1-1矩阵的基本概念及运算

作业2
2.
即 AB AC× B C.
但也有例外，比如设
A 2 0, 0 2
B 1 1, 1 1
则有 AB 2 2, 2 2
BA 2 2
2 2
AB BA.
这属于特例，称之 为“可交换矩阵”。
4. 单位矩阵——如同数和乘法中的 1
单位矩阵是一个方阵,并且除左上角到右下角的对 角线(称为主对角线)上的元素均为1以外,其他元素 全都为0, 即
一般的线性方程组
a11x1 a12 x2
a21x1
a22 x2
am1x1 am2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
amn xn bm
可以非常简单地表示为矩阵方程 AX B
a11 a12
这里,
A
a21
a22
am1 am2
a1n
x1 b1
a2n
X
2 0
5 T 1
4 2 5
2
0
1
1 2 3 4 2
0
1
0 2
0
2 1 3 5 1
A BT = AT BT .
2、矩阵的倍数 (即数与矩阵相乘)
1) 定义
数与矩阵A的乘积记作A或A , 规定为
a11
A
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
.
am1 am1 amn
2) 数乘矩阵的运算规律
这里，Aj为列向量，Bi为行向量。
B1
B2
Bm
特殊矩阵
特殊矩阵
零矩阵：所有元素全等于零的矩阵。 矩阵相等：
①行数和列数分别相等； ②对应的元素都相等。
对称矩阵：方阵A满足 aij a ji
转置矩阵AT
a11 a12 A a21 a22
a1n a2n
an1
an2
ann
0 14
1
3
17 13. 10
0 14 3, 17 13 10
解法 2
ABT BT AT
1 4 2 2 1 0 17 7 2 0 0 3 14 13.
1 3 1 1 2 3 10
思考题
设A与B为n阶方阵,问等式
A2 B2 A BA B
成立的充要条件是什么?
例
设
1 A 1
0
0 1 5
1 3 1
2 0 4
B
0 1 3 1
3 2 1 2
4 1 1
1
解
A
aij
,
34
B bij 43,
C
cij
.
33
故
1
C AB 1
0
0 1 5
1 3 1
402
0 1 3 1
3 2 1 2
4 1 1
1
5 6 7
10 2 6.
(零矩阵的单位性)
(4)A + BT = AT + BT
(保持转置性)
(5)负矩阵的存在性和矩阵的减法
a11
A
=
a21
am1
a12 a22
am1
a1n
a2n
aij
,
amn
称为矩阵A的负矩阵。
有 A A O, A B A B.
这就是矩阵的减法
例设
4 2
2 AT BT 3
4
容易看出,有
1 0
0
In
0
1
0
0 0
1
可验证
AIn Im A A;
这里, A是m×n阶矩阵, 上式任何矩阵左乘或右乘
一个单位矩阵,其积仍为该矩阵.
例 已知
1 7 1
A 2 1
0 3
1, 2
B 4
2
2 0
3
,
求 ABT .
1
解法1
AB 2 1
0 3
21
1 4 2
7 2 0
1 3
AB T
s n 矩阵，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积
是一个m n 矩阵 C cij ，其中
cij
a bi1 1 j
ai b2 2 j
aisbsj
s
aik bkj
k 1
i 1,2,m; j 1,2,,n,
并把此乘积记作
C AB .
例
? C 2 4 2 4 16 32 1 222 3 622 8 16 22
2 17 10
例 设A, B分别是n1和1n矩阵, 且
a1
A
a2 M
,
B [b1,b2 ,L, bn ],
an
计算AB和BA.
解
a1
a1b1 a1b2 L a1bn
AB
a2 M
[b1,
b2
,L,
bn
]
a2b1ห้องสมุดไป่ตู้
M
a2b2 M
L O
a2bn
M
an
anb1
anb2
L
②利用矩阵的初等变换求逆。
③利用分块矩阵求逆
矩阵的微分和积分
1. 函数矩阵
设矩阵A的每一个元素均是变量t的函数 aij t ：
a11 t
A
t
an1 t
a12 t an2 t
a1n t
ann t
2. 函数矩阵的微分：把对函数矩阵的微分定义为对其每一个元素进行微分。 3. 函数矩阵的积分：把对函数矩阵的积分定义为对其每一个元素的相应积分。
anbn
a1
BA
[b1, b2
,L,
bn
]
a2
M
b1a1
b2a2
L
bn an
an
注意 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩 阵的行数时，两个矩阵才能相乘.
例如
1 3 5
2 2 8
3 1 9
1 6
6 0
8 1
不存在.
矩阵乘积的认识
定义 设A是一个mn矩阵, B是一个ns矩阵
x2
,
B
b2
amn
xn
bm
3. 矩阵乘法的性质（运算律）
1 ABC ABC ;
2 AB C AB AC, B C A BA CA;
3 AB AB AB （其中 为数）;
4 ABT BT AT .
5
n
Ak
k
Am Ak Amk , Am k Amk .
思考题解答
答 A BA B A2 BA AB B2, 故 A2 B2 A BA B 成立的充要条件为
AB BA.
1.4 矩阵的其他运算
逆阵：设方阵A，若存在另一个方阵B满足AB=BA=I，则两个矩阵互为逆阵。
记为：A1 B 。
奇异矩阵：方阵对应的行列式为0。 非奇异矩阵：方阵对应的行列式不为0。 矩阵的秩：矩阵A中线性独立的列或行向量（列向量和行向量线性无关向量的
第一章 矩阵的基本概念及运算
矩阵的基本概念及运算 基本概念和定义 矩阵的加减和倍数 矩阵的乘法 矩阵的其他运算
1.1 基本概念和定义
• 矩阵：简化复杂数学表达式。 例如：
a11X1 a12X2 a1nXn b1 a21X1a22X2 a2nXn b2 a n1X1 a n2X2 a nnXn bn
最大个数）的数目。
余子式 M ij ：从 n n 阶矩阵A中去掉第 i 行、第 j 列所得带到
的（n -1）（n -1）阶对应的行列式叫做矩阵A的余子式。
aij
Aij (1)i j M ij
aij
(1)i j
A ji
AT
AT A I
矩阵的求逆计算：三种方法
①利用伴随矩阵adjA A-1 1 adjA A
a11 b11
A
B
a21 b21
a12 b12
a22 b22
a1n b1n a2n b2n
am1 bm1 am2 bm2 amn bmn
说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.
例如
12 3 5 1 8 9 1 9 0 6 5 4
3 6 8 3 2 1
a11 a12 L a1n
b11 b12 L b1n
A
a21 M
a22 M
L O
a2n M
,
B
b21
M
b22 M
L
b2 n
O M
am1
am 2
L
amn
bm1
bm 2
L
bmn
则A的第i个行向量与B的第j个列向量之乘积为一个 数，这个数就是AB的第i行第j列的元素, 且
b1 j
12 1 3 8 5 9 13 11 4 1 6 9 5 0 4 7 4 4.
3 3 6 2 8 1 6 8 9
2) 矩阵加法的运算规律
1 A + B = B + A (交换性) 2 A + B +C = A + B +C (结合性)
3 Α + Ο = Ο + Α = Α
定理2.2.1 AB A B ,
即同阶方阵乘积的行列式等于各自行列式的乘积。 AB BA .
2. 矩阵的乘法和线性方程组的关系
因为
a11 a12 a13 x1 a11x1 a12 x2 a13x3
a21
a22
a23
x2
a21x1
a22
x2
a23
x3
a31 a32 a33 x3 a31x1 a32x2 a33x3
所以如果有
a11 a12 a13 x1 b1
a21
a22
a23
x2
b2
a31 a32 a33 x3 b3
a11x1 a12 x2 a13x3 b1
就有
a21x1
a22 x2
a23 x3
b2
a31x1 a32 x2 a33x3 b3
即
a11x1 a12x2 a13x3 b1, a21x1 a22x2 a23x3 b2, a31x1 a32x2 a33x3 b3.
（设 A、B为 m n 矩阵， ,为数）
1 λ +μ A = λA +μA, λ A + B = λA + λB;
(对加法的分配性)
2 λμ A = λ μA; (结合性) 3 (λA)T = λAT(保. 持转置性)
矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.
1.3 矩阵的乘法
定义
设 A aij 是一个m s 矩阵，B bij 是一个
m ,k为正整数
注意 矩阵不满足交换律，即：
AB BA, ABk Ak Bk .
例 设 A 1 1 B 1 1
1 1
1 1
则
AB 0 0
0 , 0
BA 2 2
2 , 2
故 AB BA.
从此例还可以看到: 两个非零的矩阵, 其乘积可 能等于零. 因此在矩阵等式中, 不能用消去律.
cij ai1
ai 2
L
ain
b2
j
M
ai1b1 j
ai2b2 j
L
ainbnj
bnj
方阵的行列式
定义 由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式， 叫做方阵 A 的行列式，记作 A 或 det A.
例 A 2 3 6 8
则A2
3 2.
68
三阶的呢？
运算性质 1 AT A;
2 A n A;
a11 a21 AT a12 a22
aann12
a1n
a2n
ann
显然, n 阶方阵的转置仍然是n 阶方阵. (AT)T =A.
1.2 矩阵的加减和倍数
1、矩阵的加法
１) 定义
设有两个m n矩阵 A aij , B bij , 则矩阵
A 与 B 的和记作A B，规定为
用矩阵表示：AX=B
定义
矩阵——矩形数表
a11 a12
A
a21
a22
用大写黑体拉丁字母A,B,C等表示
am1 am2
a1n
a2n
amn
元素 aij 数学理论中，元素可以是数，也可以是其 他对象。
• 矩阵的简记法:
– (aij)mn
–用行向量表示
A1, A2, An
–用列向量表示