第8章支持向量机
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WT X0+b0=0 直接求W0和b0基本上不太可能，除了训练集无别的信息可用， 如何办？
一种方法：使求得的预测函数 y = f(x) = sgn(W·X + b)对原有 样本的分类错误率最小。 如何使分类错误率最小？下面慢慢分 析。
由解析几何知识可得样本空间任一点X到最优超平面 的距离为
(8.3)
(8.10)
式中αp≥0，称为Lagrange系数。式(8.10)中的第一项 为代价函数 φ(w)，第二项非负，因此最小化φ(w)就转 化为求Lagrange函数的最小值。观察Lagrange函数可 以看出，欲使该函数值最小化，应使第一项φ(w)↓，使 第二项↑。为使第一项最小化，将式(8.10)对W和b求 偏导，并使结果为零
算法看作是一个机器（又叫学习机器，或预测函数， 或学习函数）。 “支持向量”：则是指训练集中的某些训练点,这些点 最靠近分类决策面，是最难分类的数据点 。 SVM:它是一种有监督（有导师）学习方法，即已知 训练点的类别，求训练点和类别之间的对应关系，以 便将训练集按照类别分开，或者是预测新的训练点所 对应的类别。
8.1.2 线性可分数据最优超平面的构建 建立最优分类面问题可表示成如下的约束优化问题， 即对给定的训练样本{(X1，d1)，(X2，d2)，…，(Xp， dp)，…(XP，dP)} ，找到权值向量W和阈值B的最优值， 使其在式(8.6)的约束下，有最小化代价函数
该约束优化问题的代价函数是W的凸函数，且关于W 的约束条件是线性的，因此可用Lagrange系数方法解 决约束最优问题。引入Lagrange函数如下
SVM主要针对小样本数据进行学习、分类和预测 （有时也叫回归）的一种方法，能解决神经网络不能 解决的过学习问题。类似的根据样本进行学习的方法 还有基于案例的推理（Case-Based Reasoning）， 决策树归纳算法等。 过学习问题：训练误差过小导致推广能力下降，即真 实风险的增加。 推广能力：generalization ability，也可以说是泛化能 力，就是对未知样本进行预测时的精确度。 下面讨论线性可分情况下支持向量机的分类原理。
什么叫线性可分？就是可以用一条或几条直线把属 于不同类别的样本点分开。实际上，求解分类问题， 就是要求出这条或这几条直线！问题是：怎么求？
进一步理解支持向量机：
支持向量机（Support Vector Machine，SVM）中的 “机（machine，机器）”：
实际上是一个算法。在机器学习领域，常把一些
WT XP+b>0
dp =+1
WT XP+b<0
dp =-1
超平面与最近的样本点之间的间隔称为分离边缘，用ρ表示。 支持向量机的目标是找到一个分离边缘最大的超平面，即最优 超平面。也就是要确定使ρ最大时的W和b。
图8.1给出二维平面中最优超平面的示意图。可以看出，最优 超平面能提供两类之间最大可能的分离，因此确定最优超平面 的权值W0和偏置b0应是唯一的。在式(8.1)定义的一簇超平面中， 最优超平面的方程应为:
支持向量机基于统计学习理论的原理性方法，因此需要 较深的数学基础。下面的阐述避免过多抽象的数学概念， 推导过程尽量详细。
8.1 支持向量机的基本思想
线性可分数据的二值分类机理：系统随机产生一个 超平面并移动它，直到训练集中属于不同类别的样本 点正好位于该超平面的两侧。显然，这种机理能够解 决线性分类问题，但不能够保证产生的超平面是最优 的。支持向量机建立的分类超平面能够在保证分类精 度的同时，使超平面两侧的空白区域最大化，从而实 现对线性可分问题的最优分类。
BP网络及RBF网络解决了模式分类与非线性映射问题。 Vapnik提出的支持向世机(Support Vector Machine， SVM)，同样可以解决模式分类与非线性映射问题。
从线性可分模式分类角度看，SVM的主要思想是：建立 一个最优决策超平面，使得该平面两侧距平面最近的两类 样本之间的距离最大化，从而对分类问题提供良好的泛化 能力。根据cover定理：将复杂的模式分类问题非线性地 投射到高维特征空间可能是线性可分的，因此只要特征空 间的维数足够高，则原始模式空间能变换为一个新的高维 特征空间，使得在特征空间中模式以较高的概率为线性可 分的。此时，应用支持向量机算法在特征空间建立分类超 平面，即可解决非线性可分的模式识别问题。
dp(WT XP+b)≥1
源自文库
（8.6）
其中，W0用W代替。 由式(8.3)可导出从支持向量到最优超平面的代数距离
为
因此，两类之间的间隔可用分离边缘表示为
r
上式表明，分离边缘最大化等价于使权值向量的范数 || W||最小化。因此，满足式(8.6)的条件且使||W||最小 的分类超平面就是最优超平面。
设x=( x1,x2,…,xn)T x的范数:||x||=|x1|+|x2|+…+|xn|
从而有判别函数 g(X)=r ||W0||=W0T X0+b0
g(X)给出从X到最优超平面的距离的一种代数度量。 将判别函数进行归一化，使所有样本都满足
(8.5)
则对于离最优超平面最近的特殊样本Xs满足：I g(Xs) I=1，称为支持向量。由于支持向量最靠近分类决策面， 是最难分类的数据点，因此这些向量在支持向量机的 运行中起着主导作用。 式(8.5)中的两行也可以组合起来用下式表示
如何构造这个最优分类面呢？方法：平分最近点法和最大 间隔法。两个方法殊途同归，它们求解得到同一个超平面。 这两个方法与一个最优化问题求解方法等价。
分类机是将最大间隔法求解最优分类面的最优化问题转 化为其对偶问题，从而通过求解相对简单的对偶问题来求 解原分类问题的算法。随后引入松弛变量和惩罚因子来解 决非线性分类问题，并且允许一定的分类错误（软间隔）， 最终得到非线性软间隔的标准的 C-支持向量机(C-SVC)。 把一个复杂的最优化问题的求解简化为对原有样本数据的 内积运算。只需选择适当的核函数及其参数、惩罚因子。
8.1.1 最优超平面的概念
考虑P个线性可分样本{(X1，d1)，(X2，d2)，…，(Xp， dp)，…(XP，dP)}，对于任一输入样本Xp ，期望输出 为dp =±1（代表两类类别标识）。用于分类
的超平面方程为
WT X+b=0
(8.1)
式中，X为输入向量，W为权值向量，b为偏置（相当 于前述负阈值），则有
一种方法：使求得的预测函数 y = f(x) = sgn(W·X + b)对原有 样本的分类错误率最小。 如何使分类错误率最小？下面慢慢分 析。
由解析几何知识可得样本空间任一点X到最优超平面 的距离为
(8.3)
(8.10)
式中αp≥0，称为Lagrange系数。式(8.10)中的第一项 为代价函数 φ(w)，第二项非负，因此最小化φ(w)就转 化为求Lagrange函数的最小值。观察Lagrange函数可 以看出，欲使该函数值最小化，应使第一项φ(w)↓，使 第二项↑。为使第一项最小化，将式(8.10)对W和b求 偏导，并使结果为零
算法看作是一个机器（又叫学习机器，或预测函数， 或学习函数）。 “支持向量”：则是指训练集中的某些训练点,这些点 最靠近分类决策面，是最难分类的数据点 。 SVM:它是一种有监督（有导师）学习方法，即已知 训练点的类别，求训练点和类别之间的对应关系，以 便将训练集按照类别分开，或者是预测新的训练点所 对应的类别。
8.1.2 线性可分数据最优超平面的构建 建立最优分类面问题可表示成如下的约束优化问题， 即对给定的训练样本{(X1，d1)，(X2，d2)，…，(Xp， dp)，…(XP，dP)} ，找到权值向量W和阈值B的最优值， 使其在式(8.6)的约束下，有最小化代价函数
该约束优化问题的代价函数是W的凸函数，且关于W 的约束条件是线性的，因此可用Lagrange系数方法解 决约束最优问题。引入Lagrange函数如下
SVM主要针对小样本数据进行学习、分类和预测 （有时也叫回归）的一种方法，能解决神经网络不能 解决的过学习问题。类似的根据样本进行学习的方法 还有基于案例的推理（Case-Based Reasoning）， 决策树归纳算法等。 过学习问题：训练误差过小导致推广能力下降，即真 实风险的增加。 推广能力：generalization ability，也可以说是泛化能 力，就是对未知样本进行预测时的精确度。 下面讨论线性可分情况下支持向量机的分类原理。
什么叫线性可分？就是可以用一条或几条直线把属 于不同类别的样本点分开。实际上，求解分类问题， 就是要求出这条或这几条直线！问题是：怎么求？
进一步理解支持向量机：
支持向量机（Support Vector Machine，SVM）中的 “机（machine，机器）”：
实际上是一个算法。在机器学习领域，常把一些
WT XP+b>0
dp =+1
WT XP+b<0
dp =-1
超平面与最近的样本点之间的间隔称为分离边缘，用ρ表示。 支持向量机的目标是找到一个分离边缘最大的超平面，即最优 超平面。也就是要确定使ρ最大时的W和b。
图8.1给出二维平面中最优超平面的示意图。可以看出，最优 超平面能提供两类之间最大可能的分离，因此确定最优超平面 的权值W0和偏置b0应是唯一的。在式(8.1)定义的一簇超平面中， 最优超平面的方程应为:
支持向量机基于统计学习理论的原理性方法，因此需要 较深的数学基础。下面的阐述避免过多抽象的数学概念， 推导过程尽量详细。
8.1 支持向量机的基本思想
线性可分数据的二值分类机理：系统随机产生一个 超平面并移动它，直到训练集中属于不同类别的样本 点正好位于该超平面的两侧。显然，这种机理能够解 决线性分类问题，但不能够保证产生的超平面是最优 的。支持向量机建立的分类超平面能够在保证分类精 度的同时，使超平面两侧的空白区域最大化，从而实 现对线性可分问题的最优分类。
BP网络及RBF网络解决了模式分类与非线性映射问题。 Vapnik提出的支持向世机(Support Vector Machine， SVM)，同样可以解决模式分类与非线性映射问题。
从线性可分模式分类角度看，SVM的主要思想是：建立 一个最优决策超平面，使得该平面两侧距平面最近的两类 样本之间的距离最大化，从而对分类问题提供良好的泛化 能力。根据cover定理：将复杂的模式分类问题非线性地 投射到高维特征空间可能是线性可分的，因此只要特征空 间的维数足够高，则原始模式空间能变换为一个新的高维 特征空间，使得在特征空间中模式以较高的概率为线性可 分的。此时，应用支持向量机算法在特征空间建立分类超 平面，即可解决非线性可分的模式识别问题。
dp(WT XP+b)≥1
源自文库
（8.6）
其中，W0用W代替。 由式(8.3)可导出从支持向量到最优超平面的代数距离
为
因此，两类之间的间隔可用分离边缘表示为
r
上式表明，分离边缘最大化等价于使权值向量的范数 || W||最小化。因此，满足式(8.6)的条件且使||W||最小 的分类超平面就是最优超平面。
设x=( x1,x2,…,xn)T x的范数:||x||=|x1|+|x2|+…+|xn|
从而有判别函数 g(X)=r ||W0||=W0T X0+b0
g(X)给出从X到最优超平面的距离的一种代数度量。 将判别函数进行归一化，使所有样本都满足
(8.5)
则对于离最优超平面最近的特殊样本Xs满足：I g(Xs) I=1，称为支持向量。由于支持向量最靠近分类决策面， 是最难分类的数据点，因此这些向量在支持向量机的 运行中起着主导作用。 式(8.5)中的两行也可以组合起来用下式表示
如何构造这个最优分类面呢？方法：平分最近点法和最大 间隔法。两个方法殊途同归，它们求解得到同一个超平面。 这两个方法与一个最优化问题求解方法等价。
分类机是将最大间隔法求解最优分类面的最优化问题转 化为其对偶问题，从而通过求解相对简单的对偶问题来求 解原分类问题的算法。随后引入松弛变量和惩罚因子来解 决非线性分类问题，并且允许一定的分类错误（软间隔）， 最终得到非线性软间隔的标准的 C-支持向量机(C-SVC)。 把一个复杂的最优化问题的求解简化为对原有样本数据的 内积运算。只需选择适当的核函数及其参数、惩罚因子。
8.1.1 最优超平面的概念
考虑P个线性可分样本{(X1，d1)，(X2，d2)，…，(Xp， dp)，…(XP，dP)}，对于任一输入样本Xp ，期望输出 为dp =±1（代表两类类别标识）。用于分类
的超平面方程为
WT X+b=0
(8.1)
式中，X为输入向量，W为权值向量，b为偏置（相当 于前述负阈值），则有