概率论与数理统计复习总结PPT课件

对于任意的 k ，具有等式
P ( A i 1 A i 2 A i n ) P ( A i 1 ) P ( A i 2 ) P ( A i n )
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则称 A1,A2,,An为相互独立的事件。
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一（二）维随机变量 复习总结
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一、内容概要
1、随机变量的定义
设E是随机试验，它的样本空间 ，如 果对于每一个 ，有一个实数 X()与之 对应，这样就得到一个定义在 上的单实值 函数 XX()，称之为随机变量。
3、随机事件
我们把样本空间的子集称为随机事件。
4、随机事件的概率
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设E 是随机试验， 是它的样本空间，对
于 中的每一个事件A，赋予一个实数，记为 P(A) ，称为事件A的概率，如果集合函数
P() 满足下述三条公理:
公理1 0P(A)1
公理2 P()1
公理3 若事件A1, A2 ,…两两互不相容
2、离散型随机变量及其分布列
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如果随机变量X的只取有限个或可数个值
x1,x2,,xk,, 并且取各个值的对应概率为
p1,p2,,pk,, 即
P (X x k)p k (k 1 ,2 , )
则称 X为离散型随机变量，上式称为 X的概率 分布，又称分布密度或分布列。
离散型随机变量的分布列具有以下性质：
3lim F(x)F Fx 0; x lim F(x)F Fx 1; x
(4)x lxi0m 0F(x)F(x0) 即F (x)是右连续的。
4、连续型随机变量及其概率密度
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设 F是(x随) 机变量 的分X布函数，如果存在一
非负函数 ，使对f 任x意实数 有 x
FxPXx xf(t)d t
则称 X为连续型随机变量， f 为x 的X概率密度
函数，简称概率密度。
概率密度函数具有以下性质：
(1)f(x)0;
(2) f(x)dx1
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（3）对任意实数 x1 x2, 有
P (x 1 X x 2) F (x 2) F (x 1)x x 1 2f(x )dx
（4）若 f ( x)在点 x处连续，则
dF(x) f (x) dx
5、常用概率分布
概率论基本概念 复习总结
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一、内容概要
1、随机试验
设E为一个试验,如果它满足下机三个条件， 则称为随机试验： （1）可以在相同条件下重复进行; （2）事前可知它的全部结果，每次试验至 少且至多出现其中的一个结果； （3）在试验之前，不能确定出现哪个结果。
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2、样本空间
称随机试验E的所有可能结果组成的 集合称为 E的样本空间，记为 ，样本空 间中的元素，称为样本点。
与 A1,A2,,An之一同时发生，则
P(Ai |B)nP(Ai)P(B｜ Ai)
P(Aj)P(B｜ Aj)
j1
i1,2, ,n
这个公式称为贝叶斯公式。
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9、事件的独立性
设A, B是两个事件，满足 P (A) B P (A )P (B )
此时称A与B是相互独立的。 一般地，A1,A2,,An 是 n个事件，如果
5、古典概型
如果随机试验具有下列特点就称之为 古典概型：
（1）试验所有可能的结果个数有限,即 基本事件个数有限。
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（2）各个试验结果在每次实验中发生 的可能性是一样的。
对于古典概型, 设其样本空间 由n个样本
点组成 , 事件A由k 个样本点组成 。则定义 事件A 的概率为：
P(A) r A包含的样本点数
n 中的样本点总数
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6、条件概率
设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称 P(A| B) P(AB) P(B)
为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率。
7、乘法公式
若P(B)>0, 则P(AB)=P(B)P(A|B)
若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A)
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8、全概率公式和贝叶斯公式
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（1） pk0, k1,2,
（2）
pk 1
k 1
3、分布函数及其性质
设 X是一个随机变量，x是任意实数，函
数
F (x)P (Xx) ( x )
称为 X的分布函数。
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分布函数具有以下性质：
(1 )0 F (x ) 1 , x ;
( 2 )F ( x 1 ) F ( x 2 ), 对 x 1 x 2
则有 P ( A 1 A 2 ) P ( A 1 ) P ( A 2 )
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概率具有以下性质：
性质1（加法定理） 若 A1,A2,,An
是有限个两两互斥的事件，则
n
n
P(Ai )P(A)
i1
i1
性质2 对任一事件A ，有
P(A)1P(A)
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性质3 设Ａ、B是事件，若 AB, 则有 P (B A )P (B ) P (A ) P(B)P(A)
设 为随机试验的样本空间， A1,A2,,An
是两两互斥的事件，且 P(Ai)0, i1,2,,n,
n
Ai , 则对任一事件B，有
i 1 n
P(B) P(Ai)P(B｜Ai)
i1
这个公式称为全概率公式。
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设 A1,A2,,An 是两两互斥的事件，且
P (A i)0,i1 ,2, ,n,另有一事件B, 它总是
和 (x)表示：
(x)
1
x2
e 2,
x
2
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(x) 1
x X~E()
ex x0
f(x)
,
0 x0
0
6、二维随机变量及联合分布
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设 X ,Y 是两个随机变量，如果对任意 一组实数 x, y ，使得
{Xx,Yy}
是一个随机事件，则称为二维随机变量。
相应地，称 F ( x ,y ) P ( X x ,Y y )( x ,y ) 为二维随机变量 (X,Y的)联合分布函数。
（1）0-1分布
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P ( X 1 ) p , P ( X 0 ) 1 p
（2）二项分布 X~B(n,p)
P ( n ,k ,p ) C n k p k ( 1 p ) n k ,k 0 ,1 , ,n
（3）泊松分布 X~P()
P (X k)ke ,k0 ,1 ,2 , , 0
k !
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（4）几何分布 P (X k ) (1 p )k 1 p , k 1 ,2 ,
（5）均匀分布 X~U(a,b)
f(x)F(x)b 1a, axb. 0, 其它
（6）正态分布 X~N(,2)
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f(x) 1 e , (x22)2 x
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当 0,2 1时，称为标准正态分布,
记为 N(0,1)。其密度函数和分布函数常用(x)