经典理论与一阶理论之间简支梁特征值的解析关系_马连生

第23卷　第3期应用力学学报Vo l.23　No.3 2006年9月CHINESE JOURNAL OF APPLIED MECHANICS Sep.2006

文章编号:1000-4939(2006)03-0447-04

经典理论与一阶理论之间简支梁特征值的解析关系*

马连生欧志英

(兰州理工大学　兰州　730050)

摘要:利用Euler-Bernoulli梁理论(EBT)和Timoshenko梁理论(一阶理论,TBT)之间,梁的特征值问题在数学上的相似性,研究了不同梁理论之间特征值的关系。将特征值问题的求解转化为一个代数方程的求解,并导出了不同梁理论之间梁的特征值之间的精确解析关系。因此,只要已知梁的经典结果(临界载荷和固有频率),便很容易从这些关系中获得一阶梁理论下的相应结果。这些解析结果清楚地显示了横向剪切变形对经典结果影响的本质特点。另外,从这些关系中获得的含有剪切变形影响的结果,可以用于检验一阶理论下梁特征值数值结果的有效性、收敛性以及精确性等问题。

关键词:Euler-Bernoulli梁理论;Timo shenko梁理论;解析关系;特征值

中图分类号:TB330.1 文献标识码:　A

1　引　言

由于在高阶剪切变形梁(板)理论和经典理论之间,梁(板)弯曲、屈曲和振动的控制方程都存在数学上的相似性,这种相似性可以用经典结果来表示相应的高阶理论下的解。有关高阶剪切变形理论和经典理论之间梁或板弯曲解的精确关系方面的研究工作已经有很多报道。Wang和Lee[1]、Wang和Red-dy[2]、Wang等人[3]以及本文作者[4]分别研究了各种理论之间板屈曲和固有振动解的精确解析关系。关于不同梁理论下梁特征值的解析关系,尚无相应的研究结果报道。另外,从文[5]对功能梯度结构的研究结果可知,高于一阶的理论对于研究诸如临界载荷或者固有频率这样的整体响应,在计算精度上提高不大。

本文将梁的临界载荷和固有频率这样的特征值问题统一处理,利用经典梁理论(EBT)和一阶剪切变形梁理论(TBT)之间,梁的特征值问题在数学上的相似性,研究不同梁理论之间梁特征值的解析关系。最后将特征值问题的求解转化为求解一个代数方程,导出了不同梁理论之间梁特征值显式表达的精确解析关系。因此,只要已知梁的经典结果(临界载荷和固有频率),不需要经过较复杂的数学运算,便很容易从这些关系中获得一阶梁理论下的相应结果。

2　基本方程

考虑一个厚度为h、长度为l、横截面积为A的等截面梁。x轴在中面内,并沿轴线方向;z和y分别沿梁的高度和宽度方向。一阶梁理论下的位移场[6] U x(x,z,t)=z(x,t),　U z(x,z,t)=w(x,t)(1)式中w表示梁中面上点的挠度,为梁横截面在变形后的转动。根据该位移场,几何方程如下

εx=z,x,　γxz=+w,x(2) 设在梁端部作用有轴向压力p。根据H amilton 原理,可得运动方程

M x,x-Q x-I1,tt=0,

Q x,x-pw,xx-I0w,tt=0(3)

*基金项目:国家自然科学基金资助项目(10472039);甘肃省自然科学基金资助项目(ZS041-A25-007)来稿日期:2005-07-05　修回日期:2005-12-12

第一作者简介:马连生,男,1963年生,兰州理工大学理学院教授;研究方向:功能梯度材料结构的力学行为.E-mail:lsma@

式中各量定义如下:M x =∫A

σx z d A ;Q x =k x ∫

A

τ

xz d A ;(I 0,I 1)=∫

A

ρ(1,z 2

)d A ;k s 为剪切修正系数。

将内力分量表示为位移的函数形式M x =D x ,x ,　Q x =k s A xz ( +w ,x )

(4)

式中:D x =∫

A

Ez 2

d A ;　A xz =∫

A

G d A ;　E 、G 、ρ分别

为弹性模量、剪切模量、质量密度。

3　特征方程

设谐振动为:( ,w )=[ (x ), w (x )]e i ωt

,将其

代入式(3),并仍以( ,w )代[ (x ), w (x )],得到

M x ,x -Q x +I 1ω2

=0

(5a )Q x ,x -pw ,xx +I 0ω2

w =0

(5b )

式中ω是梁的固有频率。注意,在以上方程中,各量均与时间无关。

将式(5a )对x 求导一次并与式(5b )相加,得

M x ,xx -pw ,xx +I 0ω2w +I 1ω2

,x =0

(6)

将式(4)代入式(5a )和式(6),得到位移形式的方程

-pw ,xx +I 0ω2w +D x ,xx x +I 1ω2

,x =0

(7a )-k s A xz w ,x +D x ,xx -(k s A xz -I 1ω2

) =0(7b )

将式(7b )对x 求导一次,可将式(7)写成以下

矩阵形式

KY =0

(8)

这里Y ={w ,x }T

,K 是一个二阶算子矩阵,其各

元素含义如下

K 11(d 2

d x 2)=-p d 2

d x 2+I 0ω2

,

K 12(d 2d x 2)=D x d 2d x 2+I 1ω2

,K 21(d 2d x 2)=-k s A xz d 2

d x 2

,

K 22(d 2d x 2)=D x d 2

d x 2-(k s A xz -I 1ω2

)(9)

在式(8)中,消去

,x 可以得到D x (k s A xz

-p )(d 2d x 2+λ1)(d 2

d x

2+λ2)w =0(10)

式中λ1(i =1,2)是以下二次方程的两个根det [K (-λ)]=K 11(-λ)K 22(-λ)-K 12(-λ)K 21(-λ)=0

(11)

式(10)就是问题最终的特征方程。联系相应的边界条件,从中可以得到一阶理论下梁的振动或屈

曲问题的特征值和特征向量。

4

特征值的解析关系

设λ1是正根,将式(10)改写为

(d 2

d x

2+λ

1)y =0(12)

式中y ≡D x (k s A xz -p )(d 2

d x

2+λ2)w 。

对于简支端,有以下边界条件w =0,　w ,xx =0

(13)从条件(13)可知,对于简支端y 满足

y =0

(14)

Euler -Be rnouli 梁相应的特征值问题可以写成

[7-8]

(d 2d x

2+λE )w E =0,w E

|Γ=0

(15)

式中λE =

ρA /D x ωE (振动问题)或者λE =

p /D x (屈曲问题)。在本文中,上(下)标T 和E 分别

表示TBT 和EBT 下的物理量。

比较问题(12)、(14)与问题(15),可以得到

λ1=λE (16)将式(16)代入式(11),得到

det [K (-λE )]=B ω4

+C ω2

+D =0(17)

式中B =I 0I 1

(18a )

C =(-

D x I 0+pI 1-k s A xz I 1)λ

E -k s A xz I 0(18b )D =D x (-p +k s A xz )λ2

E -pk s A xz λE (18c )

在方程(17)中,令ω=0,即D =0,可以得到一阶理论与经典理论之间梁的临界屈曲载荷的解析关系

p T cr =p E

cr /(1+p E cr k s A xz )(19)

特别地,当端部压力作用改为均匀温度场作用时,临界屈曲热载荷T cr 可以表达为下式

T cr =p T

cr /(αE A )(20)

经典理论和三阶理论间梁固有频率关系为ω2

=(-C ±C 2-4BD )/2B

(21)

各向同性矩形截面梁自由振动的结果是

ω2T =

6D x

ρAh

4{[12 v +h 2ωE ρA D x

(1+ v )]-[12 v +h 2

ωE ρA D x (1+ v )]2-4 v ρA D x

h 4ω2

E }(22)式中 v =

k s

2(1+v )

。

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