平面的基本性质和推论
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1.2.1平面的基本性质 与推论
一、复习回顾
点A在直线l上 点A在直线l外 点A在平面 内 点A在平面 外 直线l在平面 内 直线l在平面 外
●
A
●
l l
●
A
A
●
A
l l l
Al Al A A
l
l
二.引领探究
文字语言： 公理1 如果一条直线上有两点在一个平面内，
那么这条直线上所有的点都在这个平面内．
图像语言：
符号语言：
A
l
B
A , B 直线 AB
作用： 判定直线是否在平面内．
练习 . 已知直线 AB、AC 都在平面 内， 求证：BC 也在平面 内.
证明： AB , AC
B ,C
BC
证明：因为EF GH P， 且EF 平面ABD，GH 平面BCD 所以P （平面ABD 平面BCD） B 又因为平面ABD 平面BCD BD
所以P BD, 即B, D, P三点共线
G C F H D P E
三.当堂检测
(1Biblioteka Baidu两个平面的公共点的个数可能有......( D (A)0 (B)1 (C)2 (D)０或无数 )
三条直线相交于一点，用其中的两条确定 平面，可以确定1、3个。
4条直线相交于一点时：
(1)、4条直线 全共面时 (2)、有3条直线 共面时 (3)、每2条直线 都确定一平面时
三条直线相交于一点，用其中的两条 确定平面，可以确定1、4、6个。
四.课堂小结
• 三点共线问题：公共点在公共直线上 • 共面问题：找平行直线或相交直线 • 三线共点问题：先证两条直线交于一点，然后证交 点在第三条直线上
B
A
推论3
C
经过两条平行直线， 有且只有一个平面．
引领探究
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
P 作用：
l
P （ ） l , 且P l
① 判断两个平面相交； ② 判断点在直线上．
练习.如图三棱锥A-BCD中，E,F,G,H分别是 AB,AD,BC,DC上的点，已知EF,GH的延长 线交与点P。 A 求证：P,B,D三点共线
引领探究
公理2 经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
B
A
C
A, B, C三点不共线 有且只有一个平面 使A , B , C
作用：确定平面的依据.
公理2的推论
A B
C
推论1
经过一条直线和直线外的
一点，有且只有一个平面 ．
A
C
B
推论2
经过两条相交直线， 有且只有一个平面．
五.提高与升华： 思考： 正方体中，试画出过其中三条棱的
中点P,Q,R的平面截得正方体的截面 形状．
(2)三个平面两两相交,则它们交线的条数……( B )
(A)最多4条最少3条 (C)最多3条最少2条 (B)最多3条最少1条 (D)最多2条最少1条
例. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交 于点O,AC交BD于点M,E为AB的中点，F为AA1的中点。求证： (1) C1,O,M三点共线； (2)E,C,D1,F四点共面； (3)CE,D1F,DA三线共点。 D1 C1
A1 B1
F D A E
O
M
B
C
当堂检测 (3)三条直线相交于一点，用其中的两条确定 一个平面，可以确定的平面数是_______; (4)四条直线过同一点，过每两条直线作一个 平面，则可以作_____________个不同的 平面 .
3条直线相交于一点时：
(1)、3条直线共面时 (2)、每2条直线确定一平面时
一、复习回顾
点A在直线l上 点A在直线l外 点A在平面 内 点A在平面 外 直线l在平面 内 直线l在平面 外
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A
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l l
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A
A
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A
l l l
Al Al A A
l
l
二.引领探究
文字语言： 公理1 如果一条直线上有两点在一个平面内，
那么这条直线上所有的点都在这个平面内．
图像语言：
符号语言：
A
l
B
A , B 直线 AB
作用： 判定直线是否在平面内．
练习 . 已知直线 AB、AC 都在平面 内， 求证：BC 也在平面 内.
证明： AB , AC
B ,C
BC
证明：因为EF GH P， 且EF 平面ABD，GH 平面BCD 所以P （平面ABD 平面BCD） B 又因为平面ABD 平面BCD BD
所以P BD, 即B, D, P三点共线
G C F H D P E
三.当堂检测
(1Biblioteka Baidu两个平面的公共点的个数可能有......( D (A)0 (B)1 (C)2 (D)０或无数 )
三条直线相交于一点，用其中的两条确定 平面，可以确定1、3个。
4条直线相交于一点时：
(1)、4条直线 全共面时 (2)、有3条直线 共面时 (3)、每2条直线 都确定一平面时
三条直线相交于一点，用其中的两条 确定平面，可以确定1、4、6个。
四.课堂小结
• 三点共线问题：公共点在公共直线上 • 共面问题：找平行直线或相交直线 • 三线共点问题：先证两条直线交于一点，然后证交 点在第三条直线上
B
A
推论3
C
经过两条平行直线， 有且只有一个平面．
引领探究
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
P 作用：
l
P （ ） l , 且P l
① 判断两个平面相交； ② 判断点在直线上．
练习.如图三棱锥A-BCD中，E,F,G,H分别是 AB,AD,BC,DC上的点，已知EF,GH的延长 线交与点P。 A 求证：P,B,D三点共线
引领探究
公理2 经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
B
A
C
A, B, C三点不共线 有且只有一个平面 使A , B , C
作用：确定平面的依据.
公理2的推论
A B
C
推论1
经过一条直线和直线外的
一点，有且只有一个平面 ．
A
C
B
推论2
经过两条相交直线， 有且只有一个平面．
五.提高与升华： 思考： 正方体中，试画出过其中三条棱的
中点P,Q,R的平面截得正方体的截面 形状．
(2)三个平面两两相交,则它们交线的条数……( B )
(A)最多4条最少3条 (C)最多3条最少2条 (B)最多3条最少1条 (D)最多2条最少1条
例. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交 于点O,AC交BD于点M,E为AB的中点，F为AA1的中点。求证： (1) C1,O,M三点共线； (2)E,C,D1,F四点共面； (3)CE,D1F,DA三线共点。 D1 C1
A1 B1
F D A E
O
M
B
C
当堂检测 (3)三条直线相交于一点，用其中的两条确定 一个平面，可以确定的平面数是_______; (4)四条直线过同一点，过每两条直线作一个 平面，则可以作_____________个不同的 平面 .
3条直线相交于一点时：
(1)、3条直线共面时 (2)、每2条直线确定一平面时