2013年上海高考数学试题(理科)及试卷答案解析

2013年上海市秋季高考数学(理科)及部分解析一、填空题

(13上海)1．计算：

20

lim______ 313

n

n

n

→∞

+

=

+

【解答】根据极限运算法则，

201 lim

3133 n

n

n

→∞

+

=

+

．

b a

+

【解答】联立方程组得(1)1

ρρρ

-=⇒=，又0

ρ≥．

(13上海)8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，

则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）

【解答】9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为

2

5

2

9

13

1

18

C

C

-=．

(13上海)9．设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且4

CBA π

∠=，若AB=4，BC =则Γ的两个焦点之间的距离为________

【解答】不妨设椭圆Γ的标准方程为22

214x y b +=，于是可算得(1,1)C ，得22221019)30|d +

+++++=1sin sin ,sin 2sin 2y x y x y +=+=

D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0

,)(||1)y y ≤作Ω

的水平截面，所得截面面积为48π，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为__________

【解答】根据提示，一个半径为1，高为2π的圆柱平放，一个高为2，底面面积8π的长方

体，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积值为22

1228216πππππ⋅⋅+⋅=+．

(13上海)14．对区间I 上有定义的函数()g x ，记(){|(),}g I y y g x x I ==∈，已知定义域为[0,3]的函数()y f x =有反函数1

()y f

x -=，且11([0,1))[1,2),((2,4])[0,1)f f --==，

若方程()0f x x -=有解0x ，则0_____x =

【解答】根据反函数定义，当[0,1)x ∈时，()(2,4]f x ∈；[1,2)x ∈时，()[0,1)f x ∈，而()y f x =的定义域为[0,3]，故当[2,3

x ∈时，()f x 的取值应在集合(,0)[1,2](4,)-∞⋃⋃+∞，故若00()f x x =，只有02x =．

二、选择题

(13上海)15．设常数a R ∈，集合{|(1)()0},{|A x x x a B x x a =--≥=

≥-，若

A B R ⋃=，则a 的取值范围为（ ）

(A) (,2)-∞

(B) (,2]-∞

(C) (2,)+∞

(D) [2,)+∞

【解答】集合A 讨论后利用数轴可知，1

11a a ≥⎧⎨

-≤⎩或11a a a

≤⎧⎨-≤⎩，解答选项为B ．

(13上海)16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）

(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件 【解答】根据等价命题，便宜⇒没好货，等价于，好货⇒不便宜，故选B ．

(13上海)17．在数列{}n a 中，21n

n a =-，若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素

,i j i j i j a a a a a =⋅++，（1,2,,7;1,2,,

2i j ==

）则该矩阵元素能取到的不同数值的个

数为（ ）

(A)18

(B)28

(C)48

(D)63

【解答】,2

1i j

i j i j i j a a a a a +=⋅++=-，而2,3,,19i j +=，故不同数值个数为18个，

选A ．

(13上海)18．在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a ；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,d d d d d .若

,m M 分别为()(i j k r s t a a a d d d ++⋅++的最小值、最大值，其中{,,}{1,2,3,4,5}i j k ⊆,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ⊆,则,m M 满足（ ）.

(A) 0,0m M =>

(B) 0,0m M <> (C) 0,0m M <=

(D)

0,0m M <<

【解答】作图知，只有0AF DE AB DC ⋅=⋅>，其余均有0i r a d ⋅≤，故选D ． 三、解答题

(13上海)19.（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2,AD=1,A 1A=1，证明直线BC

平行于平面DA C ，并求直线BC 到平面D AC 的距离. （1）若()y f x =在[,]43

-

上单调递增，求ω的取值范围；

（2）令2ω=，将函数()y f x =的图像向左平移

6

π

个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，区间[,]a b （,a b R ∈且a b <）满足：()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[,]a b 中，求b a -的最小值．

C 1