相似三角形性质与判定的综合运用专题及答案
相似三角形的定义、判定及性质(习题及答案).
相似三角形的定义、判定及性质（习题）➢例题示范例1：如图，在正方形ABCD 中，E 为边AD 的中点，点 F 在边CD 上，且CF=3FD，△ABE 与△DEF 相似吗？为什么？解：△ABE 与△DEF 相似．理由如下：在正方形ABCD 中，∠A=∠D=90°，AB=AD=CD设AB=AD=CD=4a∵E 为边AD 的中点，CF=3FD∴AE=DE=2a，DF=a∴ AB=4a= 2 ，AE =2a = 2DE 2a∴ AB=AEDF aDE DF又∵∠A=∠D∴△ABE∽△DEF➢巩固练习1.在下面的两组图形中，各有一对相似三角形，则x= ，y= ，m= ，n= ．2.如图，△ADE∽△ABC，AD=BC，BD=4，DE=9，则AD= ，AE= ．EC3.如图，在△ABC 中，AC=8，BC=10，AB=12，D，E 分别是△ABC 的边AB，AC 上的动点，且始终满足△ABC∽△AED．当AE=AC 时，BD= ；当AE=BD 时，AE= ，DE=；BC在D，E 移动的变化过程中，AD:DE:AE= ．4.如图，在△ABC 中，点P 为边AB 上一点，则下列四个条件：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③AC2 =AP ⋅AB ；④ AB ⋅CP =AP ⋅CB ．其中能判定△ABC∽△ACP 相似的是．第4 题图第5 题图5.如图，在正三角形ABC 中，D，E 分别在AC，AB 上，且AD=1，AC 3AE=BE，则有（）A.△AED∽△BEDB.△AED∽△CBDC.△AED∽△ABDD.△BAD∽△BCD6.在如图4×4 的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是（）A B C D7.如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，对角线AC，BD 交于点O，OD=1，若OA=1，OB =9，则OD= ，AD=．OC 2 2 BC8.如图，∠APB=120°，点M，N 在线段AB 上，△PMN 是等边三角形．若AMNB =1，AB=26，则NB 长为．99.如图，在△ABC 中，∠A=90°，点E 在线段AB 上，点D 在线段AC 上，且满足△ABC∽△ADE，若AE=6，EB=3，2AD=DC，则AD= ，DE= ．10.如图，在等腰三角形ABC 中，AB=AC=12，BC=8，点D，E分别在边BC，AC 上，且BD=3，CE=2．求证：△ABD∽△BCE．11.如图，在△ABC 中，CD=CE，∠A=∠ECB．求证：CD2=AD·BE．12.将△ABC 沿BC 方向平移得到△DEF，△ABC 与△DEF 重叠部分的面积是△ABC 面积的一半．已知BC=2，求△ABC 平移的距离．13.求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．要求：①根据给出的△ABC 及线段A′B′，∠A′（∠A′=∠A），以线段A′B′ 为一边，在给出的图形上用尺规作出△A′B′C′，使得△A′B′C′∽△ABC，不写作法，保留作图痕迹；②在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出己知、求证和证明过程．14.如图，在△ABC 中，EF∥BC，AB=3AE，若S 四边形BCFE=16，=（）则S△ABCA．16 B．18 C．20 D．2415.如图，△ABC，△FGH 中，D，E 两点分别在AB，AC 上，F点在DE 上，G，H 两点在BC 上，且DE∥BC，FG∥AB，FH∥AC，若BG:GH:HC=4:6:5，则△ADE 与△FGH 的面积比为何？（）A．2:1 B．3:2 C．5:2 D．9:4➢思考小结1. 回顾相似三角形相关概念，并填空．①相似三角形对应边成比例，对应角相等；②两角分别相等的两个三角形相似；③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；④三边成比例的两个三角形相似．以上概念都是围绕三角形相似，角度相等，线段成比例等信息进行的．不同处在于：利用性质时，三角形相似是条件，角度相等，线段成比例是结论；利用判定时，角度相等，线段成比例是，三角形相似是．由此我们可以发现，当碰到线段成比例和角度相等等条件或结论时，要考虑相似三角形的应用．【参考答案】➢巩固练习1. 32；15；70°；60°22. 12；33. 20；7.2；3 3 54. ①②③5. B6. B7. 3；1；4:5:6 2 38. 189. 4；3 610. 证明略11. 证明略12. △ABC 平移的距离为2 2 ．13. 证明略14. B15. D➢ 思考小结1. 条件；结论。
自学初中数学资料-相似三角形的性质和判定综合-(资料附答案)
自学资料一、相似三角形的性质和判定综合【知识探索】1．（1）三角形相似的判定方法①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似③判定定理1：如果一个三角形的对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。
④判定定理2：如果一个三角形的对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
⑤判定定理3：如果一个三角形的对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似。
（2）直角三角形相似的判定方法①以上各种判定方法均适用②垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。
【错题精练】例1．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点．若∠AEF=90°，则一第1页共23页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训定有（）A. △ADE∽△ECFB. △ECF∽△AEFC. △ADE∽△AEFD. △AEF∽△ABF【解答】解：在矩形ABCD中，∵∠D=∠C=90°，∠AEF=90°，∴∠DEA+∠CEF=90°，∠DEA+∠DAE=90°，∴∠DAE=∠CEF，∴△ADE∽△ECF．故选：A．【答案】A例2．如图，已知AB、CD分别是半圆O的直径和弦，AD和BC相交于点E，若∠AEC=α，则S△CDE：S△ABE等于（）A. sinαB. cosαC. sin2αD. cos2α【答案】D例3．折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F 处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB=AD+2，EH=1，则AD=______．【解答】解：设AD=x，则AB=x+2，∵把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，第2页共23页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训∴DF=AD，EA=EF，∠DFE=∠A=90°，∴四边形AEFD为正方形，∴AE=AD=x，∵把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，∴DH=DC=x+2，∵HE=1，∴AH=AE-HE=x-1，在Rt△ADH中，∵AD2+AH2=DH2，∴x2+（x-1）2=（x+2）2，整理得x2-6x-3=0，解得x1=3+2√3，x2=3-2√3（舍去），即AD的长为3+2√3．故答案为3+2√3．【答案】3+2√3例4．如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′点，D点的对称点为D′点，若∠FPG=90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于______．【解答】解：∵四边形ABC是矩形，∴AB=CD，AD=BC，设AB=CD=x，由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x，∵△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，∴A′E=4D′H，设D′H=a，则A′E=4a，∵△A′EP∽△D′PH，∴D′HPA′=PD′EA′，∴ax =x4a，∴x2=4a2，∴x=2a或-2a（舍弃），∴PA′=PD′=2a，∵12•a•2a=1，∴a=1，∴x=2，∴AB=CD=2，PE=√22+42=2√5，PH=√12+22=√5，第3页共23页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训∴AD=4+2√5+√5+1=5+3√5，∴矩形ABCD的面积=2（5+3√5）=10+6√5．故答案为10+6√5【答案】10+6√5例5．如图，在正方形ABCD中，AB=2，点E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则AO=______．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=2，∠DAE=90°，∵AE=EB=1，∴DE=√22+12=√5，∵AO⊥DE，∴12×DE×AO=12×AE×AD，∴AO=2√55．故答案为2√55．【答案】2√55例6．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于BC的中点处．①如图甲，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；②如图乙，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N．求证：△ECN∽△MEN．第4页共23页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训【答案】证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=45°，∴∠1+∠2=135°又∵△DEF是等腰直角三角形，∴∠3=45°∴∠1+∠4=135°∴∠2=∠4，∵∠B=∠C=45°，∴△BEM∽△CNE；（2）与（1）同理△BEM∽△CNE，∴BECN =EMNE，又∵BE=EC，∴ECCN =EMNE，∴ECEM =CNNE，又∵∠ECN=∠MEN=45°，∴△ECN∽△MEN．例7．如图，△ABC内接于⊙O，AD是边BC上的高，AE是⊙O的直径，连BE．（1）求证：△ABE与△ADC相似；（2）若AB=2BE=4DC=8，求△ADC的面积．【答案】第5页共23页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训例8．如图，AB是⊙O的直径，BE⊥CD于E．（1）求证：AB•BE=BC•BD；（2）若AB=26，CD=24，求sin∠CBD．【答案】（1）证明：连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∵BE⊥CD∴∠ADB=∠CEB∵∠A=∠C∴△CBE∽△ABD∴ABBC =BD BE∴AB•BE=BC•BD；（2）解：连接DO并延长交⊙O于点F，∵DF是直径，∴∠FCD=90°∴∠F=∠CBD AB=DF=26∴CD=24∴sin∠CBD=sin∠F=CDDF =2426=1213【举一反三】第6页共23页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训第7页 共23页 自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力 非学科培训1．如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，AE ⊥EF ，则S △ABE ：S △ECF 等于（ ）A. 1：2B. 4：1C. 2：1D. 1：4【答案】B2．矩形ABCD 中，AD=2AB=2√2，E 是AD 的中点，Rt ∠FEG 顶点与点E 重合，将∠FEG 绕点E 旋转，角的两边分别交AB ，BC （或它们的延长线）于点M ，N ，设∠AME=α（0°＜α＜90°），有下列结论：①BM=CN ；②AM+CN=√2；③S △EMN =1sin 2α，其中正确的是（ ）A. ①B. ②③C. ①③D. ①②③【解答】解：在矩形ABCD 中，AD=2AB ，E 是AD 的中点， 作EF ⊥BC 于点F ，则有AB=AE=EF=FC ，∵∠AEM+∠DEN=90°，∠FEN+∠DEN=90°，∴∠AEM=∠FEN ，在Rt △AME 和Rt △FNE 中，{∠AEM =∠FENAE =EF ∠MAE =∠NFE，∴Rt △AME ≌Rt △FNE ，∴AM=FN ，∴MB=CN ，故①正确；∴CF=AM+CN=12BC=√2，当点M 在AB 的延长线上时，AM-CN=√2，故②错误；∵Rt△AME≌Rt△FNE，∴EM=EN，∴△EMN是等腰直角三角形，∵∠AME=α，∴sinα=AEEM，∴EM=√2sinα，∴S△EMN=12EM2=1sin2α，故③正确，故选：C．【答案】C3．如图，AB是⊙的直径，CD是∠ACB的平分线交⊙O于点D，过D作⊙O的切线交CB的延长线于点E．若AB＝4，∠E＝75°，则CD的长为．【答案】2√34．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CE×CA．（1）求证：BC=CD（2）分别延长AB，DC交于点P，若PB=OB，CD=2√2，求⊙O的半径．【答案】（1）证明：∵DC2=CE•CA，∴DCCE =CADC，而∠ACD=∠DCE，第8页共23页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训∴△CAD∽△CDE，∴∠CAD=∠CDE，∵∠CAD=∠CBD，∴∠CDB=∠CBD，∴BC=DC；（2）解：连结OC，如图，设⊙O的半径为r，∵CD=CB，∴CD̂=CB̂，∴∠BOC=∠BAD，∴OC∥AD，∴PCCD =POOA=2rr=2，∴PC=2CD=4√2，∵∠PCB=∠PAD，∠CPB=∠APD，∴△PCB∽△PAD，∴PCPA =PBPD，即4√23r=r6√2，∴r=4，即⊙O的半径为4．5．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE；（1）求证：△ABE∽△ECD；（2）若AB=4，AE=BC=5，求CD的长；（3）当△AED∽△ECD时，请写出线段AD、AB、CD之间数量关系，并说明理由．第9页共23页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【答案】（1）证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠B=∠C=90°，∠BAE+∠AEB=90°，∵AE⊥DE，∴∠AED=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°，∴∠DEC=∠BAE，∴△ABE∽△ECD；（2）解：Rt△ABE中，∵AB=4，AE=5，∴BE=3，∵BC=5，∴EC=5-3=2，由（1）得：△ABE∽△ECD，∴ABBE =ECCD，∴43=2CD，∴CD=32；（3）解：线段AD、AB、CD之间数量关系：AD=AB+CD；理由是：过E作EF⊥AD于F，∵△AED∽△ECD，∴∠EAD=∠DEC，∵∠AED=∠C，∴∠ADE=∠EDC，∵DC⊥BC，∴EF=EC，∵DE=DE，∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL），∴DF=DC，同理可得：△ABE≌△AFE，∴AF=AB，∴AD=AF+DF=AB+CD．6．已知，正方形DEFG内接于△ABC中，且点E、F在BC上，点D，G分别在AB，AC上．第10页共23页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训（1）如图①，若△ABC是直角三角形，∠A=90°，AB=4，AC=3，求正方形的边长；（2）如图②，若S△ADG=1，S△BDE=3，S△FCG=1，求正方形的边长．【答案】解：（1）设正方形DEFG的边长是x，∵△ABC是直角三角形，∠A=90°，AB=4，AC=3，∴由勾股定理得：BC=5，过A作AM⊥BC于M，交DG于N，由三角形面积公式得：12AB×AC=12BC×AM，∵AB=4，AC=3，BC=5，∴AM=2.4，∵四边形DEFG是正方形，∴DG=GF=EF=DE=MN=x，DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∴DGBC =AN AM，∴x5=2.4−x2.4，x=6037，即正方形DEFG的边长是6037；（2）过A作AM⊥BC于M，交DG于N，设正方形DEFG的边长是a，AN=b，∵四边形DEFG是正方形，∴DG=GF=EF=DE=MN=a，DG∥BC，∵S△ADG=1，S△BDE=3，S△FCG=1，∴12ab=1，12BE•a=3，12CF•a=1，∴BE=3b，CF=b，∴S△ADG+S△BED+S CFG=12ab+32ab+12ab=1+3+1=5，∴ab=2，∴b=2a①，=1（BE+EF+CF）×（AN+MN）-（S△ADG+S△BDE+S△CFG）2（a+4b）（a+b）-5=a2，=12∴a=2b②，由①②得：a=2，即正方形的边长是2．7．如图，在长方形ABCD中，点E，F分别是BC，DC上的动点．沿EF折叠△CEF，使点C的对称点G落在AD上，若AB=3，BC=5，求CF的取值范围．【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=90°，BC=AD=5，CD=AB=3，当点D与F重合时，CF最大值为3，如图1所示：当B与E重合时，CF最小，如图2所示：在Rt△ABG中，∵BG=BC=5，AB=3，∴AG=√BG2−AB2=4，∴DG=AD-AG=1，设CF=FG=x，在Rt△DFG中，∵DF2+DG2=FG2，∴（3-x）2+12=x2，，∴x=53∴5≤CF≤3．≤CF≤3．故答案为：538．如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，点F在AC上从A点向C点运动（点A、C 除外），AF与DC的延长线相交于点M．（1）求证：△AFD∽△CFM；（2）点F在运动中是否存在一个位置使△FMD为等腰三角形？若存在，给予证明；若不存在，请说明理由．【答案】1．如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，EF⊥AE，交BC于点F，则∠1与∠2的大小关系为（）A. ∠1＞∠2B. ∠1＜∠2C. ∠1=∠2D. 无法确定【解答】解：∵∠AED+∠CEF=90°，∠DAE+∠ADE=90°，∴∠DAE=∠CEF，∵∠ADE=∠ECF=90°，又∵∠ADE=∠AEF，∴△ADE∽△AEF，∴∠1=∠2．【答案】C2．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交CD于点F，交AD的延长线于点E，若AB=4，BM=2，则△DEF的面积为（）A. 9B. 8C. 15D. 14.5【答案】A3．如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（）A. S1=S2B. S1＞S2C. S1＜S2D. 3S1=2S2S矩形AEFC，即S1=S2，【解答】解：矩形ABCD的面积S=2S△ABC，而S△ABC=12故选：A．【答案】A4．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，且E为AD的中点，FC=3DF，连接EF并延长交BC的延长线于点G（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求△BEG的面积．=FCDF=3，∴CG=6，∴BG=BC+CG=10，∴△BEG的面积=12×BG×AB=20．5．如图，在正方形ABCD中，AB=4，点P、Q分别在直线CB与射线DC上（点P不与点C、点B重合），且保持∠APQ=90°，CQ=1，则线段BP的长为______．【解答】解：分三种情况：设BP=x，①当P在线段BC上时，如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，∴∠BAP+∠APB=90°，∵∠APQ=90°，∴∠APB+∠CPQ=90°，∴∠BAP=∠CPQ，∴△ABP∽△PCQ，∴ABBP=PCCQ，∴4x=4-x1，∴x1=x2=2，∴BP=2；②当P在CB的延长线上时，如图2，同瑆得：△ABP∽△PCQ，6．已知，如图，在圆O中，AB=CD。
专题28 相似三角形篇(解析版)
专题28 相似三角形考点一：比例1. 比例的性质：①基本性质：两内项之积等于量外项之积。
即若d c b a ::=，则ad bc =。
②合比性质：若d c b a =，则d d c b b a +=+。
③分比性质：若d c b a =，则d d c b b a -=-。
④合分比性质：若d c b a =，则d c d c b a b a -+=-+。
⑤等比性质：若n m d c b a ===...，则n m d c b a n d b m c a ====++++++.........。
2. 比例线段：若四条线段d c b a ，，，，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如d c b a ::=（即ad bc =），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段。
3. 平行线分线段成比例：三条平行线被两条直线所截，所得的对应线段成比例。
即如图：有EFDE BC AB =；DFDE AC AB =；DFEF AC BC =。
推论：①平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
②如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
③平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
1．（2022•镇江）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆．衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的 倍．【分析】根据比例的性质解决此题．【解答】解：由题意得，5m被称物＝6m砝码．∴m被称物：m砝码＝6：5＝1.2．故答案为：1.2．2．（2022•巴中）如图，在平面直角坐标系中，C为△AOB的OA边上一点，AC：OC＝1：2，过C作CD ∥OB交AB于点D，C、D两点纵坐标分别为1、3，则B点的纵坐标为（ ）A．4B．5C．6D．7【分析】根据CD∥OB得出，根据AC：OC＝1：2，得出，根据C、D两点纵坐标分别为1、3，得出OB＝6，即可得出答案．【解答】解：∵CD∥OB，∴，∵AC：OC＝1：2，∴，∵C 、D 两点纵坐标分别为1、3，∴CD ＝3﹣1＝2，∴，解得：OB ＝6，∴B 点的纵坐标为6，故选：C ．3．（2022•临沂）如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，32 DB AD ，若AC ＝6，则EC ＝（ ）A ．56B ．512C ．518D ．524【分析】利用平行线分线段成比例定理解答即可．【解答】解：∵DE ∥BC ，∴＝，∴，∴，∴EC ＝．故选：C ．4．（2022•丽水）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A ，B ，C 都在横线上．若线段AB ＝3，则线段BC 的长是（ ）A ．32B ．1C ．23D ．2【分析】过点A 作平行横线的垂线，交点B 所在的平行横线于D ，交点C 所在的平行横线于E ，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．【解答】解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，则＝，即＝2，解得：BC＝，故选：C．5．（2022•襄阳）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝33，则△ABC的周长为 ．【分析】如图，过点F作FM于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT∥AE交BC于点T．证明AB ＝3AD，设AD＝CD＝a，证明ET＝CT，设ET＝CT＝b，则BE＝3b，求出a+b，可得结论．【解答】解：如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT∥AE交BC于点T．∵AE平分∠BAC，FM⊥AB，FN⊥AC，∴FM＝FN，∴＝＝＝3，∴AB＝3AD，设AD ＝DC ＝a ，则AB ＝3a ，∵AD ＝DC ，DT ∥AE ，∴ET ＝CT ，∴＝＝3，设ET ＝CT ＝b ，则BE ＝3b ，∵AB +BE ＝3，∴3a +3b ＝3，∴a +b ＝，∴△ABC 的周长＝AB +AC +BC ＝5a +5b ＝5，故答案为：5．6．（2022•哈尔滨）如图，AB ∥CD ，AC ，BD 相交于点E ，AE ＝1，EC ＝2，DE ＝3，则BD 的长为（ ）A ．23B ．4C ．29D ．6【解答】解：∵AB ∥CD ，∴△ABE ∽△CDE ，∴＝，即＝，∴BE ＝1.5，∴BD ＝BE +DE ＝4.5．故选：C ．7．（2022•雅安）如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB 和AC 上的点，DE ∥BC ，若12 BD AD ，那么BCDE ＝（ ）A ．94B ．21C ．31D ．32【分析】根据相似三角形的判定定理和性质定理解答即可．【解答】解：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴＝，∵＝，∴＝，∴＝＝．故选：D ．8．（2022•凉山州）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，若DE ∥BC ，32 BD AD ，DE ＝6cm ，则BC 的长为（ ）A ．9cmB ．12cmC ．15cmD ．18cm【分析】根据＝，得到＝，根据DE ∥BC ，得到∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，得到△ADE ∽△ABC ，根据相似三角形对应边成比例即可得出答案．【解答】解：∵＝，∴＝，∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，∴△ADE ∽△ABC ，∴＝，∴＝，∴BC ＝15（cm ），故选：C ．9．（2022•鞍山）如图，AB ∥CD ，AD ，BC 相交于点E ，若AE ：DE ＝1：2，AB ＝2.5，则CD 的长为 ．【分析】由平行线的性质求出∠B ＝∠C ，∠A ＝∠D ，其对应角相等得△EAB ∽△EDC ，再由相似三角形的性质求出线段CD 即可．【解答】解：∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠C ，∠A ＝∠D ，∴△EAB ∽△EDC ，∴AB ：CD ＝AE ：DE ＝1：2，又∵AB ＝2.5，∴CD ＝5．故答案为：5．10．（2022•上海）如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝90°，D 为AB 中点，E 在线段AC 上，BC DE AB AD ，则AC AE ＝ ．【分析】利用平行线截线段成比例解答．【解答】解：∵D 为AB 中点，∴＝．当DE ∥BC 时，△ADE ∽△ABC ，则＝＝＝．当DE 与BC 不平行时，DE ＝DE ′，＝．故答案是：或．11．（2022•宜宾）如图，△ABC 中，点E 、F 分别在边AB 、AC 上，∠1＝∠2．若BC ＝4，AF ＝2，CF ＝3，则EF ＝ ．【分析】由∠1＝∠2，∠A ＝∠A ，得出△AEF ∽△ABC ，再由相似三角形的性质即可得出EF 的长度．【解答】解：∵∠1＝∠2，∠A ＝∠A ，∴△AEF ∽△ABC ，∴，∵BC ＝4，AF ＝2，CF ＝3，∴，∴EF ＝，故答案为：．考点二：相似三角形的性质1.相似图形的概念：把形状相同的图形称为相似图形。
相似三角形的判定与性质以及应用
相似三角形的判定与性质以及应用考点一：相似三角形的判定与性质1．如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF=∠B，且点D、F分别在边AB、AC上．（1）求证：△BDE∽△CEF；（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．2．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，AB=5，求的值．3．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．（1）已知BD=，求正方形ABCD的边长；（2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．4．已知：如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上一点，且∠AED=∠B．若AE=5，AB=9，CB=6，求ED的长．5．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．（1）求证：△ABD∽△CBE；（2）若BD=3，BE=2，求AC的值．6．如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于点O，过点A作AG⊥BD分别交BD、BC 于点G、E．（1）求证：BE2=EG•EA；（2）连接CG，若BE=CE，求证：∠ECG=∠EAC．动点问题：1.在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t （秒）表示运动时间（0≤t≤6），那么当t为何值时，△APQ与△ABD相似？说明理由．2.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=16cm，BC=8cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动；动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动，如果点P的运动速度为4cm/s，Q点的运动速度为2cm/s，那么运动几秒时，△ABC和△PCQ相似？考点二：利用相似三角形测高1．如图，某同学相测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度．变式：如图，直立在B处的标杆AB=2.4m，直立在F处的观测者从E处看到标杆顶A、树顶C在同一条直线上（点F，B，D也在同一条直线上）．已知BD=8m，FB=2.5m，人高EF=1.5m，求树高CD．2．太原双塔寺又名永祚寺，是国家级文物保护单位，由于双塔（舍利塔、文峰塔）耸立，被人们称为“文笔双塔”，是太原的标志性建筑之一，某校社会实践小组为了测量舍利塔的高度，在地面上的C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC=4米，将标杆CD向后平移到点C处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG=6米，GC=53米．请你根据以上数据，计算舍利塔的高度AB．3．如图，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上．同一时刻，小明竖起1米高的直杆MN，量得其影长MF为0.5米，量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米．你能利用小明测量的数据算出电线杆AB的高吗？4．如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．变式：有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．现要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．（1）如果此矩形可分割成两个并排放置的正方形，如图1，此时，这个矩形零件的两条邻边长分别为多少mm？请你计算．（2）如果题中所要加工的零件只是矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条邻边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条邻边长．5．如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，测得G处、标杆顶端C和建筑物顶端A在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，测得H处、标杆顶端E和建筑物顶端A在同一条直线上，AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，求建筑物AB的高．6．如图，路灯A离地8米，身高1.6米的小王（C D）的影长DB与身高一样，现在他沿OD方向走10米，到达E处．（1）请画出小王在E处的影子EH；（2）求EH的长．课后作业：1．如果两个相似三角形对应边之比是1：4，那么它们的对应中线之比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：162．△ABC与△DEF的相似比为3：4，则△ABC与△DEF的周长的比为（）A．3：4 B．4：3 C．9：16D．16：93．两个相似三角形的最短边分别是5cm和3cm，它们的周长之差为12cm，那么小三角形的周长为（）A．14cm B．16cm C．18cm D．30cm4．将一个三角形改成与它相似的三角形，如果面积扩大为原来的9倍，那么周长扩大为原来的（）A．9倍B．3倍C．81倍 D．18倍5．△ADE∽△ABC，且相似比为1：3，若△ADE的面积为5，则△ABC的面积为（）A．10 B．15 C．30 D．457．两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4.5cm，如果它们的面积之和为130cm2，那么较小的多边形的面积是cm2．8．若两个相似多边形面积比为4：9，则它们的周长比是．9．在长8cm，宽6cm的矩形中，截去一个矩形，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形面积是cm2．10．如图，已知△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，BF、ED的延长线交于点G，连接GC．（1）求证：AB=GD；（2）如图2，当CG=EG时，求的值．11．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，连接CE、DE．AC与DE相交于点F．（1）求证：△ADF∽△CEF；（2）若AD=4，AB=6，求的值．。
相似三角形性质与判定专项练习30题(有答案)
相似三角形性质与判定专项练习30题(有答案)1.在三角形ABC中，点D在边BC上，且∠BAC=∠DAG，∠XXX∠BAD。
证明：=。
当GC⊥BC时，证明：∠BAC=90°。
2.在三角形ABC中，∠ACB=90°，点D在边BC上，CE⊥AB，CF⊥AD，E、F分别是垂足。
证明：AC^2=AF•AD。
联结EF，证明：AE•DB=AD•EF。
3.在三角形ABC中，PC平分∠ACB，PB=PC。
证明：△APC∽△ACB。
若AP=2，PC=6，求AC的长。
4.在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠XXX∠C。
证明：△ABF∽△EAD。
若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长。
5.在三角形ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC。
证明：AB•BC=AC•CD。
6.在直角三角形ABC中，AC=BC，点E、F在AB上，∠ECF=45°，设△ABC的面积为S。
说明AF•BE=2S的理由。
7.在等边三角形ABC中，边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P。
若AE=CF，证明：AF=BE，并求∠APB的度数。
若AE=2，试求AP•AF的值。
若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长。
8.在钝角三角形ABC中，AD，BE是边BC上的高。
证明。
9.在三角形ABC中，AB=AC，DE∥BC，点F在边AC 上，DF与BE相交于点G，且∠XXX∠ABE。
证明：（1）△DEF∽△BDE；（2）DG•DF=DB•EF。
10.在等边三角形ABC、△DEF中，点D为AB的中点，E在BC上运动，DF和EF分别交AC于G、H两点，BC=2.问E在何处时CH的长度最大？11.在AB和CD交于点O的图形中，当∠A=∠C时，证明：OA•OB=OC•OD。
12.在等边三角形△AEC中，以AC为对角线做正方形ABCD（点B在△AEC内，点D在△AEC外）。
专题2----相似三角形的判定及应用
专题2 相似三角形的判定及应用(一) 一个三角形与另一个三角形的两个角对应相等，则这两个三角形相似.这是判左三角形相似的重要方法之一.由此，即知(1)任何两个等边三角形都相似.(2)任何顶角相等的两个等腰三角形相似.(3 )三角形的中位线截原三角形得到的小三角形与原三角形相似.(4) 一个锐角相等的两个直角三角形相似.例1 如图，设P是等边AABC的边BC上任一点，连AP,作AP的中垂线交AB、AC 于M、N.证明：BP PC = BM CN. (1994年省竞赛题)例2 如图，AABC和△A，B'U的各边交成六边形DEFGHK,且EF〃KH, GH〃DE, FG〃KD, KH-EF=FG—KD = DE—OH>0.求证：△ ABC, A A'B'C'均为等边三角形.例3 如图，在锐角△ ABC中，D、E、F分别是三条髙AD、BE、CF的垂足，连DF、EF、FD,求证：△ DECs^ AEF S^ DBF.例4 在等腰A ABC中，AB=AC=6, P为边BC ±一点，且PA=4,求PB・PC的值.例5 如图，在厶ABC的边AB上取一点D,连CD,过D作DE〃BC交AC于E,过E 作EF//CD 交AB 于F,求证：AB>4DF.习题11.设△ ABC的三边为a.b.c»求证:(1)若ZA=2ZB・则a2 =b(h + c)t(2)若ZA=3ZB,则c2 =-(a-b)(a2 -b2).b2.在A ABC中，ZA=60°, ZB = 80°・求证：AC2- AB2 = AB AC.3・在A ABC中，ZC=3ZA, Q =27,C =48・求b ・4.等腰A ABC的顶角ZA=108(\ BC = m, AB =AC = n,记x =巴二上，y={m+ n}t ni一n nmz = — .试排出的大小关系.n5.在A ABC中，AD 是ZBAC 的平分线，若AB + BD = 25, AC~CD=4,求AD・6.已知E五边形的周长等于”，所有对角线的长度之和等于q,求---的值. pq7.设0是z\ABC任一点，直线AO、BO. CO分别与三边相交于P. Q、R・令BC= a , CA =b f AB=c,若a > b > c ,求证：OP+OQ+ORv” ・专题3 相似三角形的判定及应用（二）一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，且对应夹角相等，则这两个三角形相似.这是判泄三角形相似的又一重要方法.例1 如图，在A ABC中，AB=AC, D是底边上一点，F是线段AD ±一点，且ZBED=2ZCED=ZBAC.求证：BD=2CD・（1992年全国联赛题，同§2・2中例2）例2 如图，在A ABC夕卜作ZkBPC、A CQA. △ ARB,使ZPBC= ZCAQ=45（\ ZBCP = ZQCA = 30°, ZABR=ZBAR=15°.求证：A POR是等腰直角三角形.（1991年省竞赛题）例3 如图.已知ZkABC满足ZACB=2ZABC.设D是BC边上一点，且CD = 2BD. 延长线段AD至E,使AD=DE・证明：ZECB+I80D=2ZEBC.例4锐角△ ABC的三条高AA H BB r CC】的中点分别为A2. B2. C2.试求ZB2A I C2+ZC2B1A2+ZA2C1B2.（第22届全俄奥林匹克题）例5 在ZkABC 中，ZBAC=60(\ ZACB=45°.(1)求：这个三角形的三边之比AB： BC： CA；(2)设P为A ABC—点，且PA =、丘+血，PB = 3迈七屆,PC = 3近+ 2胚, 求ZAPB、ZBPC. ZCPA・(1990 年、、八联赛题)1.等腰三角形ABC中，ZA=100°, AB=AC,角B的平分线交AC于D・求证：BD+AD= BC.（第23届加拿大奥林匹克训练题）2.在A ABC中，若ZA=2ZB,边AC=4, AB = 5,求BC・3・如图,△ ABC和厶AiBiG均为正三角形，BC和B】Ci的中点均为D.求证:AAi±CCi. （2000 年市竞赛题）页脚.4. 如图，大正方形ABCD 及小正方形AEFG 共顶点A,连BE 、CF. DG,求BE ： CF ： DG.5. 在给泄的不等边三角形A/A2A5中，用表示顶点人•关于由顶点4,引出的角平分线的对称 点，英中ijw{l,2,3},求证：直线B 品,与血,加相互平行.（1982年保加利亚奥林匹克题）AE专题3 相似三角形的判定及应用（三）平行于三角形一边的宜线和英他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似；若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似.这也是判立三角形相似的两个重要方法.例1如图，P是厶ABC —点，过P分别作直线平行于△ ABC的各边，所成的小三角形厶、°和心的面积分別是4、9和49.求AABC的面积.（第2届美国邀请赛题）页脚.例2如图，过三角形任何一点，引三条直线分别平行于它的边，它们把边分割成线段a l>a 2>a 3,b r b 2,b 3,c [,c 2.c 3.求证:= a 2b 2c 2 = a 3b 3c 3.（第 24 届全奥林匹克题）ABC 中，ZBAC=2ZB, AD 为 ZB AC 的平分线，DE 〃CA, AD. CE 令△AOC 、△ DOE 、△ BDE 的而积分别为Si 、S 2 . S3 ,求证：+ 1 = (- + 1)\其中/八c 分别为边AC 和AB 的长.(1991年市竞赛题) c例3如图, £AF 如图，在△ ABC 中,S A C OE =S A DO H IL —=求证：（1）需墻;⑵W S M W + 2.（1990年竞赛题）A B CD EF 例5如图，在△UVW 屜XYZ 的边分别交于A 、B 、C 、D 、E 、F,若而=帝=而A /5+1 2 求证竺 XY DE rz FAZXV1.在△ ABC中，D为BC的中点，过D作一直线交AC于E,交AB的延长线于F.求证：AE：EC=AF： BF. (1978年市竞赛题)2.在A ABC中，BC=2AC, D、E 分别是边BC、AB ±的点,且ZB=ZEDA=ZDAC・如果厶ABC、△ EBD> △ ADC的周长依次为加、>叫.求证：5m = 4(/71, + m2)5m.3・在A ABC 的与边BC 平行的中位线MN 上任取一点P,射线BP 、CP 分别交AC 、AB 于F 、4.在正ZkABC 的边 BC. CA 上各有一点 E 、F, BE=CF=d, EC=FA=b,当 BF 平分 AE .% , 4. 2a+ b a+ b (a + b)2 a',,时，试比较 ------ • ---- • ------- ,=的大小.b a-b ab b5・△ ABC 的而积为1, DE 〃AB 交AC 于D,交BC 于E,连BD ・设△ DCE 、 △ ABD 、 A BDE 中面积最大者的值为y.求y 的最小值.E,试证:兰+些九 EB FC6.四边形PQRS是锐角△ ABC的接矩形，S在AB上，R在AC上，Q在P与C之间.设S“BC = 其中“为不小于3的自然数.求证：舄为无理数.专题4 直角三角形的相似及应用直角三角形有一个特殊的角一一直角，因而对于一般的相似三角形的判泄方法中，现在已经确泄了一个角对应相等，只需再寻求其余一个条件，即可判定两个直角三角形相似.例1如图，已知P为RtA ABC的斜边BC上一点，Q为PC的中点，过P作BC的垂线, 交AB 于R, H为AR的中点，过H向C所在一侧作射线HN上AB.证明：射线HN上存在一点G,使AG=CQ, BG=BQ・（2002年全国联赛题）例2如图,AD是锐角△ ABC边BC上的高,E是AD上的-点且满足羞=需,过D作DF丄BE于F.求证：ZAFC=90°・(1999年中学数学实验班选拔赛题)例3如图.在AABC中，ZA=90(\ AD丄BC于D, ZB的平分线分别与AD、AC交于E. F.求证：(1) AE=AF；l EF⑵若AC=",则而＜AFB,993年省竞赛题)F例4如图，AD是RtA ABC斜边BC上的高，P是AD的中点，连结BP并延长交AC于E.已知AC： AB=k・求AE： EC. （1999年省竞赛题）例5 如图，在四边形ABCD中，AD = DC=h ZDAB = ZECB=90°. BC. AD的延长线交于P・求AB - S A PAB的最小值.（1994年省竞赛题）例6如图，AD、BE、CF是锐角ZkABC的三条髙，M、N分别是BE. CF的中点，求证：A DMN^A ABC・1.设AA|、BB|、CCi为锐角△ ABC的三条高，H为垂心，已知S蚀疋=S呵心，求证：△ ABC为等腰三角形.（1991年联教委推荐试题）2. A ABC 中，ZC=90（\ D 为AB 上一点，作DE丄BC 于E,使BE=AC,且BD =-,又2 DE+BC=1・求证：ZABC = 30°. （1986年市竞赛题）3.已知△ ABC中，ZC=90°, BE是ZB的平分线,CD丄AB于D交BE于0,又过0作FG〃AB 且分别交AC、BC于F. G.求证：AF=CE. （1979年回族自治区竞赛题）4.在厶ABC中，ZACB=90（\ AC=BC, D是BC延长线上的一点，BE丄AD于E, BE与AC交于点F.求证：CD=CF及DE>DC・（1994年省竞赛题）5.将长为12,宽为5的矩形纸片沿对角线对折后放在桌而上，求复盖桌而的而积.6.在A ABC中，BC=« , AC=b, AB=c, ZC=90°, CD 和BE 是△ ABC 的两条中线，且CD丄BE.求a :h:c.（1997年省部分地区竞赛题）7.△ ABC 中，AB=2, AC=、行，ZA=ZBCD=45°（D 在AB 的延长线上）.求BC 及△ BDC 的而积.（1997年省竞赛题）8. 在厶 ABC 中，AB=AC, BC 上的髙 AD=5, M 为 AD 上一点,MD= 1,且ZBMC=3ZBAC.试 求A ABC 的周长.（1995年省竞赛题）ZDBH = ZDAB ・（1993年黄冈地区竞赛题）10.在凸五边形ABCDE 中，顶点B 、E 的角是直角，又ZBAC=ZFAD ・对角线BD 和CE 交 于点O.求证：直线AO 与BE 垂直.9在等边"BC 的边BC 上取点D,使篇冷 作CH 丄AD, H 为垂足，连结BH.求证:11・给泄△ ABC,其中AB=AC，点M、E分别在AB、AC上，直线EF、MN分别垂直BC于F、N.求证：不论MN、EF怎样平行移动，只要它们之间距离不变，则五边形AMNFE的周长为一立值.（1979年市竞赛题）。
相似三角形专题练习(培优)附答案
相似三角形专题练习（培优）附答案一、基础知识（不局限于此）(一).比例1.第四比例项、比例中项、比例线段；2.比例性质：（1）基本性质：bc ad d c b a =⇔= ac b c bb a =⇔=2 （2）合比定理：d dc b b ad c b a ±=±⇒= （3）等比定理：)0.(≠+++=++++++⇒==n d b ban d b m c a n m d c b a3.黄金分割：如图，若AB PB PA ⋅=2，则点P 为线段AB 的黄金分割点．4．平行线分线段成比例定理(二)相似1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.3.相似三角形的判定● （1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
● （2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
● （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
● （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
4.相似三角形的性质● （1）对应边的比相等，对应角相等. ● （2）相似三角形的周长比等于相似比.● （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.● （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比. 5.三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线. 三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半. 7.相似三角形的应用:１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）； ２、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。
如求河的宽度、求建筑物的高度等。
专题2.14相似三角形的性质与判定大题专练
2023-2024学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】专题2.14相似三角形的性质与判定大题专练（期末培优30题）班级：_____________ 姓名：_____________ 得分：_____________本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．解答题（共30小题）1．（2022秋•茌平区校级期末）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，点D在边AC上，且DE⊥AC交BC于点E．（1）求证：△CDE∽△CBA；（2）若AB＝3，AC＝5，E是BC中点，求DE的长．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由DE⊥AC，∠B＝90°可得出∠CDE＝∠B，再结合公共角相等，即可证出△CDE∽△CBA；（2）在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出BC的长，结合点E为线段BC的中点可求出CE的长，再利用相似三角形的性质，即可求出DE的长．【解答】（1）证明：∵DE⊥AC，∠B＝90°，∴∠CDE＝90°＝∠B．又∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CBA．（2）解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，∴BC=4．∵E是BC中点，∴CE=12BC＝2．∵△CDE∽△CBA，∴DEBA=CECA，即DE3=25，∴DE=2×35=65．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等两三角形相似”证出两三角形相似；（2）利用相似三角形的性质求出DE的长．2．（2022秋•大连期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠ADC＝∠BAC，CD＝1，BD＝3，求AC 的长．【答案】AC＝2．【分析】由题意可得BC＝BD+CD＝4，根据∠ADC＝∠BAC，公共角∠C＝∠C，即可证明△ADC∽△BAC，根据相似三角形的性质即可得到结果．【解答】解：∵CD＝1，BD＝3，∴BC＝BD+CD＝4，∵∠ADC＝∠BAC，∠C＝∠C，∴△ADC∽△BAC，∴CDAC=ACBC，即AC2＝CD•BC＝4，∴AC＝2（负值舍去）．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质和判定方法是解题关键．3．（2022秋•黄埔区期末）如图，已知AB⊥BC，EC⊥BC，垂足分别为B、C，AE交BC于点D，AB＝12，BD＝15，DC＝5，求EC的长．【答案】EC＝4．【分析】根据AB⊥BC，EC⊥BC可得∠C＝∠B＝90°，由对顶角相等得∠CDE＝∠BDA，则△DCE∽△DBA，根据相似三角形的性质即可求解．【解答】解：∵AB⊥BC，EC⊥BC，∴∠C＝∠B＝90°，∵∠CDE＝∠BDA，∴△DCE∽△DBA，∴DCBD=ECAB，∵AB＝12，BD＝15，DC＝5，∴515=EC12，∴EC＝4．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟知两个三角形相似，对应边的比相等是解题关键．4．（2022秋•济南期末）如图：点D在△ABC的边AB上，连接CD，∠1＝∠B，AD＝4，AC＝6，求：AB的长．【答案】见试题解答内容【分析】由条件可证明△ACD∽△ABC，于是可得AC2＝AD•AB，再代入已知数据即可求出AB的长．【解答】解：∵∠1＝∠B，∠A＝∠A∴△ACD∽△ABC∴ADAC=ACAB∴AC2＝AD•AB而AD＝4，AC＝6∴AB＝9故AB的长为9．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据对应边成比例由已知线段求未知线段是基本思路．5．（2021秋•蓝田县期末）如图，在△ABC与△ADE中，ABAD=ACAE，且∠EAC＝∠DAB．求证：△ABC∽△ADE．【答案】见试题解答内容【分析】根据相似三角形的判定即可求出答案．【解答】解：∵∠EAC＝∠DAB，∴∠EAC+∠BAE＝∠DAB+∠BAE，∴∠BAC＝∠DAE，∵ABAD=ACAE，∴△ABC∽△ADE．【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．6．（2022秋•启东市校级期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC ＝∠ADB．（1）求证：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用三角形外角的性质及∠DEC＝∠ADB可得出∠ADE＝∠C，结合∠DAE＝∠CAD即可证出△AED∽△ADC；（2）利用相似三角形的性质可求出AD的长，再结合AD＝AB即可得出AB的长．【解答】（1）证明：∵∠DEC＝∠DAE+∠ADE，∠ADB＝∠DAE+∠C，∠DEC＝∠ADB，∴∠ADE＝∠C．又∵∠DAE＝∠CAD，∴△AED∽△ADC．（2）∵△AED∽△ADC，∴ADAC=AEAD，即AD13=1AD，∴AD＝2或AD＝﹣2（舍去）．又∵AD＝AB，∴AB＝2．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等，两三角形相似”证出△AED∽△ADC；（2）利用相似三角形的性质，求出AD的长．7．（2021秋•连平县校级期末）如图，点D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，且∠ADE＝∠B，其中AE＝1.5，AC＝2，BC＝2，求DE的长．【答案】见试题解答内容【分析】先判断△ADE∽△ABC，然后利用相似比可计算出DE的长．【解答】解：∵∠ADE＝∠B，∠EAD＝∠CAB，∴△ADE∽△ABC，∴AEAC=DEBC，即1.52=DE2，∴DE＝1.5．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．8．（2021秋•临湘市期末）如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB．（1）求证：△ADE∽△EFC；（2）若AD＝4，DE＝6，AEEC=2，求EF和FC的值．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，由EF∥AB可得出△EFC∽△ABC，再利用相似于同一三角形的两三角形相似可证出△ADE∽△EFC；（2）由△ADE∽△EFC，利用相似三角形的性质可求出EF和FC的值．【解答】（1）证明：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC；∵EF∥AB，∴△EFC∽△ABC，∴△ADE∽△EFC．（2）解：∵△ADE∽△EFC，∴EFAD=ECAE=FCDE，即EF4=12=FC6，∴EF＝2，FC＝3．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）牢记“相似于同一三角形的两三角形相似”；（2）利用相似三角形的性质，求出EF和FC的值．9．（2022秋•北碚区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，连接DE，F为线段DE 上一点，且∠AFD＝∠C．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB＝8，AD＝AF＝DE的长．【答案】（1）证明过程见解答；（2）DE的长为12．【分析】（1）利用平行四边形的性质可得AD∥BC，从而得∠ADE＝∠DEC，然后根据两角相等的两个三角形相似证明即可解答；（2）根据（1）的结论利用相似三角形的性质即可求出DE＝12．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC，∵∠AFD＝∠C，∴△ADF∽△DEC；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝8，∵△ADF∽△DEC，∴ADDE=AFDC，∴DE＝12．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．10．（2022秋•长安区期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8．在BC的延长线上取一点B，使CE=1 3BC，连接AE，AE与CD交于点F．（1）求证：△ADF∽△ECF；（2）求DF的长．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由平行四边形的性质可得出AD∥BE，从而得出∠DAF＝∠CEF，∠ADF＝∠ECF，即证明△ADF∽△ECF；（2）由平行四边形的性质可得出AD＝BC，AB＝CD＝8，即得出ADCE=3，再根据相似三角形的性质可得出ADCE=DFCF，即DFCF=3，最后结合CD＝DF+CF，即可求出DF的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，即AD∥BE，∴∠DAF＝∠CEF，∠ADF＝∠ECF，∴△ADF∽△ECF；（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD＝8，∴CE=13AD，即ADCE=3．∵△ADF∽△ECF，∴ADCE=DFCF，即DFCF=3．∵CD＝DF+CF，∴DF=34CD=6．【点评】本题考查平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质．熟练掌握三角形相似的判定定理及其性质是解题关键．11．（2022秋•内江期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝∠B．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）若AB＝5，BC＝6，BD＝2，求点E到BC的距离．【答案】（1）见解析过程；（2）3225．【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠B ＝∠C ，由外角的性质可得∠BAD ＝∠CDE ，可得结论；（2）由相似三角形的性质可求解．【解答】（1）证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∵∠ADC ＝∠B +∠BAD ＝∠ADE +∠CDE ，∴∠BAD ＝∠CDE ，∴△ABD ∽△DCE ；（2）如图，过点A 作AH ⊥BC 于H ，过点E 作EM ⊥BC 于M ，∵AB ＝AC ，AH ⊥BC ，∴BH ＝CH ＝3，∴AH ==4，∵BD ＝2，BC ＝6，∴DC ＝4，S △ABD =12×BD •AH ＝4，∵△ABD ∽△DCE ，∴S △ABD S △CDE =（AB CD ）2=2516，∴S △CDE =6425，∴12×4×EM =6425，∴EM =3225，∴点E 到BC 的距离为3225．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的性质是解题的关键．12．（2023春•太仓市期末）如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，且AD ＝AB ，∠DEC ＝∠B ．（1）求证：△AED ∽△ADC ；（2）若AE ＝1，EC ＝3，求AB 的长．【答案】（1）证明见解答．（2）AB ＝2．【分析】（1）利用三角形外角的性质及∠DEC ＝∠ADB 可得出∠ADE ＝∠C ，结合∠DAE ＝∠CAD 即可证出△AED ∽△ADC ；（2）利用相似三角形的性质可求出AD 的长，再结合AD ＝AB 即可得出AB 的长．【解答】（1）证明：∵AD ＝AB ，∴∠ADB ＝∠B ，∵∠DEC ＝∠B ，∴∠DEC ＝∠ADB ，又∵∠DEC +∠AED ＝180°，∠ADB +∠ADC ＝180°，∴∠AED ＝∠ADC ，又∵∠EAD ＝∠DAC ，∴△AED ∽△ADC ．（2）解：由（1）可知，△AED ∽△ADC ，∴AE AD =AD AC ，∵AE ＝1，CE ＝3，∴AC ＝4，将AE 、AC 的值代入上式，得：AD 2＝AE ×AC ＝4，故AD ＝2，又∵AB ＝AD ，∴AB ＝2．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等，两三角形相似”证出△AED ∽△ADC ；（2）利用相似三角形的性质，求出AD 的长．13．（2022秋•路北区期末）如图，AB ＝4，CD ＝6，F 在BD 上，BC 、AD 相交于点E ，且AB ∥CD ∥EF ．（1）若AE ＝3，求ED 的长．（2）求EF 的长．【答案】（1）92；（2）125．【分析】（1）证明△AEB ∽△DEC ，得到AE DE =AB CD ，把已知数据代入计算即可；（2）根据△BEF ∽△BCD ，得到EF CD =BF BD ，同理得到EF AB =DF BD，两个比例式相加再代入计算，得到答案．【解答】解：（1）∵AB ∥CD ，∴△AEB ∽△DEC ，∴AE DE =AB CD ，∵AB ＝4，CD ＝6，AE ＝3，∴3DE =46，解得：DE =92；（2）∵CD ∥EF ，∴△BEF∽△BCD，∴EFCD=BFBD，同理：EFAB=DFBD，∴EFCD+EFAB=BFBD+DFBD=1，∴EF6+EF4=1，解得：EF=12 5．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．14．（2022秋•增城区校级期末）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE ＝∠ACB．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）如果E是AC的中点，AD＝8，AB＝10，求AE的长．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出证．（2）由于点E是AC的中点，设AE＝x，根据相似三角形的性质可知ADAC=AEAB，从而列出方程解出x的值．【解答】解：（1）∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB；（2）由（1）可知：△ADE∽△ACB，∴ADAC=AEAB，∵点E是AC的中点，设AE＝x，∴AC＝2AE＝2x，∵AD＝8，AB＝10，∴82x=x10，解得：x＝∴AE＝【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．15．（2022秋•藁城区期末）如图，等边三角形△ACB的边长为3，点P为BC上的一点，点D为AC上的一点，连接AP、PD，∠APD＝60°．（1）求证：△ABP∽△PCD；（2）若PC＝2，求CD的长．【答案】（1）见解析；（2）2 3．【分析】（1）由△ABC为等边三角形，易得∠B＝∠C＝60°，又∠APD＝60°，由外角性质可得∠DPC ＝∠PAB，利用相似三角形的判定定理（AA）可得△ABP∽△PCD；（2）利用相似三角形的性质可得ABPC=BPCD，易得CD，可得AD，再利用AP2＝AD•AC，可得AP，从而可得答案．【解答】（1）证明：①在等边三角形△ACB中，∠B＝∠C＝60°，∵∠APD＝60°，∠APC＝∠PAB+∠B，∴∠DPC＝∠PAB，∴△ABP∽△PCD；（2）解：∵△ABP∽△PCD，AB＝AC＝3，∴ABPC=BPCD，∴CD=BP⋅PCAB=2×13=23．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质及判定，由条件证得△ABP∽△PCD，△ADP∽△APC是解答此题的关键．16．（2023春•钢城区期末）如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，点D、E分别在BC、AB上，且∠BDE＝∠CAD．（1）求证：△BDE∽△CAD；（2）如果BE＝3，BD＝4，DC＝9，求AB的长．【答案】（1）证明见解析；（2）12．【分析】（1）先利用等腰三角形的性质得出∠B＝∠C，再由∠BDE＝∠CAD可证得△BDE∽△CAD；（2）由相似三角形的性质可得出答案．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵∠BDE＝∠CAD，∴△BDE∽△CAD；（2）解：∵△BDE∽△CAD，∴BECD=BDAC，∴39=4AC，∴AC＝12，∴AB＝12．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．17．（2022秋•丛台区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝20，BC＝32，点D，E分别在近BC，AC 上，且∠ADE＝∠B．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当DE∥AB时，求AE的长．【答案】（1）见解答；（2）AE=125 16．【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可判断．（2）利用相似三角形的判定和性质，列出比例式，求解即可．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠ADE＝∠B，∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠B+∠BAD，∴∠BAD＝∠EDC，∴△ABD∽△DCE．（2）解：∵△ABD∽△DCE，∴∠BAD＝∠CDE，∵DE∥AB，∴∠B＝∠CDE＝∠C，∴△ABD∽△CBA，∴ABBC=BDAB，即2032=BD20，解得：BD＝12.5，∴CD＝BC﹣BD＝32﹣12.5＝19.5，∵DE∥AB，∴BDBC=AEAC，即12.532=AEAC，解得：AE=125 16．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确记忆三角形相似的条件和性质．18．（2022秋•杭州期末）如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，点E ，F 分别在线段BD ，AC 上，连结AD ，EF 交于点G ，∠CEF ＝2∠CAD ．（1）求证：△ABC ∽△EFC ．（2）若BE ＝2DE ，AF CF =32，求FG GE 的值．【答案】（1）证明见解析；（2）FG GE =95．【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠B ＝∠C ，∠CAB ＝2∠CAD ，根据题意不难证明△ABC ∽△EFC ；（2）过点F 作FH ∥BC ，交AD 于点H ，）根据等腰三角形的性质可得BD ＝CD ，则DE =13CD ，易证明△AHF ∽△ADC ，则HF CD =AF AC =35，易证明△HFG ∽△DEG ，则FG GE =HF DE ，将DE =13CD ，HF CD =35代入即可求解．【解答】（1）证明：∵△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∵点D 是BC 的中点，∴∠CAB ＝2∠CAD ，∵∠CEF ＝2∠CAD ，∴∠CEF ＝∠CAB ，在△ABC 和△EFC 中，∠ACB =∠ECF ∠CAB =CEF ，∴△ABC ∽△EFC ；（2）过点F 作FH ∥BC ，交AD 于点H ，∵△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，∴BD ＝CD ，∵BE ＝2DE ，∴DE BD =DE CD =13，即DE =13CD ，∵HF ∥BC ，∴△AHF ∽△ADC ，∴HF CD =AF AC，∵AF CF =32，∴AF AC =35，∴HF CD =AF AC =35，∵HF ∥BC ，∴△HFG ∽△DEG ，∴FG GE =HF DE，由上述知，DE =13CD ，HF CD =35，∴FG GE =HF DE =HF 13CD =3×35=95．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线，根据相似三角形的对应边成比例答题时解题关键．19．（2022秋•金山区校级期末）已知：如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，AE ∥BC ，BE 与AD 、AC 分别相交于点F 、G ，AF 2＝FG •FE ．（1）求证：△CAD ∽△CBG ；（2）联结DG ，求证：DG •AE ＝AB •AG ．【答案】（1）（2）证明见解析．【分析】（1）通过证明△FAG∽△FEA，可得∠FAG＝∠E，由平行线的性质可得∠E＝∠EBC＝∠FAG，且∠ACD＝∠BCG，可证△CAD∽△CBG；（2）由相似三角形的性质可得CACB=CDCG，且∠DCG＝∠ACB，可证△CDG∽△CAB，可得DGAB=CGCB，由平行线分线段成比例可得AECB=AGCG，可得结论．【解答】证明：（1）∵AF2＝FG⋅FE．∴AFFG=EFAF，∵∠AFG＝∠EFA，∴△FAG∽△FEA，∴∠FAG＝∠E，∵AE∥BC，∴∠E＝∠EBC，∴∠EBC＝∠FAG，∵∠ACD＝∠BCG，∴△CAD∽△CBG；（2）∵△CAD∽△CBG，∴CACB=CDCG，∵∠DCG＝∠ACB，∴△CDG∽△CAB，∴DGAB=CGCB，∵AE∥BC，∴AEBC=AGGC，∴AGAE=GCBC，∴DG AB =AG AE，∴DG •AE ＝AB •AG ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．20．（2022秋•永丰县期末）如图所示，点B ，C ，D 在同一条直线上，且BC ＝CD ，点A 和点E 在BD 的同侧，且∠ACE ＝∠B ＝∠D ．（1）证明：△ABC ∽△CDE ；（2）若BC ＝2，AB ＝3，求DE 的长度．【答案】（1）见解析；（2）43．【分析】（1）根据三角形内角和定理与平角的定义得出∠A ＝∠ECD ，即可推出结论；（2）根据相似三角形的性质得出比例式求解即可．【解答】（1）证明：∵∠A ＝180°﹣∠B ﹣∠ACB ，∠ECD ＝180°﹣∠ACE ﹣∠ACB ，∠ACE ＝∠B ，∴∠A ＝∠ECD ，∵∠B ＝∠D ，∴△ABC ∽△CDE ；（2）解：∵△ABC ∽CDE ，∴AB CD =BC DE，∵BC ＝CD ，BC ＝2，∴CD ＝2，∵AB ＝3，∴32=2DE，∴DE =43．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．21．（2021秋•杨浦区期末）已知，如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠BCD ，点E 在边BC 上，AE ∥CD ，DE ∥AB ，过点C 作CF ∥AD ，交线段AE 于点F ，联结BF ．（1）求证：△ABF ≌△EAD ；（2）如果射线BF 经过点D ，求证：BE 2＝EC •BC ．【答案】（1）见解析过程；（2）见解析过程．【分析】（1）先证AB ＝AE ，DE ＝DC ，再证四边形ADCF 是平行四边形，得出AF ＝CD ，进而得出AF ＝DE ，再由平行线性质得∠AED ＝∠BAF ，进而证得结论；（2）通过证明△BEF ∽△BCD ，△DEF ∽△BAF ，可得BE BC =EF CD =EF AF =EC BE，即可得结论．【解答】证明：（1）∵AE ∥CD ，∴∠AEB ＝∠BCD ，∵∠ABC ＝∠BCD ，∴∠ABC ＝∠AEB ，∴AB ＝AE ，∵DE ∥AB ，∴∠DEC ＝∠ABC ，∠AED ＝∠BAF ，∵∠ABC ＝∠BCD ，∴∠DEC ＝∠BCD ，∴DE ＝DC ，∵CF ∥AD ，AE ∥CD ，∴四边形ADCF是平行四边形，∴AF＝CD，∴AF＝DE，在△ABF和△EAD中，AB=EA∠BAF=∠AEDAF=ED，∴△ABF≌△EAD（SAS）；（2）如图，连接FD，∵射线BF经过点D，∴点B，点F，点D三点共线，∵AE∥DC，∴△BEF∽△BCD，∴BEBC=EFCD，ECBE=DFBF，∵DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴EFAF=DFBF，∴ECBE=EFAF，∵CD＝AF，∴BEBC=EFCD=EFAF=ECBE，∴BE2＝EC•BC．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，利用相似三角形的性质得到线段的关系是解题的关键．22．（2022秋•扶沟县校级期末）如图，已知锐角△ABC中，边BC为12，高AD长为8．矩形EFGIH的边GH 在BC 边上，其余两个顶点E ，F 分别在AB ，AC 边上，EF 交AD 于点K ．（1）求的EF AK的值；（2）设EH ＝x ，矩形EFGH 的面积为S ，求S 与x 的函数关系式，并求S 的最大值．【答案】（1）32；（2）S 有最大值，最大值为24．【分析】（1）由EF ∥BC ，推出△AEF ∽△ABC ，推出EF BC =AK AD，由此即解决问题．（2）用类似（1）的方法求出EF ，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．【解答】解：（1）∵EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ，∴EF BC =AK AD ，∴EF AK =BC AD =128=32；（2）∵EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ，∴EF BC =AK AD ，∴EF 12=8x 8，∴EF =32（8﹣x ），∴S ＝x •32（8﹣x ）=―32x 2+12x =―32（x ﹣4）2+24．∵―32＜0，∴S 有最大值，最大值为24．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质等知识，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型．23．（2022秋•信都区校级期末）如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，点P 从B 运动到C ，且∠APD ＝∠C ．（1）求证：AB •CD ＝CP •BP ；（2）若AB ＝6，BC ＝10，求P 到什么位置时，PD ∥AB ．【答案】（1）见解析；（2）BP =185．【分析】（1）先根据得出∠B ＝∠APD ，证明∠DPC ＝∠BAP ，得出△ABP ∽△PCD ，根据相似三角形性质得出AB CP =BP CD，即可证明结论；（2）根据平行线的性质得出∠BAP ＝∠APD ＝∠C ，证明△BAP ∽△BCA ，得出AB BC =BP AB ，根据AB ＝6，BC ＝10，求出BP =185，即可得出当BP =185时，PD ∥AB ．【解答】（1）证明：∵∠B ＝∠C ，∠APD ＝∠C ，∴∠B ＝∠APD ，∵∠APC ＝∠APD +∠DPC ，∠APC ＝∠B +∠BAP ，∴∠DPC ＝∠BAP ，∴△ABP ∽△PCD ，∴AB CP =BP CD，∴AB ⋅CD ＝CP ⋅BP ．（2）解：如图，PD ∥AB ，∴∠BAP＝∠APD＝∠C，又∵∠B＝∠B，∴△BAP∽△BCA，∴ABBC=BPAB，∵AB＝6，BC＝10，∴610=BP6，∴BP=18 5，即当BP=185时，PD∥AB．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，证明△ABP∽△PCD．24．（2022秋•叙州区期末）已知：如图，△ABC与△ADE均为等腰三角形，BA＝BC，DA＝DE，如果点D 在BC上，且∠EDC＝∠BAD，点O为AC与DE的交点．求证：（1）△ABC∽△ADE；（2）DA•OE＝OA•CE．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由相似三角形的判定定理可得结论；（2）由相似三角形的性质可得∠BAC＝∠DAE，通过证明△COD∽△EOA，可得OCOE=ODOA，通过证明△AOD∽△EOC，可得DACE=OAOE，即可得结论．【解答】证明：（1）∵BA＝BC，DA＝DE，∴BABC=DADE=1，∵∠EDC＝∠BAD，∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝∠ADE+∠EDC，∴∠ABC＝∠ADE，∴△ABC∽△ADE；（2）∵△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE＝∠CDE，∵∠COD＝∠EOA，∴△COD∽△EOA，∴OCOE=ODOA又∵∠AOD＝∠EOC，∴△AOD∽△EOC，∴DACE=OAOE，即DA•OE＝OA•CE．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．25．（2023春•文山州期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC 于点E，且∠ADC＝60°．（1）求证：△ABE是等边三角形；（2）若ABBC=m(0＜m＜1)，连接OE，设S四边形OECDS△AOD=k，试求k与m满足的关系．【答案】（1）答案见解答过程；（2）m+k＝2．【分析】（1）先由平行四边形的性质得∠ABC＝∠ADC＝60°，AD∥BC，进而得∠DAB＝120°，再根据角平分线的定义得∠BAE＝60°，据此可得出结论；（2）由（1）可知△ABE是等边三角形，则AB＝BE，由AB/BC＝m得AB＝BE＝mBC，过点O作OM⊥AD于M，MO的延长线∠BC于N，先证OM＝ON，然后设OM＝ON＝a，BC＝AD＝b，则AB＝BE＝mBC＝mb，分别求出S△BOE =12•mab，S△OBC=12•ab，S△OCD＝S△OBC=12•ab，则S△BCD＝ab，S△AOD=12•ab，进而得S四边形OECD =12ab（2﹣m），最后再根据已知条件即可得出k与m满足的关系．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，且∠ADC＝60°，∴∠ABC＝∠ADC＝60°，AD∥BC，∴∠ABC+∠DAB＝180°，∴∠DAB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣60°＝120°，∵AE平分∠DAB，∴∠BAE=12∠DAB=12×120°＝60°，∴△ABE是等边三角形；（2）解：由（1）可知：△ABE是等边三角形，∴AB＝BE，∵ABBC=m，∴AB＝BE＝mBC，过点O作OM⊥AD于M，MO的延长线∠BC于N，如图：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，AD∥BC，∴∠MAO＝∠NCO，ON⊥BC，在△AOM和△CNO中，∠MAO=∠NCO∠AMO=∠CNO=90°OA=OC，∴△AOM≌△CNO（AAS），∴OM＝ON，设OM＝ON＝a，BC＝AD＝b，则AB＝BE＝mBC＝mb，∴S△BOE =12BE•ON=12mab，S△OBC=12BC•ON=12ab，S△AOD=12AD•OM=12ab，∵OB＝OD，∴△OBC和△OCD等底同高，∴S△OCD ＝S△OBC=12ab，∴S△BCD ＝S△OCD+S△OBC＝ab，∴S四边形OECD ＝S△BCD﹣S△BOE＝ab―12mab=12ab（2﹣m），∴S四边形OECDS△AOD=12ab(2m)12ab=k，∴2﹣m＝k，∴m+k＝2．即：k与m满足的关系是：m+k＝2．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定及性质，三角形的面积等，熟练掌握平行四边形的性质和等边三角形的判定方法，灵活运用三角形的面积公式进行计算是解答此题的关键．26．（2022秋•怀化期末）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）若AD＝2DB，AE＝4，AC＝9，求BD的长．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出证．（2）设BD＝x，则AD＝2x，AB＝3x，根据相似三角形的性质可知ADAC=AEAB，从而列出方程解出x的值．【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB；（2）解：由（1）可知：△ADE ∽△ACB ，∴AD AC =AE AB，设BD ＝x ，则AD ＝2x ，AB ＝3x ，∵AE ＝4，AC ＝9，∴2x 9=43x ，解得：x =，∴BD 【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．27．（2022秋•兴化市期末）如图，已知∠BAC ＝∠EAF ，∠ABE ＝∠ACF ，若B ，E ，F 三点共线，线段EF 与AC 交于点O ．（1）求证：△ABE ∽△ACF ；（2）若AB ＝3，CF ＝4，△AOB 的面积为9，求△COF 的面积．【答案】（1）见解答；（2）△COF 的面积是16．【分析】（1）由△ABC ∽△AEF ，可得∠BAC ＝∠EAF ，AB ：AE ＝AC ：AF ，可得∠BAE ＝∠CAF ，所以AB ：AC ＝AE ：AF ，由两边对应成比例且夹角相等的三角形相似可得结论；（2）由∠ABE ＝∠ACF ，易证△AOB ∽△FOC ，所以S △BOA ：S △COF ＝（AB CF ）2=916，由此可得结论．【解答】（1）证明：∵∠ABE ＝∠ACF ，∴A 、B 、C 、D 四点共圆，∴∠AFB ＝∠BCA ，∵∠ABC ＝∠EAF ，∴△ABC ∽△AEF ，∴∠BAC ＝∠EAF ，AB ：AE ＝AC ：AF ，∴∠BAC ﹣∠EAC ＝∠EAF ﹣∠EAC ，即∠BAE ＝∠CAF ，∴AB：AC＝AE：AF，∴△ABE∽△ACF；（2）解：∵∠ABE＝∠ACF，∵∠AOB＝∠COF，∴△AOB∽△FOC，∴S△AOB ：S△FOC＝（ABCF）2=916，∵S△AOB＝9，∴S△FOC＝16．【点评】本题主要考查相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．28．（2023春•普陀区校级期末）已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BA•BD＝BC•BE．（1）求证：△BDE∽△BCA；（2）如果AE＝AC，求证：AC2＝AD•AB．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据两边成比例夹角相等判定两三角形相似即可；（2）只要证明△ADC∽△ACB，即可解决问题；【解答】（1）证明：∵BA•BD＝BC•BE．∴BDBC=BEBA，∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△BCA．（2）证明：∵BA•BD＝BC•BE．∴BDBE=BCBA，∵∠B＝∠B，∴△BAE∽△BCD，∴∠BAE＝∠BCD，∵AE＝AC，∴∠AEC＝∠ACE，∵∠AEC＝∠B+∠BAE，∠ACE＝∠ACD+∠BCD，∴∠B＝∠ACD，∵∠BAC＝∠BAC，∴△ADC∽△ACB，∴ADAC=ACAB，∴AC2＝AD•AB．【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．29．（2022秋•细河区期末）如图，平行四边形ABCD，DE交BC于F，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠C．（1）求证：△ADE∽△DBE；（2）若DC＝7cm，BE＝9cm，求DE的长．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由平行四边形的对角相等，可得∠A＝∠C，即可求得∠A＝∠EDB，又由公共角∠E＝∠E，可证得△ADE∽△DBE；（2）根据相似三角形的对应边成比例，进而解答即可．【解答】（1）证明：平行四边形ABCD中，∠A＝∠C，∵∠EDB＝∠C，∴∠A＝∠EDB，又∠E＝∠E，∴△ADE ∽△DBE ；（2）平行四边形ABCD 中，DC ＝AB ，由（1）得△ADE ∽△DBE ，∴DE AE =BE DE，∵DC ＝7cm ，BE ＝9cm ，∴AB ＝7cm ，AE ＝16cm ，∴DE ＝12cm ．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质．解题的关键是数形结合思想的应用，要注意仔细识图．30．（2022秋•如皋市期末）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝12，M 为AC 上一点，AM ＝4，D 为AB 边上一点（不与A ，B 重合），作∠MDN ＝45°，使DN 交△ABC 的边于点N ．（1）如图1，点N 在BC 上时，①求证：△AMD ∽△DBN ；②若BD AD =15，求BN 的长；（2）若AD BD =13，请直接写出CN 的长．【答案】（1）①证明见解答；②BN 的长为10；（2）CN 的长为3或212．【分析】（1）①由∠C ＝90°，AC ＝BC ，得∠A ＝∠B ＝45°，再证明∠AMD ＝∠BDE ＝135°﹣∠ADM ，即可由“两角分别相等的两个三角形相似”证明△AMD ∽△DBN ；②由∠C ＝90°，AC ＝BC ＝12，根据勾股定理得AB =则AD =56AB ＝BD ＝BN ＝10；（2）当点N 在线段CM 上，作DF ∥AC 交BC 于点F ，由AD BD =13，求得AD =14AB ＝BD ＝设DN 与射线BC 交于点E ，由△AMD ∽△BDE ，可求得BE =272，可知点E 在BC 的延长线上，此时，DE 与AC 交于点N ，EC ＝BE ﹣BC =32，由CF BF =AD BD =13，求得BF =34BC ＝9，则EF ＝BE ﹣BF =92，而FD ＝BF ＝9，即可由△ECN ∽△EFD ，求得CN ＝3；当点N 在线段AM 上，作ML ∥BC 交AB 于点L ，可证明△LDM ∽△AND ，得LD AN =LM AD ，求得AN =32，则CN ＝12―32=212．【解答】（1）①证明：如图1，∵∠C ＝90°，AC ＝BC ，∴∠A ＝∠B ＝45°，∴∠AMD ＝180°﹣∠A ﹣∠ADM ＝135°﹣∠ADM ，∵∠MDN ＝45°，∴∠BDN ＝180°﹣∠MDN ﹣∠ADM ＝135°﹣∠ADM ，∴∠AMD ＝∠BDN ，∴△AMD ∽△DBN ．②解：如图1，∵∠C ＝90°，AC ＝BC ＝12，AM ＝4，∴AB =∵BD AD =15，∴AD =56AB =56×=BD ＝―∵△AMD ∽△DBN ，∴AM BD =AD BN ，∴BN =AD⋅BD AM =10，∴BN 的长为10.（2）解：如图2，点N 在线段CM 上，作DF ∥AC 交BC 于点F ，∵ADBD =13，∴AD =14AB =14×=BD ＝―设DN 与射线BC 交于点E ，∵∠A ＝∠B ，∠AMD ＝∠BDE ＝135°﹣∠ADM ，∴△AMD ∽△BDE ，∴AMBD=ADBE，∴BE=AD⋅BDAM=272，∴点E在BC的延长线上，此时，DE与AC交于点N，EC＝BE﹣BC=272―12=32，∵CFBF=ADBD=13，∴BF=34BC=34×12＝9，∴EF＝BE﹣BF=272―9=92，∵∠BDF＝∠A＝∠B，∴FD＝BF＝9，∵CN∥DF，∴△ECN∽△EFD，∴CNFD=ECEF，∴CN=EC⋅FDEF=32×992=3；如图3，点N在线段AM上，作ML∥BC交AB于点L，∵ALAB=AMAC=412=13，∴AL=13AB=13×∴LD＝AL﹣AD＝―∵∠DLM＝∠B＝∠A＝45°，∠MDN＝45°，∴∠LDM＝∠AND＝135°﹣∠ADN，LM＝AM＝4，∴△LDM∽△AND，∴LDAN=LMAD，∴AN=LD⋅ADLM==32，∴CN＝12―32=212，综上所述，CN的长是3或21 2．【点评】此题重点考查等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理、相似三角形的性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，证明∠AMD＝∠BDE＝135°﹣∠ADM，进而证明△AMD∽△BDN是解题的关键．。
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相似三角形性质与判定的综合运用一、解答题1.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边上的点C1处，点D落在点D1处，C1D1交线段AE于点G．(1)求证：△BC1F∽△AGC1;(2)若C1是AB的中点，AB=6，BC=9，求AG的长．2.已知：如图，在正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．(1)求证：EF=AE−BE．(2)连接BF，如果AFBF =DFAD，求证：EF=EP．3.如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形．(1)△ACF与△ACG相似吗？说说你的理由．(2)求∠1+∠2的度数．4.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．(1)求证：△ADF∽△DEC；(2)若AB=8，AD=6√3，AF=4√3，求AE的长．5.如图，花丛中一根灯杆AB上有一盏路灯A，灯光下，小明在D点处的影长DE=3米，沿BD方向走到点G，DG=5米，这时小明的影长GH=4米，如果小明的身高为1.7米，求路灯A离地面的高度．6.已知：如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点E、F是AB边所在直线上的两点，且∠ECF=135°．(1)求证：△ECA∽△CFB；(2)若AE=3，设AB=x，BF=y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．7.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，(1)求证：AC2=AB⋅AD；(2)求证：△AFD∽△CFE．8.如图，在四边形ABCD中，AB//DC，BC>AD，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0<t<5)．(1)求证：△ACD∽△BAC；(2)求DC的长；(3)试探究：△BEF可以为等腰三角形吗？若能，求t的值；若不能，请说明理由．9.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE//AC，EF//AB．(1)求证：△BDE∽△EFC．(2)设AFFC =12，①若BC=12，求线段BE的长；②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．10.小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA=21米．当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B.已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米．请你帮助小玲计算出教学大楼的高度AB是多少米？．答案和解析1.【答案】解：(1)证明：由题意可知∠A=∠B=∠GC1F=90∘，∴∠BFC1+∠BC1F=90∘，∠AC1G+∠BC1F=90∘，∴∠BFC1=∠AC1G，∴△BC1F∽△AGC1．(2)∵C1是AB的中点，AB=6，∴AC1=BC1=3，∵CF=C1F，∴C1F=BC−BF=9−BF，∵∠B=90∘，∴BF2+BC12=C1F2，即BF2+32=(9−BF)2，解得BF=4，由(1)得△AGC1∽△BC1F，∴AGBC1=AC1BF，∴AG3=34，解得AG=94．【解析】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质、翻折变化，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形的相似和勾股定理解答．(1)根据题意和图形可以找出△BC1F∽△AGC1的条件，从而可以解答本题；(2)根据勾股定理和(1)中的结论可以求得AG的长．2.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°．∵BE⊥AP，DF⊥AP，∴∠BEA=∠AFD=90°．∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3．在△ABE和△DAF中，∵{∠BEA=∠AFD,∠1=∠3,AB=DA,∴△ABE≌△DAF，∴BE=AF，∴EF=AE−AF=AE−BE．(2)如图，∵AFBF =DFAD，而AF=BE．∴BEBF =DFAD，∴BEDF =BFAD，∴Rt△BEF∽Rt△DFA，∴∠4=∠3．∵∠1=∠3，∴∠4=∠1．∵∠5=∠1，∴∠4=∠5．即BE平分∠FBP，而BE⊥EP，∴EF=EP．【解析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质．(1)利用正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°，根据等角的余角相等得到∠1=∠3，则可判断△ABE≌△DAF，则BE=AF，然后利用等线段代换可得到结论；(2)利用AFBF =DFAD和AF=BE得到BEDF=BFAD，则可判定Rt△BEF∽Rt△DFA，所以∠4=∠3，再证明∠4=∠5，然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP．3.【答案】解：(1)相似．理由：设正方形的边长为a，AC=√a2+a2=√2a，∵ACCF =√2aa=√2，CGAC=√2a=√2，∴ACCF =CGAC，∵∠ACF=∠ACF，∴△ACF∽△GCA；(2)∵△ACF∽△GCA，∴∠1=∠CAF，∵∠CAF+∠2=45°，∴∠1+∠2=45°．【解析】(1)设正方形的边长为a，求出AC的长为√2a，再求出△ACF与△GCA中夹∠ACF 的两边的比值相等，根据两边对应成比例、夹角相等，两三角形相似，即可判定△ACF 与△GCA相似；(2)根据相似三角形的对应角相等可得∠1=∠CAF，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠2+∠CAF=∠ACB=45°，所以∠1+∠2=45°．本题主要利用两边对应成比例，夹角相等两三角形相似的判定和相似三角形对应角相等的性质以及三角形的外角性质，求出两三角形的对应边的比值相等是解本题的关键．4.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AD//BC，∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C．∴△ADF∽△DEC．(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=8．由(1)知△ADF∽△DEC，∴ADDE =AFCD，∴DE=AD⋅CDAF =√3×84√3=12．在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE=√DE2−AD2=6．【解析】(1)根据四边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的对边平行且相等，得到一对同旁内角互补，一对内错角相等，根据已知角相等，利用等角的补角相等得到两组对应角相等，从而推知：△ADF∽△DEC；(2)由△ADF∽△DEC，得比例，求出DE的长．利用勾股定理求出AE的长．此题考查了相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．5.【答案】解：∵CD//AB，∴△EAB∽△ECD，∴CDAB =DEBE，即1.7AB=33+BD①，∵FG//AB，∴△HFG∽△HAB，∴FGAB =HGHB，即1.7AB=4BD+5+4②，由①②得33+BD =4BD+5+4，解得BD=15，∴1.7AB =315+3，解得AB=10.2．答：路灯A离地面的高度为10.2m．【解析】根据相似三角形的判定，由CD//AB 得△EAB∽△ECD ，利用相似比有1.7AB =33+BD ，同理可得1.7AB =4BD+5+4，然后解关于AB 和BD 的方程组求出AB 即可．本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． 6.【答案】(1)证明：∵△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB =90°，∴AC =BC ，∴∠CAB =∠CBA =45°，∴∠CAE =180°−45°=135°，同理∠CBF =135°，∴∠CAE =∠CBF ，∵∠ECF =135°，∠ACB =90°，∴∠ECA +∠BCF =45°，∵∠ECA +∠E =∠CAB =45°，∴∠E =∠BCF ，∵∠CAE =∠CBF ，∴△ECA∽△CFB ；(2)解：∵AB =x ，∠CAB =45°，∠ACB =90°，AC =BC ，∴sin45°=CB x ， ∴CB =√22x =AC ，∵由(1)知△ECA∽△CFB ，∴AE CB =AC BF ，∴3√22x =√22x y ，∴y =16x 2，x 的取值范围是x >0，即y 与x 之间的函数关系式是y =16x 2，x 的取值范围是x >0．【解析】(1)根据等腰直角三角形性质求出∠CAE =∠CBF =135°，求出∠ECA +∠BCF =45°，∠E +∠ACE =45°，推出∠E =∠BCF ，即可推出两三角形相似；(2)根据等腰直角三角形性质和锐角三角函数定义求出AC和BC长，根据两时间相似得出比例式，代入即可求出答案．本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质，锐角三角函数的定义等知识点，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力．7.【答案】(1)证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB⋅AD；(2)证明：∵E为AB的中点，∴CE=BE=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE//AD，∴△AFD∽△CFE．【解析】(1)根据两组对角对应相等的两个三角形相似证明即可；(2)根据直角三角形的性质得到CE=BE=AE，根据等腰三角形的性质得到∠EAC=∠ECA，推出AD//CE即可解决问题；本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行线的判定，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．8.【答案】(1)证明：∵CD//AB，∴∠BAC=∠DCA又AC⊥BC，∠ACB=90°，∴∠D=∠ACB=90°，∴△ACD∽△BAC；(2)解：在Rt△ABC中，AC=√AB2−BC2=8，由(1)知，△ACD∽△BAC，∴DCAC =ACBA，即 DC 8=810 解得：DC =6.4； (3)能．由运动知，BF =2t ，BE =t ，△EFB 若为等腰三角形，可分如下三种情况：①当 BF =BE 时，10−2t =t ，解得t =103秒．②当EF =EB 时，如图，过点E 作AB 的垂线，垂足为G ，则BG =12BF =12(10−2t).此时△BEG∽△BAC∴BEAB =BGBC ，即t 10=12(10−2t)6， 解得：t =258；③当FB =FE 时，如图2，过点F 作AB 的垂线，垂足为H则BH =12BE =12t.此时△BFH∽△BAC∴BFAB =BHBC ，即10−2t 10=12t 6， 解得：t =6017综上所述：当△EFB 为等腰三角形时，t 的值为103秒或258秒或6017秒．【解析】(1)利用平行线判断出∠BAC =∠DCA ，即可得出结论；(2)先根据勾股定理求出AC =8，由(1)知，△ACD∽△BAC ，得出DC AC =ACBA ，即可得出结论；(3)分三种情况，利用等腰三角形的性质构造出相似三角形，得出比例式建立方程求解即可得出结论．此题是相似形综合题，主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，构造出相似三角形得出比例式是解本题的关键． 9.【答案】(1)证明：∵DE//AC ，∴∠DEB =∠FCE ，∵EF//AB，∴∠DBE=∠FEC，∴△BDE∽△EFC；(2)解：①∵EF//AB，∴BEEC =AFFC=12，∵EC=BC−BE=12−BE，∴BE12−BE =12，解得：BE=4；②∵AFFC =12，∴FCAC =23，∵EF//AB，∴△EFC∽△BAC，∴S△EFCS△ABC =(FCAC)2=(23)2=49，∴S△ABC=94S△EFC=94×20=45．【解析】(1)由平行线的性质得出∠DEB=∠FCE，∠DBE=∠FEC，即可得出结论；(2)①由平行线的性质得出BEEC =AFFC=12，即可得出结果；②先求出FCAC =23，易证△EFC∽△BAC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．10.【答案】解：根据题意可得：∠AEB=∠CED，∠BAE=∠DCE=90°，∴△ABE∽△CDE，∴ABCD =AECE，∴AB1.6=212.5，∴AB=13.44(米)．答：教学大楼的高度AB是13.44米．【解析】根据反射定律，∠1=∠2，又因为FE⊥EC，所以∠3=∠4，再根据垂直定义得到∠BAE=∠DCE，所以可得△BAE∽△DCE，再根据相似三角形的性质解答．本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．。