数学实验：怎样计算圆周率
圆周率的实验报告
圆周率的实验报告圆周率的实验报告引言：圆周率（π）是数学中一个重要的常数，它表示圆的周长与直径的比值。
圆周率的数值约等于3.14159，是一个无限不循环的小数。
在本次实验中，我们将通过不同的方法来计算圆周率，并探讨其性质和应用。
实验一：测量圆的周长和直径首先，我们需要测量一个圆的周长和直径，以便计算圆周率。
选择一个圆形物体，如一个硬币或者一个圆盘，使用一个软尺或者卷尺测量其周长和直径。
将测量结果记录下来，并计算周长与直径的比值。
实验二：使用几何方法计算圆周率在几何学中，我们可以通过正多边形的外接圆和内接圆来近似计算圆周率。
选择一个正多边形，如正六边形或正十二边形，测量其边长和内切圆的半径。
然后，计算正多边形的周长与内切圆的周长的比值。
随着正多边形的边数增加，这个比值会越来越接近圆周率。
实验三：使用概率方法计算圆周率概率方法是一种基于随机事件的方法来计算圆周率。
我们可以在一个正方形内随机撒点，并计算落在正方形内的点中，落在内切圆内的点的比例。
根据概率理论，这个比例会接近于圆的面积与正方形的面积之比，即π/4。
通过将这个比例乘以4，我们可以得到一个近似的圆周率值。
实验四：使用级数方法计算圆周率在数学中，圆周率可以通过级数来计算。
其中一个著名的级数是莱布尼茨级数：π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ...通过不断计算级数的和，我们可以逼近圆周率的数值。
在实验中，我们可以计算不同级数的和，并观察其逼近圆周率的速度。
实验五：使用计算机模拟计算圆周率计算机的出现为计算圆周率提供了更加精确和高效的方法。
我们可以使用计算机编写程序，通过数值方法来计算圆周率。
例如，可以使用蒙特卡洛方法，在一个正方形内随机生成大量点，并计算落在内切圆内的点的比例。
根据概率理论，这个比例会逼近圆周率的数值。
结论：通过以上实验，我们可以发现不同方法计算的圆周率值会有一定的误差，但随着方法的改进和精确度的提高，这个误差可以被不断减小。
“投针实验”求圆周率的方法
教材提到了“投针实验”求圆周率的方法。
1777年，法国数学家蒲丰取一根针，量出它的长度，然后在纸上画上一组间距相等的平行线，这根针的长度是这些平行线的距离是的一半。
把这根针随机地往画满了平行线的纸面上投去。
小针有的与直线相交，有的落在两条平行直线之间，不与直线相交。
这次实验共投针2212次，与直线相交的有704次，2212÷704≈3.142。
得数竟然是π的近似值。
这就是著名的蒲丰投针问题。
后来他把这个试验写进了他的论文《或然性算术尝试》中。
蒲丰证明了针与任意平行线相交的概率为p= 2l/πd 。
这个公式中l为小针的长，d为平行线的间距。
由这个公式，可以用概率方法得到圆周率的近似值。
当实验中投的次数相当多时，就可以得到π的更精确的值。
蒲丰实验的重要性并非仅仅是为了求得比其它方法更精确的π值。
而在于它是第一个用几何形式表达概率问题的例子。
计算π的这一方法，不但因其新颖，奇妙而让人叫绝，而且它开创了使用随机数处理确定性数学问题的先河，是用偶然性方法去解决确定性计算的前导。
找一根粗细均匀，长度为 d 的细针，并在一张白纸上画上一组间距为l 的平行线（方便起见，常取l = d/2），然后一次又一次地将小针任意投掷在白纸上。
这样反复地投多次，数数针与任意平行线相交的次数，布丰（Comte de Buffon）设计出他的著名的投针问题（needleproblem）。
依靠它，可以用概率方法得到π的近似值。
假定在水平面上画上许多距离为a的平行线，并且，假定把一根长为l＜a的同质均匀的针随意地掷在此平面上。
布丰证明：该针与此平面上的平行线之一相交的概率为：p=2l/(api) 把这一试验重复进行多次，并记下成功的次数，从而得到P的一个经验值，然后用上述公式计算出π的近似值，用这种方法得到的最好结果是意大利人拉泽里尼（Lazzeri ni）于1901年给出的。
求圆周率的方法
求圆周率的方法
圆周率是一个重要的数学常数，它代表圆的周长与直径的比值，通常用希腊字母π表示。
但是，圆周率的精确值是无限小数，无法被完全表示或计算出来。
因此，人们通过不同的方法来近似计算圆周率的值。
以下是几种常见的求圆周率的方法：
1. 随机撒点法
这种方法利用大量随机的点来模拟圆的内外部分布，然后根据点的数量和位置来计算圆周率的近似值。
随着点数的增加，近似值会越来越接近真实值。
2. Machin公式
这是一种基于三角函数的公式，可以用来计算圆周率的近似值。
Machin公式的形式为：
π/4 = 4 arctan(1/5) - arctan(1/239)
通过计算这个公式，可以得到π的近似值。
3. Buffon针实验
这个实验是利用一个长针在平面上随机投掷，然后根据针的长度和投掷的次数来计算圆周率的近似值。
这种方法需要一定的实验技巧和设备，但它可以帮助人们更好地理解圆周率的概念和计算方法。
除了以上这些方法外，还有许多其他的方法可以用来求圆周率的值。
无论采用哪种方法，都需要注意精度和计算误差，以确保得到的结果是可靠和准确的。
圆周率π的近似值是3
圆周率π的近似值是3．14159……。
我国古代数学家刘徽、祖冲之等在计算圆周率这个问题上有卓越贡献。
要计算圆周率，方法很多，现在来介绍一个完全用不到计算的实验方法.预备一些粗细均匀的小针，每枚约长2厘米。
另外在一张白纸上划出许多平行线，各线间的距离是小针长度的两倍。
准备好以后，就把小针一只一只从高处投在纸上，并不断记录小针和任意一条平行线相交的次数。
如果投掷的总次数非常之多，那末用投掷总次数除以小针碰线的次数，就得到π的近似值。
这是什么道理呢？首先，我们假定小针与直线最可能相交的次数是k。
小针和直线相交时，这个交点一定是在这2厘米长中的一处，任意1毫米都不会有更优越的机会。
因此如果针上某段长1毫米，则这一段可能相交的次数是k；如果是7毫米，则这一段可能相交的次数便是k。
总而言之，最可能相交的次数是与针的长度成正比的。
即使把小针弄成弯曲的形状，这个比值也仍然是对的。
譬如说，把针弯成拆线状的两段，一段是7毫米，另一段是13毫米；那末，这两段可能相交的次数分别是k和k，加起来仍旧是k。
我们还可以把针弯曲得更厉害一些，可能相交的次数也不会因此而发生改变。
不过在投掷弯曲了的小钟时，它可能同时在几个地方和直线相交，那时，必须把每一个交点数都计算在内。
我们知道，当正多边形的边数无限增多时，它的极限是圆。
所以“圆”这种图形可以代表弯曲得最厉害的小针。
现在假定圆形小针的直径恰好与纸上两条相邻的平行线间的距离相等，那末这个圆形小针投掷下来时，不是和一条直线相交两次，就是和两条相邻的平行线相切。
不管怎样，它的相交次数是2。
因此，当投掷的次数为n 时，碰线的次数便是 2n。
现在小针的长度只有两条相邻平行线间距离的一半，所以针的长度只有上述圆形小针长度（即圆周长）的。
但是可能碰线的次数是与针的长度成正比的，因此小针的可能碰线的次数k就必须满足下面的比例式：1:＝2n: k于是就得到π＝，也就是π＝投掷总次数碰线次数这就是上面“投针实验”的理论根据。
MATLAB数学实验
实验三 圆周率的计算学号： 姓名：XX一、 实验目的1. 本实验涉及概率论、定积分、三角函数等有关知识，要求掌握计算π的三种方法及其原理。
2. 学习和掌握数学软件MATLAB 的使用方法。
二、 实验内容圆周率是一个极其驰名的数。
从有文字记载的历史开始，这个数就引起了外行人和学者们的兴趣。
作为一个非常重要的常数，圆周率最早是出于解决有关圆的计算问题。
仅凭这一点，求出它的尽量准确的近似值，就是一个极其迫切的问题了。
事实也是如此，几千年来作为数学家们的奋斗目标，古今中外一代又一代数学家为此献出了自己的智慧和劳动。
回顾历史，人们对π的认识过程，反映了数学和计算技术发展情形的一个侧面。
π的研究，在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平。
德国数学家康托说：“历史上一个国家所算的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。
”直到19世纪初，求圆周率的值还是数学中的头号难题。
1. 圆周率的计算方法古人计算圆周率，一般是用割圆法。
即用圆的内接或外切多边形来逼近圆的周长。
Archomedes 用正96边形得到35位精度；刘徽用正3072边形得到5位精度；Ludolph V an Ceulen 用正2^62边形得到了35位精度。
这种基于几何的算法计算量大，速度慢，吃力不讨好。
随着数学的发展，数学家们在进行数学研究时有意无意得发现了许多计算圆周率的公式。
下面挑选一些经典的常用公式加以介绍。
除了这些经典公式外，还有很多其他公式和由这些经典公式衍生出来的公式，就不一一列举了。
1) Machin 公式2391a r c t a n451a r c t a n 16-=π ()121...753arctan 121753--++-+-=--n x x x x x x n n 这个公式由英国天文学教授John Machin 于1706年发现。
他利用这个公式计算到100位的圆周率。
Machin 公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精度。
圆周率的计算
并行计算：将计算任务分成多个子任务，同时进行计算
圆周率与数学的关系
圆周率是数学中最重要的常数之一，是圆的周长与直径的比值
圆周率在几何学、代数学、微积分等领域都有广泛的应用
圆周率是数学中最基本的常数之一，是数学研究的重要基础
圆周率在数学中的地位和作用不可替代，是数学发展的重要推动力
云计算在圆周率计算中的应用：利用云计算技术进行大规模并行计算，提高计算效率
云计算技术的优势：可扩展性、高可用性、低成本、易于维护
云计算技术在圆周率计算中的挑战：数据传输、计算精度、计算资源分配等
云计算：将计算资源集中在云端，提供按需使用的计算服务
网格计算：将计算任务分配到多个计算机上，实现资源共享和协同计算
未来发展趋势：更高精度、更快速度、更广泛的应用领域
数学理论的进步：推动了圆周率计算方法的创新和改进
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
应用领域：超级计算机的应用领域将更加广泛，包括气候模拟、生物信息学、材料科学等
性能提升：超级计算机的性能将继续提升，以满足科学研究和工程计算的需求
技术进步：超级计算机的技术将不断进步，包括量子计算、光子计算等
数值积分法的基本思想：将圆周率看作一个积分，通过数值积分的方法求解
数值积分法的具体步骤：首先将圆周率看作一个积分，然后使用数值积分的方法求解
数值积分法的优点：计算速度快，精度高
数值积分法的缺点：需要一定的数学基础，计算过程较为复杂
现代计算机技术计算圆周率
蒙特卡洛算法：通过随机数模拟圆周率
快速傅里叶变换法：通过快速傅里叶变换计算圆周率
生活应用：圆周率在日常生活中也有广泛应用，如时间、长度、重量等度量单位都与圆周率有关
第14周实验十四数值随机化算法计算圆周率
第14周实验十四数值随机化算法计算圆周率为了计算圆周率，人们发明了许多方法，其中的一个方法是数值随机化算法。
数值随机化算法是一种通过使用随机数来估计数值的方法。
本文将介绍数值随机化算法如何计算圆周率。
圆周率是数学中一个重要的无理数，通常表示为π。
在几何中，π被定义为圆的周长与其直径的比值。
圆的周长可以通过直接测量得到，但这样的方法非常耗时且低效。
因此，人们一直在寻找更加高效的方法来计算圆周率。
数值随机化算法是一种使用随机数生成器来估计数值的方法。
在计算圆周率时，可以使用Monte Carlo方法。
该方法通过随机地在一个正方形中产生点，然后统计在该正方形内的点落在了一个以原点为圆心、边长等于正方形边长的圆内的比例。
具体的计算过程如下：1.首先，设定一个正方形的边长为1、该正方形可以表示整个计算空间。
2.然后，随机地在正方形中产生大量的点。
3.统计在圆内的点的个数。
4.计算在圆内的点与总点数的比例，并将其乘以4，即可得到一个估计的圆周率。
为什么这个方法可以计算圆周率呢？这是因为Monte Carlo方法是一种概率方法，它利用了随机样本在总体中的比例来估计参数的方法。
在上述的计算过程中，正方形中的点数是已知的，而圆内的点数是未知的。
通过统计圆内的点数与总点数的比例，可以得到一个估计值。
当样本的大小越大时，估计的准确性也会提高。
然而，需要注意的是，Monte Carlo方法并不是完全准确的，它只是给出了圆周率的一个估计值。
因此，在计算圆周率时，需要使用尽可能多的随机点来提高准确性。
另外值得一提的是，数值随机化算法不仅可以用来计算圆周率，还可以用于其他估计数值的计算。
例如，可以用数值随机化算法来计算其中一种病的患病率，或者来估计一些市场的需求量等。
这种方法在实践中被广泛应用，因为它相对简单，计算效率高，并且具有一定的准确性。
总结起来，数值随机化算法是一种通过使用随机数来估计数值的方法。
在计算圆周率时，可以使用Monte Carlo方法，该方法通过随机地在一个正方形中产生点，然后统计在圆内的点的比例来计算圆周率的估计值。
投针法计算圆周率原理
投针法计算圆周率原理今天来聊聊投针法计算圆周率原理的事。
你说这圆周率，大家都知道是圆周长和直径的比值，一般用希腊字母π表示。
那它和投针能有啥关系呢？这可就有趣了。
我先给你讲个生活中的小现象。
你看，下雨天地上会有好多小水洼。
假如你有一些直直的小树枝，你随便往水洼里扔这些树枝。
这时候就会有个很神奇的情况，树枝落在水洼里的情况各不相同，有的可能就横跨了水洼的某条直径，有的可能就是斜着在水洼中的某个位置，有的可能和水洼里一些想象的线条平行或者有夹角。
再来聊聊这个投针法算圆周率。
这就好比我们把这个地面、水洼看成一个有好多等距平行线的大平面。
那针就相当于是那些小树枝。
这里呢，我们得了解一些专业术语，像针和平行线的长度都是有具体要求的。
这里有个专业理论，假如我们设针的长度是l，平行线之间的距离为d （l <= d），投针的次数为n，针与平行线相交的次数为m。
根据概率论，就有这样一个神奇的公式：π= 2ln / dm。
为啥会这样呢？打个比方吧，就像是在抽奖，针落在不同的位置就像是不同的抽奖结果。
每一次投针就像抽一次奖，针与平行线相交或者不相交都是可能的结果。
老实说，我一开始也不明白，为啥投针能和圆周率联系起来呢？后来我慢慢地学习才发现，这背后其实是利用了概率和几何之间的奇妙关系。
这个投针法呢，在实际中就算我们不像专业数学家那么精确地去做实验，也能大概理解它的原理。
比如说我们可以在一张画满等距平行线的纸上，拿长度合适的针来模拟这个实验，多扔几次针，然后按照公式去估算圆周率呢。
说到这里，你可能会问，如果针和线很粗会怎么样呢？这就是个很好的思考方向哦。
在实际应用中，我们就必须要考虑针的粗细以及线条的宽度等因素对结果的影响。
这就告诉我们，这个投针法看似简单但是有很多需要注意的地方。
我觉得这个投针法真的很有趣，它让我们看到了看似毫不相关的事情之间奇妙的联系。
不知道你对这个投针法有没有自己的想法呢？欢迎一起讨论呀。
圆周率π的计算公式
圆周率π的计算公式圆周率π，这可是数学世界里的一位“大明星”呀！咱先来说说啥是圆周率π。
简单来讲，它就是圆的周长和直径的比值。
那怎么计算它呢？这可有着不少方法。
咱先从最常见的方法说起，就是通过圆的周长除以直径来计算。
比如说，咱画一个圆，然后用一根绳子沿着圆的边缘围一圈，再把这根绳子拉直，量一量它的长度，这就是圆的周长。
接着再量一量这个圆的直径，最后用周长除以直径，就能得到圆周率π的近似值啦。
我记得有一次，在课堂上，我让同学们自己动手去测量一个圆形纸片的周长和直径。
有个小家伙可认真了，他拿着尺子，眼睛瞪得大大的，小心翼翼地测量着。
结果算出来的圆周率π的值和标准值差了不少，他那一脸困惑的样子，别提多有趣了。
我就告诉他，测量会有误差，不过咱们不断提高测量的精度，就能越来越接近准确值。
还有一种方法是用数学公式来计算。
比如莱布尼茨公式：π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 +... 。
这个公式看着有点复杂，但是只要咱们有耐心，一项一项地计算下去，就能得到越来越精确的π值。
另外，还有蒙特卡罗方法。
这个方法就像是在玩一个有趣的游戏。
咱们在一个正方形里面随机地撒很多很多的点，然后统计落在圆内的点的数量和总点数的比例，通过这个比例就能算出圆周率π的值。
说到这，我想起之前参加一个数学科普活动，现场就有老师用蒙特卡罗方法给大家演示计算圆周率π。
大家都围在一起，眼睛紧紧盯着屏幕，看着那些随机出现的点，心里都期待着能算出一个接近的π值。
总之，计算圆周率π的方法多种多样，每一种方法都有它的奇妙之处。
不管是通过测量，还是运用复杂的公式，或者是有趣的随机实验，都能让我们更加深入地了解圆周率π这个神奇的数字。
对于咱们学习数学的同学们来说，了解圆周率π的计算公式，不仅能帮助我们解决数学问题，更能让我们感受到数学的魅力和乐趣。
就像我们在探索圆周率π的计算过程中，每一次尝试都是一次小小的冒险，每一个新的发现都像是找到了宝藏。
小学六年级数学课堂教案二圆周率小实验——经验展示圆的周长计算方法
小学六年级数学课堂教案二圆周率小实验——经验展示圆的周长计算方法一、教学目标1、掌握圆的周长计算公式及其应用。
2、了解圆周率的概念和基本运用。
3、掌握测量工具的使用和读取。
二、教学重点难点1、各种测量工具的使用及读取。
2、圆形的周长计算公式及其应用。
三、教学准备圆环板、直尺、圆规、量角器、计算器等。
四、教学过程1、导入授课开头，我会利用一些教育小实验的方式进入主题，例如：我会让一个孩子画一个长方形，让他量一下长和宽的距离，算出长方形的周长。
接着我会再让他画一个圆，这个时候孩子会发现没有办法直接量出一个圆的周长。
这个时候，我会引入圆周率的概念。
2、深入课题在引入圆周率的概念后，我会通过一些小实验来让孩子们更加深入理解。
例如：我会拿一张圆环板，让孩子们轻轻地扭动它，让它滚动起来。
通过这个小实验，孩子们可以发现，无论圆环板滚动快还是慢，它所滚过的距离多少都是一样的。
这里我们就可以引出圆周率和圆的周长之间的关系了。
我会让孩子们自己动手实验，根据实验数据计算圆的周长。
具体做法如下：1）让孩子们把圆环板放在桌子上。
2）让孩子们用直尺测量圆环板的直径（即圆心到圆环板最外面的距离）并记录下来。
3）让孩子们用计算器或手算，将直径乘以π（圆周率）。
4）计算得出的结果就是圆的周长了。
3、教学拓展有时候孩子们很难理解圆周率的概念，或者计算圆的周长会比较困难。
这个时候我会通过一些教育辅助工具来帮助他们更好地理解。
例如让他们用圆规画圆，用量角器测算圆心角，对圆的周长进行计算。
或者让孩子们通过画图的形式，来展示圆周率与圆周长的变化规律。
五、教学总结在本次课程中，我们通过小实验和数学公式的作用，让孩子们更加深入地理解了圆周率与圆的周长之间的关系。
同时，我也让孩子们了解到了各种测量工具的使用方法，并培养了他们的基本计算能力。
通过这些实践体验，我相信孩子们会更加喜欢数学，也会更加自信地面对数学的学习。
1数学建模实验-圆周率的计算
19-23
设计方案
在正方形 0< x <1, 0< y<1 上随机的投大量的点，那么 落在四分之一园内的点数 数m与在正方形内的点数n 之比m/n应为这两部分图形 面积之比＝π/4,故 π＝4 m/n 计算机模拟：产生区间[0,1]上数目为n的一组 随机数(x,y)，计算满足x2+y2<1的点数m
Ä 1630年,最后一位用古典方法求π的人 年 最后一位用古典方法求π 格林伯格也只求到了π的第 位小数 格林伯格也只求到了 的第39位小数 的第
8-23
分析方法
从十七世纪中叶起， 从十七世纪中叶起，人们开始用更先进的 分析方法来求π的近似值，其中应用的主 分析方法来求π的近似值， 要工具是收敛的无穷乘积和无穷级数， 要工具是收敛的无穷乘积和无穷级数，在 本节中我们将介绍一些用此类方法求π 本节中我们将介绍一些用此类方法求π近 似值的实例。 似值的实例。
>>ans=
3.1415925796063512110
>> vpa(4*symsum((-1)^(k-1)/(2*k-1)*(1/2)^(2*k1),1,20)+4*symsum((-1)^(k-1)/(2*k-1)*(1/3)^(2*k-1),1,20),20)
>>ans=
3.1415926535897574098
16-23
方法2 利用数值积分
1 设 y(x) = 1+ x2
1 A = 4∫ dx = π 2 01 x ＋
1
将[0,1]区间 n 等分，取 xk=k/n, yk= 1/ (1+ k2) (1+x
2 梯形法⇒ A = [2( y1 + y2 +L+ yn−1) + y0 + yn ] n
实验03Π的计算
实验03Π的计算实验3 π的计算实验⽬的：1．掌握数学实验的⽅法和过程，学会撰写数学实验报告；2．掌握π的⼏种计算⽅法和思想，并能⽤其中的⼀些思想⽅法计算e ；实验内容：1．描述刘徽割圆术计算π的原理、⽅法和计算步骤，并编写实现计算的函数式M ⽂件。
采取不同的分割计算π的近似值，并将计算的结果与较准确的π值进⾏⽐较，对算法进⾏分析。
2．编写采⽤级数展开式1114(1)21n i n π∞-==--∑ 和 1212111114(1)2123n n n i n π∞---=??=-+ ?-??∑ 计算π的函数式M ⽂件。
调⽤编写的程序，尝试n 取不同整数以求π的近似值，并将计算的结果与较准确的π值进⾏⽐较，对算法进⾏分析和⽐较。
3．描述Monte Carlo ⽅法计算π的原理、⽅法和计算步骤，并编写实现计算的函数式M ⽂件。
调⽤编写的程序计算π的近似值，并将计算的结果与较准确的π值进⾏⽐较，并对算法进⾏分析。
4．给出两种计算超越数e 的⽅法，并通过数值计算实验进⾏算法分析。
实验仪器与软件：1．CPU 主频在2GHz 以上，内存在512Mb 以上的PC ；2．Matlab 2010a 及以上版本。
实验讲评：实验成绩：评阅教师： 20 年⽉⽇实验3 π的计算⼀、计算π的刘徽割圆术1、原理：⽤圆的内接正多边形逼近圆周从⽽得到圆周率。
2、⽅法与计算步骤：从单位圆的内接正六边开始，逐步成倍地增加正多边形的边数。
那么内接正多边形的⾯积就越来越接近单位圆的⾯积，其数值也就越接近圆周率。
设a(n)是第n步单位圆内接正多边形的边长，取a(1)=1，为正⼗⼆变形。
边长：=其⾯积s(2)=12*0.5*OC*AD=3a(1)s(n+1)=3*2^(n-1)*a(n)3.函数式M⽂件：function cal pi(n)a(1)=1;for i=1:n-1a(i+1)=sqrt(2-sqrt(4-a(i)^2));endS=3*2^(n-1)*a(n)4、算法分析：n=16时输出的结果⽐n=5时精确了很多。
投针实验计算圆周率的数学分析
投针实验计算圆周率的数学分析王向东投针实验计算圆周率的数学证明方法，初中一般是采取假设针弯成直径等于平行线距离的方法巧妙证明。
这个方法是基于不管针弯成什么形状，针上的每一个部位与平行线相交的概率相同，但这是感观上的认识，要把其中原因解释清楚不是很容易。
笔者从纯数学的角度来推导这个公式。
一、投针问题的由来1777年法国科学家布丰提出的一种计算圆周率的方法——随机投针法，即著名的蒲丰投针问题。
这一方法的步骤是：1) 取一张白纸，在上面画上许多条间距为d 的平行线。
2) 取一根长度为()l l d <的针，随机地向画有平行直线的纸上掷n 次，观察针与直线相交的次数，记为m3）计算针与直线相交的概率．18世纪，法国数学家布丰和勒可莱尔提出的“投针问题”，记载于布丰1777年出版的著作中：“在平面上画有一组间距为d 的平行线，将一根长度为()l l d <的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任一条相交的概率。
”布丰本人证明了，这个概率是：2lp d π=，π为圆周率。
二、投针实验的数学证明投针这个动作是由两个事件构成的。
事件1：针投下后与平行线构成一定的夹角。
我们来分析一下针投下后与平行线之间的成某一特定夹角时的概率。
设针投下后与平行线之间的夹角为θ，则θ在0与π之间。
针与平行线之间的夹角在θ到θ+θ∆之间的概率为1p θπ∆=，当0θ∆→时，可看作针投下后与平行线之间成某一特定夹角为θ的概率。
事件2：针投下后会在平行线垂直的方向形成一个投影，针与平行线相交等于它的垂直投影与平行线相交。
这个投影的长度'l 在0到l 之间。
此时针在水平方向的投影为'sin()l l θ=。
再分析'l 与平行线相交的概率。
等于我们将问题转化成长度为'l 的针，并且只允许它处在与平行线垂直的方向上，这时它与平行线相交的概率显然为：2'sin()l l p d d θ==因为每一次投掷都是由上述两个事件组成的，因而对于针与平行线之间的夹角在θ到θ+θ∆之间时，针与平行线相交的概率()p θ为这两个事件概率的乘积，即：12sin()().l p p p d θθθπ∆== 因为针与平行线之间构成的夹角在0－π之间每个角度的机会都是均等的，因此针与平行线相交的概率相当于针落在每个θ附近θ∆范围内，当0θ∆→时与平行线相交的所有概率之和。
Pi的计算实验
数学实验之——，无穷的神秘气息探秘薛东明5030309891张晗雨5030309928圆周率是一个极其驰名的数。
从有文字记载的历史开始，这个数就引进了外行人和学者们的兴趣。
作为一个非常重要的常数，圆周率最早是出于解决有关圆的计算问题。
仅凭这一点，求出它的尽量准确的近似值，就是一个极其迫切的问题了。
事实也是如此，几千年来作为数学家们的奋斗目标，古今中外一代一代的数学家为此献出了自己的智慧和劳动。
回顾历史，人类对π 的认识过程，反映了数学和计算技术发展情形的一个侧面。
π 的研究，在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平。
德国数学史家康托说：“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。
”直到19世纪初，求圆周率的值应该说是数学中的头号难题。
之所以如此，看看下面的方程就会明白。
这只是一小部分，后面有更多。
下面我和我的同伴就计算π的历史过程讨论一下π值的计算方法。
几何学：若圆的半径为r，圆周为C = 2 πr若圆的半径为r，其面积为A = πr2若球的半径为r，其体积为V = (4/3) πr3若球的半径为r，其表面积为r: A = 4 πr2分析数学：数论：任意两个自然数，互质的概率是6/π/π。
概率论取一枚长为l的针，再取一张白纸在上面画上一些距离为2的平行线。
把针从一定高度释放，让其自由落体到纸面上。
针与平行线相交的概率是圆周率的倒数。
（蒲丰投针）物理学(海森堡测不准原理)（爱因斯坦相对论场方程）实验时期计算π通过实验对π 值进行估算，这是计算π 的的第一阶段。
这种对π 值的估算基本上都是以观察或实验为根据，是基于对一个圆的周长和直径的实际测量而得出的。
在古代世界，实际上长期使用π ＝3这个数值。
最早见于文字记载的有基督教《圣经》中的章节，其上取圆周率为3。
这一段描述的事大约发生在公元前950年前后。
其他如巴比伦、印度、中国等也长期使用3这个粗略而简单实用的数值。
关于圆周率π的几种计算方法
关于圆周率π的几种计算方法圆周率π是数学中一个非常重要且有趣的数。
它定义为圆的周长与其直径的比值。
虽然π是一个无理数，不能被精确表示为有限的小数或分数，但人们一直致力于尽可能精确地计算它。
在这篇文章中，我将介绍几种计算π的常见方法。
1.迭代法：迭代法是最早用于计算π的方法之一、它的思想是通过不断逼近一个特定的级数或无穷乘积，来得到π的近似值。
著名的莱布尼茨级数就是一种典型的迭代法，其公式为：π/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9-...。
通过计算级数的若干项，可以逐步接近π的值。
2.随机法：随机法是一种基于概率的方法，即通过生成一系列随机数来进行π的近似计算。
其中一种著名的随机法叫做蒙特卡洛方法，它利用了随机点在单位正方形中的分布情况。
我们可以在单位正方形中生成大量随机点，然后统计落入一个四分之一圆内的点的比例，该比例将近似于π/43.平均法：平均法是一种通过平均一些函数在一定范围内的值来计算π 的方法。
其中一种著名的平均法是用到了泰勒级数展开中的一个公式：π/4 = arctan(1) = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ...。
通过计算这个级数的前若干项的平均值，可以得到π 的近似值。
4.连分数法：连分数法是一种通过连分数的形式来逼近π的方法。
连分数是一种无限分数的形式，它的基本形式为a+1/(b+1/(c+1/(d+...)))。
通过将π表示为一个连分数的形式，并逐步计算连分数的部分分数，可以逼近π的值。
5.数值方法：数值方法是一种通过数值计算的方法来逼近π的值。
其中一种常用的数值方法是蒙特卡洛数值积分法。
这种方法利用随机生成的点来对一个函数在一定范围内的积分进行近似计算，通过计算得到的积分值可以得到π的近似值。
6.基于物理实验的方法：基于物理实验的方法是一种通过物理实验来测量π的方法。
其中一种著名的实验方法是利用圆的周长与直径关系进行测量，比如通过在地面上绕圆形的轮子行驶一周来计算π的近似值。
计算机计算圆周率程序
计算机计算圆周率程序圆周率是数学中一个十分重要的常数，通常用希腊字母π来表示。
它的近似值是3.141592653，是一个无理数，即不能用两个整数的比值来表示准确的值。
计算机可以通过一系列算法来逼近圆周率的值，本文将简要介绍几种常见的计算圆周率的方法。
1.蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是一种通过随机实验来估计数学常数的方法。
对于圆周率的计算，可以通过在一个正方形中随机投点，并统计落入圆内的点的数量来估计圆周率的值。
具体步骤是：1.绘制一个边长为2的正方形，以原点为中心；2.在正方形内随机散布大量点；3.统计落入一个以原点为中心，半径为1的圆内的点的数量；4.计算圆周率的近似值，等于4乘以落入圆内的点的数量除以总点数。
随着投点数量的增加，计算得到的近似值会趋近于真实值。
蒙特卡洛方法的优势在于简单易懂，不需要太复杂的数学知识即可实现。
2.高斯-勒让德方法高斯-勒让德方法是一种通过多项式求解的方法来计算圆周率的值。
这个方法的基本思想是，将圆的面积表示为多个正多边形的面积之和，然后通过求解每个多边形的面积来得到圆的面积进而计算圆周率。
假设正多边形的边数为n，则可以计算出每个多边形的边长、面积和圆心角。
通过逐渐增加n的值，可以不断逼近真实的圆周率的值。
高斯-勒让德方法的优势在于它的收敛速度非常快，即用较少的计算量可以获得较高精度的结果。
但是，该方法需要较高的数学知识和较复杂的计算过程。
3.霍纳法则霍纳法则是一种通过迭代算法来逼近多项式的值的方法。
在计算圆周率中，我们可以使用一个级数公式来表达圆周率的值，然后通过霍纳法则来逼近这个级数的值。
圆周率的级数公式是一个无限级数，通常用下面的公式表示：π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ...我们可以通过不断迭代这个级数来获得圆周率的近似值。
每一次迭代，我们将新计算得到的值加到上一次计算的结果中，直到达到预定的精度为止。
霍纳法则的优势在于它的计算过程简单，只涉及加法和乘法运算，可以较快地得到近似值。
用蒙特卡罗方法计算π值实验报告
用蒙特卡罗方法计算π值实验报告蒙特卡罗方法是一种通过随机过程来解决数学、物理和工程问题的数值方法。
在本实验中，我们将利用蒙特卡罗方法计算圆周率π的的值。
以下是实验报告。
1.实验目的本实验的主要目的是利用蒙特卡罗方法计算圆周率π的值，并分析蒙特卡罗方法的可靠性和准确性。
2.实验原理蒙特卡罗方法的基本原理是通过随机采样来估计未知参数的值。
对于圆周率π的计算，我们可以利用正方形和内切圆的关系来实现。
具体步骤如下：(1)在一个给定的单位正方形中，以原点为中心，半径为1的圆。
(2)在正方形中随机生成大量的点，然后计算这些点在圆内的个数。
(3)根据圆的面积与正方形的面积的关系，可以利用这个比例来估计圆周率π的值。
3.实验过程(1)创建一个给定边长的正方形，圆的半径为正方形边长的一半。
(2)随机生成大量坐标点，并计算这些点距离原点的距离。
(3)统计在圆内的点的个数。
(4)根据统计结果计算圆周率π的估计值。
4.实验结果我们进行了多次实验，每次实验生成了100万个点。
然后我们计算每次实验中在圆内的点的个数，并利用这些数据计算圆周率π的估计值。
实验结果如下：实验次数点个数估计π值通过这些实验数据，我们可以计算出平均圆周率π的估计值为3.14085.实验分析通过对多次实验数据的统计分析，我们可以看到蒙特卡罗方法在估计圆周率π的值上具有较高的准确性和可靠性。
实验结果的稳定性较好，不同实验的结果都接近真实值π，而且相对误差较小。
然而，虽然得到的结果接近真实值，但是实验结果的准确性仍然受到概率分布的随机性的限制。
如果我们增加实验次数，可以提高结果的准确性，但是计算的时间也会相应增加。
此外，在计算π的过程中，我们使用了随机生成的数据，因此需要进行大量的计算。
若在实际应用中需要计算更复杂的问题，计算资源和时间消耗将会更大。
6.实验总结本实验使用蒙特卡罗方法计算了圆周率π的估计值。
通过多次实验的数据统计和分析，我们可以得出蒙特卡罗方法在计算π值上的准确性和可靠性较高。
圆周率的计算
4(AGM (a0,b0 ))2
1 22 c12 23c22 24 c32 ....
年代
1949 1973 1989 1999
2011
精确位数 2035 100万 10亿 2061亿 2000万亿
“十位小数就足以使地球周界准确到一英寸以内,三十位小数便
能使整个可见宇宙的四周准确到连最强大的显微镜都不能分辨
2 随机投针的概率含义 (1) 针的中点M与平行线的距离x均匀分布于区间[0,d/2]
(2) 针与平行线的交角均匀分布于区间 [0, ]
在间隔为d的平行线间随机投掷长度为l的针
[0,d/2]中随机选取x,[0,π]中随机产生θ,构成平面中点[x,θ]
M x
针与平行线相交的条件
x l sin ,0 x d ,0
两个任务:
(1) 了解圆周率的计算过程
(2) 设计计算圆周率的方法
1、实验时期
通过实验进行估算,这是计算圆周率 的的第一阶段
古埃及：数谷粒与称重量：
中国:
4(8)2 256 3.1605 9 81
(1) “圆径一而周三”
----《周髀算经》
(2)“周三径一,方五斜七”
----木工口诀
2、几何算法
1
4
1
dx
01 x2
6、代数迭代
对正数a0,b0,定义算术均值数列和几何均值数列
ak 1
1 2
(ak
bk ), bk
ak bk
若两数列极限相等,则称此极限为它们的算术几何均值,记为AGM(a0,b0)
记 Ck2 ak2 bk2 ,
取
1 a0 1, b0 2 ,
数学实验：怎样计算圆周率
怎样计算姓名：学号班级：数学与应用数学4班实验报告实验目的：自己尝试利用Mathematica软件计算的近似值，并学会计算的近似值的方法。
实验环境：Mathematica软件实验基本理论和方法：方法一：数值积分法（单位圆的面积是，只要计算出单位圆的面积也就计算出了的值）其具体内容是：以单位圆的圆心为原点建立直角坐标系，则单位圆在第一象限内的部分G是一个扇形，由曲线（）及坐标轴围成，它的面积是，算出了S的近似值，它的4倍就是的近似值。
而怎样计算扇形G的面积S的近似值呢?如图图一扇形G中，作平行于y轴的直线将x轴上的区间[0，1]（也就是扇形在x轴上的半径）分成n等份（n=20），相应的将扇形G分成n个同样宽度1/n的部分（）。
每部分是一个曲边梯形：它的左方、右方的边界是相互平行的直线段，类似于梯形的两底；上方边界是一段曲线，因此称为曲边梯形。
如果n很大，每个曲边梯形的上边界可以近似的看成直线段，从而将近似的看成一个梯形来计算它的面积；梯形的高（也就是它的宽度）h=1/n，两条底边的长分别是和，于是这个梯形面积可以作为曲边梯形面积的近似值。
所有这些梯形面积的和T就可以作为扇形面积S的近似值：n越大，计算出来的梯形面积之和T就越接近扇形面积S，而4T就越接近的准确值。
方法二：泰勒级数法其具体内容是：利用反正切函数的泰勒级数计算。
方法三：蒙特卡罗法其具体内容是：单位正方形的面积=1，只要能够求出扇形G 的面积S在正方形的面积中所占的比例，就能立即得到S，从而得到的值。
而求扇形面积在正方形面积中所占的比例k的值，方法是在正方形中随机地投入很多点，使所投的每个点落在正方形中每一个位置的机会均等，看其中有多少个点落在扇形内。
将落在扇形内的点的个数m与所投的点的总数n的比可以作为k的近似值。
能够产生在区间[0，1]内均匀分布的随机数，在Mathematica中语句是Random[ ]产生两个这样的随机数x，y，则以（x，y）为坐标的点就是单位正方形内的一点P，它落在正方形内每一个位置的机会均等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
怎样计算
：
学号
班级：数学与应用数学4班
实验报告
实验目的：自己尝试利用Mathematica软件计算的近似值，并学会计算的近似值的方法。
实验环境：Mathematica软件
实验基本理论和方法：
方法一：数值积分法（单位圆的面积是，只要计算出单位圆的面积也就计算出了的值）
其具体容是：以单位圆的圆心为原点建立直角坐标系，则单位圆在第一象限的部分G是一个扇形，
由曲线（）及坐标轴围成，它的面积是，算出了S的近似值，它的4倍就是的近似值。
而怎样计算扇形G的面积S的近似值呢?如图
图一
扇形G中，作平行于y轴的直线将x轴上的区间[0，1]（也就是扇形在x轴上的半径）分成n等份（n=20），相应的将扇形G分成n个同样宽度1/n的部分（）。
每部分是一个曲边梯形：它的左方、右方的边界是相互平行的直线段，类似于梯形的两底；上方边界是一段曲线，因此称为曲边梯形。
如果n很大，每个曲边梯形的上边界可以近似的看成直线段，从而将近似的看成一个梯形来计算它的面积；梯形的高（也就是它的宽度）h=1/n，两条底边的长分别是和，于是这个梯形面积可以作为曲边梯形面积的近似值。
所有这些梯形面积的和T就可以作为扇形面积S的近似值：
n越大，计算出来的梯形面积之和T就越接近扇形面积S，而4T就越接近的准确值。
方法二：泰勒级数法
其具体容是：利用反正切函数的泰勒级数
计算。
方法三：蒙特卡罗法
其具体容是：单位正方形的面积=1，只要能够求出扇形G的面积S 在正方形的面积中所占的比例，就能立即得到S，从而得到的值。
而求扇形面积在正方形面积中所占的比例k的值，方法是在正方形中随机地投入很多点，使所投的每个点落在正方形中每一个位置的机会均等，看其中有多少个点落在扇形。
将落在扇形的点的个数m与所投
的点的总数n的比可以作为k的近似值。
能够产生在区间[0，1]均匀分布的随机数，在Mathematica中语句是
Random[ ]
产生两个这样的随机数x，y，则以（x，y）为坐标的点就是单位正方形的一点P，它落在正方形每一个位置的机会均等。
P落在扇形的充分必要条件是。
这样利用随机数来解决数学问题的方法叫蒙特卡罗法。
实验容、步骤及其结果分析：
问题1：在方法一中，取n=1000，通过计算图一中扇形面积计算的的近似值。
分析：图一中的扇形面积S实际上就是定积分。
与有关的定积分很多，比如的定积分就比的定积分更容易计算，更适合用来计算。
梯形公式：设分点，…，将积分区间[a,b]分成n等分，即，。
所有的曲边梯形的宽度都是h=（b-a）/n。
记，则第i个曲边梯形的面积近似的等于梯形面积。
将所有这些梯形面积加起来就得到
这就是梯形公式。
辛普森公式：仍用分点（）将区间[a,b]分成n等分，直线x=（）将曲边梯形分成n个小曲边梯形，再做每个小区间的中点。
将第i个小曲边梯形的上边界y=f(x)（x）近似的看作经过三点（x,f(x)）(x=,,)的抛物线段，则可求得，其中。
于是得到
这就是辛普森公式。
取n=1000，10000，用梯形公式和辛普森公式计算
=和=
的近似值(取20位有效数字)。
将所得的结果与的准确值相比较。
其步骤是：（1）打开Mathematica软件；
（2）分别输入下列语句：
运行后结果如下图：
结果分析：从上面结果可以看出，所得到的结果与的准确值非常接近。
问题2：将x=1带入方法二的级数中得到。
在上面的级数中取n=20000计算的近似值，观察所得的结果和所花的时间。
其步骤是：（1）打开Mathematica软件；
（2）分别输入下列语句：
运行后，结果如下图：
结果分析：根据实验结果，花费的时间很长，结果准确性较差。
问题3：取n=1000，10000，50000，按方法三所说的随机投点的方法来计算的近似值；对不同的n，观察所得结果的精确度，你发现什么规律？并将精确度与数值积分法作比较。
其步骤是：（1）打开Mathematica软件；
（2）分别输入下列语句：
运行后，结果如下图：
结果分析：对不同的n，当n的值越大时，所得到的结果越精确，越接近的近似值。
而此方法显然没有数值积分法及泰勒级数法精确。
附录（源程序）
以下所示的程序在实验中是按顺序进行的。
1．
2．
3．
4．
5．
6．
7．。