相似三角形性质与判定的综合运用专题及答案

相似三角形性质与判定的综合运用

一、解答题

1.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边上的点C1处，点D落在

点D1处，C1D1交线段AE于点G．

(1)求证：△BC1F∽△AGC1;

(2)若C1是AB的中点，AB=6，BC=9，求AG的长．

2.已知：如图，在正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足

分别是点E、F．

(1)求证：EF=AE−BE．

(2)连接BF，如果AF

BF =DF

AD

，求证：EF=EP．

3.如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形．

(1)△ACF与△ACG相似吗？说说你的理由．

(2)求∠1+∠2的度数．

4.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线

段DE上一点，且∠AFE=∠B．

(1)求证：△ADF∽△DEC；

(2)若AB=8，AD=6√3，AF=4√3，求AE的长．

5.如图，花丛中一根灯杆AB上有一盏路灯A，灯光下，小明在D点处的影长DE=3

米，沿BD方向走到点G，DG=5米，这时小明的影长GH=4米，如果小明的身高为1.7米，求路灯A离地面的高度．

6.已知：如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点E、F是AB边所在直线

上的两点，且∠ECF=135°．

(1)求证：△ECA∽△CFB；

(2)若AE=3，设AB=x，BF=y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值

范围．

7.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=

∠ACB=90°，E为AB的中点，

(1)求证：AC2=AB⋅AD；

(2)求证：△AFD∽△CFE．

8.如图，在四边形ABCD中，AB//DC，BC>AD，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，

BC=6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点

同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0

(1)求证：△ACD∽△BAC；

(2)求DC的长；

(3)试探究：△BEF可以为等腰三角形吗？若能，求t的值；若不能，请说明理由．

9.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC

边上，DE//AC，EF//AB．

(1)求证：△BDE∽△EFC．

(2)设AF

FC =1

2

，

①若BC=12，求线段BE的长；

②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．

10.小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面上放一面平

面镜，镜子与教学大楼的距离EA=21米．当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B.已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米．请你帮助小玲计算出教学大楼的高度AB是多少米？．

答案和解析

1.【答案】解：(1)证明：由题意可知∠A=∠B=∠GC1F=90∘，∴∠BFC1+∠BC1F=90∘，∠AC1G+∠BC1F=90∘，

∴∠BFC1=∠AC1G，

∴△BC1F∽△AGC1．

(2)∵C1是AB的中点，AB=6，

∴AC1=BC1=3，

∵CF=C1F，∴C1F=BC−BF=9−BF，

∵∠B=90∘，∴BF2+BC12=C1F2，

即BF2+32=(9−BF)2，解得BF=4，

由(1)得△AGC1∽△BC1F，

∴AG

BC1=AC1

BF

，∴AG

3

=3

4

，

解得AG=9

4

．

【解析】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质、翻折变化，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形的相似和勾股定理解答．

(1)根据题意和图形可以找出△BC1F∽△AGC1的条件，从而可以解答本题；

(2)根据勾股定理和(1)中的结论可以求得AG的长．

2.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°．

∵BE⊥AP，DF⊥AP，

∴∠BEA=∠AFD=90°．

∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3．

在△ABE和△DAF中，

∵{∠BEA=∠AFD,∠1=∠3,

AB=DA,

∴△ABE≌△DAF，

∴BE=AF，

∴EF=AE−AF=AE−BE．(2)如图，

∵AF

BF =DF

AD

，而AF=BE．

∴BE

BF =DF

AD

，

∴BE

DF =BF

AD

，

∴Rt△BEF∽Rt△DFA，∴∠4=∠3．

∵∠1=∠3，

∴∠4=∠1．

∵∠5=∠1，

∴∠4=∠5．

即BE平分∠FBP，而BE⊥EP，

∴EF=EP．

【解析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质．

(1)利用正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°，根据等角的余角相等得到∠1=∠3，则可判断△ABE≌△DAF，则BE=AF，然后利用等线段代换可得到结论；

(2)利用AF

BF =DF

AD

和AF=BE得到BE

DF

=BF

AD

，则可判定Rt△BEF∽Rt△DFA，所以∠4=∠3，

再证明∠4=∠5，然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP．3.【答案】解：(1)相似．

理由：设正方形的边长为a，

AC=√a2+a2=√2a，

∵AC

CF =√2a

a

=√2，CG

AC

=

√2a

=√2，

∴AC

CF =CG

AC

，

∵∠ACF=∠ACF，

∴△ACF∽△GCA；

(2)∵△ACF∽△GCA，

∴∠1=∠CAF，

∵∠CAF+∠2=45°，

∴∠1+∠2=45°．

【解析】(1)设正方形的边长为a，求出AC的长为√2a，再求出△ACF与△GCA中夹∠ACF 的两边的比值相等，根据两边对应成比例、夹角相等，两三角形相似，即可判定△ACF 与△GCA相似；

(2)根据相似三角形的对应角相等可得∠1=∠CAF，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠2+∠CAF=∠ACB=45°，所以∠1+∠2=45°．

本题主要利用两边对应成比例，夹角相等两三角形相似的判定和相似三角形对应角相等