相似三角形性质与判定的综合运用专题及答案

相似三角形性质与判定的综合运用
一、解答题
1.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边上的点C1处，点D落在
点D1处，C1D1交线段AE于点G．
(1)求证：△BC1F∽△AGC1;
(2)若C1是AB的中点，AB=6，BC=9，求AG的长．
2.已知：如图，在正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足
分别是点E、F．
(1)求证：EF=AE−BE．
(2)连接BF，如果AF
BF =DF
AD
，求证：EF=EP．
3.如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形．
(1)△ACF与△ACG相似吗？说说你的理由．
(2)求∠1+∠2的度数．
4.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线
段DE上一点，且∠AFE=∠B．
(1)求证：△ADF∽△DEC；
(2)若AB=8，AD=6√3，AF=4√3，求AE的长．
5.如图，花丛中一根灯杆AB上有一盏路灯A，灯光下，小明在D点处的影长DE=3
米，沿BD方向走到点G，DG=5米，这时小明的影长GH=4米，如果小明的身高为1.7米，求路灯A离地面的高度．
6.已知：如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点E、F是AB边所在直线
上的两点，且∠ECF=135°．
(1)求证：△ECA∽△CFB；
(2)若AE=3，设AB=x，BF=y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值
范围．
7.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=
∠ACB=90°，E为AB的中点，
(1)求证：AC2=AB⋅AD；
(2)求证：△AFD∽△CFE．
8.如图，在四边形ABCD中，AB//DC，BC>AD，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，
BC=6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点
同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0<t<5)．
(1)求证：△ACD∽△BAC；
(2)求DC的长；
(3)试探究：△BEF可以为等腰三角形吗？若能，求t的值；若不能，请说明理由．
9.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC
边上，DE//AC，EF//AB．
(1)求证：△BDE∽△EFC．
(2)设AF
FC =1
2
，
①若BC=12，求线段BE的长；
②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．
10.小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面上放一面平
面镜，镜子与教学大楼的距离EA=21米．当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B.已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米．请你帮助小玲计算出教学大楼的高度AB是多少米？．
答案和解析
1.【答案】解：(1)证明：由题意可知∠A=∠B=∠GC1F=90∘，∴∠BFC1+∠BC1F=90∘，∠AC1G+∠BC1F=90∘，
∴∠BFC1=∠AC1G，
∴△BC1F∽△AGC1．
(2)∵C1是AB的中点，AB=6，
∴AC1=BC1=3，
∵CF=C1F，∴C1F=BC−BF=9−BF，
∵∠B=90∘，∴BF2+BC12=C1F2，
即BF2+32=(9−BF)2，解得BF=4，
由(1)得△AGC1∽△BC1F，
∴AG
BC1=AC1
BF
，∴AG
3
=3
4
，
解得AG=9
4
．
【解析】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质、翻折变化，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形的相似和勾股定理解答．
(1)根据题意和图形可以找出△BC1F∽△AGC1的条件，从而可以解答本题；
(2)根据勾股定理和(1)中的结论可以求得AG的长．
2.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°．
∵BE⊥AP，DF⊥AP，
∴∠BEA=∠AFD=90°．
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3．
在△ABE和△DAF中，
∵{∠BEA=∠AFD,∠1=∠3,
AB=DA,
∴△ABE≌△DAF，
∴BE=AF，
∴EF=AE−AF=AE−BE．(2)如图，
∵AF
BF =DF
AD
，而AF=BE．
∴BE
BF =DF
AD
，
∴BE
DF =BF
AD
，
∴Rt△BEF∽Rt△DFA，∴∠4=∠3．
∵∠1=∠3，
∴∠4=∠1．
∵∠5=∠1，
∴∠4=∠5．
即BE平分∠FBP，而BE⊥EP，
∴EF=EP．
【解析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质．
(1)利用正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°，根据等角的余角相等得到∠1=∠3，则可判断△ABE≌△DAF，则BE=AF，然后利用等线段代换可得到结论；
(2)利用AF
BF =DF
AD
和AF=BE得到BE
DF
=BF
AD
，则可判定Rt△BEF∽Rt△DFA，所以∠4=∠3，
再证明∠4=∠5，然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP．3.【答案】解：(1)相似．
理由：设正方形的边长为a，
AC=√a2+a2=√2a，
∵AC
CF =√2a
a
=√2，CG
AC
=
√2a
=√2，
∴AC
CF =CG
AC
，
∵∠ACF=∠ACF，
∴△ACF∽△GCA；
(2)∵△ACF∽△GCA，
∴∠1=∠CAF，
∵∠CAF+∠2=45°，
∴∠1+∠2=45°．
【解析】(1)设正方形的边长为a，求出AC的长为√2a，再求出△ACF与△GCA中夹∠ACF 的两边的比值相等，根据两边对应成比例、夹角相等，两三角形相似，即可判定△ACF 与△GCA相似；
(2)根据相似三角形的对应角相等可得∠1=∠CAF，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠2+∠CAF=∠ACB=45°，所以∠1+∠2=45°．
本题主要利用两边对应成比例，夹角相等两三角形相似的判定和相似三角形对应角相等
的性质以及三角形的外角性质，求出两三角形的对应边的比值相等是解本题的关键．4.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AD//BC，
∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．
∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C．
∴△ADF∽△DEC．
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=8．
由(1)知△ADF∽△DEC，
∴AD
DE =AF
CD
，
∴DE=AD⋅CD
AF =√3×8
4√3
=12．
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE=√DE2−AD2=6．
【解析】(1)根据四边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的对边平行且相等，得到一对同旁内角互补，一对内错角相等，根据已知角相等，利用等角的补角相等得到两组对应角相等，从而推知：△ADF∽△DEC；
(2)由△ADF∽△DEC，得比例，求出DE的长．利用勾股定理求出AE的长．
此题考查了相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
5.【答案】解：∵CD//AB，
∴△EAB∽△ECD，
∴CD
AB =DE
BE
，即1.7
AB
=3
3+BD
①，
∵FG//AB，
∴△HFG∽△HAB，
∴FG
AB =HG
HB
，即1.7
AB
=4
BD+5+4
②，
由①②得3
3+BD =4
BD+5+4
，解得BD=15，
∴1.7
AB =3
15+3
，解得AB=10.2．
答：路灯A离地面的高度为10.2m．
【解析】根据相似三角形的判定，由CD//AB 得△EAB∽△ECD ，利用相似比有1.7AB =33+BD ，同理可得1.7AB =4BD+5+4，然后解关于AB 和BD 的方程组求出AB 即可．
本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． 6.【答案】(1)证明：∵△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB =90°，
∴AC =BC ，
∴∠CAB =∠CBA =45°，
∴∠CAE =180°−45°=135°，
同理∠CBF =135°，
∴∠CAE =∠CBF ，
∵∠ECF =135°，∠ACB =90°，
∴∠ECA +∠BCF =45°，
∵∠ECA +∠E =∠CAB =45°，
∴∠E =∠BCF ，
∵∠CAE =∠CBF ，
∴△ECA∽△CFB ；
(2)解：∵AB =x ，∠CAB =45°，∠ACB =90°，AC =BC ，
∴sin45°=
CB x ， ∴CB =√22x =AC ，
∵由(1)知△ECA∽△CFB ，
∴AE CB =AC BF ，
∴3√22x =
√22x y ，
∴y =1
6x 2，
x 的取值范围是x >0，
即y 与x 之间的函数关系式是y =16x 2，x 的取值范围是x >0．
【解析】(1)根据等腰直角三角形性质求出∠CAE =∠CBF =135°，求出∠ECA +∠BCF =45°，∠E +∠ACE =45°，推出∠E =∠BCF ，即可推出两三角形相似；
(2)根据等腰直角三角形性质和锐角三角函数定义求出AC和BC长，根据两时间相似得出比例式，代入即可求出答案．
本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质，锐角三角函数的定义等知识点，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力．
7.【答案】(1)证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴AD：AC=AC：AB，
∴AC2=AB⋅AD；
(2)证明：∵E为AB的中点，
∴CE=BE=AE，
∴∠EAC=∠ECA，
∵∠DAC=∠CAB，
∴∠DAC=∠ECA，
∴CE//AD，
∴△AFD∽△CFE．
【解析】(1)根据两组对角对应相等的两个三角形相似证明即可；
(2)根据直角三角形的性质得到CE=BE=AE，根据等腰三角形的性质得到∠EAC=∠ECA，推出AD//CE即可解决问题；
本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行线的判定，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
8.【答案】(1)证明：∵CD//AB，
∴∠BAC=∠DCA
又AC⊥BC，∠ACB=90°，
∴∠D=∠ACB=90°，
∴△ACD∽△BAC；
(2)解：在Rt△ABC中，AC=√AB2−BC2=8，
由(1)知，△ACD∽△BAC，
∴DC
AC =AC
BA
，
即 DC 8=810 解得：DC =6.4； (3)能．由运动知，BF =2t ，BE =t ，
△EFB 若为等腰三角形，可分如下三种情况：
①当 BF =BE 时，10−2t =t ，解得t =
103秒．
②当EF =EB 时，如图，过点E 作AB 的垂线，垂足
为G ，
则BG =12BF =12(10−2t).此时△BEG∽△BAC
∴BE
AB =BG
BC ，即
t 10=12(10−2t)6， 解得：t =
25
8；
③当FB =FE 时，如图2，过点F 作AB 的垂线，垂
足为H
则BH =12BE =12t.此时△BFH∽△BAC
∴BF
AB =BH
BC ，即
10−2t 10=12t 6， 解得：t =6017
综上所述：当△EFB 为等腰三角形时，t 的值为103秒或258秒或60
17秒．
【解析】(1)利用平行线判断出∠BAC =∠DCA ，即可得出结论；
(2)先根据勾股定理求出AC =8，由(1)知，△ACD∽△BAC ，得出DC AC =AC
BA ，即可得出结论；
(3)分三种情况，利用等腰三角形的性质构造出相似三角形，得出比例式建立方程求解即可得出结论．
此题是相似形综合题，主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，构造出相似三角形得出比例式是解本题的关键． 9.【答案】(1)证明：∵DE//AC ，
∴∠DEB =∠FCE ，
∵EF//AB，
∴∠DBE=∠FEC，
∴△BDE∽△EFC；(2)解：①∵EF//AB，
∴BE
EC =AF
FC
=1
2
，
∵EC=BC−BE=12−BE，
∴BE
12−BE =1
2
，
解得：BE=4；
②∵AF
FC =1
2
，
∴FC
AC =2
3
，
∵EF//AB，
∴△EFC∽△BAC，
∴S△EFC
S△ABC =(FC
AC
)2=(2
3
)2=4
9
，
∴S△ABC=9
4S△EFC=9
4
×20=45．
【解析】(1)由平行线的性质得出∠DEB=∠FCE，∠DBE=∠FEC，即可得出结论；
(2)①由平行线的性质得出BE
EC =AF
FC
=1
2
，即可得出结果；
②先求出FC
AC =2
3
，易证△EFC∽△BAC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可
得出结果．
本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
10.【答案】解：根据题意可得：
∠AEB=∠CED，∠BAE=∠DCE=90°，
∴△ABE∽△CDE，
∴AB
CD =AE
CE
，
∴AB
1.6=21
2.5
，
∴AB=13.44(米)．
答：教学大楼的高度AB是13.44米．
【解析】根据反射定律，∠1=∠2，又因为FE⊥EC，所以∠3=∠4，再根据垂直定义得到∠BAE=∠DCE，所以可得△BAE∽△DCE，再根据相似三角形的性质解答．
本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．。