高中数学立体几何10道大题

立体几何练习题
1.
四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面⊥SBC 面ABCD ，已知
45=∠ABC ，2=AB ，22=BC ，3==SC SB .
（1）设平面SCD 与平面SAB 的交线为l ，求证：AB l //； （2）求证：BC SA ⊥；
（3）求直线SD 与面SAB 所成角的正弦值.
2.
如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，，AD=AC=1，O 为AC
的中点，PO
平面ABCD ，PO=2，M 为PD 的中点。

（1）证明：PB//平面ACM ； （2）证明：AD
平面PAC
（3）求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值。

如图，四棱锥P ABCD -中，90ABC BAD ∠=∠=︒，2BC AD =，△PAB 与△PAD 都是等边三角形． （1）证明：CD ⊥平面PBD ；
（2）求二面角C PB D --的平面角的余弦值．
4.
如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AC ⊥AD ．底面ABCD 为梯形，AB ∥DC ，AB ⊥BC ，PA=AB=BC=3，点E 在棱PB 上，且PE=2EB ． （Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面PCB ； （Ⅱ）求证：PD ∥平面EAC ；
（Ⅲ）求平面AEC 和平面PBC 所成锐二面角的余弦值．
5.
如图，已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面于直线AB ，平面
ABCD 平面ABPE AB =，且2AB BP ==，1AD AE ==，AE AB ⊥，且
//AE BP ．
（1）设点M 为棱PD 中点，在面ABCD 内是否存在点N ，使得MN ⊥平面ABCD ？若存在，请证明；若不存在，请说明理由； （2）求二面角D PE A --的余弦值.
如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且AA1=AB=2．
（1）求证：AB⊥BC；
（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小．
7.
在四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．（1）求证AB⊥面VAD；
（2）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．
8.
如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠BAD=，对角线AC与BD相交于O，OF⊥平面ABCD，BC=CE=DE=2EF=2．
（Ⅰ）求证：EF∥BC；
（Ⅱ）求面AOF与平面BCEF所成锐二面角的正弦值．
如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD=90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA=AD=AB=2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点． （Ⅰ）求证：PB ⊥DM ；
（Ⅱ）求BD 与平面ADMN 所成的角．
10.
如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD DC CB ===，60ABC ∠=，四边形
ACFE
为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =. （1）求证：BC ⊥平面ACFE ；
（2）点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 二面角的平面角为(90)θθ≤，试求cos θ的取值范围.
立体几何试卷答案
（2）证明：连接AC ，
45222ABC AB BC ∠===，，，
由余弦定理得2AC =，AC AB ∴= 6分 取BC 中点G ，连接,SG AG ，则AG BC ⊥.
,,,SB SC SG BC SG AG G =∴⊥=
BC ∴⊥面,.SAG BC SA ∴⊥ …………………8分
（Ⅲ）如图，以射线OA 为x 轴，以射线OB 为y 轴，以射线OS 为z 轴，以O 为原点，建立空间直角坐标系xyz O -,
B y
S
C
A
D
2、试题解析：（1）证明：为AC的中点，即O为BD的中点，且 M为PD的中点，
又平面ACM，平面ACM,
所以PB//平面ACM。

（2）证明：因为，AD=AC，所以，
所以,
又PO平面ABCD，所以
所以AD平面PAC。

（3）取OD的中点为N，因为所以MN平面ABCD，
所以为直线AM与平面ABCD所成角。

因为AD=AC=1，，所以
所以又所以
3.（1）证明见解析；（2）
3
3
．． 试题解析：（1）证明：过P 作PO ⊥平面ABCD 于O ，连OA ．
依题意PA PB PD ==，则OA OB OD ==．又△ABD 为Rt ∆，故O 为BD 的中点． ∵PO ⊂面PBD ，∴面PBD ⊥面ABCD ．在梯形ABCD 中，222CD DB CB +=，
4.【解答】（Ⅰ）证明：∵PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，∴PA ⊥BC ．
又AB ⊥BC ，PA∩AB=A，∴BC ⊥平面PAB ．又BC ⊂平面PCB ，∴平面PAB ⊥平面PCB ．… （Ⅱ）证明：∵PC ⊥AD ，
∴在梯形ABCD 中，由AB ⊥BC ，AB=BC ，得∠BAC=，∴∠DCA=∠BAC=
，
又AC ⊥AD ，故△DAC 为等腰直角三角形， ∴DC=
AC=
（
AB ）=2AB ． 连接BD ，交AC 于点M ，则==2． 连接EM ，在△BPD 中，
=
=2，∴PD ∥EM ，
又PD ⊂/平面EAC ，EM ⊂平面EAC ，∴PD ∥平面EAC ．…
（Ⅲ）解：以A 为坐标原点，AB ，AP 所在直线分别为y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A （0，0，0），B （0，3，0），C （3，3，0），P （0，0，3），E （0，2，1）
设=（x ，y ，1）为平面AEC 的一个法向量，则⊥，⊥，
∵=（3，3，0），
=（0，2，1），
∴解得x=
，y=﹣
，∴
=（，﹣，1）． 设=（x′，y′，1）为平面PBC 的一个法向量，则⊥
，
⊥
，
又=（3，0，0），
=（0，﹣3，3）， ∴
，解得x′=0，y′=1，∴
=（0，1，1）．
（取PB 中点为F ，连接AF 可证为平面PBC 的一个法向量．）
∵cos ＜
，
＞=
|=
，
∴平面AEC 和平面PBC 所成锐二面角的余弦值为..…
注：以其他方式建系的参照给分．
5.（1）详见解析；（2）
23
. 试题分析：（1）连接AC ，BD 交于点N ，连接MN ，证明MN ⊥平面ABCD ，从而
MN 即为所求；（2）建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量后即可求解.
试题解析：（1）连接AC ，BD 交于点N ，连接MN ，则MN ⊥平面ABCD ， ∵M 为PD 中点，N 为BD 中点，∴MN 为PDB ∆的中位线，∴//MN PB ，
=，BC⊂平面又∵平面ABCD⊥平面ABPE，平面ABCD平面ABPE AB
⊥，
ABCD，BC AB
6【解答】（本小题满分14分）
（1）证明：如右图，取A1B的中点D，连接AD，…
因AA1=AB，则AD⊥A1B 由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，
且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B。

得AD⊥平面A1BC，又BC⊂平面A1BC，所以AD⊥BC．…
因为三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1是直三棱柱，
则AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC．又AA1∩AD=A，从而BC⊥侧面A1ABB1，
又AB⊂侧面A1ABB1，故AB⊥BC．
（2）解：连接CD，由（1）可知AD⊥平面A1BC，
则CD是AC在平面A1BC内的射影
∴∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，则…
在等腰直角△A1AB中，AA1=AB=2，且点D是A1B中点
∴，且，∴…
过点A作AE⊥A1C于点E，连DE
由（1）知AD⊥平面A1BC，则AD⊥A1C，且AE∩AD=A
∴∠AED即为二面角A﹣A1C﹣B的一个平面角，…
且直角△A1AC中：
又，∴，
且二面角A﹣A1C﹣B为锐二面角
∴，即二面角A﹣A1C﹣B的大小为．…
7.【解答】证明：（1）由于面VAD是正三角形，设AD的中点为E，
则VE⊥AD，而面VAD⊥底面ABCD，则VE⊥AB．
又面ABCD是正方形，则AB⊥AD，故AB⊥面VAD．
（2）由AB⊥面VAD，则点B在平面VAD内的射影是A，设VD的中点为F，连AF，BF由△VAD是正△，则AF⊥VD，由三垂线定理知BF⊥VD，故∠AFB是面VAD与面VDB所成的二面角的平面角．
设正方形ABCD的边长为a，
则在Rt△ABF中，AB=a，AF=a，tan∠AFB=
故面VAD与面VDB所成的二面角的大小为．
8.【解答】（本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为菱形
∴AD∥BC，且BC⊄面ADEF，AD⊂面ADEF，
∴BC∥面ADEF，且面ADEF∩面BCEF=EF，∴EF∥BC．
解：（Ⅱ）∵FO⊥面ABCD，∴FO⊥AO，FO⊥OB
又∵OB⊥AO，以O为坐标原点，OA，OB，OF分别为x轴，
y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
取CD的中点M，连OM，EM．易证EM⊥平面ABCD．
又∵BC=CE=DE=2EF=2，得出以下各点坐标：
B（0，1，0），C（﹣，0，0），D（0，﹣1，0），
F（0，0，），E（﹣，﹣，），
向量=（﹣，，），向量=（﹣，﹣1，0），向量
，
设面BCFE的法向量为：，
，得到，
令时， =（﹣1，，1），
面AOF的一个法向量，
设面AOF与面BCEF所成的锐二面角为θ，
则cosθ===，∴sinθ=．
故面AOF与面BCEF所成的锐二面角的正弦值为．…
9
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如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，设BC=1，
则A（0，0，0）P（0，0，2），B（2，0，0），M（1，12，1），D（0，2，0）（Ⅰ）因为=0所以PB⊥DM．
（Ⅱ）因为=0所以PB⊥AD．
又PB⊥DM．
因此的余角即是BD与平面ADMN．
所成的角． 因为
所以= 因此BD 与平面ADMN 所成的角为． 10. 试题解析：（1）证明：在梯形ABCD 中，
∵//AB CD ，1AD DC CB ===，60ABC ∠=，∴2AB =，
∴222
2cos603AC AB BC AB BC =+-••=，
∴222AB AC BC =+，∴BC AC ⊥，
∴平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE
平面ABCD AC =，BC ⊂平面ABCD ， ∴BC ⊥平面ACFE .
（2）由（1）分别以直线,,CA CB CF 为x 轴，y 轴，z 轴发建立如图所示空间直角坐标系， 令(03)FM λλ=≤≤，则(0,0,0),(3,0,0),(0,1,0),(,0,1)C A B M λ，
∴(3,1,0),(,1,1)AB BM λ=-=-.设1(,,)n x y z =为平面MAB 的一个法向量， 由1100
n AB n BM ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩，得300x y x y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =，则1(1,3,3)n λ=， ∵2(1,0,0)n =是平面FCB 的一个法向量， ∴122212||cos ||||13(3)1(3)4
n n n n θλλ•===++-⨯-+. ∵03λ≤≤，∴当0λ=时，cos θ7， 当3λ=cos θ有最大值12
，∴71cos []2θ∈.。