第二章 有限元法及其软件ANSYS在压电复合材料分析中的应用

第二章有限元法及其软件ANSYS在压电复合材料分析中的应用2.1 有限元法概述

在工程技术领域中有许多力学问题和场问题，例如固体力学中的应力应变场和位移场分析以及电磁学中的电磁场分析、振动模态分析等，都可以看作是在一定的边界条件下求解其基本微分方程的问题。虽然人们已经建立了它们的基本方程和边界条件，但只有少数简单的问题才能求出其解析解。。对于那些数学方程比较复杂，物力边界形状又不规则，承受任意载荷的问题，采用解析法求解在数学上往往会遇到难于克服的困难。通常对于这类问题，往往采用各种行之有效的数值计算方法来获得工程需要的数值解，比如有限元法。

有限元法的基本思想最早出现在20世纪40年代初

期，但是直到1960年，美国的Clough.R.W在一篇论文

中首次使用“有限元法”这个名词。在20世纪60年代

末70年代初，有限元法在理论上已基本成熟，并开始

出现商业化的有限元分析软件，如ANSYS等。

有限元发的基本思想是将连续的结构离散成有限

个单元，并在每一个单元中设定有限个节点，将连续体

看作是只在节点处相连接的一组单元的集合体；同时选

定场函数的节点值作为基本未知量，并在每一个单元中

假设一近似插值函数以表示单元中场函数的分布规律；

进而利用力学中某些变分原理去建立节点未知量的有

限元法方程，从而将一个连续域中的无限自由度问

题化为离散域中的有限自由度问题。一经求解就可以利

用解得的节点值和设定的插值函数确定单元上以致整

个集合体上的场函数。有限元求解程序的内部过程如图

2-1所示。

2.2 压电复合材料的有限元分析方法

传统上我们一般采用常用的细观力学方法分析压电复合材料的有效性能，主要目的是建立材料的宏观有效性能，包括弹性、压电和介电性能，与细观结构的定量关系，以指导材料的设计和制造。但是对于一般的细观力学方法来说，例如Dilute模型，自洽方法，Mori-Tanaka 模型和微分方法等，其建立起来的力学模型中涉及了大量复杂的积分和微分公式，用普通的解析法一般无法准确的求出正确解。例如Dunn和Taya使用常用的细观力学模型自洽方法，Mori-Tanaka模型和微分方法对压电复合材料的压电系数进行了预报，并与实验数据进行比较。结果表明：除了体积分数较小时，这些方法给出了比较接近的数值结果；但是当体积分数较大时，其数值结果就跟实验结果有很大的差别。

而压电复合材料作为两种和两种以上组成的宏观非均匀材料可以用合适的具有某种周期分布的微结构材料来表示，这样针对某一周期的非均匀材料单元，利用通常的有限元及边界元方法，可以数值上求得纤维、基体及界面处的应力分布，在此基础上可以预报复合材料的有效性能。这弥补了应用常规细观力学方法无法预报纤维或高体积分数及具有复杂微分结构材料等情况的不足。

2.2.1 基本耦合公式

压电线性理论的基本耦合公式（Tiersten，1969）如下：

这个压电耦合公式也可以用矩阵表示为：

式中：

2.2.2 有限元公式

在本研究中压电复合材料（包括压电相和聚合物相）选用Tetrahedral单元（在ANSYS 软件中选用SOLID98压电单元），这主要是因为Tetrahedral单元便于构造三维压电结构，而且利用Tetrahedral单元组合可以方便地构造不同的三维结构。在整个有限元公式中，位移

场的插值函数跟电场的插值函数是一样的。对于单一的有限单元，其结构应变可以表示

为：

式中，u、v、w分别代表压电复合材料单元在X、Y、Z三个方向上的位移。与传统的，，应变排列不同，这种新的排列方法主要是由于在Tiersten的推倒中对中的p的定

义导致的。在有限元公式中，位移u、v、w可近似表示节点位移，，（i=1，2，3，……，

n。其中n为单元的节点数）以及节点形函数的函数：