机器人作业
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一、（25分）如图所示为SCARA 型机器人手臂，根据D-H 表示法建立坐标系，写出所有的A 矩阵，并根据A 矩阵求运动学方程 u H T ，以及运动学反解。
i
i θ i d 1i a - 1i α- 1 1θ
0 3d 0 2 2θ
4d
180 3
3θ 5d
012100
01000
010001u T d d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥
+⎢⎥⎣⎦ 1
1311131010000100001c s d c s c d s T -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢
⎥⎣⎦2
24222
42120
000100
01c s d c s c d s T ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥
-⎢
⎥
⎣⎦ 3333
2500000
010
01H c s s c T d -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦01201200
1x
x x x y
y y y u u H H
z z z z n o a p n o a p T T T T T n o a p ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦
1231231231231231231231230
x y z x y z n c c s s n s c c s n o c s s c o s s c c o =+=-==-+=--=
4123141231125
01x y z x y z a a a p d c d c p d s d s p d d d ===-=+=+=+- 运动学反解：根据01112
102u u H H T T T T T --=
11111111311111111120001x y
x y x y x y x y x y
x y
x y z z z z c n s n c o s o c a s a c p s p d s n c n s o c o s a c a s p c p n o a p d d ++++-⎡⎤
⎢⎥-+-+-+-+⎢⎥⎢⎥
--⎢
⎥
⎣
⎦
= 2323
23234223232323
4250
000100
01c c s s c s s c d c c s s c c c s s d s d +-+⎡⎤
⎢⎥-+--⎢⎥⎢⎥
--⎢
⎥
⎣
⎦ 有11342
1142
x y x y c p s p d d c s p c p d s +-=⎧⎪⎨
-+=⎪⎩2311sin()sin cos x y n n θθθθ-=-+
解得1arctg θ=-Φ
2222
d d p p A -++=
x
y
p arctg
p Φ= 113
24
cos sin arccos
x y p p d d θθθ+-=
3211arcsin(sin cos )x y n n θθθθ=--+
二、（20分）建立下图所示二连杆平面操作臂的动力学方程。假设每个连杆的质量可视为集中连杆末端的集中质量。质量分别为1m 和2m 连杆长度为1l 和2l 。假设作用于每个关节的粘性摩擦系数分别为1v 和
2v 。
2
m
解：由图意对连杆1和2有：
111
1111
cos 0
sin x l y z l θθ===- 211221
222
211212
cos cos cos sin sin sin cos x l l y l z l l θθθθθθθ=+==--
22222
1111111
112
111
11()22
12
K m x y z m l P D θυθ•••••=++=== 22222222
222221122122121222222
22211(2cos cos )
22
sin 1
2
K m v m l l l l l P m gl D θθθθθθθυθ••••
•
==+++==
222222222
211121122122121222222
112211(2cos cos )sin 22
11
22
L K P m l m l l l l l m gl D θθθθθθθθυθυθ•••••
••
=-=
=++++-=+ 则
1
22
222122212122222
2222
111111
21
22
22122122
22
20(sin cos sin cos )cos 2cos L
L m l m l l m gl L m l m l m l m l l L m l θθθθθθθθθθθθθθθθθ••
•
•
•
•
•
•
•∂=∂∂=-++∂∂=+++∂∂=∂
22222
11121112122222221
11221222122
2
2222
cos 2cos sin 2cos 2sin d L m l m l m l m l dt m l l m l l d L m l dt θθθθθθθθθθθθθθθθ•••••••••
••••
•••
∂=++-∂+-∂=∂
根据拉格朗日方程：
111
1
2222
111
21
2222122221121
2222
22121()(cos 2cos )2cos sin 2sin d L L D
T dt m l m l m l m l l m l m l l θθθ
θθθθθθθθθθυθ••••
•
•
•
•
•
∂∂∂=
-+∂∂∂=+++--+
2222
22
22222
22
2221221
2222()(sin cos sin )cos d L L D T dt m l m l m l l m gl θθθθθθθθυθθ•••••
•
∂∂∂=
-+∂∂∂=++++