概率论与数理统计 第三版课后答案

解 （1）试验 E 为 1700 个产品中任取 200 个，共有C1270000 种取法，其中恰有 90 个次品
的取法为
C 90 500
·
C110 1200
，故恰有
90
个次品的概率为
P1
C 90 500
C 110 1200
C 200 1700
3
（2）设事件 A 表示至少有 2 个次品，B 表示恰有 1 个次品，C 表示没有次品，则 A=S-(B ∪C)，且 BC=φ，B∪CS
∴事件 A 应满足关系：y≥1+x，y≤x-2，
5
1 (24 1)2 1 (24 2)2
L(A) 2
2
P(A)
L( A)
1 (232 2
222 )
0.879
L()
百度文库
242
。
14．已知
P( A) 1 , P(B A) 1 , P( A B) 1 ,
4
3
2
求 P(B), P(A B) 。
种（因为不考虑取 4 只鞋的次序，所以被 4！
除）。
1086 4
P(A)
4! C140
8 0.381 21
P( A) 1 P( A) 1 8 13 0.619
故
21 21
另一解法：有利于事件 A 的总数为 C51C82 C52 (C52是重复的数目)
P(A)
C51C82 C52 C140
10!
10．从 5 双不同的鞋子中任取 4 只，这 4 只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是多 少？
解 VΩ=C410，设 A 表示事件“4 只鞋中至少有 2 只配成一双”，则 A 表示“4 只鞋中
没有 2 只能配成一双”。先求出 P( A )，再求 P(A)。
1086 4
有利于 A 的情形共有 4!
13 0.619 21
11．将 3 鸡蛋随机地打入 5 个杯子中去，求杯子中鸡蛋的最大个数分别为 1，2，3 的概 率。
解 依题意知样本点总数为 53 个。
以 Ai(i=1, 2, 3)表示事件“杯子中鸡蛋的最大个数为 i”，则 A1 表示每杯最多放一只鸡
蛋，共有 A53 种放法，故
P( A1 )
A53 53
12 25
4
A2 表示由 3 个鸡蛋中任取 2 个放入 5 个杯中的任一个中，其余一个鸡蛋放入其余 4 个
杯子中，放法总数为 C32C51C41 种
P( A2 )
C32
C51
C
1 4
53
12 25
A3 表示 3 个鸡蛋放入同一个杯中，共有 C51 种放法，故
P( A3 )
C51 53
易知： A1, A1 A2 , A1 A2 A3 是互不相容的。
P( A) P( A1 A1 A2 A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A1 A2 ) P( A1 A2 A3 )
P( A1 ) P( A1 )P( A2 | A1 ) P( A1 )P( A2 | A1 )P( A3 ) | A1 A2 )
1 9 1 9 81 3
∴
10 10 9 10 9 8 10
同理，当已知最后一个数字是偶数时，所求概率是
P1 41 4313 5 54 543 5
基本事件总数为 V A53 ，
VA A42 3,
(1)
P(A) A42 3 36 0.6
A53
60
；
VB A42 1,
(2)
P(B)
A42 1 A53
12 60
0.2
；
VC 4 3!,
(3)
P(A) 4 3! 24 0.4
A53 60
；
VD A42 2 A31 A31,
解 随机试验 E 为任意取 9 桶交与定货人，共有 C197 种交货方式。其中符合定货要求的
有 C140 · C43 · C32 种，故所求概率为
P C140C43C32 252
C197
2431
8．在 1700 个产品中有 500 个次品、1200 个正品。任取 200 个。（1）求恰有 90 个次品 的概率；（2）求至少有 2 个次品的概率。
解 （1） AB C ，（2） ABC ，（3） A B C ，（4） ABC ，（5） ABC ，
（6） AB AC BC 或 ABC ABC ABC ABC ，
（7） A B C ，
1
（8） AB AC BC 或 ABC ABC ABC ABC
3．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作图说明。
解 设自当天 0 时算起，甲乙两船到达码头的时刻分别为 x 及 y，则Ω为：0≤x≤ 24，0≤y≤24，∴L(Ω)=242，设所论事件为 A，则有利于 A 的情形分别为：
（1）当甲船先到时，乙船应迟来一小时以上，
即 y-x≥1 或 y≥1+x；
（2）当乙船先到时，甲船应迟来两小时以上，
即 x-y≥2 或 y≤x-2；
(4)
P(D) A42 2 A31 A31 33 0.55
A53
60
。
7．某油漆公司发出 17 桶油漆，其中白漆 10 桶、黑漆 4 桶、红漆 3 桶，在搬运中所有 标签脱落，交贷人随意将这些油漆发给顾客。问一个定货 4 桶白漆、3 桶黑漆和 2 桶红漆的 顾客，能按所定颜色如数得到定货的概率是多少？
（5） {(x,y) 0<x<1,0<y<1}。
（6） { t t 0}。
2．设 A，B，C 为三事件，用 A，B，C 的运算关系表示下列各事件，。 （1）A 发生，B 与 C 不发生。 （2）A 与 B 都发生，而 C 不发生。 （3）A，B，C 中至少有一个发生。 （4）A，B，C 都发生。 （5）A，B，C 都不发生。 （6）A，B，C 中不多于一个发生。 （7）A，B，C 至少有一个不发生。 （8）A，B，C 中至少有两个发生。
{ i i 0,1,,100n},
解 （1）
n
其中 n 为班级人数。
（2） {3,4,,18} 。
（3） {10,11,}。
（4） {00，100，0100，0101，0110，1100，1010，1011，0111，1101，
0111，1111}，其中 0 表示次品，1 表示正品。
(3) 成立， B A, B AB,又AB B, B AB 。
(4) 成立。 (5) 不成立，因左边包含事件 C，右边不包含事件 C，所以不成立。 (6) 成立。因若 BC≠φ，则因 CA，必有 BCAB，所以 AB≠φ与已知矛盾，
所以成立。 图略。
4．简化下列各式：
（1） ( A B)(B C) （2）( A B)(A B ) （3）( A B)(A B )(A B) 解:（1） ( A B)(B C) AB AC B BC ，因为 AB BC B ， 所以， ( A B)(B C) B AC 。
事件，且 P（A）＝P（B）＝ P（C）＝ 4 ，
8 求 A，
B，C 至少有一个发生的概率。 解 ∵ABCAB ∴0∠P(ABC)∠P(AB)=0，故 P(ABC)=0 ∴所求概率为
2
P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)
1 1 1 01007
0 x a , 0 y a , a x y a.
2
22
L( A) 1 ( a )2 ,
P( A)
L( A)
1 (a)2 22
1
0.25
L() 1 a2 4
其面积为
22
2
。
13．甲乙两艘轮船要在一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内到达的 时刻是等可能的。若甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中任何一 艘都不需等候码头空出的概率。
（2） ( A B)(A B ) A AB BA BB ， 因为 AB BA A A ，
BB 且 C C ，所以 (A B)(A B ) A 。
（3）( A B)(A B )(A B) A( A B) AB AB 。 5．设 A，B，C 是三
1 P( AB) P(BC) 0, P( AC) 1 ,
442
8
8
6． 从 1、2、3、4、5 这 5 个数中，任取其三，构成一个三位数。试求下列事件的概
率：
（1）三位数是奇数；
（2）三位数为 5 的倍数；
（3）三位数为 3 的倍数；
（4）三位数小于 350。
解 设 A 表示事件“三位数是奇数”， B 表示事件“三位数为 5 的倍数”，
C 表示事件“三位数为 3 的倍数”，D 表示事件“三位数小于 350”。
（1） A B AB B
（2） AB AB
（3） 若B A,则B AB
（4）若 A B,则B A
（5） A BC ABC
（6） 若 AB 且 C A ， 则 BC
解 : (1) 成立，因为 AB B ( A B)(B B) A B 。
(2) 不成立，因为 AB A B AB 。
解 由乘法公式知
P( AB) P(B | A)P( A) 1 1 1 3 4 12
P( AB) P( A | B)P(B)
P(B) P(AB) 1/12 1
∴
P(A | B) 1/ 2 6
P( A B) P( A) P(B) P( AB) 1 1 1 1
∴
4 6 12 3
故这组钢筋不能用于做构件。 17．某人忘记了密码锁的最后－个数字，他随意地拨数，求他拨数不超过三次而打开锁 的概率。若已知最后一个数字是偶数，那么此概率是多少？ 解 设以 Ai 表示事件“第 i 次打开锁”（i=1,2,3），A 表示“不超过三次打开”，则有
A A1 A1 A2 A1 A2 A3
第一章 事件与概率 1．写出下列随机试验的样本空间。 （1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数（设以百分制记分）。 （2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3）生产产品直到有 10 件正品为止，记录生产产品的总件数。 （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如 连续查出 2 个次品就停止检查，或检查 4 个产品就停止检查，记录检查的结果。 （5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。 （6）实测某种型号灯泡的寿命。
组钢筋可用于做构件，否则作为废品处理，问这组钢筋能否用于做构件？
解 设 Ai 表示事件“第 i 次取出的钢筋是合格品”，则
P(
A1
)
98 100
,
P( A2
A1 )
97, 99
P( A3
A1 A2 )
96 98
所以 P( A1 A2 A3 ) P( A1)P( A2 A1)P( A3 A1 A2 ) 0.9406 0.95
1 25
12．把长度为 a 的线段在任意二点折断成为三线段，求它们可以构成一个三角形的概率。
解
设所论事件为 A，线段 a 被分成的三段长度分别用 x，y 和 a-x-y 表示，则样本
L() a2 ,
空间Ω为：0＜x＜a，0＜y＜a，0＜x+y＜a，其面积为
2 而有利于 A 的情形必须
满足构成三角形的条件，即
15．已知在 10 只晶体管中有 2 只次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回 抽样。求下列事件的概率。
（1）两只都是正品；（2）两只都是次品；（3）一只是正品，一只是次品； （4）第二次取出的是次品。 解 设以 Ai(i=1,2)表示事件“第 i 次取出的是正品“，因为不放回抽样，故
（1）
P( A1 A2 )
1
C5100
C 199 1200
C 200 1200
∴P(A)=P[S-(B∪C)]=P(S)-[P(B)+P(C)]
C 200 1700
9．把 10 本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率。
解
VΩ=P10=10！，设所论事件为 A，则
P( A) 8!3! 0.067
VA=8！×3！
P( A1 )P( A2
|
A1 )
8 10
7 9
28 45
（2）
P( A1 A2 )
P( A1 )P( A2
|
A1 )
2 10
1 9
1 45
（3）
P( A1 A2 A1 A2 ) P( A1 A2 ) P( A1 A2 )
P( A1 )P( A2
|
A1 )
P( A1 )P( A2
|
A1 )
8 10
2 9
2 10
8 9
16 45
6
（4） P( A2 )
P( A1 A2
A1 A2 )
P( A1 A2 )
P( A1 A2 )
8 10
2 9
2 10
1 9
9 45
16．在
做钢筋混凝土构件以前，通过拉伸试验，抽样检查钢筋的强度指标，今有一组 A3 钢筋 100
根，次品率为 2%，任取 3 根做拉伸试验，如果 3 根都是合格品的概率大于 0．95，认为这