2018高考全国2卷理科数学带答案

t
h g s
绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷共23题，共150
分，共4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在
条形码区域内。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

1．12i 12i
+=
-A ．B ．C ．D ．43i 55--43i 55-+34i 55--34i
55
-+2．已知集合，则中元素的个数为
22{(,)|3,,A x y x y x y =+≤∈∈Z Z}A A ．9
B ．8
C ．5
D ．4
3．函数的图象大致为
2
e e ()x x
f x x --=4．已知向量，满足，，则a b ||1=a 1⋅=-a b (2)⋅-=a a b A ．4
B ．3
C ．2
D ．0
5．双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>
t
h
e
A．B．C．D．
y=y=y=y=
6．在中，，，则
ABC
△cos
2
C
=1
BC=5
AC=AB=
A．B C
7．为计算，设计了右侧的
11111
1
23499100
S=-+-++-
程序框图，则在空白框中应填入
A．1
i i=+
B．2
i i=+
C．3
i i=+
D．4
i i=+
8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，
30723
=+
随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是
A．B．C．D．
1
12
1
14
1
15
1
18
9．在长方体中，，与所成角
1111
ABCD A B C D
-1
AB BC
==
1
AA
1
AD
1
DB 的余弦值为
A．B C D
1
5
10．若在是减函数，则的最大值是
()cos sin
f x x x
=-[,]
a a
-a
A．B．C．D．
π
4
π
2
3π
4
π
11．已知是定义域为的奇函数，满足．若，()
f x(,)
-∞+∞(1)(1)
f x f x
-=+(1)2
f=则(1)(2)(3)(50)
f f f f
++++=
A．B．0C．2D．50
50
-
12．已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在1
F
2
F
22
22
1(0)
x y
C a b
a b
+=>>
：A C P 过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率
A
12
PF F
△
12
120
F F P
∠=︒C 为
A．B．C．D．
2
3
1
2
1
3
1
4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线在点处的切线方程为__________．
2ln(1)y x =+(0,0)14．若满足约束条件则的最大值为__________．
,x y 250,230,50,x y x y x +-⎧⎪
-+⎨⎪-⎩
≥≥≤z x y =+15．已知，，则__________．sin cos 1αβ+=cos sin 0αβ+=sin()αβ+=16．已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为
，与圆锥底面所成角为S SA SB 7
8
SA 45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________
．
SAB △三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考
题，每个试题考生都必须作答。

第22、23为选考题。

考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）
记为等差数列的前项和，已知，．
n S {}n a n 17a =-315S =-（1）求的通项公式；
{}n a （2）求，并求的最小值．n S n S 18．（12分）
下图是某地区
2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．
y 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回
y t 归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型①：t 1,2,,17 ；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立ˆ30.413.5y
t =-+t 1,2,,7 模型②：．ˆ9917.5y
t =+（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
19．（12分）
设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，
24C y x =：F F (0)k k >l C A B
．
||8AB =（1）求的方程；
l （2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．A B C 20．（12分）
如图，在三棱锥中，P ABC -AB BC ==，为的中点．
4PA PB PC AC ====O AC （1）证明：平面；
PO ⊥ABC （2）若点在棱上，且二面角为，M BC M PA C --30︒求与平面所成角的正弦值．PC PAM 21．（12分）
已知函数．
2
()e x
f x ax =-（1）若，证明：当时，；1a =0x ≥()1f x ≥（2）若在只有一个零点，求．
()f x (0,)+∞a （二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的
第一题计分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方
xOy C 2cos ,4sin ,x θy θ=⎧⎨=⎩
θl 程为（为参数）．
1cos ,2sin ,x t αy t α=+⎧⎨=+⎩
t （1）求和的直角坐标方程；
C l （2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．
C l (1,2)l 23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）
设函数．
()5|||2|f x x a x =-+--（1）当时，求不等式的解集；1a =()0f x ≥（2）若，求的取值范围．
()1f x ≤a 绝密★启用前
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理科数学试题参考答案
一、选择题1．D 2．A 3．B 4．B 5．A 6．A 7．B 8．C
9．C
10．A
11．C
12．D
二、填空题13．2y x =14．9
15．12
-
16
．三、解答题17．解：
（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-．由17a =-得d =2．
所以{}n a 的通项公式为29n a n =-．
（2）由（1）得228(4)16n S n n n =-=--．
所以当n =4时，n S 取得最小值，最小值为−16．
18．解：
（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
ˆ30.413.519226.1y
=-+⨯=(亿元)．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
ˆ9917.59256.5y
=+⨯=(亿元)．（2）利用模型②得到的预测值更可靠．
理由如下：
（ⅰ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线
30.413.5y t =-+上下．这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好
地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性
e 模型ˆ9917.5y
t =+可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．
（ⅱ）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到
的预测值226．1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理．说明利用模型②得到的预测值更可靠．
以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．
19．解：
（1）由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->．设1221(,),(,)A y x y x B ，由2
(1),
4y k x y x
=-⎧⎨
=⎩得2222
(24)0k x k x k -++=．
2
16160k ∆=+>，故1222
24
k
x k x ++=．所以1222
44
||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=．
由题设知22
44
8k k
+=，解得1k =-（舍去），1k =．
因此l 的方程为1y x =-．
（2）由（1）得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为
2(3)y x -=--，即5y x =-+．
设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则
0022
0005,
(1)(1)16.2
y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=
+⎪⎩解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩因此所求圆的方程为2
2
(3)(2)16x y -+-=或2
2
(11)(6)144x y -++=．
20．解：
（1）因为4AP CP AC ===，O 为AC 的中点，所以OP AC ⊥，且OP =
连结
OB ．因为AB BC AC ==
，所以ABC △为等腰直角三角形，且OB AC ⊥
，1
22
OB AC =
=．由222OP OB PB +=知PO OB ⊥．由,OP OB OP AC ⊥⊥知PO ⊥平面ABC ．
（2）如图，以O 为坐标原点，OB u u u r
的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系
O xyz -．
由已知得(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),(0,0,(0,2,O B A C P AP -=u u u r
取平面PAC 的法向量(2,0,0)OB =u u u r
．
设(,2,0)(02)M a a a -<≤，则(,4,0)AM a a =-u u u r
．
设平面PAM 的法向量为(,,)x y z =n ．
由0,0AP AM ⋅=⋅=u u u r u u u r n n 得20(4)0
y ax a y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，可取
,)a a =--n ，
所以cos ,OB =u u u r
n ．由已知得
|cos ,|OB =u u u r n ．．解得4a =-（舍去），43a =．
所以4(3=-n ．又(0,2,PC =-u u u r ，所以cos ,PC =
u u u r n 所以PC 与平面PAM
21．解：
（1）当1a =时，()1f x ≥等价于
2(1)e 10x x -+-≤．设函数2()(1)e 1x g x x -=+-，则
22()(21)e (1)e x x
g'x x x x --=--+=--．当1x ≠时，()0g'x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减．而(0)0g =，故当0x ≥时，()0g x ≤，即()1f x ≥．
（2）设函数
2()1e x
h x ax -=-．()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点．
（i ）当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点；
（ii ）当0a >时，()(2)e x
h'x ax x -=-．
当(0,2)x ∈时，()0h'x <；当(2,)x ∈+∞时，()0h'x >．所以()h x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增．
故
24(2)1e a
h =-
是()h x 在[0,)+∞的最小值．
h
e e
①若(2)0h >，即
2
e 4a <
，()h x 在(0,)+∞没有零点；②若(2)0h =，即
2e 4a =
，()h x 在(0,)+∞只有一个零点；③若(2)0h <，即
2e 4a >
，由于(0)1h =，所以()h x 在(0,2)有一个零点，由（1）知，当0x >时，2
e x x >，所以
33342241616161
(4)11110
e (e )(2)a a a a a h a a a =-=->-=->．
故()h x 在(2,4)a 有一个零点，因此()h x 在(0,)+∞有两个零点．
综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，
2e 4a =
．22．．解：
（1）曲线C 的直角坐标方程为22
1
416x y +=．
当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-，
当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．
（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程
22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①
因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为1t
，
2t ，则
120t t +=．
又由①得
1224(2cos sin )13cos t t ααα++=-
+，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率
tan 2k α==-．
23．解：
a
（1）当1a =时，
24,1,()2,12,
26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪
=-<≤⎨⎪-+>⎩
可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤．（2）()1f x ≤等价于|||2|4x a x ++-≥．
而|||2||2|x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于|2|4a +≥．由|2|4a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞ ．
21（12分）
已知函数2()e x f x ax =-．
（1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥；
（2）若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a ．解：
（1）()e 2x f x x '=-，()e 2x f x ''=-．
当ln 2x <时，()0f x ''<，当ln 2x >时，()0f x ''>，所以()f x '在(,ln 2)-∞单调递减，在(ln 2,)+∞单调递增，故()(ln 2)22ln 20f x f ''≥=->，()f x 在(,)-∞+∞单调递增．
因为0x ≥，所以()(0)1f x f ≥=．
（2）当0x >时，设2e ()x
g x a x
=-，则2()()f x x g x =，()f x 在(0,)+∞只有一个零
点等价于()g x 在(0,)+∞只有一个零点．
3
e (2)
()x x g x x
-'=，当02x <<时，()0g x '<，当2x >时，()0g x '>，所以()g x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增，故2
e ()(2)4
g x g a ≥=-．
若2e 4
a <，则()0g x >，()g x 在(0,)+∞没有零点．
若2
e 4a =，则()0g x ≥，()g x 在(0,)+∞有唯一零点2x =．
若2
e 4
a >，因为(2)0g <，由（1）知当0x >时，2e 1x x >+，
22e 1()1x g x a a x x =->+-
，故存在1(0,2)x ∈⊆，使1()0g x >．
4422e e (4)1616a a g a a a
a a =->-2e x x >，。