法拉第电磁感应定律动力学能量电荷量的求法

第二讲 法拉第电磁感应定律的综合应用

一、电磁感应中的动力学问题

这类问题覆盖面广，题型也多种多样；但解决这类问题的关键在于通过运动状态的分析来寻找过程中的临界状态，如速度、加速度取最大值或最小值的条件等，基本思路是：

【例1】如图所示，AB 、CD 是两根足够长的固定平行金属导轨，两导轨间的距离为L ，导轨平面与水平面的夹角为θ，在整个导轨平面内都有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场，磁感应强度为B ，在导轨的 AC 端连接一个阻值为 R 的电阻，一根质量为m 、垂直于导轨放置的金属棒ab ，从静止开始沿导轨下滑，求此过程中ab 棒的最大速度。已知ab 与导轨间的动摩擦因数为μ，导轨和金属棒的电阻都不计。

【解析】ab 沿导轨下滑过程中受四个力作用，即重力mg ，支持力F N 、摩擦力F f 和安培力F 安，如图所示，ab 由静止开始下滑后，将是↓↑→↑→↑→↑→a F I E v 安（↑为增大符号），所以这是个变加速过程，当加速度减到a =0时，其速度即增到最大v =v m ，此时必将处于平衡状态，以后将以v m 匀速下滑ab 下滑时因切割磁感线，要产生感应电动势，根据电磁感应定律： E=BLv ① 闭合电路AC ba 中将产生感应电流，根据闭合电路欧姆定律： I=E/R ②

据右手定则可判定感应电流方向为aAC ba ，再据左手定则判断它受的安培力F 安方向如图示，其大小为：

F 安=BIL ③

取平行和垂直导轨的两个方向对ab 所受的力进行正交分解，应有：

F N = mg cos θ F f = μmg cos θ

由①②③可得

R

v

L B F 22=安

以ab 为研究对象，根据牛顿第二定律应有：

F=BIL 界状态 v 与a 方向关系

运动状态的分析

a 变化情况 F=ma 合外力

感应电流 确定电源（E ，r ） r R E

I +=

mg sin θ –μmg cos θ-R

v

L B 22=ma ab 做加速度减小的变加速运动，当a =0时速度达最大 因此，ab 达到v m 时应有：

mg sin θ –μmg cos θ-R

v

L B 22=0 ④ 由④式可解得()2

2cos sin L

B R

mg v m θμθ-=

【例2】如图，两根足够长的金属导轨ab 、cd 竖直放置，导轨间距离为L ，电阻不计。在导轨上端并接两个额定功率均为P 、电阻均为R 的小灯泡。整个系统置于匀强磁场中，磁感应强度方向与导轨所在平面垂直。现将一质量为m 、电阻可以忽略的金属棒MN 从图示位置由静止开始释放。金属棒下落过程中保持水平，且与导轨接触良好。已知某时刻后两灯泡保持正常发光。重力加速度为g 。求： （1）磁感应强度的大小；

（2）灯泡正常发光时导体棒的运动速率。

【解析】（1）设小灯泡的额定电流为I 0，有

2

0P I R =

①

由题意，在金属棒沿导轨竖直下落的某时刻后，小灯泡保持正常发光，流经MN 的电流为

02I I =

②

此时金属棒MN 所受的重力和安培力相等，下落的速度达到最大值，有

mg BLI =

③

联立①②③式得

2mg

R B L P

=

④

（2）设灯泡正常发光时，导体棒的速率为v ，由电磁感应定律与欧姆定律得

E BLv =

⑤

0E RI =

⑥

联立①②③④⑤⑥式得

2P

v mg

=

⑦

【答案】（1）

P R L mg

2 （2）mg

P 2 【例3】如图所示，长平行导轨PQ 、MN 光滑，相距5.0=l m ，处在同一水平面中，磁感应强度B =0.8T 的匀强磁场竖直向下穿过导轨面．横跨在导轨上的直导线ab 的质量m =0.1kg 、电阻R =0.8Ω，导轨电阻不计．导轨间通过开关S 将电动势E =1.5V 、内电阻r =0.2Ω的电池接在M 、P 两端，试计算分析： （1）在开关S 刚闭合的初始时刻，导线ab 的加速度多大？随后ab 的加速度、速度如何变化？ （2）在闭合开关S 后，怎样才能使ab 以恒定的速度υ =7.5m/s 沿导轨向右运动？ 【解析】（1）在S 刚闭合的瞬间，导线ab 速度为零，没有电磁感应现象，由a 到b 的电流A r

R E

I 5.10=+=，ab 受安培力水平向右，此时瞬时加速度2000/6s m m

L BI m F a ===

ab 运动起来且将发生电磁感应现象．ab 向右运动的速度为υ时，感应电动势Blv E ='，根据右手定则，ab 上的感应电动势（a 端电势比b 端高）在闭合电路中与电池电动势相反．电路中的电流（顺时针方向，

r

R E E I +-='

）将减小（小于I 0=1.5A ），ab 所受的向右的安培力随之减小，加速度也减小．尽管加速度减小，

速度还是在增大，感应电动势E 随速度的增大而增大，电路中电流进一步减小，安培力、加速度也随之进一步减小，当感应电动势'

E 与电池电动势E 相等时，电路中电流为零，ab 所受安培力、加速度也为零，这时ab 的速度达到最大值，随后则以最大速度继续向右做匀速运动．

设最终达到的最大速度为υm ，根据上述分析可知：0m E Bl υ-=

所以 1.5

0.80.5

m E Bl υ=

=

⨯m/s=3.75m/s ． （2）如果ab 以恒定速度7.5υ=m/s 向右沿导轨运动，则ab 中感应电动势

5.75.08.0'⨯⨯==Blv E V=3V

由于'

E ＞E ，这时闭合电路中电流方向为逆时针方向，大小为：2

.08.05

.13''

+-=+-=r R E E I A=1.5A