鸡兔同笼 教师版

鸡兔同笼

第一部分：知识介绍

鸡兔同笼这个问题，是我国古代着名趣题之一．大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。

书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚．求笼中各有几只鸡和兔？

你会解答这个问题吗？你想知道《孙子算经》中是如何解答这个问题的吗？

解鸡兔同笼的基本步骤

1.砍足法（金鸡独立）：

解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”。这样，鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只；如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1。因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即473512

-=（只）．显然，鸡的只数就是351223

-=（只）了。

这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已。除此之外，还有“鸡兔同笼”问题的经典思路“假设法”。

2.假设法：

假设法顺口溜：鸡兔同笼很奥妙，用假设法能做到，假设里面全是鸡，算出共有几只脚，和脚总数做比较，做差除二兔找到。

解鸡兔同笼问题的基本关系式是：

如果假设全是兔，那么则有：

鸡数=（每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）

兔数=鸡兔总数-鸡数

如果假设全是鸡，那么就有：

兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）

鸡数=鸡兔总数-兔数

3.鸡兔关系：

当头数一样时，脚的关系：兔是鸡的2倍；当脚数一样时，头的关系：鸡是兔的2倍。

在学习的过程中，注重假设法的运用，渗透假设法的重要性，在以后的专题中，如工程、行程、方程等专题中也都会接触到假设法。

第二部分：例题精讲

【例 1】鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？

【考点】鸡兔同笼

【解析】假设46只都是兔，一共应有446184

⨯=（只）脚，这和已知的128只脚相比多了18412856

-=（只）脚，这是因为我们把鸡当成了兔子，如果把1只鸡当成1只兔，就要比实际多422

-=（只）脚，那么56只脚是我们把

-= 56228

÷=（只）鸡当成了兔子，所以鸡的只数就是28，兔的只数是462818（只）。

【答案】鸡28只，兔18只

【例 2】动物园里有一群鸵鸟和大象,它们共有36只眼睛和52只脚，问：鸵鸟和大象各有

多少？

【考点】鸡兔同笼

【解析】由于每只动物有两只眼睛，由题意知：动物园里鸵鸟和大象总数为：36218

÷=（只），假设鸵鸟和大象一样也有4只脚，则应该有

41872⨯=（只）脚，多了725220-=（只）脚，由假设引起的差值：

422-=（只）

，则鸵鸟数为20210÷=（只），大象数为18108-=（头）。 【答案】鸵鸟10只，大象8头

【例 3】动物园里养了一些梅花鹿和鸵鸟，共有脚208只，鸵鸟比梅花鹿多20只，梅花鹿

和鸵鸟各有多少只？

【考点】鸡兔同笼

【解析】假设梅花鹿和鸵鸟的只数相同，则从总脚数中减去鸵鸟多的20只

的脚数得：208202168-⨯= (只)。这168只脚是梅花鹿的脚数和

鸵鸟的脚数(注意此时梅花鹿和鸵鸟的只数相同)脚数的和，一只

梅花鹿和一只鸵鸟的脚数和是：246+=(只)，所以梅花鹿的只数

是：168628÷=(只)，从而鸵鸟的只数是：282048+=(只) ．

【答案】鸵鸟48只，梅花鹿28只

【例 4】一个养殖园内，鸡比兔多36只，共有脚792只，鸡兔各几只？

【考点】鸡兔同笼

【解析】已知鸡比兔多36只，如果把多的36只鸡拿走，剩下的鸡兔只数

就相等了，拿走的36只鸡有23672⨯=（只）脚，可知现在剩下

79272720-=（只）脚，一只鸡与一只兔有6只脚，那么兔有

7206120÷=（只）

，鸡有12036156+=（只）． 【答案】兔120只，鸡156只

【例 5】鸡兔同笼，鸡、兔共有107只，兔的脚数比鸡的脚数多56只，问鸡、兔各多少只？

【考点】鸡兔同笼

【解析】不妨假设107只都是兔，没有鸡，那么就有兔脚：1074428

⨯=（只），而鸡的脚数为零。这样兔脚比鸡脚多428只，而实际上只多56只，

这说明假设的兔脚比鸡脚多的数比实际上多：42856372

-=（只）。

现在以鸡换兔，每换一只，兔脚减少4只，鸡脚增加2只，即兔脚

与鸡脚的总数差就会减少426

+=（只）。

鸡的只数：372662

-=（只）。

÷=（只），兔的只数：1076245

【答案】兔45只，鸡62只

【例 6】每只完整的螃蟹有2只鳌、8只脚。现有一批螃蟹，共有25只鳌，120只脚。其中

可能有多少缺鳌少脚的，但每只螃蟹至少保留1只鳌、4只脚。这批螃蟹最多有

只，至少有只。

【考点】鸡兔同笼

【解析】若要螃蟹尽量多，那么螃蟹的鳌和脚要尽量少，光看鳌的话，鳌最少为1，螃蟹最多为25只，只看脚的话，脚最少为4，螃蟹最

多为120430

÷=（只），所以螃蟹最多为25只，同理若要螃蟹尽量少，那么螃蟹的鳌和脚要尽量多，

光看鳌的话，鳌最多为2，螃蟹最少为12113

+=（只），

只看脚的话，脚最多为8，螃蟹最少为120815

÷=（只），所以螃蟹最少为13只。【答案】螃蟹最多有25只，至少有13只

【例 7】在一个停车场上，现有车辆41辆，其中汽车有4个轮子，摩托车有3个轮子，这些