解空间 问题的解空间 两类典型的解空间
5.1.2 回溯法的基本思想 回溯法的基本思想 算法的框架 例：排列与组合 小结
15
排列树
分析
求赋权图G的具有最小权的Hamilton圈1
1解空间30：
2
2 34
64
5 10
3 42 4 2 3
3
4
20
4
34
23
2
当起点1固定时，上图有3!个周游路线（排列问题）
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回溯法的基本思想
回溯法
回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜 索，以达到目标。
但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或 达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不 通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条 件的某个状态的点称为“回溯点”。
若(x1, x2,… xi xi+1)满足约束条件, 则继续添加 xi+2 ；
若所有可能的xi+1 si+1均不满足约束条件,则去 掉xi , 回溯到(x1, x2,… xi-1), 添加尚未考虑过的xi；
如此反复进行,直到(x1, x2,… xk) kn满足所有的
约束条件或证明无解。
问题的解向量：
问题的解可以表示成一个n元式(x1, x2,… xn)的形
式。
问题的解空间
E={(x1, x2,… xn)| xi si , si为有限集 }称为问题的
解空间
约束条件
显约束:每个xi的范围都给定的约束。
隐约束:元组的分量间满足函数关系 f(x1,...xn)
4
问题的解空间
12
排列树
排列树（Permutation Trees）：
当所给问题是确定n个元素满足某种性质的排 列时，相应的解空间树称为排列树。
通常情况下：|S1|＝n，|S2|＝n－1，…，|Sn|＝1， 解空间为：
（1，2，3，……，n－1，n） （2，1，3，……，n－1，n）
…… （n，n－1，……，3，2，1）
如：
当n＝3时，解空间： { (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1),
(1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}
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子集树
例1：
可以用一棵满二叉树表示解空间树（如n＝3） 。
8
子集树
例2：0-1背包问题
5
两类典型的解空间
两类典型的解空间
子集树 排列树
6
子集树
例1：
集合A＝{a1,a2,…,an}，求A的所有子集合。
分析：
问题的解（子集）可以表示为X=（x1, x2, …, xn） 其中
xi＝1(1≤i≤n) ：ai属于X xi＝0(1≤i≤n) ：ai不属于X
在子集树中，一般地： |S1|＝|S2|＝…＝|Sn|＝2， 即每个结点有2棵的子树。
解空间为：
（0，0，……，0，0） （0，0，……，0，1）
…… （1，1，……，1，1）
11
子集树
所以：
解空间有2n个元素。 若表示为树形结构就是一棵有2n个叶结点的
满二叉树，遍历子集树需Ω(2n)的计算时间。
9
子集树
可以用一棵满二叉树表示解空间树
例如：W＝ (20,15, 15) ，V＝ (40,25, 25)， C＝30
问题的求解过程：相当于在解空间树中搜索满足条件的叶结点 。
10
子集树
子集树（Subset Trees）
当所给问题是从n个元素的集合中找出满足某种性 质的子集时，相应的解空间树称为子集树。
13
排列树
所以：
解空间有n!个元素 若表示为树形结构就是一个n度树，这样的树
有n! 个叶结点，遍历排列树需Ω(n!)计算时间。
14
排列树
例：旅行商问题
问题提出： 某售货员要到若干个城市去推销商品。已 知各个城市之间的路程（或旅费）。 要选定一条从驻地出发，经过每个城市一 遍，最后回到驻地的路线，使得总的路程 （或总旅费）最小。
17
回溯法的基本思想
主要应用
解决一些复杂问题在求解的过程中，需要经过 若干步骤，而每一个步骤都有若干种可能的分 支，为了完成这一过程，又必须遵守一些规则，
但这些规则又无法精确地用数学公式或语言来 描述的一类问题中。
18
回溯法的基本思想
1.基本思想
设问题的解可表示为n元组(x1, x2,… xn), xisi , si为有限集, 设已有满足约束条件的部分解(x1, x2,… xi)添加xi+1 si+1,
2
问题的解空间
复杂问题的求解
复杂问题常常有很多的可能解，这些可能解构 成了问题的解空间。
解空间也就是进行穷举的搜索空间，所以，解 空间中应该包括所有的可能解。
问题解的求解方法
搜索问题的解空间，获得问题的解，依据搜索 策略的不同，可以分为：
回溯法
分支限界法
3
问题的解空间
问题的解空间
由笛卡儿积A＝S1×S2×…×Sn构成，且
第1层的根结点有|S1|棵子树， 第2层共有|S1|个结点， 第3层共有|S1|×|S2|个结点，
依此类推，
第n＋1层共有|S1|×|S2|×…×|Sn|个结点，他们都是 叶子结点，代表问题的所有可能解。
显式图和隐式图
19
回溯法的基本思想
2.求解过程
求解过程可表示为在一棵解空间树作深度优先搜索。 具体过程：
搜索按深度优先策略从根开始, 当搜索到任一结点时，度优先搜索， 否则，跳过该结点以下的子树（剪枝），向上逐级