经典理论与一阶理论之间简支梁特征值的解析关系_马连生

第23卷　第3期应用力学学报Vo l.23　No.3 2006年9月CHINESE JOURNAL OF APPLIED MECHANICS Sep.2006
文章编号:1000-4939(2006)03-0447-04
经典理论与一阶理论之间简支梁特征值的解析关系*
马连生欧志英
(兰州理工大学　兰州　730050)
摘要:利用Euler-Bernoulli梁理论(EBT)和Timoshenko梁理论(一阶理论,TBT)之间,梁的特征值问题在数学上的相似性,研究了不同梁理论之间特征值的关系。

将特征值问题的求解转化为一个代数方程的求解,并导出了不同梁理论之间梁的特征值之间的精确解析关系。

因此,只要已知梁的经典结果(临界载荷和固有频率),便很容易从这些关系中获得一阶梁理论下的相应结果。

这些解析结果清楚地显示了横向剪切变形对经典结果影响的本质特点。

另外,从这些关系中获得的含有剪切变形影响的结果,可以用于检验一阶理论下梁特征值数值结果的有效性、收敛性以及精确性等问题。

关键词:Euler-Bernoulli梁理论;Timo shenko梁理论;解析关系;特征值
中图分类号:TB330.1 文献标识码:　A
1　引　言
由于在高阶剪切变形梁(板)理论和经典理论之间,梁(板)弯曲、屈曲和振动的控制方程都存在数学上的相似性,这种相似性可以用经典结果来表示相应的高阶理论下的解。

有关高阶剪切变形理论和经典理论之间梁或板弯曲解的精确关系方面的研究工作已经有很多报道。

Wang和Lee[1]、Wang和Red-dy[2]、Wang等人[3]以及本文作者[4]分别研究了各种理论之间板屈曲和固有振动解的精确解析关系。

关于不同梁理论下梁特征值的解析关系,尚无相应的研究结果报道。

另外,从文[5]对功能梯度结构的研究结果可知,高于一阶的理论对于研究诸如临界载荷或者固有频率这样的整体响应,在计算精度上提高不大。

本文将梁的临界载荷和固有频率这样的特征值问题统一处理,利用经典梁理论(EBT)和一阶剪切变形梁理论(TBT)之间,梁的特征值问题在数学上的相似性,研究不同梁理论之间梁特征值的解析关系。

最后将特征值问题的求解转化为求解一个代数方程,导出了不同梁理论之间梁特征值显式表达的精确解析关系。

因此,只要已知梁的经典结果(临界载荷和固有频率),不需要经过较复杂的数学运算,便很容易从这些关系中获得一阶梁理论下的相应结果。

2　基本方程
考虑一个厚度为h、长度为l、横截面积为A的等截面梁。

x轴在中面内,并沿轴线方向;z和y分别沿梁的高度和宽度方向。

一阶梁理论下的位移场[6] U x(x,z,t)=z(x,t),　U z(x,z,t)=w(x,t)(1)式中w表示梁中面上点的挠度,为梁横截面在变形后的转动。

根据该位移场,几何方程如下
εx=z,x,　γxz=+w,x(2) 设在梁端部作用有轴向压力p。

根据H amilton 原理,可得运动方程
M x,x-Q x-I1,tt=0,
Q x,x-pw,xx-I0w,tt=0(3)
*基金项目:国家自然科学基金资助项目(10472039);甘肃省自然科学基金资助项目(ZS041-A25-007)来稿日期:2005-07-05　修回日期:2005-12-12
第一作者简介:马连生,男,1963年生,兰州理工大学理学院教授;研究方向:功能梯度材料结构的力学行为.E-mail:lsma@
式中各量定义如下:M x =∫A
σx z d A ;Q x =k x ∫
A
τ
xz d A ;(I 0,I 1)=∫
A
ρ(1,z 2
)d A ;k s 为剪切修正系数。

将内力分量表示为位移的函数形式M x =D x ,x ,　Q x =k s A xz ( +w ,x )
(4)
式中:D x =∫
A
Ez 2
d A ;　A xz =∫
A
G d A ;　E 、G 、ρ分别
为弹性模量、剪切模量、质量密度。

3　特征方程
设谐振动为:( ,w )=[ (x ), w (x )]e i ωt
,将其
代入式(3),并仍以( ,w )代[ (x ), w (x )],得到
M x ,x -Q x +I 1ω2
=0
(5a )Q x ,x -pw ,xx +I 0ω2
w =0
(5b )
式中ω是梁的固有频率。

注意,在以上方程中,各量均与时间无关。

将式(5a )对x 求导一次并与式(5b )相加,得
M x ,xx -pw ,xx +I 0ω2w +I 1ω2
,x =0
(6)
将式(4)代入式(5a )和式(6),得到位移形式的方程
-pw ,xx +I 0ω2w +D x ,xx x +I 1ω2
,x =0
(7a )-k s A xz w ,x +D x ,xx -(k s A xz -I 1ω2
) =0(7b )
将式(7b )对x 求导一次,可将式(7)写成以下
矩阵形式
KY =0
(8)
这里Y ={w ,x }T
,K 是一个二阶算子矩阵,其各
元素含义如下
K 11(d 2
d x 2)=-p d 2
d x 2+I 0ω2
,
K 12(d 2d x 2)=D x d 2d x 2+I 1ω2
,K 21(d 2d x 2)=-k s A xz d 2
d x 2
,
K 22(d 2d x 2)=D x d 2
d x 2-(k s A xz -I 1ω2
)(9)
在式(8)中,消去
,x 可以得到D x (k s A xz
-p )(d 2d x 2+λ1)(d 2
d x
2+λ2)w =0(10)
式中λ1(i =1,2)是以下二次方程的两个根det [K (-λ)]=K 11(-λ)K 22(-λ)-K 12(-λ)K 21(-λ)=0
(11)
式(10)就是问题最终的特征方程。

联系相应的边界条件,从中可以得到一阶理论下梁的振动或屈
曲问题的特征值和特征向量。

4
特征值的解析关系
设λ1是正根,将式(10)改写为
(d 2
d x
2+λ
1)y =0(12)
式中y ≡D x (k s A xz -p )(d 2
d x
2+λ2)w 。

对于简支端,有以下边界条件w =0,　w ,xx =0
(13)从条件(13)可知,对于简支端y 满足
y =0
(14)
Euler -Be rnouli 梁相应的特征值问题可以写成
[7-8]
(d 2d x
2+λE )w E =0,w E
|Γ=0
(15)
式中λE =
ρA /D x ωE (振动问题)或者λE =
p /D x (屈曲问题)。

在本文中,上(下)标T 和E 分别
表示TBT 和EBT 下的物理量。

比较问题(12)、(14)与问题(15),可以得到
λ1=λE (16)将式(16)代入式(11),得到
det [K (-λE )]=B ω4
+C ω2
+D =0(17)
式中B =I 0I 1
(18a )
C =(-
D x I 0+pI 1-k s A xz I 1)λ
E -k s A xz I 0(18b )D =D x (-p +k s A xz )λ2
E -pk s A xz λE (18c )
在方程(17)中,令ω=0,即D =0,可以得到一阶理论与经典理论之间梁的临界屈曲载荷的解析关系
p T cr =p E
cr /(1+p E cr k s A xz )(19)
特别地,当端部压力作用改为均匀温度场作用时,临界屈曲热载荷T cr 可以表达为下式
T cr =p T
cr /(αE A )(20)
经典理论和三阶理论间梁固有频率关系为ω2
=(-C ±C 2-4BD )/2B
(21)
各向同性矩形截面梁自由振动的结果是
ω2T =
6D x
ρAh
4{[12 v +h 2ωE ρA D x
(1+ v )]-[12 v +h 2
ωE ρA D x (1+ v )]2-4 v ρA D x
h 4ω2
E }(22)式中 v =
k s
2(1+v )。

448应用力学学报第23卷
4.1　只考虑横向振动时的频率关系
忽略转动惯性,即横向振动时,经过类似地运算,可以得到经典理论和一阶理论间梁的固有频率关系为
ω2T=
ω2E
(1+D x
k s A xz ρA
D x
ωE)
-ωEρA
D x
p
I0
(23)
4.2　关于这些解析关系的讨论
在以上的分析中,已经得到了用相应经典结果表示的,一阶理论下梁的临界屈曲载荷和固有频率。

从式(19)知道,经典理论和一阶理论之间矩形截面梁的临界载荷通过下式相联系
p E cr=p T cr(1+p E cr
k s Gbh
)(24) 同理,由式(23)知道,经典理论和一阶理论之间矩形截面梁的横向自由振动固有频率由下式相联系
ω2E=ω2T(1+1+v
6k s h2ωEρA
D x
)(25)
方程(24)、(25)不仅给出了不同梁理论之间的临界载荷或固有频率的差别,也清楚地显示了横向剪切变形对经典结果影响的本质特点。

从中可以看出,经典理论总是高估了特征值的数值。

图1　无量纲临界载荷随h/l的变化曲线图2　无量纲固有频率随h/l的变化曲线
图1、图2分别给出了各向同性矩形截面梁的无量纲临界屈曲载荷λ=(p T cr,p E cr)l2/D x以及无量纲固有频率ω0(ωT,ωT,ωE)l2ρA/D x的数值结果。

在图2中,TBT(t)表示横向振动时的相应频率结果。

从中可以看出,随着h/l的增大,横向剪切变形对临界屈曲载荷和固有频率的影响逐渐增强;转动惯性对固有频率的影响是明显的。

5结　论
1)　本文利用经典梁理论与一阶剪切变形梁理论之间,梁的特征值问题在数学上的相似性,将微分方程的特征值问题的求解转化为求解一个代数方程,并导出了不同理论之间梁特征值的精确解析关系。

因此,只要已知梁的经典结果(临界载荷和固有频率),不需要经过较复杂的数学运算,便很容易从这些关系中获得一阶理论下的相应结果。

2)　利用所得解析关系,比较了不同梁理论下的临界屈曲载荷或固有频率的差别。

结果清楚地显示了横向剪切变形对经典结果影响的本质特点,可以看出,经典理论总是高估了特征值的数值。

3)　这些精确的解析关系可以用于检验一阶梁理论下相应数值结果的有效性、收敛性以及精确性等问题。

4)　本文得到的这些关系,不仅可以用于各向同性梁,也可以用于对称层合梁以及横观各向同性梁的相应问题。

参　考　文　献
[1]　Wang C M,Lee K H.Buckling load relationship betw een Red-
dy and Kirchh off circular plates[J].Journal of Franklin In sti-tute,1998,335:989-995.
[2]　W ang C M,Reddy J N.Buck ling load relationship between
Reddy and Kirch hoff plates of polygonal shape with simply
sup ported edges[J].M echanics Res earch Communications,
1997,24:103-108.
[3]　Wang C M,Kitipornchai S,Reddy J N.Relationship between
vibration frequencies of Reddy and Kirchh off polygonal plates
w ith simply sup ported edges[J].AS M E J ournal of Vibration
and Acou stics,2000,122:77-81.
[4]　M a L S,Wang T J.Relation ships betw een axisymmetric ben-
ding and buckling solu tion s of FGM circu lar plates based on
third-order plate th eory and classical plate theory[J].Interna-tional Jou rnal of S olids and Structu res,2004,41:85-101.
[5]　马连生.功能梯度板的弯曲、屈曲和振动:线性和非线性分析
[D].西安交通大学,2004.
[6]　Reddy J N,Wang C M,Lee K H.Relationship s betw een ben-
ding solutions of clas s ical and shear deformation beam theories
[J].International J ou rnal of Solids and Structu res,1996,34: 3373-3384.
[7]　Conw ay H D.Analogis betw een the buckling and vibration of po-
lygonal plates and membranes[J].Can Aeron J,1960,6:263. [8]　D Pnueli.Low er b ounds to the gravest and all higher frequen-
cies of hom ogeneou s vibrating plates of arbitrary sh ape[J].
ASM E J ou rnal of Ap plied M echanics,1975,42:815-820.
449
第3期 马连生,等:经典理论与一阶理论之间简支梁特征值的解析关系
am line.By means o f the model experiments ,the description of w ater streamline curvature o n spillw ay bucket is presented by introducing the co nception of thin closing w all layer and assumptio n of moderation transition streamline to sm oo th the streamline in the region affected by centrifugal force ,w hich reflects the rule of w ater flo w pressure alo ng normal and tangent directio n of bucket.Keywords :spillway ,pressure distribution ,boundary layer.
Method for Evaluating Ultimate Subsea Pipeline
Stress in Anti -Seismic Design
S un Zhengce 1,2Duan Menglan 1,3Zhang Wen 2Y ue Zhiyong 4J ia X u 5Su J ing 5
(Yangtze University ,Jingz hou ,Hub ei ,434023,China )1　(Fu dan University ,Shanghai 200433,Chin a )2
(COPPE ,Federal University of Rio de Janeiro ,RJ68501Brazil )3
(Pekin g University ,Beijin g 100871,China )4　(CNOOC Research Center ,Beijing 100027,C hina )5
A bstract :Based on the plastic slippag e theory for soil -pipeline interaction ,a m ethod fo r evaluating the ulti -m ate seismic stress is developed ,w here the interactions of seismic stress w ith the geometric parameters and the buried depth of pipelines are co nsidered.A n engineering case dem onstrates that increasing w all
thickness of the pipeline and decreasing the buried depth enable to reduce the ultimate seismic stress ,en -larg ing the outer diameter of pipeline does not aparently lo wer the stress due to the enhanced soil con -straint.
Keywords :of f shore pipelines ,seismic design ,shear strength ,ultimate stress ,plastic constraint ,p lastic
slippage.
Analytical Relationships of Eigenvalue for a Simply Supported
Beam Between EBT and TBT
Ma Liansheng
Ou Zhiy ing
(S chool of Sciences ,Lanzhou University of Science and Techn ology ,Lanzhou 730050,C hina )
A bstract :Based on the mathem atical similarity of the eig envalue problem of the Euler -Bernoulli beam theo -ry (EBT )and Timoshenko beam theory (TBT ),relationships betw een the eig envalues of the tw o theo ries fo r beam s are investigated.Solving of the eigenvalue problem is converted into an algebra equation to be solv ed and the analy tical relationships that are expressed ex plicitly betw een various theo ries are presented.These relationships enable the conversio n of the classical (Euler -Bernoulli )beam solutions to their shear defo rmable co unterparts using the Timo shenko beam theory.The shear defo rmable results obtained from these relationships m ay be used to check the validity ,convergence and accuracy o f numerical results of the Timo shenko beam theory and Reddy 's third -orde r beam theo ry.Keywords :euler -be rnoulli beam theory ,tim oshenko beam theory ,analy tical relationship ,eigenv alue.
Ⅸ
No.3　CH INESE JOU RNAL OF APPLIED M ECH ANICS 。