03.2017-2020上海市高三数学二模分类汇编：函数

1（2017松江二模）. 已知()21x f x =-，则1(3)f -=
1（2017浦东二模）. 已知集合2{|0}1
x A x x -=≥+，集合{|04}B y y =≤<，则A B =
1（2017黄浦二模）. 函数y =的定义域是
1（2017闵行二模）. 方程3log (21)2x +=的解是
1（2019金山二模）. 函数4)(-=x x f 的定义域是
2（2017普陀二模）. 函数21log (1)y x =-的定义域为
2（2019徐汇二模）. 已知点(2,5)在函数()1x f x a =+（0a >且1a ≠）的图像上，则()f x 的反函数1()f x -=
2（2020静安二模）. 若幂函数()y f x =的图像经过点1(,2)8，则1()8f -的值为
2（2020虹口二模）. 函数()f x =
的定义域为 2（2020金山二模）. 函数12y x
-=的定义域是 3（2017嘉定二模）. 设1()f x -为2()1
x f x x =+的反函数，则1(1)f -= 3（2019崇明二模）. 设函数2()f x x =（0x >）的反函数为1()y f x -=，则1(4)f -= 3（2019松江二模）. 已知函数2()log f x x =的反函数为1()f x -，则1(2)f -=
3（2020青浦二模）. 已知函数1()1f x x =+
，则方程1()2f x -=的解x = 3（2020浦东二模）. 若函数1
2()f x x =，则1(1)f -=
4（2019黄浦二模）. 若函数()f x 的反函数为1
12
()f x x -=，则(3)f = 4（2020静安二模）. 若函数()y f x =（x ∈R ）是偶函数，在区间(,0]-∞上是增函数，2x =是其零点，则()0f x >的解集为
4（2020崇明二模）. 已知函数()21x f x =+，其反函数为1()y f x -=，则1(3)f -=
5（2017静安二模）. 设()f x 为R 上奇函数，当0x ≥，2()2f x x x b =++（b 为常数），
则(1)f -=
5（2017黄浦二模）. 若函数3,0()1,0x x a x f x a x -+<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩
(0,1)a a >≠是R 上的减函数，则a 的取值范围是
5（2017奉贤二模）. 设点(9,3)在函数()log (1)a f x x =-（0a >，1a ≠）
的图像上，则()f x 的反函数1()f x -=
5（2020虹口二模）. 已知函数()g x 的图像与函数2()log (31)x f x =-的图像关于直线y x =对称，则(3)g =
5（2020金山二模）. 已知函数21()11
x f x =，则1(0)f -= 6（2020徐汇二模）. 若11()21x f x a
=+-是奇函数，则实数a 的值为 7（2017松江二模）. 若函数()2()1x f x x a =+-在区间[0,1]上有零点，则实数a 的取值范
围是
7（2017闵行二模）. 若函数()2()1x f x x a =+-在区间[0,1]上有零点，则实数a 的取值范围是
7（2017杨浦二模）. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()23x f x =-，则不等式()5f x <-的解为
7（2019长嘉二模）.
设函数()f x =a 为常数）的反函数为1()f x -，若函数1()f x -的图像经过点(0,1)，则方程1()2f x -=解为________
7（2020宝山二模）. 某种微生物的日增长率r ，经过n 天后其数量由0p 变化为p ，并且满足方程0rn p p e =.实验检测，这种微生物经过一周数量由2.58个单位增长到14.86个单位，则增长率=r （精确到1%）
7（2020金山二模）. 已知函数1()lg
sin 11x f x x x
-=+++，若()4f m =，则()f m -= 8（2017长宁/宝山二模）. 已知函数22,0()log ,01x x f x x x ⎧≤⎪=⎨<≤⎪⎩的反函数是1()f x -，则11()2
f -= 8（2020嘉定二模）. 已知函数()2lo
g a f x x =+（0a >且1a ≠）的反函数为1()y f x -=，若1(3)2f -=，则a =
8（2020黄浦二模）. 已知函数()x f x a b =+（0a >，1a ≠）的定义域和值域都是[2,0]-，
则(1)f -=
8（2020松江二模）. 若函数2()log (21)x f x kx =++是偶函数，则k =
9（2017嘉定二模）. 若1132()f x x x =-，则满足()0f x >的x 的取值范围是
9（2017崇明二模）. 若1()42x x f x +=+的图像与()y g x =的图像关于直线y x =对称，则(3)g =
9（2017徐汇二模）. 已知函数2log ,02()25(),23
9x x x f x x <<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩，若函数()()g x f x k =-有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是
9（2017普陀二模）. 若函数1log log )(222+-=x x x f （2≥x ）的反函数为)(1x f
-，则)3(1-f =
9（2017虹口二模）. 函数2||1()(2)1x x f x x x ≤⎧=⎨->⎩，如果方程()f x b =有四个不同的实数
解1x 、2x 、3x 、4x ，则1234x x x x +++=
9（2019青浦二模）. 已知a 、b 、c 都是实数，若函数2()1x x a f x b a x c x
⎧≤⎪=⎨+<<⎪⎩的反函数
的定义域是(,)-∞+∞，则c 的所有取值构成的集合是
9（2019黄浦二模）. 若函数221()lg ||1x x f x x m x ⎧-≤=⎨->⎩
在区间[0,)+∞上单调递增，则实数m 的取值范围为
9（2020长宁二模）. 已知111{2,1,,,,1,2,3}232α∈---，若函数()f x x α=在(0,)+∞上递减且为偶函数，则α=
9（2020青浦二模）. 设{1,3,5}a ∈，{2,4,6}b ∈，则函数1()log b
a f x x
=是减函数的概率为 10（2017浦东二模）. 已知定义在R 上的函数()f x 满足：①()(2)0f x f x +-=；②
()(2)0f x f x ---=；③ 在[1,1]-
上表达式为[1,0]()1,(0,1]
x f x x x ∈-=-∈⎪⎩，则函数()f x 与1
22,0()log ,0x x g x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩的图像在区间[3,3]-上的交点的个数为 10（2019金山二模）. 已知函数x x f sin )(=
和()g x =
[,]ππ-，则它们的图像围成的区域面积是
10（2019徐汇二模）. 已知函数4()1f x x x =+-，若存在121,,,[,4]4
n x x x ⋅⋅⋅∈使得 121()()()()n n f x f x f x f x -++⋅⋅⋅+=，则正整数n 的最大值是
10（2020青浦二模）.
已知函数()f x =
，若存在实数0x 满足00[()]f f x x =，则实数a 的取值范围是
10（2020静安二模）. 设(,)n n A n y （*n ∈N ）是函数12y x x
=+的图像上的点，直线1x n =+
与直线n y y =的交点为n B ，△1n n n A B A +的面积为n S ，则lim n n S →∞
的值为 10（2020闵行二模）. 已知(2)f x +是定义在R 上的偶函数，当12,[2,)x x ∈+∞，且12x x ≠，总有12120()()
x x f x f x -<-，则不等式1(31)(12)x f f +-+<的解集为 10（2020浦东二模）. 已知函数222()log (2)2f x x a x a =+++-的零点有且只有一个，则实数a 的取值集合为
10（2020松江二模）. 已知函数()cos(2)6f x x π=-，若对于任意的1[,]44
x ππ∈-，总存在2[,]x m n ∈，使得12()()0f x f x +=，则||m n -的最小值为 11（2017普陀二模）. 设0<a ，若不等式22sin (1)cos 10x a x a +-+-≥对于任意的R
∈x 恒成立，则a 的取值范围是
11（2017长宁二模）. 已知函数()||f x x x a =-，若对任意1[2,3]x ∈，2[2,3]x ∈，12x x ≠，恒有1212()()()22
x x f x f x f ++>，则实数a 的取值范围为 11（2019青浦二模）. 已知函数2()f x x ax b =++（,a b ∈R ），在区间(1,1)-内有两个零点，则22a b -的取值范围是
11（2019崇明二模）. 已知函数9()||f x x a a x
=+-+在区间[1,9]上的最大值是10，则实数a 的取值范围是
11（2019松江二模）. 若函数||||2()4(2||9)29||18x x f x x x x =+-+-+有零点，则其所有零点的集合为 （用列举法表示）
11（2019金山二模）. 若集合2{|(2)20,A x x a x a =-++-<∈x Z }中有且只有一个元素，则正实数a 的取值范围是
11（2020黄浦二模）. 已知a ∈R ，函数22(0)()1(0)
a x f x x
x x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩，若存在不相等的实数1x 、2x 、3x ，使得312123
()()()2f x f x f x x x x ===-，则a 的取值范围是 11（2020奉贤二模）. 三个同学对问题“已知,R m n +∈，且1m n +=，求
11m n
+的最小值”提出各自的解题思路： 甲：
112m n m n n m m n m n m n
+++=+=++，可用基本不等式求解； 乙：1111(1)m n m n mm mn m m ++===-，可用二次函数配方法求解； 丙：1111()()2n m m n m n m n m n
+=++=++，可用基本不等式求解；参考上述解题思路，
可求得当x = 时，222
1100a y x x =+-（010x <<，0a >）有最小值 12（2017徐汇二模）. 设单调函数()y p x =的定义域为D ，值域为A ，如果单调函数()y q x =使得函数(())y p q x =的值域也是A ，则称函数()y q x =是函数()y p x =的一个“保值域函数”，已知定义域为[,]a b 的函数2()|3|
h x x =-，函数()f x 与()g x 互为反函数，且()h x 是()f x 的一个“保值域函数”
， ()g x 是()h x 的一个“保值域函数”，则b a -= 12（2017嘉定二模）. 设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数（如[2.32]2=，
5]76.4[-=-），对于给定的*n N ∈，定义(1)([]1)(1)([]1)
x n n n n x C x x x x -⋅⋅⋅-+=-⋅⋅⋅-+，其中[1,)x ∈+∞，则当3
[,3)2
x ∈时，函数10()x f x C =的值域是 12（2017杨浦二模）. 设函数()||||a f x x x a =+-，当a 在实数范围内变化时，在圆盘221x y +≤内，且不在任一()a f x 的图像上的点的全体组成的图形的面积为
12（2019长嘉二模）. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：(2)()f x f x +=-，且当01x ≤≤时，2()log ()f x x a =+，若对于任意[0,1]x ∈，都有221()1log 32f x tx -++≥-，则实数t 的取值范围为________
12（2019浦东二模）. 已知2()22f x x x b =++是定义在[1,0]-上的函数，若[()]0f f x ≤在定义域上恒成立，而且存在实数0x 满足：00[()]f f x x =且00()f x x ≠，则实数b 的取值范围是
12（2019静安二模）．已知函数⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+=21sin )(x a x f ，若⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+201920172019220191)0(f f f f 1010)1(20192018=+⎪⎭
⎫ ⎝⎛+f f ，则实数=a ____________．
12（2019杨浦二模）. 定义域为集合{1,2,3,,12}⋅⋅⋅上的函数()f x 满足：①(1)1f =；②|(1)()|1f x f x +-=（1,2,,11x =⋅⋅⋅）；③(1)f 、(6)f 、(12)f 成等比数列；这样的不同函数()f x 的个数为
12（2020虹口二模）. 已知函数|51|1()811
x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪+⎩，若方程(())f f x a =恰有5个不同的实数根，则实数a 的取值范围为
12（2020闵行一模）. 已知函数()|sin ||cos |4sin cos f x x x x x k =+--，若函数()y f x =在
区间(0,)π内恰好有奇数个零点，则实数k 的所有取值之和为
12（2020崇明二模）. 对于函数()f x ，其定义域为D ，若对任意的12,x x D ∈，当12x x <时都有12()()f x f x ≤，则称函数()f x 为“不严格单调增函数”，若函数()f x 定义域为
{1,2,3,4,5,6}D =，值域为{7,8,9}A =，则函数()f x 是“不严格单调增函数”的概率是
12（2020松江二模）. 已知函数20()|log ()|0
a x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪-<⎩（R a ∈且a 为常数）和()g x k =（R k ∈且k 为常数），有以下命题：
① 当0k <时，函数()()()F x f x g x =-没有零点；
② 当0x <时，2()()()h x f x b f x c =+⋅+恰有3个不同零点1x 、2x 、
3x ，则1231x x x ⋅⋅=-； ③ 对任意的0k >，总存在实数a ，使得()()()F x f x g x =-有4个不同的零点123x x x << 4x <，且1||x 、2||x 、3||x 、4||x 成等比数列；
其中的真命题是 （写出所有真命题的序号）
12（2020徐汇二模）. 设二次函数2()(21)2f x m x nx m =++--（,m n ∈R 且12
m ≠-）在[2,3]上至少有一个零点，则22m n +的最小值为
12（2020青浦二模）. 定义函数(){{}}f x x x =，其中{}x 表示不小于x 的最小整数，如{1.4}2=，{2.3}2-=-，当(0,]x n ∈（*n ∈N ）时，函数()f x 的值域为n A ，记集合n A 中元素的个数为n a ，则n a =
12（2020长宁二模）. 已知函数1()||1
f x x =-，若关于x 的方程()f x x b -=有三个不同的实数解，则实数b 的取值范围是
13（2019崇明二模）. 下列函数中既是奇函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ ）
A. y =
B. 12log y x =
C. 3y x =-
D. 1y x x
=+
13（2020黄浦二模）.“函数()f x （x ∈R ）存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的（ ）
A. 充分而不必要条件
B. 必而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
13（2020徐汇二模）. 某地区的绿化面积每年平均比上一年增长20%，经过x 年，绿化面积与原绿化面积之比为y ，则()y f x =的图像大致为（ ）
A. B. C. D.
14（2017静安二模）. 当1(0,)2k ∈||(1)x k x =+的根的个数是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
14（2017奉贤二模）. 若()f x 为奇函数，且0x 是()x y f x e =-的一个零点，则0x -一定是下列哪个函数的零点（ ）
A. ()1x y f x e =+
B. ()1x
y f x e -=-- C. ()1x y f x e =- D. ()1x y f x e =-+
14（2020嘉定二模）. 下列函数中，既是(0,)+∞上的增函数，又是偶函数的是（ ） A. 1y x
= B. 2x y = C. 1||y x =- D. lg ||y x = 14（2020奉贤二模）. 如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是
圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线
OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数
()f x ，则()y f x =在[0,]π上的图像大致为（ ）
A. B. C. D.
15（2017虹口二模）. 已知函数()2
x x
e e
f x --=，1x 、2x 、3x R ∈，且120x x +>，230x x +>，310x x +>，则123()()()f x f x f x ++的值（ ）
A. 一定等于零
B. 一定大于零
C. 一定小于零
D. 正负都有可能
15（2017徐汇二模）. 将函数1y x
=-的图像按向量(1,0)a =平移，得到的函数图像与函数2sin y x π=(24)x -≤≤的图像的所有交点的横坐标之和等于（ ）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
15（2017闵行/松江二模）. 某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 的函数关系如下图所示（收支差额＝车票收入－支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（1）不改变车票价格，减少支出费用；建议（2）不改变支出费用，提高车票价格. 下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（ ）
① ② ③ ④
A. ①反映建议（2），③反映建议（1）
B. ①反映建议（1），③反映建议（2）
C. ②反映建议（1），④反映建议（2）
D. ④反映建议（1），②反映建议（2）
15（2020奉贤二模）. 设函数()log (1)x a f x a =-，其中0a >，且1a ≠，若*N n ∈，则
()
lim f n n n a a a
→∞=+（ ） A. 1 B. a C.
1a D. 1a 或a 16（2017崇明二模）．设函数()x x x f x a b c =+-，其中0c a >>，0c b >>，若a 、b 、
c 是ABC ∆的三条边长，则下列结论中正确的个数是（ ）
① 对于一切(,1)x ∈-∞都有()0f x >；
② 存在0x >使x xa 、x b 、x c 不能构成一个三角形的三边长；
③ 若ABC ∆为钝角三角形，则存在(1,2)x ∈，使()0f x =；
A. 3个
B. 2个
C. 1个
D. 0个
16（2017杨浦二模）. 对于定义在R 上的函数()f x ，若存在正常数a 、b ，使得
()()f x a f x b +≤+对一切x R ∈均成立，则称()f x 是“控制增长函数”
，在以下四个函数
中：① 2()1f x x x =++；② ()f x =③ 2
()sin()f x x =；④ ()sin f x x x =⋅.是“控制增长函数”的有（ ）
A. ②③
B. ③④
C. ②③④
D. ①②④
16（2017嘉定二模）. 已知)(x f 是偶函数，且)(x f 在),0[∞+上是增函数，若)2()1(-≤+x f ax f 在1[,1]2
x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. ]1,2[- B. ]0,2[- C. ]1,1[- D. ]0,1[-
16（2017宝山二模）. 若存在t R ∈与正数m ，使()()F t m F t m -=+成立，则称“函数()
F x
在x t =处存在距离为2m 的对称点”，设2()x f x x
λ+=(0)x >，若对于任意t ∈，总存在正数m ，使得“函数()f x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，则实数λ取值范围是（ ）
A. (0,2]
B. (1,2]
C. [1,2]
D. [1,4]
16（2017闵行/松江二模）. 设函数()y f x =的定义域是R ，对于以下四个命题：
① 若()y f x =是奇函数，则(())y f f x =也是奇函数；
② 若()y f x =是周期函数，则(())y f f x =也是周期函数；
③ 若()y f x =是单调递减函数，则(())y f f x =也是单调递减函数；
④ 若函数()y f x =存在反函数1()y f x -=，且函数1()()y f x f x -=-有零点，则函数
()y f x x =-也有零点.
其中正确的命题共有（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
16（2019徐汇二模）. 设()f x 是定义在R 上的函数，若存在两个不等实数12,x x ∈R ，使得1212()()()22
x x f x f x f ++=，则称函数()f x 具有性质P ，那么下列函数： ① 10()00
x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩；② 3()f x x =；③ 2()|1|f x x =-；④ 2()f x x =； 不具有性质P 的函数为（ ）
A. ①
B. ②
C. ③
D. ④
16（2019浦东二模）. 已知()||f x a x b c =-+，则对任意非零实数a 、b 、c 、m ，方程2()()0mf x nf x t ++=的解集不可能为（ ）
A. {2019}
B. {2018,2019}
C. {1,2,2018,2019}
D. {1,9,81,729}
16（2019静安二模）．设)(x f 是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x 、y ，都有)()()(y f x f y x f =+，若2
11=
a ，)(n f a n =（*N ∈n ），数列}{n a 的前n 项和n S 组成数列{S n }，则有（ ） （A ）数列{S n }递增，最大值为1． （B ）数列{S n }递减，最小值为12．
（C ）数列{S n }递增，最小值为12． （D ）数列{S n }递减，最大值为1． 16（2020宝山二模）. 已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数1x 、2
x 都有211212()()0x f x x f x x x -<-，则函数(),0()0,0
f x x
g x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩（ ） A. 是偶函数，且在(0,)+∞上单调递减 B. 是偶函数，且在(0,)+∞上单调递增
C. 是奇函数，且单调递减
D. 是奇函数，且单调递增
16（2020松江二模）. 已知实数12100,,,[1,1]x x x ⋅⋅⋅∈-，且12100x x x π++⋅⋅⋅+=，
则当22212100x x x ++⋅⋅⋅+取得最大值时，12100,,,x x x ⋅⋅⋅这100个数中，值为1的个数为（ ）
A. 50个
B. 51个
C. 52个
D. 53个
16（2020金山二模）. 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)f x -为偶函数，当[0,1]x ∈
时，()f x =()()g x f x x m =--有三个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A. 11
(,)44
-
B. (11)
C. 11(4,4)44
k k -+(Z k ∈) D. (411)k k +(Z k ∈) 16（2020普陀二模）. 定义域均为D 的三个函数()f x 、()g x 、()h x 满足条件：
对任意x D ∈，点(,())x g x 与点(,())x h x 都关于点(,())x f x 对称，则称()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函
数”.已知函数()g x =()h x =()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”，记()f x 的定义域为D ，若对任意s D ∈，都存在t D ∈，使得222()21f s t t a a =+++-成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A. [1,0][1,2]-
B. {1}[0,2]-
C. [2,1][0,1]--
D. {1}[2,0]- 16（2020崇明二模）. 已知函数2()2x f x m x nx =⋅++，记集合{|()0,R}A x f x x ==∈，集合{|B x =(())0,R}f f x x =∈，若A B =，且A 、B 都不是空集，则m n +的取值范围是（ ）
A. [0,4)
B. [1,4)-
C. [3,5]-
D. [0,7)
16（2020青浦二模）. 已知函数()sin 2|sin |f x x x =+，关于x 的方程
2()()10f x x --=有以下结论：
① 当0a ≥时，方程2()()10f x x --=在[0,2]π内最多有3个不等实根；
② 当6409
a ≤<时，方程2()()10f x x -=在[0,2]π内有两个不等实根；
③ 若方程2()()10f x x --=在[0,6]π内根的个数为偶数，则所有根之和为15π；
④ 若方程2()()10f x x --=在[0,6]π内根的个数为偶数，则所有根之和为36π； 其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ②④
B. ①④
C. ①③
D. ①②③
17（2020普陀二模）. 设函数3120()()0x x f x g x x m -⎧--≤≤=⎨<≤⎩
是偶函数. （1）求实数m 的值及()g x ；
（2）设函数()g x 在区间[0,]m 上的反函数为1()g x -，当12(2)log 5
a g ->（0a >且1a ≠）时，求实数a 的取值范围.
18（2017杨浦二模）. 已知函数121()22
x x f x +-+=+. （1）判断函数()f x 的奇偶性，并证明；
（2）若不等式9()log (21)f x c >-有解，求c 的取值范围.
18（2017闵行/松江二模）. 设函数()2x f x =，函数()g x 的图像与函数()f x 的图像关于y 轴对称.：
（1）若()4()3f x g x =+，求x 的值；
（2）若存在[0,4]x ∈，使不等式()(2)3f a x g x +--≥成立，求实数a 的取值范围.
18（2017徐汇二模）. 已知函数41
()2
x x
m f x ⋅+=是偶函数. （1）求实数m 的值；
（2）若关于x 的不等式22()31k f x k ⋅>+在(,0)-∞上恒成立，求实数k 的取值范围.
18（2017奉贤二模）. 已知美国苹果公司生产某款iphone 手机的年固定成本为40万美元，每生产1只还需另投入16美元，设苹果公司一年内共生产该款iphone 手机x 万只并全部销
售完，每万只的销售收入为()R x 万美元，且24006040()74004000040x
x R x x x
x -<≤⎧⎪
=⎨->⎪⎩；
（1）写出年利润W （万美元）关于年产量x （万只）的函数解析式；
（2）当年产量为多少万只时，苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最 大利润；
18（2017静安二模）. 某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，按生产现状，每月收入为70万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚3万元，以后每月增加2万元，如果从今年一月起投资500万元添加回收净化设备（改造设备时间不计），一方面可以改善环境，另一方面可以大大降低原料成本，据测算，添加回收净化设备并投产后的前5个月中的累计
生产净收入()g n 是生产时间n 个月的二次函数2
()g n n kn =+（k 是常数），且前3个月的
累计生产净收入可达309万. 从第6个月开始，每个月的生产净收入都与第5个月相同，同时，该厂不但不受处罚，而且还将得到环保部门的一次性奖励100万元. （1）求前8个月的累计生产净收入(8)g 的值；
（2）问经过多少个月，投资开始见效，即投资改造后的纯收入多于不改造时的纯收入.
18（2019黄浦二模）. 经济订货批量模型，是目前大多数工厂、企业等最常采用的订货方式，即某种物资在单位时间的需求量为某常数，经过某段时间后，存储量消耗下降到零，此时开始订货并随即到货，然后开始下一个存储周期，该模型适用于整批间隔进货、不允许缺货的存储问题，具体如下：年存储成本费T （元）关于每次订货x （单位）的函数关系为
()2Bx AC
T x x
=
+
，其中A 为年需求量，B 为每单位物资的年存储费，C 为每次订货费. 某化工厂需用甲醇作为原料，年需求量为6000吨，每吨存储费为120元/年，每次订货费为2500元.
（1）若该化工厂每次订购300吨甲醇，求年存储成本费；
（2）每次需订购多少吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少？最少费用为多少？
18（2019崇明二模）. 已知函数12lg 6
()56
4a x a x
f x x x x ⎧
+≤⎪⎪-=⎨
-⎪>⎪-⎩
.
（1）已知(6)3f =，求实数a 的值；（2）判断并证明函数在区间[7,8]上的单调性.
18（2019静安二模）．已知函数2
lg(
)1
y a x =+-（a 为实常数）． （1）若2lg(
)1y a x =+-的定义域是113x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭
或，求a 的值； （2）若2lg()1y a x =+-是奇函数，解关于x 的不等式2
lg()01
a x +>-．
18（2020奉贤二模）. 已知向量3
3(cos ,sin )22a x x =，(sin ,cos )22
x x
b =-（x k π≠，Z k ∈）
，令()f x =
2
()a b a b
λ+⋅（R λ∈）.
（1）化简2
()()a b f x a b
λ+=
⋅，并求当1λ=时方程()2f x =-的解集；
（2）已知集合{()|()()2P h x h x h x =+-=，D 是函数()h x 与()h x -定义域的交集且D 不是空集}，判断元素()f x 与集合P 的关系，说明理由.
18（2020虹口二模）. 已知函数4
()31
x f x a =-
+（a 为实常数）. （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；
（2）当()f x 为奇函数时，对任意的[1,5]x ∈，不等式()3x
u
f x ≥恒成立， 求实数u 的最大值.
18（2020黄浦二模）. 设11(,)A x y ，22(,)B x y 是函数2
1log 21x
y x
=+-的图像上任意两点，点00(,)M x y 满足1
()2
OM OA OB =+. （1）若01
2
x =
，求证：0y 为定值； （2）若212x x =，且01y >，求1x 的取值范围，并比较1y 与2y 的大小.
18（2020崇明二模）. 已知函数()22
x x a
f x =-
（0a >）. （1）判断()f x 在其定义域上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明； （2）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由.
18（2020徐汇二模）. 已知函数()|31|f x x =-，()1||g x x =-. （1）解不等式()2f x ≤；
（2）求()()()F x f x g x =-的最小值.
19（2017黄浦二模）. 如果一条信息有n (1,)n n N >∈种可能的情形（各种情形之间互不相容），且这些情形发生的概率分别为1p 、2p 、⋅⋅⋅、n p ，则称12()()()n H f p f p f p =++⋅⋅⋅+（其中()f x =log a x x -，(0,1)x ∈）为该条信息的信息熵，已知1
1()22
f =
. （1）若某班共有32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，试求“谁被选 中”的信息熵的大小；
（2）某次比赛共有n 位选手（分别记为1A 、2A 、⋅⋅⋅、n A ）参加，若当1k =、2、⋅⋅⋅、1n - 时，选手k A 获得冠军的概率为2k -，求“谁获得冠军”的信息熵H 关于n 的表达式.
19（2017宝山二模）. 对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[,]m n D ⊆，其中
m n <，同时满足：① ()f x 在[,]m n 内是单调函数；② 当定义域是[,]m n 时，()f x 的值
域也是[,]m n .则称函数()f x 是区间[,]m n 上的“保值函数”，区间[,]m n 称为“保值区间”. （1）求证：函数2()2g x x x =-不是定义域[0,1]上的“保值函数”； （2）若211
()2f x a a x
=+
-(,0)a R a ∈≠是区间[,]m n 上的“保值函数”
，求a 的取值范围. 20（2017长宁二模）. 对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[,]m n D ⊆，其中
m n <，同时满足：① ()f x 在[,]m n 内是单调函数；② 当定义域是[,]m n 时，()f x 的值
域也是[,]m n .则称函数()f x 是区间[,]m n 上的“保值函数”，区间[,]m n 称为“保值区间”. （1）求证：函数2()2g x x x =-不是定义域[0,1]上的“保值函数”； （2）若211
()2f x a a x
=+
-(,0)a R a ∈≠是区间[,]m n 上的
“保值函数”，求a 的取值范围； （3）对（2）中函数()f x ，若不等式2
|()|2a f x x ≤对1x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.
19（2019长嘉二模）. 为了在夏季降温和冬季取暖时减少能源消耗，业主决定对房屋的屋顶和外墙喷涂某种新型隔热材料，该材料有效使用年限为20年，已知该房屋外表喷涂一层这种隔热材料的费用为6万元/毫米厚，且每年的能源消耗费用H （万元）与隔热层厚度x （毫
米）满足关系：40
()35
H x x =+（010x ≤≤），设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
（1）解释(0)H 的实际意义，并求()f x 的表达式；
（2）求隔热层喷涂多厚时，业主的所付总费用()f x 最小？并计算与不建隔热层比较，业主节省多少钱？
19（2019青浦二模）. 已知a ∈R ，函数2()2x x a
f x a
-=+.
（1）求a 的值，使得()f x 为奇函数； （2）若0a ≥且2
()3
a f x -<对任意x ∈R 都成立，求a 的取值范围.
19（2019金山二模）. 从金山区走出去的陈驰博士，在《自然—可持续性》杂志上发表的论文中指出：地球正在变绿，中国通过植树造林和提高农业效率，在其中起到了主导地位．已知某种树木的高度()f t (单位：米)与生长年限t （单位：年，t ∈N *）满足如下的逻辑斯蒂函数：0.52
6
()1e
t f t -+=
+，其中e 为自然对数的底数. 设该树栽下的时刻为0. （1）需要经过多少年，该树的高度才能超过5米？（精确到个位） （2）在第几年内，该树长高最快？
19（2019松江二模）. 国内某知名企业为适应发展的需要，计划加大对研发的投入，据了解，该企业原有100名技术人员，年人均投入m 万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x 名（*x ∈N 且[45,60]x ∈），调整后研发人员的年人均投入增加2x %，技术人员的年人均投入调整为3()50
x
m a -
万元. （1）要使这100x -名研发人员的年总投入恰好与调整前100名技术人员的年总投入相同， 求调整后的技术人员的人数；
（2）是否存在这样的实数a ，使得调整后，在技术人员的年人均投入不减少的情况下，研 发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入？若存在，求出a 的范围，若不存在，说 明理由.
19（2019静安二模）.某文化创意公司开发出一种玩具（单位：套）进行生产和销售．根据以往经验，每月生产x 套玩具的成本p 由两部分费用（单位：元）构成：
a.固定成本（与生产玩具套数x 无关），总计一百万元；
b. 生产所需的直接总成本50x +
1100
x 2．
（1）问：该公司每月生产玩具多少套时，可使得平均每套所需成本费用最少？此时每套玩具的成本费用是多少？
（2）假设每月生产出的玩具能全部售出，但随着x 的增大，生产所需的直接总成本在急剧增加，因此售价也需随着x 的增大而适当增加.设每套玩具的售价为q 元，q =a +x
b (a,b ∈R ).若当产量为15000套时利润最大，此时每套售价为300元，试求a 、b 的值．（利润=销售收入-成本费用）
20（2017崇明二模）. 对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x ，满足00()()f x f x -=-，则称()f x 为“M 类函数”； （1）已知函数()sin()3
f x x π
=+
，试判断()f x 是否为“M 类函数”？并说明理由；
（2）设()2x
f x m =+是定义在[1,1]-上的“M 类函数”，求实数m 的最小值；
（3）若22log (2)2()32x mx x f x x ⎧-≥=⎨-<⎩
为其定义域上的“M 类函数”，求实数m 的取值
范围；
21（2017黄浦二模）. 若函数()f x 满足：对于任意正数s 、t ，都有()0f s >，()0f t >，
()()()f s f t f s t +<+，则称函数()f x 为“L 函数”.
（1）试判断函数21()f x x =与1
22()f x x =是否是“L 函数”；
（2）若函数()31(31)x x
g x a -=-+-为“L 函数”，求实数a 的取值范围；
（3）若函数()f x 为“L 函数”，且(1)1f =，求证：对任意1(2,2)k k x -∈*()k N ∈，都有
12()()2x f x f x x
->-.
21（2017浦东二模）. 对于定义域为R 的函数()g x ，若函数sin[()]g x 是奇函数，则称()g x 为正弦奇函数. 已知()f x 是单调递增的正弦奇函数，其值域为R ，(0)0f =.
（1）已知()g x 是正弦奇函数，证明：“0u 为方程sin[()]1g x =的解”的充要条件是“0u -为 方程sin[()]1g x =-的解”； （2）若()2
f a π
=
，()2
f b π
=-
，求a b +的值；
（3）证明：()f x 是奇函数.
21（2017虹口二模）. 对于定义域为R 的函数()y f x =，部分x 与y 的对应关系如下表：
（1）求{[(0)]}f f f ；
（2）数列{}n x 满足12x =，且对任意*n N ∈，点1(,)n n x x +都在函数()y f x =的图像上， 求124n x x x ++
+；
（3）若()sin()y f x A x b ωϕ==++，其中0A >，0ωπ<<，0ϕπ<<，03b <<， 求此函数的解析式，并求(1)(2)(3)f f f n ++⋅⋅⋅+（n N *∈）；
21（2019浦东二模）. 已知函数()y f x =的定义域D ，值域为A . （1）下列哪个函数满足值域为R ，且单调递增？（不必说明理由）
① 1
()tan[()]2
f x x π=-，(0,1)x ∈；② 1()lg(1)
g x x =-，(0,1)x ∈；
（2）已知12
()log (21)f x x =+，()sin 2g x x =，函数[lg()]f x 的值域[1,0]A =-，试求出
满足条件的函数[lg()]f x 一个定义域D ；
（3）若D A ==R ，且对任意的,x y ∈R ，有|()||()()|f x y f x f y -=-，证明：
()()()f x y f x f y +=+.
21（2019徐汇二模）.已知函数1()y f x =,2()y f x =,定义函数112212()
()()
()()
()()
f x f x f x f x f x f x f x ≤⎧=⎨
>⎩.
（1
）设函数1()f x =
121
()()2
x f x -=（0x ≥），求函数()y f x =的值域；
（2）设函数1()lg(||1)f x p x =-+（102x <≤，p 为实常数），21()lg f x x =（1
02
x <≤），
当1
02
x <≤时，恒有1()()f x f x =，求实常数p 的取值范围；
（3）设函数||1()2x f x =，||2()32x p f x -=⋅，p 为正常数，若关于x 的方程()f x m =（m 为 实常数）恰有三个不同的解，求p 的取值范围及这三个解的和（用p 表示）.
21（2019宝山二模）. 已知函数()f x 、()g x 在数集D 上都有定义，对于任意的12,x x D ∈，当12x x <时，121212()()()()f x f x g x g x x x -≤
≤-或122112
()()
()()f x f x g x g x x x -≤≤-成立，则称
()g x 是数集D 上()f x 的限制函数.
（1）求1
()f x x
=-
在(0,)D =+∞上的限制函数()g x 的解析式； （2）证明：如果()g x 在区间1D D ⊆上恒为正值，则()f x 在1D 上是增函数；
【注：如果()g x 在区间1D D ⊆上恒为负值，则()f x 在区间1D 上是减函数，此结论无需证明，可以直接应用.】
（3）利用（2
）的结论，求函数2()f x x =-[0,)D =+∞上的单调区间.
21（2020松江二模）. 已知函数()f x 的定义域为D ，若存在实常数λ及a （0a ≠），对任意x D ∈，当x a D +∈且x a D -∈时，都有()()()f x a f x a f x λ++-=成立，则称函数()f x 具有性质(,)M a λ.
（1）判断函数2()f x x =是否具有性质(,)M a λ，并说明理由；
（2）若函数()sin 2sin g x x x =+具有性质(,)M a λ，求λ及a 应满足的条件；
（3）已知函数()y h x =不存在零点，当R x ∈时具有性质1
(,1)M t t
+（其中0t >，1t ≠）， 记()n a h n =（*N n ∈），求证：数列{}n a 为等比数列的充要条件是21
a t a =或211a a t =.
21（2020杨浦二模）. ()21x m f x mx +=++，其中m 是实常数. （1）若1
(
)18f m
>，求m 的取值范围； （2）若0m >，求证：函数()f x 的零点有且仅有一个；
（3）若0m >，设函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，若1a 、2a 、3a 、4a 是公差0d >的等差数列且均在函数()f x 的值域中，求证：11111423()()()()f a f a f a f a ----+<+.。