线性方程组的直接解法
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又由 Ax b 知： b Ax A x . 因为 x 0 ，结合(5.6.1)，有
x
x
A A1
b
b
(5.6.2)
(5.6.2) 式 表 明 ： 当 b 有 扰 动 b 时 ， 所 引 起 的 解 的 相 对 误 差 不 超 过 b 的 相 对 误 差 乘
A A1 ，可见当 b 有扰动时， A A1 对方程组 Ax b 的解的变化是一个重要的衡量尺
度. 类似地，若方程组 Ax b 的右端 b 无扰动，而系数矩阵 A 非奇异，但有扰动 A ，相 应地方程组 Ax b 的解有扰动 x ，此时原方程组变为
( A A)( x x ) b
即
( A + A) x ( A) x .
1
当 || A
A |||| A1 |||| A || 1 时,
(5.6.3)
(5.6.3)式表明：当 A 的扰动 A 充分小时， A 的相对误差在解的相对误差中可能放大
A A1 倍.
2
综合(5.6.2)和(5.6.3)，引入条件数的概念. 定义 5.7 设 A 是非奇异矩阵，称数
Cond ( A) A A1
为矩阵 A 的条件数. 矩阵的条件数与范数有关，通常使用的条件数有： (1) Cond ( A) A
1
设 A 精确且非奇异， b 有微小扰动 b ，则方程组 Ax b 的解有扰动 x ，此时方程组 为
A( x x ) b b
由 Ax b ，得 A x b ，即 x A
1
b . 于是
(5.6.1)
x A1 b A1 b
分别考察常数项和系数矩阵的微小变化对方程组解的影响. 解 它的精确解是 x1 x2 1 .
先看常数项的微小变化对方程组解的影响.考察方程组
3 x1 5 2 2 3.0001 x2 5.0002
此时它的解是 x1 1 2,
例 5.10
3 2 的条件数 cond1 ( A) . 2 3.0001
解 A
3 2 ， A 1 max{ 2 2 , 3 3.0001} 6.0001 ； 2 3.0001 1 3.0001 3 1 3.0001 3 15000.5 15000 ， 2 0.0002 2 2 10000 10000 A 2
(5.6.4)
A1 ；
1 1
(2) Cond1 ( A) A 1 A (3) cond 2 ( A) A
2
A1
2
max ( AT A) min ( AT A)
当 A 是对称矩阵时
cond 2 ( A)
1 n
其中 1 与 n 为 A 的绝对值最大和最小的特征值 条件数是一个放大的倍数，当条件数较大时，方程组 Ax b 是病态方程组；当条件数 较小时，方程组 Ax b 是良态方程组. 计算矩阵 A
A + A A( I A1 A) 可逆. 有
.
x ( I A1 A) 1 A1 ( A) x
于是
x A1 A( x x) A1 A x / (1 || A1 A ||)
x
x
|| A1 |||| A || ( A / || A ||) 1 || A1 || A (|| A || / || A ||)
3
是相当准确的. 如果 r 很小，就认为解 x 是方程组 Ax b 的一个近似解，其精确解记 x ， r 为 x 的余量，则有 定理 5.8 设 x
x x x
证
cond ( A)
r b
（5.6.5）
) r ，故有 由于 Ax b, A( x x b Ax A x A1r A1 r x x
A1
A1 max{15000.5 10000 , 15000 10000} 25000.5 ；
1
Cond1 ( A) A 1 A1 6.0001 25000.5 150005.50005
1
5.6.2 精度分析
以后，自然希望判断其精度.检验精度的一个简单 求得方程组 Ax b 的一个近似解 x 再回代到原方程组去求出余量(或称残差) r : 办法是，将近似解 x r b Ax
程组 Ax b 的解向量 x 的变化 x 很大，则称方程组 Ax b 是“病态”方程组，相应的系 数矩阵 A 称为“病态” 矩阵.否则，分别称 Ax b 是“良态”方程组， A 称为“良态” 矩 阵. 例 5.9 设有方程组
3 x1 5 2 2 3.0001 x2 5.0001
第5章Baidu Nhomakorabea
线性方程组的直接解法
5.6 方程组的性态与误差分析
5.6.1 方程组的性态
在用数值计算方法求解线性方程组时，计算结果有时不准确，这可能有两种原因：一种 是计算方法不合理；另外一种是线性方程组本身的问题.判断一个计算方法的好坏，可从方 法是否稳定、解的精确度高低以及运算量、存储量大小等来衡量.然而，对于不同的问题， 同一方法却可以产生完全不同的效果，这是由方程组的性态所决定的. 定义 5.6 若在方程组 Ax b 中，系数矩阵 A 或 b 的变化 A 和 b 微小，可引起方
x2 2 .
再看系数矩阵的微小变化对方程组解的影响.考察方程组
3 x1 5 2 2 2.9999 x2 5.0001
此时它的解是 x1 4,
x2 1 .
我们需要一种能刻画矩阵和方程组“病态”程度的标准.暂不考虑矩阵 A 的扰动，仅考 虑 b 的扰动对方程组解的影响.
x
x
A A1
b
b
(5.6.2)
(5.6.2) 式 表 明 ： 当 b 有 扰 动 b 时 ， 所 引 起 的 解 的 相 对 误 差 不 超 过 b 的 相 对 误 差 乘
A A1 ，可见当 b 有扰动时， A A1 对方程组 Ax b 的解的变化是一个重要的衡量尺
度. 类似地，若方程组 Ax b 的右端 b 无扰动，而系数矩阵 A 非奇异，但有扰动 A ，相 应地方程组 Ax b 的解有扰动 x ，此时原方程组变为
( A A)( x x ) b
即
( A + A) x ( A) x .
1
当 || A
A |||| A1 |||| A || 1 时,
(5.6.3)
(5.6.3)式表明：当 A 的扰动 A 充分小时， A 的相对误差在解的相对误差中可能放大
A A1 倍.
2
综合(5.6.2)和(5.6.3)，引入条件数的概念. 定义 5.7 设 A 是非奇异矩阵，称数
Cond ( A) A A1
为矩阵 A 的条件数. 矩阵的条件数与范数有关，通常使用的条件数有： (1) Cond ( A) A
1
设 A 精确且非奇异， b 有微小扰动 b ，则方程组 Ax b 的解有扰动 x ，此时方程组 为
A( x x ) b b
由 Ax b ，得 A x b ，即 x A
1
b . 于是
(5.6.1)
x A1 b A1 b
分别考察常数项和系数矩阵的微小变化对方程组解的影响. 解 它的精确解是 x1 x2 1 .
先看常数项的微小变化对方程组解的影响.考察方程组
3 x1 5 2 2 3.0001 x2 5.0002
此时它的解是 x1 1 2,
例 5.10
3 2 的条件数 cond1 ( A) . 2 3.0001
解 A
3 2 ， A 1 max{ 2 2 , 3 3.0001} 6.0001 ； 2 3.0001 1 3.0001 3 1 3.0001 3 15000.5 15000 ， 2 0.0002 2 2 10000 10000 A 2
(5.6.4)
A1 ；
1 1
(2) Cond1 ( A) A 1 A (3) cond 2 ( A) A
2
A1
2
max ( AT A) min ( AT A)
当 A 是对称矩阵时
cond 2 ( A)
1 n
其中 1 与 n 为 A 的绝对值最大和最小的特征值 条件数是一个放大的倍数，当条件数较大时，方程组 Ax b 是病态方程组；当条件数 较小时，方程组 Ax b 是良态方程组. 计算矩阵 A
A + A A( I A1 A) 可逆. 有
.
x ( I A1 A) 1 A1 ( A) x
于是
x A1 A( x x) A1 A x / (1 || A1 A ||)
x
x
|| A1 |||| A || ( A / || A ||) 1 || A1 || A (|| A || / || A ||)
3
是相当准确的. 如果 r 很小，就认为解 x 是方程组 Ax b 的一个近似解，其精确解记 x ， r 为 x 的余量，则有 定理 5.8 设 x
x x x
证
cond ( A)
r b
（5.6.5）
) r ，故有 由于 Ax b, A( x x b Ax A x A1r A1 r x x
A1
A1 max{15000.5 10000 , 15000 10000} 25000.5 ；
1
Cond1 ( A) A 1 A1 6.0001 25000.5 150005.50005
1
5.6.2 精度分析
以后，自然希望判断其精度.检验精度的一个简单 求得方程组 Ax b 的一个近似解 x 再回代到原方程组去求出余量(或称残差) r : 办法是，将近似解 x r b Ax
程组 Ax b 的解向量 x 的变化 x 很大，则称方程组 Ax b 是“病态”方程组，相应的系 数矩阵 A 称为“病态” 矩阵.否则，分别称 Ax b 是“良态”方程组， A 称为“良态” 矩 阵. 例 5.9 设有方程组
3 x1 5 2 2 3.0001 x2 5.0001
第5章Baidu Nhomakorabea
线性方程组的直接解法
5.6 方程组的性态与误差分析
5.6.1 方程组的性态
在用数值计算方法求解线性方程组时，计算结果有时不准确，这可能有两种原因：一种 是计算方法不合理；另外一种是线性方程组本身的问题.判断一个计算方法的好坏，可从方 法是否稳定、解的精确度高低以及运算量、存储量大小等来衡量.然而，对于不同的问题， 同一方法却可以产生完全不同的效果，这是由方程组的性态所决定的. 定义 5.6 若在方程组 Ax b 中，系数矩阵 A 或 b 的变化 A 和 b 微小，可引起方
x2 2 .
再看系数矩阵的微小变化对方程组解的影响.考察方程组
3 x1 5 2 2 2.9999 x2 5.0001
此时它的解是 x1 4,
x2 1 .
我们需要一种能刻画矩阵和方程组“病态”程度的标准.暂不考虑矩阵 A 的扰动，仅考 虑 b 的扰动对方程组解的影响.