人教版高中物理必修二机械能及其守恒定律

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第二章 机械能及其守恒定律

第八节 机械能守恒定律

【知能准备】

1．物体由于 而具有的能叫动能，动能与物体的 及运动的 有关。

物体由于被 而具有的能叫 ，重力势能与物体的 及被举高的 有关。 物体由于发生 而具有的能叫弹性势能，弹性势能与形变的 有关。

2．动能和势能统称为

3．机械能的性质：机械能是 量，具有 性。

重力势能具有相对性，所以要取参考平面；动能具有相对性，所以要取参考系。因此只有在选取参考平面和参考系后才可确定物体的机械能。通常情况下，我们选取地面为参考平面和参考系。

4．机械能守恒的条件：只有 或只有 做功；

5．机械能守恒定律：

在只有 的条件下，物体的动能和重力相互转化，但机械能的总量保持不变。

在只有弹力做功的条件下，物体的动能和 相互转化，但机械能的总量保持不变。

6．机械能守恒定律的数学表达式：

第一种：1k E +1p E =2k E +2p E 从守恒的角度：物体运动过程中，初状态和末状态 相等

第二种：△E k =-△E P 从转化的角度 的增加量等于 减小量

第三种: △E 1=-△E 2 从转移的角度 的机械能增加量等于物体2的机械能的

【同步导学】

1．如何判断机械能是否守恒

（1）对于某个物体，若只有重力做功，而其他力不做功，则该物体的机械能守恒。

（2）对于由两个或两个以上物体（包括弹簧在内）组成的系统，如果系统只有重力做功或弹力做功，物体间只有动能、重力势能和弹性势能之间的相互转化，系统与外界没有机械能的转移，系统内部没有机械能与其他形式能的转化系统的机械能守恒。

（3）如果物体或系统除重力或弹力之外还有其他力做功，那么机械能就要改变。

（4）所谓物体只受重力与只有重力做功有什么不同。

第一种情况：物体只受重力，不受其他的力。第二种情况：物体除重力外还受其他的力，但其他力不做功。

（5）所谓只有弹力做功，包括哪几种情况？

第一种情况：物体只受弹力作用，不受其他的力；第二种情况：物体除受弹力外还受其他的力，但其他的力不做功

例1：关于物体的机械能是否守恒的叙述，下列说法中正确的是( )

A ．做匀速直线运动的物体，机械能一定守恒；

B ．做匀变速直线运动的物体，机械能一定守恒；

C ．外力对物体所做的功等于0时，机械能一定守恒；

D ．物体若只有重力做功，机械能一定守恒。

解答：做匀速直线运动的物体是动能不变；势能仍可能变化，选项A 错；做匀变速直线运动的物体，动能

不断增加，势能仍可能不变，选项B 错；外力对物体所做的功等于0时，动能不变；势能仍可能变化，选项C 错；机械能守恒条件是物体只有重力做功或只有弹力做功，D 对。

例2：在下列实例中运动的物体，不计空气阻力，不守恒的是( )

A ．起重机吊起物体匀速上升，

B ．物体做平抛运动，

C ．圆锥摆球在水平面内做匀速圆周运动，

D ．一个轻质弹簧上端固定，下端系一重物，重物在竖直方向上做上下振动（以物体和弹簧为研究对象）。

解答：起重机吊起物体匀速上升，动能不变势能增加，机械能增加；物体做平抛运动，只有重力做功，机械

能守恒；圆锥摆球在水平面内做匀速圆周运动，没有力做功，；一个轻质弹簧上端固定，下端系一重物，重物在竖直方向上做上下振动，只有重力和弹力做功机械能守恒。不守恒的是A

例3：如图2-8-1所示,一轻质弹簧固定于O 点,另一端系一重物,将重物从与悬挂点等高的地方无初速度释放,

让其自由摆下,不及空气阻力,重物在摆向最低点的位置的过程中( )

A ．重物重力势能减小

B ．重物重力势能与动能之和增大

C ．重物的机械能不变 D. 重物的机械能减少

解答： 物体从水平位置释放后,在向最低点运动时,物体的重力势能不断减小,动能不断增大.弹簧不断被拉

长,弹性势能变大.所以物体减少的重力势能一部分转化为自身的动能,另一部分转化为弹簧的弹性势能.对整个系统机械能守恒,而对重物来说,机械能减少.答案:AD

2、应用机械能守恒定律解题的步骤：

（1）根据题意选取研究对象（物体或系统）；

（2）分析研究对象在运动过程中的受力情况以及各力做功的情况，判断机械能是否守恒；

（3）确定运动的始末状态，选取零势能面，并确定研究对象在始、末状态时的机械能；

（4）根据机械能守恒定律列出方程进行求解

注意：列式时，要养成这样的习惯，等式作左边是初状态的机械能而等式右边是末状态的机械能，这样有助于分析的条理性。

例4：如图2-8-2所示，小球用不可伸长的长为L 的轻绳悬于O 点,小球在最低点的速度必需为多大时,才能在竖

直平面内做完整个圆周运动?

解答：在整个过程中，小球只受到重力做功,绳中的拉力不做功.所以在整个过程中小球的机械能守恒. 设

最低的速度为v,取最低点为零势能平面.则

最低点的机械能E 1=21

mv 2

小球能够通过离心轨道最高点，应满足mg ≤R

v m 2

小球要在竖直平面内完成整个运周运动,在最高点的速度起码为

gR 则在最高点的机械能E 2=E K +E P =21m(

gR )2+mg ×2R 根据机械能守恒定律E 1=E 2 21

mv 2=21m(gR )2

+mg ×

2R 2-8-2 2-8-1

代入数据得v=gR 5

3．机械能守恒定律在多个物体组成系统中的应用

对单个物体能用机械能守恒定律解的题一般都能用动能定理解决．而且省去了确定是否守恒和选定零势能面

的麻烦，反过来，能用动能定理来解决的题却不一定都能用机械能守恒定律来解决，在这个意义上讲，动能定理比机械能守恒定律应用更广泛更普遍。故机械能守恒定律主要应用在多个物体组成的系统中。

例5：如图2-8-3所示，粗细均匀的U 形管内装有总长为4L 的水。开始时阀门K 闭合，左右支管内水面高

度差为L 。打开阀门K 后，左右水面刚好相平时左管液面的速度是多大？（管的内部横截面很小，摩擦阻力忽略不计）

解答：由于不考虑摩擦阻力，故整个水柱的机械能守恒。从初始状态到左右支管水面相平为止，相当于有长

L /2的水柱由左管移到右管。系统的重力势能减少，动能增加。该过程中，整个水柱势能的减少量等效于高L /2的水柱降低L /2重力势能的减少。不妨设水柱总质量为8m ，则28212v m L mg ⋅⋅=⋅，得8

gL v =

例6：如图2-8-4所示，质量分别为2 m 和3m 的两个小球固定在一根直角尺的两端A 、B ，直角尺的顶点O

处有光滑的固定转动轴。AO 、BO 的长分别为2L 和L 。开始时直角尺的AO 部分处于水平位置而B 在O 的正下方。让该系统由静止开始自由转动，求：⑴当A 到达最低点时，A 小球的速度大小v ；⑵ B 球能上升的最大高度h ；⑶开始转动后B 球可能达到的最大速度v m 。

解答：以直角尺和两小球组成的系统为对象，由于转动过程不受摩擦和介质阻力，所以该系统的机械能守恒。

⑴过程中A 的重力势能减少， A 、B 的动能和B 的重力势能增加，A 的即时速度总是B 的2倍。

222321221322⎪⎭

⎫ ⎝⎛⋅+⋅⋅+⋅=⋅v m v m L mg L mg ，解得118gL v = ⑵B 球不可能到达O 的正上方，它到达最大高度时速度一定为零，设该位置比OA 竖直位置向左偏了α角。

2mg ∙2L cos α=3mg ∙L (1+sin α)，此式可化简为4cos α-3sin α=3，利用三角公式可解得sin(53°-α)=sin37,α=16°

⑶B 球速度最大时就是系统动能最大时，而系统动能增大等于系统重力做的功W G 。设OA 从开始转过θ角

时B 球速度最大，()2232

12221v m v m ⋅⋅+⋅⋅=2mg ∙2L sin θ-3mg ∙L (1-cos θ) =mgL (4sin θ+3cos θ-3)≤2mg ∙L ，解得114gL v m =

⑴ ⑵ ⑶

A B O v 1

v 1/2 O A B α B O θ α θ A K 2-8-3 A B

O 2-8-4