高考数学函数与导数相结合压轴题精选含具体解答

函数与导数相结合压轴题精选（二）

11、已知)0()(2

3

>+++=a d cx bx ax x f 为连续、可导函数，如果)(x f 既有极大值M ，又有极小值N ，求证：.N M >

证明：由题设有),)((323)(212

x x x x a c bx ax x f --=++='不仿设21x x <，

则由时当时当时当知),(,0)(),(,0)(),(:02211+∞∈<'∈>'-∞∈>x x x f x x x x f x x a

1)(,0)(x x f x f 在故>'处取极大值，在x 2处取极小值，

)()()()()(212

221323121x x c x x b x x a x f x f -+-+-=-Θ

])()()[(212122121c x x b x ax x x a x x +++-+-=

)]3(92)[(]3232)32()[(2

2121ac b a

x x c a

b

b a

c a a b a x x --

-=+-⋅+⋅--⋅-=

由方程0232

=++c bx ax 有两个相异根，有,0)3(412)2(2

2>-=-=∆ac b ac b

又)()(,0)()(,0,0212121x f x f x f x f a x x >>-∴><-即，得证. 12、已知函数ax x x f +-=3

)(在（0，1）上是增函数. （1）求实数a 的取值集合A ；

（2）当a 取A 中最小值时，定义数列}{n a 满足：)(21n n a f a =+，且b b a )(1,0(1=为常

数），试比较n n a a 与1+的大小；

（3）在（2）的条件下，问是否存在正实数C ，使20<-+<

c

a c

a n n 对一切N n ∈恒成立？

（1）设))(()()(,102

2212

1122121a x x x x x x x f x f x x -++-=-<<<则

由题意知：0)()(21<-x f x f ，且012>-x x

)3,0(,2

22121222121∈++<++∴x x x x a x x x x 则

}3|{,3≥=≥∴a a A a 即 （4分）

（注：法2：)1,0(,03)(2

∈>+-='x a x x f 对恒成立，求出3≥a ）.

（2）当a =3时，由题意：)1,0(,2

3

21131∈=+-

=+b a a a a n n n 且

以下用数学归纳法证明：*

∈∈N n a n 对),1,0(恒成立.

①当n=1时，)1,0(1∈=b a 成立；

②假设n =k 时，)1,0(∈k a 成立，那么当1+=k n 时，

k k k a a a 232131+-=+，由①知)3(2

1

)(3x x x g +-=

在（0，1）上单调递增，10)

1()()0(1<<<<∴+k k a g a g g 即，

由①②知对一切*

∈N n 都有)1,0(∈n a （7分）

而0)1(2

12121231>-=+-

=-+n n n n n n a a a a a a n n a a >∴+1 （9分） （3）若存在正实数c ，使20<-+<

c

a c

a n n 恒成立 （10分

令),(,21+∞-+=-+=

c c

x c

c x c x y 在上是减函数， n n n a c

a c

a 随着-+∴

增大，而小， 又}{n a 为递增数列，所以要使20<-+<

c

a c

a n n 恒成立，

只须3

0,302011

11b

c a c c a c

a c a <<<

<∴⎪⎩⎪

⎨⎧<-+>-即 （14分） 13、已知)(2

2)(2R x x a

x x f ∈+-=

在区间[－1，1]上是增函数. （1）求实数a 的值所组成的集合A. （2）设关于x 的方程x

x f 1

)(=

的两根为1x 、2x ，试问：是否存在实数m ，使得不等式 ||1212x x tm m -≥++对任意]1,1[-∈∈t A a 及恒成立？若存在，求出m 的取值

范围；若不存在，请说明理由

（1）2

22)

2()

2(2)(+---='x ax x x f ]1,1[)(-在x f Θ是是增函数 ]1,1[,0)(-∈≥'∴x x f 对恒成立.

设110

)1(0

)1(,2)(2

≤≤-⇔⎩⎨

⎧≤-≤--=a ax x x ϕϕϕ则有

)(],1,1[x f x -∈对Θ是连续函数，且只有当0)1(,1=-'=f a 时，

以及当}11|{,0)1(,1≤≤-=∴='-=a a A f a 时 （2）由

02,1222

2

=--=+-ax x x

x a x 得 212,,08x x a ∴>+=∆Θ是方程022=--ax x 的两实根.

⎩⎨⎧-==+∴2

2121

x x a

x x 从而84)(||22122121+=-+=-a x x x x x x 38||1

1221≤+=-∴≤≤-a x x a Θ

要使不等式||1212

x x tm m -≥++对任意]1,1[-∈∈t A a 及恒成立， 当且仅当]1,1[312

-∈≥++t tm m 对任意恒成立， 即022

≥-+tm m 对任意]1,1[-∈t 恒成立. 设22)(2

2

-+=-+=m mt tm m t g

则有2202)1(02)1(2

2

-≤≥∴⎪⎩

⎪⎨⎧≥-+=≥--=-m m m m g m m g 或

∴存在m ，其范围为}22|{-≤≥m m m 或

14、已知二次函数y=g(x )的图象过原点和点（m ，0）与点（m+1, m+1），

（1）求y=g(x )的表达式；

（2）设)(x f =(x －n)g(x )(m>n>0)且)(x f 在x =a 和x =b(b

②若m+n=22，则过原点且与曲线y=)(x f 相切的两条直线能否互相垂直？若能，则给出证明；若不能，请说明理由？

（文科生做．．．．

）设常数a >0, a ≠1，函数5

5

log )(+-=x x x f a ， （1）讨论)(x f 在区间（－∞，－5）上的单调性，并予以证明； （2）设g(x )=1+log a (x －3),如果)(x f =g(x )有实数根，求a 的取值范围.

（理科生做．．．．

）解：（1）设g(x )=ax 2+b x +c(a ≠0)，由题意得