土力学第4章土中应力

土中的附加应力是由建筑物荷载所引起的应力增量，(即指建筑物荷重 在土体中引起的附加于原有应力之上的应力)。假设地基土是均匀、连续、 各向同性的半无限空间线形弹性体，一般采用将基底附加压力当作作用在 弹性半无限体表面上的局部荷载，用弹性理论求解的方法计算。 计算方法假设：
1.将地基看成是均质的线性变形半空间，直接采用弹性力学解答 2.将基底压力看成是柔性荷载，而不考虑基础刚度的影响
因此，基底附加压力p0是上部结构和基础传到基底的地基反力与基底处 原先存在于土中的自重应力之差(新增加的应力），对于中心受压基础则 为：

式中：p--基础底面总的压力(kPa)； γ----基础埋深范围内土的重度 (kN/m3)； D--基础埋置深度 (m) 。
23
土中附加应力…1
力）等于单位面积上土柱体的重力G，如图所示。在深度z处土的自重应力 为：
s cz

G A

zA
A


z
式中， —为土的重度，KN/m3； A —土柱体的截面积，m2。
从上式可知，自重应力随深度z线性增加，呈三角形分布图形。
土中自重应力计算…3
成层土自重应力计算
地基土通常为成层土。当地基为成层土体时，设各土层的厚度为hi，
pmax 3KL 其中 K B e
2
图 单向偏心荷载下的基底压力
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2、条形基础（长度上取一延米计算）
pmmianx

P B
1
6e B

思考：在倾斜荷载作用下，基底压力的 分布形式是怎样的？
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4.3.3 基底附加压力
基础通常是埋置在天然地面下一定深度的，这个深度就是基础埋置深度。 由于天然土层在自重作用下的变形已经完成，故只有超出基底处原有自 重应力的那部分应力才使地基产生附加变形。
压为正，拉为负，剪应力以逆时针为正
饱和土的有效应力原理…1
公式推导
如图示横截面a-a，面积为A，孔隙被水所充满，由于孔隙是连续的，
所以孔隙水也是连续的，并且与地下水自由连通。当上部作用应力s时，在
a-a截面上应有孔隙水压力和固体颗粒之间的接触应力与之平衡。在颗粒接 触点，存在粒间力Ps， Ps的大小和方向是随机的，故可将其分解为竖向和 水平向两个分力，竖向分力为Psz
难肯定，在工程实践中一般均按土体受到水浮力作用来考虑。 ◇若地下水位以下的土受到水的浮力作用，则水下部分土的重度按有
效重度 ′计算，其计算方法同成层土体情况。
土中自重应力计算…5
存在隔水层时土的自重应力计算
当地基中存在隔水层时，隔水层面以下土的自重应考虑其上的静水压 力作用。
n
s cz ihi whw i 1
竖向正应力sz及地表上距集中力为r处的竖向位移w（沉降）可表示成如下形
式：
sz

3P cos3 2 R2

3P z3
2 R5
3P
1
P

2 z2

[1

(
r
)
2
5
]2

K
z2
w
P(1 m ) z2 [
z 2(1 m)
1]
2 E R3
R
式中，K—土的竖向附加应力系数，
是r/z的函数，查表。
土体在无侧向变形条件下有效小主应力s 3与有效大主应力 s1之比。
题目：【例题3-1】某建筑场地的地质柱状图和土 的有关指标列于例图3-1中。试计算地面下深度为 2.5m，5m和9m处的自重应力，并绘出分布图。
答案及分析：【解】 本例天然地面下第一层粉土 厚6m，其中地下水位以上和以下的厚度分别为 3.6m和2.4m；第二层为粉质粘土层。依次计算 2．5m，3．6m、5m、6m、9m各深度的土中竖向 自重应力，计算过程及自重应力分布图一并列于例 图3-1中
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16
4.3 基底压力
基础底面传递给地基表面 的压力称为基底压力。
4.3.1、基底压力的分布规律
（一）基础刚度的影响
各种基础按与土的相对抗 弯刚度（EI）分为三种类 型
1、弹性地基上的完全柔性
基础（E I=0）
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2、弹性地基上的绝对刚性基础 （E I=∞）
3、弹塑性地基上的有限刚度基 础
概述…2
二 、 土中应力计算的目的及方法 ◇土中应力增量将引起土的变形，从而使建筑物发生下沉、倾斜及水
平位移等； ◇土中应力过大时，也会导致土的强度破坏，甚至使土体发生滑动而
失稳。 土中应力状态→土体的变形、强度及稳定性
土中一点应力状态分析 通过平面应力问题分析，一点的应力状态可由sx，sy，txy或最大、最
小主应力s1，s3完全确定。
概述…3
由材料力学的知识材料点的最大、最小主应力为：
s1 sx s y
s3
2
s
(
x
s
2
y
)2

t
2 xy
则斜截面的应力：
s

s1
s3 2

s1
s3 2
cos
t

s1
s3
sin

2
摩尔圆
概述…4
应力符号规定
法向应力以压为正，剪应力方向的符号规定则与材料力学相反。材料 力学中规定剪应力以顺时针方向为正，土力学中则规定剪应力以逆时针方 向为正。
◇竖向集中力作用；
◇任意分布荷载作用下；
◇均布矩形荷载作用；
◇矩形面积三角形分布荷载作用；
◇圆形面积均布荷载作用；
◇条形荷载作用；
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土中附加应力…2
竖向集中力作用土中附加应力计算
在均匀的、各向同性的半无限弹性体表面作用一竖向集中力P时，半无
限体内任意点M的应力可由布辛奈斯克解计算，如下图所示。工程中常用的
应力为
ds z

3z3 p0dxdy
2 R5
s z

A
ds
3 p0z3
2
lb
0 0(
dxdy
x2 y2 z2 )5
Kc p0
式中，Kc称为竖直均布压力矩形基底角点下的附加应力系数，它是m，n的
函数，其中m=l/b，n=z/b。l是矩形的长边，b是矩形的短边，而z是从基底
2.关于线弹性体问题

理想弹性体的应力与应变成正比直线关系，且应力卸
除后变形可以完全恢复。土体则是弹塑性物质，它的应力
应变关系是呈非线性的和弹塑性的，且应力卸除后，应变
也不能完全恢复。
3.关于均质、等向问题

理想弹性体应是均质的各向同性体。而天然地基往往
是由成层土组成，为非均质各向异性体。
2
土中自重应力计算…1
由于土本身的有效重力引起的应力称为自重应力。自重应力一般是自 土体形成之日起就产生于土中。
◇均质土自重应力计算； ◇成层土自重应力计算； ◇有地下水土时自重应力计算； ◇存在隔水层时水土自重应力计算； ◇土中水平自重应力。
土中自重应力计算…2
均质土自重应力计算 在深度z处平面上，土体因自身重力产生的竖向应力scz（称竖向自重应
式中，i—第i层土的天然重度，对地下水位以下的土取有效重度 i′；hw—
地下水到隔水层的距离(m)。 在地下水位以下，如埋藏有隔水层,由于不透水层中不存在水的浮力，
所以层面及层面以下的自重应力应按上覆土层的水土总重计。
折线图遇地下水时折线往回收；遇隔水层时有一突跃值(教材图2-4)
土中自重应力计算…6
3
K

2[1
(r
5
)2 ]2
25
z
土中附加应力…3
等代荷载法——基本解答的初步应用
由于集中力作用下地基中的附加应力sz仅是荷载的一次函数，因此当若 干个竖向集中力Pi(i=1，2，…，n）作用于地表时，应用叠加原理，地基中z 深度任一点M的附加应力sz应为各集中力单独作用时在该点所引起的附加应 力总和。
s z

n
Ki
i 1
Pi z2

1 z2
n
Ki Pi
i 1
式中：Ki——第i个竖向附加应力系数。
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土中附加应力…4
任意分布荷载作用下土中附加应力计算
对实际工程中普遍存在的分布荷载作用时的土中应力计算，如下方法 处理：当基础底面的形状或基底下的荷载分布不规则时，可以把分布荷载 分割为许多集中力，然后用布辛奈斯克公式和叠加原理计算土中应力。当 基础底面的形状及分布荷载都是有规律时，则可以通过积分求解得相应的 土中应力。
4.1 概述
1 、应力～应变关系的假定
真实土的应力～应变关系是非常复杂的，目前常把土 当成线弹性体，即假定其应力与应变呈线性关系，服从广 义虎克定律，从而可直接应用弹性理论得出应力的解析解。
1.关于连续介质问题

弹性理论要求：受力体是连续介质。而土是由三相物
质组成的碎散颗粒集合体，不是连续介质。
通常认为水下的砂性土是应该考虑浮力作用的。
粘性土则视其物理状态而定： ◇若水下的粘性土其液性指数IL＞1，则土处于流塑(液态)状态，土颗
粒之间存在着大量自由水，可认为土体受到水浮力作用； ◇若IL ≤0，则土处于坚硬(固态)状态，土中自由水受到土颗粒间结合
水膜的阻碍不能传递静水压力，故认为土体不受水的浮力作用； ◇若0＜IL＜1，土处于塑性状态，土颗粒是否受到水的浮力作用就较
土中水平自重应力计算
假定在自重作用下，没有侧向变形和剪切变形。根据弹性力学理论和
土体侧限条件，则水平自重应力scx，scy有：
竖向自重应力： scz z
水平自重应力： scx scy K0scz
静止土压力系数：
K0

m 1 m
式中，m —泊松比，K0—也叫侧压系数，(0.33~0.72)，通过实验测定，它是
u—— 作用于同一平面的孔隙水上，性质与普通静水压力相同 上式即为饱和土有效应力原理的表达式。 本公式适用条件：（1）饱和土（2）粘性土 有效应力原理要点： 太沙基(Terzaghi)首次将有效应力原理内容归纳为两点: ◇饱和土体内任一平面上受到的总应力可分为有效应力和孔隙水压力 两部分 ◇土的变形(压缩)与强度的变化都取决于有效应力的变化
饱和土的有效应力原理…3
为帮助理解使土颗粒受压变密的并不是作 用于其上的总应力这一概念，考察海底的一粒 砂。
水深H=1000米，海底面砂上的总应力
s z w H 10000 kPa H
事实上，砂粒并未压入海底土层，因为砂
sz=wH 粒上实际作用为重力与浮力之间的差值。
海底
约0.9×10-5N
My Iy
x
（2）单向偏心荷载
pmmianx

P A
1
6e B

图双向偏心荷载下的基底压力
20
①e＜B/6，pmin＞0，p为梯形分布 ②e＝B/6，pmin=0，p为三角形分布 ③e＞B/6，pmin＜0，应根据力的平衡原理确定下值
基础受压宽度
B 3 B e 2 2P
第4章 土中应力
基本内容：
掌握土中三种应力（自重应力、基底压力以及各种荷载条件下的土中 附加应力）计算方法。
学习基本要求
◆掌握土中自重应力计算； ◆掌握基底压力和基底附加压力分布与计算； ◇掌握圆形面积均布荷载、矩形面积均布荷载、 矩形面积三角形分布 荷载以及条形荷载等条件下的土中竖向附加应力计算方法； ◇了解地基中其他应力分量的计算公式。
由 a-a 面竖向平衡条件得：
s A
Psz uAw s
PsAw A
s
因为颗粒间点接触，面积As0.3A 所以Aw/A1
饱和土的有效应力原理…2
s su
式中, s——作用在土中任意面上的总应力(自重应力与附加应力)
s — —有效应力,作用于同一平面的土骨架上，也称粒间力
重度为i，则在深度z处土的自重应力计算公式为：
n
s cz ihi i 1
n
z hi i 1
式中， n—从地面到深度z处的土层数； hi—第i层土的厚度，m。
成层土的自重应力沿深度呈折线分布，转折点位于值发生变化的土
层界面上。
土中自重应力计算…4
有地下水土时自重应力计算
当计算地下水位以下土的自重应力时，应根据土的性质确定是否需要 考虑水的浮力作用。
（二）荷载和土性的影响
图 刚性基础的基底压力分布
荷载增大
图实测刚性基础底面上的压应力分布
18
二、基底压力计算
（一）中心荷载作用
矩形基础 条形基础
p P FG AA
p P FG BB
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（二）偏心荷载作用
1、矩形基础 （1）双向偏心荷载
px y

P A

Mx Ix
y

sz

n
s zi
i 1

3z3
2
n i 1
pi Ai Ri5
比较
sz

3P 2

z3 R5

K
P z2
27
土中附加应力…5
均布矩形荷载作用土中附加应力计算
在地基表面作用一分布于矩形面积(l×b)上的均布荷载p，计算矩形面积
中点下深度z处M点的竖向应力sz值，可从下式解得：
微面积dxdy上的微集中力p0dxdy，基底角点O下z深度处所引起的附加