中考数学第一轮复习资料课时30相似三角形.doc
中考数学复习第30课时 图形的相似与位似
1. 定义：各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形 叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的 相似比．
2. 性质：(1)相似多边形的对应边_成__比__例___； (2)相似多边形的对应角__相__等__； (3)相似多边形周长的比__等__于__相似比，相似多边形面积
的比等于___相__似__比__的__平__方___．
(三) 中考题型突破
∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心
的位似图形，且相似比为
1, 3
∴
AD 1 . BG 3
∵BG＝6，
∴AD＝BC＝2.∵AD∥BG，∴△OAD∽△OBG，
∴ OA AD 1 , ∴ OA 1 , OB BG 3 2 OA 3
解得：OA＝1，
∴OB＝3，∴C点坐标为(3，2)．
依题意，有△ADE∽△ABC.因为△ADE与△ABC 的周长之比为2∶3，所以 AD 2 . 由AD＝4，得AB
AB 3 ＝6，所以DB＝6－4＝2.
(三) 中考题型突破
4. (中考南京)如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且 AD CD . CD BD
(1)求证：△ACD∽△CBD； (2)求∠ACB的大小． 证明：(1)∵CD是边AB上的高，
(三) 中考题型突破
2. (中考连云港一模)如图，将△ABC的三边分别扩大 一倍得到△A1B1C1(顶点均在格点上)，它们是以P点 为位似中心的位似图形，则P点的坐标是( A ) A．(－4，－3) B．(－3，－3) C．(－4，－4) D．(－3，－4)
(三) 中考题型突破
3．(中考咸宁)如图, 以点O为位似中心，将△ABC放 大得到△DEF，若AD＝OA，则△ABC与△DEF 的面积之比为( B ) A．1∶2 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶6
天津市中考一轮《相似三角形》复习试卷及答案
中考数学一轮复习专题相似三角形综合复习一选择题：1.下列说法正确的是（）(A)两个矩形一定相似．(B) 两个菱形一定相似．(C)两个等腰三角形一定相似．(D) 两个等边三角形一定相似．2.如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，若AC=4，CE=6，BD=3，则DF的值是（）A．4 B．4.5 C．5 D．5.53.若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则这称这两个扇形相似。
如图，如果扇形AOB与扇形是相似扇形，且半径(为不等于0的常数)。
那么下面四个结论：①∠AOB=∠；②△AOB∽△；③；④扇形AOB与扇形的面积之比为.成立的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个4.如图，在长为8cm、宽为4cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（）A．2cm2 B．4cm2 C．8cm2 D．16cm25.如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A. B. C. D.6.如图，矩形ABCD∽矩形ADFE，AE=1，AB=4，则AD=（）A. 2B. 2.4C. 2.5D. 37.如图是测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为12 cm，AC被分为60等份．如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处(DE∥AB)，那么小玻璃管口径DE是( )A．8 c m B．10 cm C．20 cm D．60 cm8.如图,在平行四边形ABCD 中,点E在CD上,若DE:CE =1:2,则△CEF与△ABF的周长比为（）A．1:2 B．1:3 C．2:3 D．4︰99.如图，AB是⊙O的直径，D，E是半圆上任意两点，连接AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△BDA相似，可以添加一个条件．下列添加的条件中错误的是( )A．∠ACD=∠DAB B．AD=DE C．AD·AB=CD·BD D．AD2=BD·CD10.如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA的条件是( )A.AC:BC=AD:BDB.AC:BC=AB:ADC.AB2=CD·BCD.AB2=BD·BC11.如图所示，四边形ABCD是正方形,E是CD的中点,P是BC边上的一点,下列条件：①∠APB=∠EPC；②∠APE=∠APB；③P是BC的中点；④BP:BC=2:3.其中能推出△ABP∽△ECP的有( )A．4个 B．3个 C．2个 D．1个12.如图，在▱ABCD中，AB=4，AD=3，过点A作AE⊥BC于E，且AE=3，连结DE，若F为线段DE上一点，满足∠AFE=∠B，则AF=（）A．2 B． C．6 D．213.已知( )A. B. C. D.14.如图，小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处时，测得自身影子CD的长为1米，他继续往前走3米到达点E处（即CE=3米），测得自己影子EF的长为2米，已知小明的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是（）A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米15.如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）A．3 B． C． D．416.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是( )A． B． C． D．17.如图，AB=AC=4，P是BC上异于B，C的一点，则AP2＋BP·PC的值是( )A．16 B．20 C．25 D．3018.如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=16,点D是边BC上（不与B,C重合）一动点,∠ADE=∠B=α,DE交AC于点E．下列结论：①AD2=AE•AB；②3.6≤AE＜10；③当AD=2时，△ABD≌△DCE；④△DCE为直角三角形时，BD 为8或12.5．其中正确的结论个数是（）．A.1个B. 2个C. 3个D. 4个19.如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（）A．3：2：1 B．5：3：1 C．25：12：5 D．51：24：1020.如图,小明作出了边长为1的第1个正△A1B1C1，算出了正△A1B1C1的面积．然后分别取△A1B1C1三边的中点A2、B2、C2，作出了第2个正△A2B2C2，算出了正△A2B2C2的面积．用同样的方法，作出了第3个正△A3B3C3，算出了正△A3B3C3的面积…，由此可得，第10个正△A10B10C10的面积是（）A． B． C． D．二填空题:21.若，则= ．22.若a：b：c=1：3：2，且a+b+c=24，则a+b﹣c= ．23.如图，边长12的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上．若BF=3，则小正方形的边长为．24.如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米,甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是_ 米.25.如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端在CB，CD上滑动，当CM=_________时，△AED与以M，N，C为顶点的三角形相似．26.阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，则窗口底边离地面的高BC=______m．27.如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为米．28.如图，在四边形中，，如果边AB上的点P,使得以为顶点的三角形与为顶点的三角形相似，这样的点P有个.29.如图，△ABC是边长为a的等边三角形，将三角板的30°角的顶点与A重合，三角板30°角的两边与BC交于D、E两点，则DE长度的取值范围是_________．30.如图，△ABC是一张直角三角形彩色纸，AC=15cm，BC=20cm．若将斜边上的高CD 分成n等分，然后裁出（n ﹣1）张宽度相等的长方形纸条．则这（n﹣1）张纸条的面积和是cm2．三简答题:31.如图，等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，使AE=CF，连接AF，BE相交于点P.(1)求证：AF=BE，并求∠APB的度数；(2)若AE=2，试求AP·AF的值．32.已知：如图，△ABC中，AB=2，BC=4，D为BC边上一点，BD=1．（1）求证：△ABD∽△CBA；（2）若DE∥AB交AC于点E，请再写出另一个与△ABD相似的三角形，并直接写出DE的长．33.如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC 于点N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．34.如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与底面保持平行并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，求旗杆的高度．35.一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图23-12，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．(结果精确到0.1m)．36.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，一动点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度运动，另一动点Q同时从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度运动．问：（1）运动几秒时，△CPQ的面积是8cm2？（2）运动几秒时，△CPQ与△ABC相似？37.如图，AD是△ABC的高，点E，F在边BC上，点H在边AB上，点G在边AC上，AD=80cm，BC=120cm．（1）若四边形EFGH是正方形，求正方形的面积．（2）若四边形EFGH是长方形，长方形的面积为y，设EF=x，则y=______．（含x的代数式），当x=______时，y最大，最大面积是______．38.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．(1)AC= cm，BC= cm；(2)当t=5 (s)时，试在直线PQ上确定一点M，使△BCM的周长最小，并求出该最小值．(3)设点P的运动时间为t (s)，△PBQ的面积为y (cm2)，当△PBQ存在时，求y与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；(4)探求(3)中得到的函数y有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，说明理由．39.在等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D为底边BC的中点，以D为顶点的角∠PDQ=∠B．（1）如图1，若射线DQ经过点A，DP交AC边于点E，直接写出与△CDE相似的三角形；（2）如图2，若射线DQ交AB于点F，DP交AC边于点E，设AF=x，AE为y，试写出y与x的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）40.在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；参考答案1、D2、B．3、D4、C5、B6、A7、A8、C9、C 10、D 11、C 12、D．13、B 14、B 15、C 16、B 17、A 18、D；19、D 20、A．21、．22、8．23、．24、6 25、或 26、4 m． 27、14+2 28、329、（2﹣3）a≤DE≤a．．30、cm2．31、解：(1)∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠C=∠CAB=60°，又∵AE=CF，∴△ABE≌△CAF(SAS)，∴AF=BE，∠ABE=∠CAF.又∵∠APE=∠BPF=∠ABP＋∠BAP，∴∠APE=∠BAP＋∠CAF＝60°，∴∠APB=180°－∠APE=120°(2)∵∠C=∠APE=60°，∠PAE=∠CAF，∴△APE∽△ACF，∴＝，即＝，∴AP·AF=12 32、【解答】（1）证明：∵AB=2，BC=4，BD=1，∴，∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；（2）解：∵DE∥AB，∴△CDE∽△CBA，∴△ABD∽△CDE，∴DE=1.5．33、【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，∴∠AMB=∠EAF，又∵EF⊥AM，∴∠AFE=90°，∴∠B=∠AFE，∴△ABM∽△EFA；（2）解：∵∠B=90°，AB=12，BM=5，∴AM==13，AD=12，∵F是AM的中点，∴AF=AM=6.5，∵△ABM∽△EFA，∴，即，∴AE=16.9，∴DE=AE﹣AD=4.9．34、根据题意，得∠DEF=∠DCA=90°，∠EDF=∠ADC，∴△DEF∽△DCA.∴=.已知DE=0.5米，EF=0.25米，DC=20米．∴=.解得AC=10米．∵四边形BCDG是矩形，∴BC=DG，而DG=1.5米，则BC=1.5米．35、答案：设CD长为x米，∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA∴MA∥CD∥BN ∴EC=CD=x∴△ABN∽△ACD，解得：x=6.125≈6.1．经检验，x=6.125是原方程的解，∴路灯高CD约为6.1米36、【解答】解：（1）设x秒后，可使△CPQ的面积为8cm2．由题意得，AP=xcm，PC=（6﹣x）cm，CQ=2xcm，则（6﹣x）•2x=8，整理，得x2﹣6x+8=0，解得x1=2，x2=4．则P、Q同时出发，2秒或4秒后可使△CPQ的面积为8cm2（2）设运动y秒时，△CPQ与△ABC相似．若△CPQ∽△CAB，则=，即=，解得y=2.4秒；若△CPQ∽△CBA，则=，即=，解得y=秒．综上所述，运动2.4秒或秒时，△CPQ与△ABC相似．37、【解答】解：（1）∵四边形EFGH是正方形，∴HG∥EF，GH=HE=ID，∴△AHG∽△ABC，∴AI：AD=HG：BC，∵BC=120cm，AD=80cm，∴，解得：HG=48cm，∴正方形EFGH的面积=HG2=482=2304（cm2）；（2）∵四边形EFGH是长方形，∴HG∥EF，∴△AEF∽△ABC，∴AI：AD=HG：BC，即，解得：HE=﹣x+80，∴长方形EFGH的面积y=x（﹣x+80）=﹣2+80x=﹣（x﹣60）2+240，∵﹣＜0，∴当x=60，即EF=60cm时，长方形EFGH有最大面积，最大面积是240cm2；故答案为：﹣x2+80x，60cm，240cm2．38、解：（1）设AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC 2 +BC 2 =AB 2，即：（4x）2 +（3x）2 =10 2，解得：x=2，∴AC=8cm，BC=6cm；（2）存在，理由：∵AQ=14-2x=14-10=4，AP=x=5，∵AC=8，AB=10，∴PQ是△ABC的中位线，∴PQ∥AB，∴PQ⊥AC，∴PQ是AC的垂直平分线，∴PC=AP=5，∴当点M与P重合时，△BCM的周长最小，∴△BCM的周长为：MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16，∴△BCM的周长最小值为16.（3）①当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H，∵AP=x，∴BP=10-x，BQ=2x，∵△QHB∽△ACB，②当点Q在边CA上运动时，过点Q作QH′⊥AB于H′，∵AP=x，∴BP=10-x，AQ=14-2x，∵△AQH′∽△ABC，39、【解答】解：（1）与△CDE相似的三角形为△ABD，△ACD，△ADE；理由如下：∵AB=AC，D为底边BC的中点，∴∠B=∠C，AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴△ABD∽△ACD，∵∠PDQ=∠B，∴∠PDQ=∠C，又∵∠DAE=∠CAD，∴△ADE∽△ACD；∵∠CDE+∠PDQ=90°，∴∠C+∠PDQ=90°，∴∠CED=90°=∠ADC，又∵∠C=∠C，∴△CDE∽△CAD，∴△△ABD∽△ACD∽△ADE∽△CDE；（2）∵∠FDC=∠B+∠BDF，∠FDC=∠FDE+∠EDC，∴∠EDC=∠BDF，∴△BDF∽△CDE，∴，∵D为BC的中点，∴BD=CD=6，∴∴y=；（3）△DEF与△CDE相似．理由如下：如图所示：由（2）可知：△BDF∽△CDE，则，∵BD=CD，∴，又∵∠EDF=∠C，∴△DEF∽△CED．40.解：（1）由抛物线过点A（－3，0），B（1，0），则解得∴二次函数的关系解析式．（2）连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N．设点P坐标为（m，n），则．PM =，，AO=3．当时，＝２．∴OC=2．＝＝＝．8分∵＝－１＜0，∴当时，函数有最大值．此时＝．∴存在点，使△ACP的面积最大．（3）存在点Q，坐标为：，．分△BQE∽△AOC，△EBQ∽△AOC，△QEB∽△AOC三种情况讨论可得出．。
中考数学一轮复习专题突破训练—相似三角形
中考数学一轮复习专题突破训练—相似三角形一、单选题1．（2022·北京市第十三中学九年级期中）如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，且DE△BC，如果AD：AB＝2：3，那么DE：BC等于（）A．3：2B．2：5C．2：3D．3：5【答案】C【分析】根据相似三角形的判定与性质即可得出结果．【详解】解：△DE∥BC，△△ADE△△ABC，△DE：BC＝AD：AB＝2：3；故选：C．2．（2022·辽宁鞍山市·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB 的中点，CE和BD交于点O，若S△EOB＝1，则四边形AEOD的面积为（）A．4B．5C．6D．7【答案】B根据平行四边形的性质和相似的判定和性质，可以得到△BOC和△COD的面积，从而可以得到△BCD的面积，再根据△ABD和△BCD的面积一样，即可得到四边形AEOD的面积．【详解】解：△在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，△CD△AB，CD=AB=2BE△△DOC△△BOE，△OC CDOE BE=2，△S△EOB=1，△S△BOC=2，S△DOC=4，△S△BCD=6，△S△DAB=6，△四边形AEOD的面积为：S△DAB-S△EOB=6-1=5，故选：B．3．（2022·全国九年级专题练习）如图，已知AB△CD△EF，AD：AF=3：5，BE=12，那么CE的长等于（）A．2B．4C．245D．365【分析】根据平行线分线段成比例得到3125BC =，然后利用比例性质计算出BC ，从而求出CE 即可． 【详解】解：△AB △CD △EF ， △BC AD BE AF =，即3125BC =， △BC =365， △CE =BE -BC =12-365=245， 故选C ．4．（2022·全国九年级专题练习）下列四条线段中，不能成比例的是（ ） A．a ＝2，b ＝4，c ＝3，d ＝6 B ．a ，b c ＝1，d C ．a＝6，b ＝4，c ＝10，d ＝5 D ．a b ＝c d ＝2【答案】C 【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A 、2×6=3×4，能成比例； B1 C 、4×10≠5×6，不能成比例；D 、523152⨯=⨯，能成比例． 故选：C ．5．（2022·四川省成都市石室联合中学）如图，在ABC 中，点E 和点F 分别在边AB ，AC 上，且//EF BC ，若3AE =，6EB =，9BC =，则EF 的长为（ ）A ．1B ．92C ．12D ．3【答案】D 【分析】证明△AEF △△ABC ，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案． 【详解】 △//EF BC ， △AEF ABC ∽， △EF AEBCAB， △3AE =，6EB =， 9BC =， △399EF =， △3EF =． 故选D ．6．（2022·全国九年级课时练习）将三角形纸片（ABC ）按如图所示的方式折叠，使点C 落在AB 边上的点D ，折痕为EF ．已知3,4AB AC BC ===，若以点B 、D 、F 为顶点的三角形与ABC 相似，那么CF 的长度是（ ）A ．2B ．127或2 C ．127D ．125或2 【答案】B 【分析】分两种情况：若BFD C ∠=∠或若BFD A ∠=∠，再根据相似三角形的性质解题 【详解】△ABC 沿EF 折叠后点C 和点D 重合， △FD CF =，设CF x =，则,4FD CF x BF x ===-，以点B 、D 、F 为顶点的三角形与ABC 相似，分两种情况： △若BFD C ∠=∠，则BF FDBC AC =，即443x x -=，解得127x =； △若BFD A ∠=∠，则BF FD AB AC =，即433x x -=，解得2x =． 综上，CF 的长为127或2， 故选：B ．7．（2022·全国九年级课时练习）已知线段a 、b 、c 、d 满足ab cd =，把它改写成比例式，错误的是（ ） A ．::a d c b = B ．::a b c d =C ．::d a b c =D ．::a c d b =【答案】B【分析】根据比例的基本性质：外项之积等于内项之积，对选项一一分析，选出正确答案即可．【详解】解：A、a：d＝c：b△ab＝cd，故正确；B、a：b＝c：d△ad＝bc，故错误；C、d：a＝b：c△dc＝ab，故正确；D、a：c＝d：b△ab＝cd，故正确．故选：B．8．（2022·全国九年级课时练习）下列结论不正确的是（）A．所有的矩形都相似B．所有的正三角形都相似C．所有的等腰直角三角形都相似D．所有的正八边形都相似【答案】A【分析】根据相似图形的判定判断即可；【详解】所有的矩形不一定都相似，故A错误，符合题意；因为正三角形的每个角都等于60︒，满足两个角对应相等，所有的正三角形都相似，故B正确；︒︒︒，满足两个角对应相等，因为等腰直角三角形的三个角分别为,45,45,90所有的等腰直角三角形都相似，故C正确；因为正八边形的每个角都相等，每条边都相等，所有的正八边形都相似，故D 正确； 故选A ．9．（2022·全国）如果23a b =，那么2a bb-的结果是（ ） A ．12- B ．43-C ．43D ．12【答案】B 【分析】根据比例的性质即可得到结论． 【详解】 △a b＝23，△可设a ＝2k ，b ＝3k ， △2a bb -＝2k-6k 3k ＝－43． 故选B ．10．（2022·沙坪坝·重庆一中）下列命题正确的是（ ） A ．位似图形一定是相似图形 B ．任意两个菱形一定相似CD ．23、24、25能作为直角三角形的三边长 【答案】A 【分析】根据位似图形，相似图形的定义可判断A 、B ，根据平方根的定义和勾股定理的逆定理，可判断C 、D ． 【详解】解：A. 位似图形一定是相似图形，故原命题正确，符合题意； B. 任意两个菱形不一定相似，故原命题错误，不符合题意；C.±D. 23、24、25不能作为直角三角形的三边长，故原命题错误，不符合题意， 故选A ． 二、填空题11．（2022·山东省青岛第二十六中学九年级期中）如果2x ＝3y ，那么x yy +=___． 【答案】52【分析】直接利用已知得出x =32y ，进而代入得出答案． 【详解】 解：△2x =3y ， △x =32y ，△3522y yx y y y ++==．故答案为：52．12．（2022·全国九年级专题练习）ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 上，DE △BC ，ADE 是ABC 缩小后的图形，若DE 把ABC 的面积分成相等的两部分，则AD ：AB =_____【分析】如图根据BC △DE ，可以得到△ADE △△ABC ，则21=2AED ABC S AD S AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△ ，由此即可求解． 【详解】 解：△BC △DE ， △△ADE △△ABC ，△DE 把△ABC 的面积分成相等的两部分，△21()2AED ABCS AD SAB ∆∆==， △22AD AB =， 故答案为：22．13．（2022·全国）如图，AC 与BD 相交于点O ，在△AOB 和△DOC 中，已知OA OBOD OC=，又因为________，可证明△AOB △△DOC ．【答案】△AOB＝△DOC【分析】根据相似三角形的判定，两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似解答．【详解】解：△OA OBOD OC=，△AOB＝△DOC，△△AOB△△DOC（两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似）．故答案为：△AOB＝△DOC．14．（2022·全国九年级专题练习）如图：梯形ADFE相似于梯形EFCB，若AD＝3，BC＝4，则AEBE=__．3【分析】根据相似的性质，列出比例式，根据已知条件即可求得．【详解】因为梯形ADFE相似于梯形EFCB，所以AD EFEF BC=，即EF＝23所以323AE ADBE EF===315．（2022·合肥市第四十五中学九年级）如图，正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F是CD上一点，分别以AE、AF为对称轴，折叠△ABE、△ADF，使得AB和AD与AG重合，连接BG交AE于点H，连接CG．（1）HE：AH＝______；（2）S△AFE：S正方形ABCD＝______．【答案】1：4 5：12【分析】（1）根据翻折的性质得到△GHE＝△BHE＝90°，再根据△HEB＝△BEA，从而证明△HEB△△BEA，得出HE BEBE AE=，设正方形边长为2x，则BE＝x，AB＝2x，由勾股定理求出AE，从而求出HE和AH，得出结论；（2）由S△AFE＝12（S正方形ABCD﹣S△FCE），正方形ABCD的边长为2x，FG＝DF＝m，则EF ＝x + m，CF＝2 x﹣m，，由勾股定理求出m即可．【详解】解：（1）△AE为对称轴，△△AEG△△AEB，BG△AE，△△GHE＝△BHE＝90°，又△△HEB＝△BEA，△△HEB△△BEA，△HE BEBE AE=，在正方形ABCD 中，设边长为2x ，△点E 是BC 的中点，则BE ＝x ，AB ＝2x ，△AE=，△HE ＝225BE x AE ==，△AH ＝AE ﹣HE=，△HE ：AH x ＝1：4． 故答案为：1：4；（2）设正方形ABCD 的边长为2x ，则S 正方形ABCD ＝4x 2，△S △AFE ＝12（S 正方形ABCD ﹣S △FCE ），CE ＝BE ＝GE ＝x ，设FG ＝DF ＝m ，则EF ＝x + m ，CF ＝2 x ﹣m ，在△EFC 中，△EF 2＝CE 2+CF 2，△（m +x ）2＝（2 x ﹣m ）2+ x 2，解得：m ＝23x ，△CE ＝2 x ﹣m ＝43x ，△S △CFE ＝12×CE ×CF ＝12×24233x x x ⨯=， △S △AFE ＝12×（4 x 2﹣223x ）＝253x ， △S △AFE ：S 正方形ABCD ＝225:43x x ＝5：12．故答案为：5：12．三、解答题16．（2022·辽宁鞍山市·九年级期末）如图，将△ABC绕点A旋转得到△ADE，连接BD，CE．求证：△ADB△△AEC．【答案】见解析．【分析】由题知，将△ABC绕点A旋转得到△ADE，可得到AC＝AE，AB＝AD，△CAE＝△BAD，即可证明．【详解】△将△ABC绕点A旋转得到△ADE，△AC＝AE，AB＝AD，△CAE＝△BAD，△AE AC，AD AB△△ADB△△AEC．17．（2022·广西贺州市·九年级期中）如图，已知在△ABC中，DE△BC，EF△AB，AE＝2CE，AB＝6，BC＝9．求：（1）求BD的长度；（2）求DE的长度．【答案】（1）2；（2）6【分析】（1）由平行线分线段成比例得出比例式，即可得出结果；（2）由平行线分线段成比例得出比例式，即可得出结果．【详解】解：（1）△AE =2CE ， △12CE AE =， △DE △BC ， △13BD CE AB AC ==， △AB =6，△BD =2；（2）△EF △AB ， △23AE BF AC BC ==， △BC =9，△BF =6，又△DE △BC ，△四边形BDEF 是平行四边形，△DE =BF =6．18．（2022·全国九年级专题练习）已知：如图，△ABC ＝△CDB ＝90°，AC ＝a ，BC ＝b ，当BD 与a 、b 之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？【答案】2b BD a =或22b a b BD -=【分析】由AB △BC ，BD △CD 得到△ABC =△BDC =90°，再利用勾股定理计算出22AB a b -根据直角三角形相似的判定方法，当AB BD AC BC =，Rt △ABC △Rt △BDC ；当=BC AC BD BC时然后分别利用比例性质可表示出BD 与a 和b 的关系． 【详解】解：△AC ＝a ，BC ＝b ，△ABC ＝△CDB ＝90°，△AB 22a b -△当BD BC AB AC=时， 即22b a b BD -=Rt △ABC △Rt △BDC ； △当BD BC CB AC=时， 即2b BD a=时，Rt △ABC △Rt △CDB ，． 19．（2020·北京市第六十六中学九年级期中）如图，在Rt△ABC 中，△C ＝90°，D 是AB 上一点，E 是BC 上一点，AC ＝6，BC ＝8，BD ＝4，BE ＝5．求证：DE △AB ．【答案】见解析【分析】利用勾股定理可求得AB ＝10，则有12BE AB =，12BD BC =，结合△B ＝△B ，可证得△BDE △△BCA ，从而有△BDE ＝△C ＝90°，即可得证．【详解】证明：△△C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，△AB 2210AC BC +=，△BD ＝4，BE ＝5， △12BE AB =，12BD BC =， △△B ＝△B ，△△BDE △△BCA ，△△BDE ＝△C ＝90°，即DE △AB ．20．（2022·全国九年级专题练习）如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m ，已知小明的身高是1.6 m ，他的影长是2 m ．（1）图中△ABC 与△ADE 是否相似？为什么？（2）求古塔的高度．【答案】（1）相似，见解析；（2）16m【分析】（1）根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似；（2）利用相似三角形的性质求得相应线段的长即可．【详解】解：（1）△ABC△△ADE．△BC△AE，DE△AE，△△ACB=△AED=90°.△△A=△A，△△ABC△△ADE；（2）由(1)得△ABC△△ADE,△AC BC=AE DE△AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m，△2 1.6=，20DE△DE=16m，即古塔的高度为16m．21．（2022·全国九年级专题练习）在锐角△ABC中，AD，CE分别为BC，AB边上的高，△ABC 和△BDE 的面积分别等于18和2，DE ＝2，求AC 边上的高．【答案】6【分析】由已知条件得到△CEB ＝△ADB ＝90°，推出△ADB △△CEB ，根据相似三角形的性质得到BD ：AB ＝BE ：BC ，证得△BDE △△BAC ，得到S △BDE ：S △ABC ＝（DE ：AC ）2，于是求得AC ＝6，然后根据三角形的面积公式即可得到结果．【详解】过点B 做BF △AC ,垂足为点F ，△AD ,CE 分别为BC ,AB 边上的高，△△ADB =△CEB =90°，又△△B =△B ，△Rt △ADB △Rt △CEB , △BD AB BE CB =，即BD BE AB CB=， 且△B =△B ，△△EBD △△CBA , △221189BED BCA S DE S AC ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, △13DE AC =, 又△DE =2，△AC =6，△1182ABCS AC BF =⋅=， 6BF ∴=．22．（2022·湖南师大附中博才实验中学）如图，在正方形ABCD 中，点G 是对角线上一点，CG 的延长线交AB 于点E ，交DA 的延长线于点F ，连接AG ．（1）求证：AG CG =；（2）若9GE GF ⋅=，求CG 的长．【答案】（1）见解析；（2）CG =3【分析】（1）根据正方形的性质得到△ADB =△CDB =45°，AD =CD ，从而利用全等三角形的判定定理推出△ADG △△CDG （SAS ），进而利用全等三角形的性质进行证明即可；（2）根据正方形的性质得到AD △CB ，推出△FCB =△F ，由（1）可知△ADG △△CDG ，利用全等三角形的性质得到△DAG =△DCG ，结合图形根据角之间的和差关系△DAB -△DAG =△DCB -△DCG ，推出△BCF =△BAG ，从而结合图形可利用相似三角形的判定定理得到△AEG △△F AG ，进而根据相似三角形的性质进行求解即可．【详解】解：（1）证明：△BD 是正方形ABCD 的对角线，△△ADB =△CDB =45°，又AD =CD ，在△ADG 和△CDG 中，AD CD ADG CDG DG DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， △△ADG △△CDG （SAS ），△AG =CG ；（2）解：△四边形ABCD 是正方形，△AD △CB ，△△FCB =△F ，由（1）可知△ADG △△CDG ，△△DAG =△DCG ，△△DAB -△DAG =△DCB -△DCG ，即△BCF =△BAG ，△△EAG =△F ，又△EGA =△AGF ，△△AEG △△F AG ，△GE GA GA GF =，即GA 2=GE •GF ，△GA =3或GA =-3（舍去），根据（1）中的结论AG =CG ，△CG =3．23．（2022·浙江杭州·翠苑中学九年级）如图，在矩形ABCD 中，E 是CD 上一点，AE AB =，作BF AE ⊥．（1）求证：ADE BFA ≅△△；（2）连结BE ，若BCE 与ADE 相似，求AD AB ． 【答案】（1）见解析；（23【分析】（1）根据矩形的性质得出90D DAB ∠=∠=︒，求出90DAE FAB ∠+∠=︒，90FBA FAB ∠+∠=︒，求出D AFB ∠=∠，DAE FBA ∠=∠，再根据全等三角形的判定推出即可；（2）根据矩形的性质得出90C D ∠=∠=︒，//DC AB ，根据平行线的性质得出CEB ABE ∠=∠，设CEB ABE x ∠=∠=︒，根据等腰三角形的性质求出AEB EBA x ∠=∠=︒，根据相似三角形的性质得出两种情况：△DEA CEB x ∠=∠=︒，根据180DEA AEB CEB ∠+∠+∠=︒得出180x x x ++=，求出x ，再解直角三角形求出AE 和AD ，再求出答案即可；△DEA EBC ∠=∠，设DEA EBC y ∠=∠=︒，求出(2)180DEA AEB CEB y x ∠+∠+∠=+︒=︒，()90EBC CEB y x ∠+∠=+︒=︒，求出x ，再得出答案即可．【详解】解：（1）证明：四边形ABCD 是矩形，90D DAB ∴∠=∠=︒，90DAE FAB ∴∠+∠=︒，BF AE ⊥，90AFB ∴∠=︒，D AFB ∴∠=∠，90FBA FAB ∠+∠=︒，DAE FBA ∴∠=∠，在ADE ∆和BFA ∆中DAE FBA D AFB AE AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ADE BFA AAS ∴∆≅∆；（2）四边形ABCD 是矩形，90C D ∴∠=∠=︒，//DC AB ，CEB ABE ∴∠=∠，设CEB ABE x ∠=∠=︒，AE AB =，AEB EBA x ∴∠=∠=︒，当BCE ∆与ADE ∆相似时，有两种情况：△DEA CEB x ∠=∠=︒，180DEA AEB CEB ∠+∠+∠=︒，180x x x ∴++=，解得：60x =，即60DEA ∠=︒，906030DAE ∴∠=︒-︒=︒，2AE DE ∴=，由勾股定理得：AD ， AE AB =，∴AD AD AB AE = △DEA EBC ∠=∠，设DEA EBC y ∠=∠=︒，CEB EBA AEB x ∠=∠=∠=︒，则(2)180DEA AEB CEB y x x y x ∠+∠+∠=︒+︒+︒=+︒=︒， 在Rt BCE ∆中，()90EBC CEB y x y x ∠+∠=︒+︒=+︒=︒， 即218090y x y x +=⎧⎨+=⎩， 解得：90x =︒，即90CEB ∠=︒，此时点E 和点C 重合，BEC ∆不存在，舍去；△AD AB =。
2023年中考数学一轮复习之必考点题型全归纳与分层精练-相似三角形(原卷版)
专题22相似三角形【专题目录】技巧1：巧用“基本图形”探索相似条件技巧2：巧作平行线构造相似三角形技巧3：证比例式或等积式的技巧【题型】一、相似图形的概念和性质【题型】二、平行线分线段成比例定理【题型】三、相似三角形的判定【题型】四、相似三角形的性质【题型】五、利用相似三角形解决实际问题【题型】六、位似图形的概念与性质【题型】七、平面直角坐标系与位似图形【考纲要求】1、了解比例线段的有关概念及其性质，并会用比例的性质解决简单的问题．2、了解相似多边形，相似三角形的概念，掌握其性质和判定并会运用．3、了解位似变换和位似图形的概念，掌握并运用其性质.【考点总结】一、相似图形及比例线段解直相似图形在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.相似多边形若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形叫做相似多边形。
特征：对应角相等，对应边成比例。
比例线段的定义在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即a cb d(或a∶b＝c∶d)，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．【考点总结】二、相似三角形【技巧归纳】技巧1：巧用“基本图形”探索相似条件相似三角形的四类结构图：1.平行线型．2．相交线型．角三角形的应用比例线段的性质(1)基本性质：a b ＝c d ad ＝bc ；(2)合比性质：a b ＝c d a ＋b b ＝c ＋d d ；(3)等比性质：若a b ＝c d ＝…＝m n (b ＋d ＋…＋n ≠0)，那么a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝a b.黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝BC AC ，则线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．3．子母型．4．旋转型．【类型】一、平行线型1．如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作ED ∥BC 交AB 于点D.(1)求证：AE·BC ＝BD·AC ；(2)如果S △ADE ＝3，S △BDE ＝2，DE ＝6，求BC 的长．【类型】二、相交线型2．如图，点D ，E 分别为△ABC 的边AC ，AB 上的点，BD ，CE 交于点O ，且EO BO ＝DO CO，试问△ADE 与△ABC 相似吗？请说明理由．【类型】三、子母型3．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于点F.求证：AB AC ＝DF AF .【类型】四、旋转型4．如图，已知∠DAB ＝∠EAC ，∠ADE ＝∠ABC.求证：(1)△ADE ∽△ABC ；(2)AD AE ＝BD CE .技巧2：巧作平行线构造相似三角形【类型】一、巧连线段的中点构造相似三角形1．如图，在△ABC 中，E ，F 是边BC 上的两个三等分点，D 是AC 的中点，BD 分别交AE ，AF 于点P ，Q ，求BP PQ QD.【类型】二、过顶点作平行线构造相似三角形2．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，F 为底边AB 上一点，BFAF ＝32，取CF 的中点D ，连接AD 并延长交BC 于点E ，求BE EC 的值．【类型】三、过一边上的点作平行线构造相似三角形3．如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，在边AB 上取一点D ，在AC 上取一点E ，使AD ＝AE ，直线DE 和BC的延长线交于点P.求证：BP CP ＝BD EC .【类型】四、过一点作平行线构造相似三角形4．如图，在△ABC 中，点M 为AC 边的中点，点E 为AB 上一点，且AE ＝14AB ，连接EM 并延长交BC 的延长线于点D.求证：BC ＝2CD.技巧3：证比例式或等积式的技巧【类型】一、构造平行线法1．如图，在△ABC 中，D 为AB 的中点，DF 交AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ，求证：AE·CF ＝BF·EC.2．如图，已知△ABC 的边AB 上有一点D ，边BC 的延长线上有一点E ，且AD ＝CE ，DE 交AC 于点F ，求证：AB·DF ＝BC·EF.【类型】二、三点定型法3．如图，在▱ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F.求证：DC AE ＝CF AD .4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，M为BC的中点，DM⊥BC交CA的延长线于D，交AB于E.求证：AM2＝MD·ME.【类型】三、构造相似三角形法5．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N.求证：BP·CP＝BM·CN.【类型】四、等比过渡法6．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF＝∠ABE.求证：(1)△DEF∽△BDE；(2)DG·DF＝DB·EF.7．如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP于点G，交CE于点D.求证：CE2＝DE·PE.【类型】五、两次相似法8．如图，在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，∠ABC 的平分线BE 交AC 于E ，交AD 于F.求证：BF BE ＝AB BC .9．如图，在▱ABCD 中，AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，垂足分别为M ，N.求证：(1)△AMB ∽△AND ；(2)AM AB ＝MN AC .【类型】六、等积代换法10．如图，在△ABC 中，AD ⊥于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.求证：AE AF ＝AC AB .【类型】七、等线段代换法11．如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点P 是AD 上一点，CF ∥AB ，延长BP 交AC 于点E ，交CF 于点F ，求证：BP 2＝PE·PF.12．如图，已知AD 平分∠BAC ，AD 的垂直平分线EP 交BC 的延长线于点P.求证：PD 2＝PB·PC.【题型讲解】【题型】一、相似图形的概念和性质例1、如图，在△ABC 中，DE ∥AB ，且CD BD ＝32，则CE CA 的值为（）A ．35B ．23C ．45D ．32【题型】二、平行线分线段成比例定理例2、如图，在ABC ∆中，//DE BC ，9AD =，3DB =，2CE =，则AC 的长为（）A ．6B ．7C ．8D ．9【题型】三、相似三角形的判定例3、如图，已知DAB CAE ∠=∠，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定A ABC DE ∽△△的是（）A ．AB AC AD AE =B ．AB BC AD DE =C ．B D ∠=∠D ．C AED∠=∠【题型】四、相似三角形的性质例4、如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 和AC 的中点，15BCED S =四边形，则ABC S ∆=（）A ．30B ．25C ．22．5D ．20【题型】五、利用相似三角形解决实际问题例5、为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A ，再在他所在的这一侧选点B ，C ，D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，然后找出AD 与BC 的交点E ，如图所示．若测得BE ＝90m ，EC ＝45m ，CD ＝60m ，则这条河的宽AB 等于()A ．120mB ．67.5mC ．40mD ．30m【题型】六、位似图形的概念与性质例6、如图，△ABC 与△DEF 位似，点O 为位似中心．已知OA ∶OD =1∶2，则△ABC 与△DEF 的面积比为（）A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶5【题型】七、平面直角坐标系与位似图形例7、如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm ．则投影三角板的对应边长为（）A ．20cmB ．10cmC ．8cmD ．3.2cm相似三角形（达标训练）一、单选题1．如图，已知∥DE BC ，12AD BD ，则ADE V 与ABC 的周长之比为（）A ．1:2B ．1:4C ．1:9D ．1:32．如图，在ABC 中，高BD 、CE 相交于点.F 图中与AEC △一定相似的三角形有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则△ADE 与△ABC 的面积之比为（）A ．16B ．14C ．13D ．124．如图，D 是ABC 的边BC 上的一点，那么下列四个条件中，不能够判定△ABC 与△DBA 相似的是（）A ．C BAD∠=∠B ．BAC BDA ∠=∠C ．AC AD BC AB =D ．2AB BD BC=⋅5．已知ABC ∽A B C ''' ，AD 和A D ''是它们的对应角平分线，若8AD =，12A D ''=，则ABC 与A B C ''' 的面积比是（）A ．2：3B ．4：9C ．3：2D ．9；4二、填空题6．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE 测量建筑物的高度，已知标杆BE 高为1.5m ，测得AB ＝3m ，AC ＝10m ，则建筑物CD 的高是_____m ．7．如图所示，要使ABC ADE ～，需要添加一个条件__________（填写一个正确的即可）三、解答题8．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，且AD :AB =AE :AC =2:3．(1)求证：△ADE ∽△ABC ；(2)若DE =4，求BC 的长．相似三角形（提升测评）一、单选题1．如图，在菱形ABCD 中，点E 在AD 边上，EF ∥CD ，交对角线BD 于点F ，则下列结论中错误的是（）A ．DE DF AE BF =B ．EF DF AD DB =C ．EF DF CD BF =D ．EF DF CD DB=2．如图1为一张正三角形纸片ABC ，其中D 点在AB 上，E 点在BC 上．今以DE 为折线将B 点往右折后，BD 、BE 分别与AC 相交于F 点、G 点，如图2所示．若10AD =，16AF =，14DF =，8BF =，则CG 的长度为多少？（）A ．7B ．8C ．9D ．103．如图，在平面直角坐标系中有A ，B 两点，其中点A 的坐标是（-2，1），点B 的横坐标是2，连接AO ，BO ．已知90AOB ∠=︒，则点B 的纵坐标是（）A ．B ．4CD ．24．如图，D 是ABC △的边上的一点，过点D 作BC 的平行线交AC 于点E ，连接BE ，过点D 作BE 的平行线交AC 于点F ，则下列结论错误的是（）A ．AD AF BD EF =B ．AF DF AE EB =C ．=AD AE AB AC D ．CAF FE DE B =二、填空题5．如图，小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子落在了地上和墙上，此时测得地面上的影长BD 为4m ，墙上的影子CD 长为1m 1m 的垂直于地面上的标杆的影长为0.5m ，则树的高度为______m ．6．如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，2BC AD =，点F 在BC 的延长线上，AF 与BD 相交于点E ，与CD 边相交于点G ．如果2AD CF =，那么DEG ∆与CFG ∆的面积之比等于______．三、解答题7．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC =1，CE =3，连接AF 交CG 于点K ，H 是AF 的中点，连接CH ．(1)求tan ∠GFK 的值；(2)求CH 的长．8．如图所示，BEF 的顶点E 在矩形ABCD 对角线AC 的延长线上，13BC AB AE ==，，与FB 交于点G ，连接AF ，满足ABF ∽CEB ，其中A 对应C B ，对应E F ，对应B(1)求证：30FAD ∠=︒．(2)若13CE =，求tan FEA ∠的值．。
中考数学第一轮总复习教案(26-32课时)
第六章 三角形课时26．几何初步及平行线、相交线【课前热身】1. 如图，延长线段AB 到C ，使4BC =， 若8AB =，则线段AC 是BC的 倍．2．如图，已知直线a b ∥，135=∠，则2∠的度数是 ．3．如图，在不等边ABC △中，DE BC ∥，60ADE =∠，图中等于60的角还有______________．4．经过任意三点中的两点共可以画出的直线条数是（ ）A ．一条或三条B ．三条C ．两条D ．一条 5．如图，直线a b ∥，则A ∠的度数是（ ）A ．28B ．31C ．39D ．42【考点链接】1. 两点确定一条直线，两点之间线段最短._______________叫两点间距离.2. 1周角＝__________平角＝_____________直角＝____________．3. 如果两个角的和等于90度，就说这两个角互余，同角或等角的余角相等；如果_____________________互为补角，__________________的补角相等.4. ___________________________________叫对顶角，对顶角___________.5. 过直线外一点心___________条直线与这条直线平行.6. 平行线的性质：两直线平行，_________相等，________相等，________互补.7. 平行线的判定：________相等,或______相等,或______互补，两直线平行.8. 平面内，过一点有且只有_____条直线与已知直线垂直.【典例精析】例1 如图：AB ∥CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ，EG 平分∠BEF ，若∠1=720，则∠2等于多少度？（第1题)E A B(第3题)1 2 (第2题)(第4题)图70°31°例2 如图，ABC △中，B C ∠∠，的平分线相交于点O ，过O 作DE BC ∥，若5BD EC +=，则DE 等于多少？【中考演练】1．(08永州) 如图，直线a 、b 被直线c 所截，若要a ∥ b ，需增加条件 _____________．（填一个即可） 2．（08义乌） 如图直线l 1//l 2，AB ⊥CD ，∠1=34°，那么∠2的度数是 ． 3．(08河南) 如图, 已知直线25,115,//=∠=∠A C CD AB , 则=∠E （ ） A.70 B. 80 C. 90 D. 100( 第1题) ( 第2题) (第3题) 4．(08益阳) 如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝12cm ，∠ABC ＝80°，BD 是∠ABC 的平分线，DE ∥BC ．(1) 求∠EDB 的度数；(2) 求DE 的长．21D CBAl 2l 1ABCD E5. (08宁夏)如图，AB ∥CD ， AC ⊥BC ，∠BAC ＝65°，求∠BCD 度数．﹡6. (08东莞) 如图，在ΔABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝8．用尺规作图作BC 边上的中线AD （保留作图痕迹，不要求写作法、证明），并求AD 的长．课时27．三角形的有关概念【课前热身】1． 如图，在△ABC 中，∠A ＝70°，∠B ＝60°，点D 在BC 的延长线上，则∠ACD ＝ 度.2． ABC△中，D E ，分别是AB AC ，的 中点，当10cm BC =时，DE = cm ． （第1题） 3． 如图在△ABC 中，AD 是高线，AE 是角平分线，AF 中线.(1) ∠ADC ＝ ＝90°； (2) ∠CAE ＝ ＝12 ；(3) CF ＝ ＝12； (4) S △ABC ＝ ．C DB7060Ａ A B CE DC BAF（第3题） （第4题）4． 如图，⊿ABC 中，∠A = 40°,∠B = 72°，CE 平分∠ACB ，CD ⊥AB 于D ，DF ⊥CE ，则∠CDF = 度. 5． 如果两条平行直线被第三条直线所截，一对同旁内角的度数之比为3:6，那么这两个角分别等于 °和 °．【考点链接】一、三角形的分类：1．三角形按角分为______________，______________，_____________． 2．三角形按边分为_______________,__________________. 二、三角形的性质：1．三角形中任意两边之和____第三边，两边之差_____第三边2．三角形的内角和为_______，外角与内角的关系：__________________． 三、三角形中的主要线段：1．___________________________________叫三角形的中位线．2．中位线的性质：____________________________________________． 3．三角形的中线、高线、角平分线都是____________．(线段、射线、直线)【典例精析】例1 如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°． 求∠DAC 的度数．例2 如图，已知D 、E 分别是△ABC 的边BC 和边AC 的中点，连接DE 、AD ，若S ABC △＝24cm 2,求△DEC 的面积.4321D CB A例3 如图，在等腰三角形ACB 中，5AC BC ==，8AB =，D 为底边AB 上一动点（不与点A B ，重合），DE AC ⊥，DF BC ⊥，垂足分别为E F ，，求DE DF +的长．【中考演练】1．在△ABC 中，若∠A ＝∠C＝13∠B ，则∠A＝，∠B ＝ ，这个三角形是 .2． （07深圳）已知三角形的三边长分别为3、8、x ，若x 的值为偶数，则x 的值有（ ）A. 6个B. 5个C. 4 个D. 3个 3．（07济南）已知一个三角形三个内角度数的比是1:5:6，则其最大内角度数为（ ）A.60°B.75°C.90°D.120°4．如图，AB ∥CD ，AE 平分∠BAC ，CE 平分∠ACD ，求∠E 的度数．5. 如图，已知DE ∥BC ，CD 是∠ACB 的平分线，∠B ＝70°，∠ACB ＝50°， 求∠EDC 和∠BDC 的度数．﹡6. △ABC 中，AD 是高，AE 、BF 是角角平分线相交于点O ，∠BAC=50°，∠C=70°，EDCBAAB CD E求∠DAC，∠BOA的度数.课时28．等腰三角形与直角三角形【课前热身】1．等腰三角形的一个角为50°，那么它的一个底角为______．2. 在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC＝_____°．3．在△ABC中，AB＝AC，D为AC边上一点，且BD＝BC＝AD． 则∠A等于（）A．30° B．36° C．45° D．72°（第2题）（第3题）（第4题）4．（07南充）一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40º的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西10º的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（）A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里【考点链接】一．等腰三角形的性质与判定：1. 等腰三角形的两底角__________；2. 等腰三角形底边上的______，底边上的________，顶角的_______，三线合一；3. 有两个角相等的三角形是_________．二．等边三角形的性质与判定：1. 等边三角形每个角都等于_______，同样具有“三线合一”的性质；2. 三个角相等的三角形是________，三边相等的三角形是_______，一个角等于60°的_______三角形是等边三角形．三．直角三角形的性质与判定：1. 直角三角形两锐角________．2. 直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的________．3. 直角三角形中，斜边的中线等于斜边的______．；4. 勾股定理：_________________________________________．5. 勾股定理的逆定理：_________________________________________________．【典例精析】例1 如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD 将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．例2 （06包头）《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时”． 一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶（如图所示），在距离路边25米处有“车速检测仪O”， 测得该车从北偏西60°的A点行驶到北偏西30°的B点，所用时间为1．5秒．（1）试求该车从A点到B的平均速度；（2）试说明该车是否超过限速．【中考演练】1．(08湖州)已知等腰三角形的一个底角为70，则它的顶角为____________．度．2．（08白银）已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为____． 3． (08武汉) 如图，小雅家（图中点Ｏ处）门前 有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点Ａ处）在她家北偏东60度500m 处，那么水塔 所在的位置到公路的距离AB 是____________．（第3题）4．如图，已知在直角三角形中，∠C=90°，BD 平分∠ABC 且交AC 于D ． ⑴ 若∠BAC=30°，求证：AD=BD ；⑵ 若AP 平分∠BAC 且交BD 于P ，求∠BPA 的度数．5．(08义乌) 如图，小明用一块有一个锐角为30的直角三角板测量树高，已知小明离 树的距离为4米，DE 为1.68米，那么这棵树大约有多高？（精确到0.1米）P D C B AA O B东北课时29．全等三角形【课前热身】1．如图1所示，若△OAD≌△OBC，且∠O=65°，∠C=20°，则∠OAD=____．ACFEDB（第1题）（第2题）（第3题）2．如图2，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去3．如图，已知AE∥BF, ∠E=∠F,要使△ADE≌△BCF,可添加的条件是________.4. 在⊿ABC和⊿A/B/C/中，AB=A/B/，∠A=∠A/，若证⊿ABC≌⊿A/B/C/还要从下列条件中补选一个，错误的选法是（）A. ∠B=∠B/B. ∠C=∠C/C. BC=B/C/，D. AC=A/C/，【考点链接】1．全等三角形:____________、______________的三角形叫全等三角形.2. 三角形全等的判定方法有:_______、______、_______、______.直角三角形全等的判定除以上的方法还有________.3. 全等三角形的性质：全等三角形___________，____________.4. 全等三角形的面积_______、周长_____、对应高、______、_______相等.【典例精析】例1 已知：在梯形ABCD中，AB//CD，E是BC的中点，直线AE与DC的延长线交于点F. 求证：AB=CF.例2 （06重庆）如图所示，A、D、F、B在同一直线上，AD=BF，AE=BC，且AE BC．求证：（1） AEF BCD；（2）EF CD．【中考演练】1.（08遵义）如图，OA OB =，OC OD =，50O ∠=，35D ∠=，则AEC ∠等于（ ）A ．60B ．50C ．45D ．302. ( 08双柏) 如图，点P 在AOB ∠的平分线上，AOP BOP △≌△，则需添加的一个条件是 （只写一个即可，不添加辅助线）：（第1题） （第2题） （第3题）3. ( 08郴州) 如图，D 是AB 边上的中点，将ABC ∆沿过D 的直线折叠，使点A 落在BC上F 处，若50B ∠=︒，则BDF ∠= __________度．4. （08荆州）如图，矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE ＝AD ，DF ⊥AE 于F ，连结DE ，求证：DF ＝DC ．5. 如图，AB=AD ，BC=DC ，AC 与BD 交于点E ，由这些条件你能推出哪些结论？（不再添加辅助线，不再标注其它字母，不写推理过程，只要求写出四个你认为正确的结论即可）F E DC B AEDO E AB D CA B C D F﹡6. (08东莞) 如图，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小.课时30．相似三角形【课前热身】1．两个相似三角形对应边上中线的比等于3：2，则对应边上的高的比为______，周长之比为________，面积之比为_________．2．若两个相似三角形的周长的比为4：5，且周长之和为45，则这两个三角形的周长分别为__________．C B ODA E3．如图，在△ABC 中，已知∠ADE=∠B ，则下列等式成立的是（ ）A．AD AE AB AC = B ．AE ADBC BD =C ．DE AE BC AB =D ．DE ADBC AC=4．在△ABC 与△A′B ′C ′中，有下列条件： （1）''''AB BC A B B C =；（2）''''BC ACB C A C =；（3）∠A=∠A′；（4）∠C=∠C′． 如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC ∽△A′B ′C ′的共有多少组（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【考点链接】一、相似三角形的定义三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形． 二、相似三角形的判定方法1. 若DE ∥BC （A 型和X 型）则______________．2. 射影定理：若CD 为Rt △ABC 斜边上的高（双直角图形）则Rt △ABC ∽Rt △ACD ∽Rt △CBD 且AC 2=________，CD 2=_______，BC 2=__ ____．3. 两个角对应相等的两个三角形__________．4. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似．5. 三边对应成比例的两个三角形___________． 三、相似三角形的性质1. 相似三角形的对应边_________，对应角________．2. 相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k 表示．3. 相似三角形的对应角平分线，对应边的________线，对应边上的_______•线的比等于_______比，周长之比也等于________比，面积比等于_________．【典例精析】例1 在△ABC 和△DEF 中，已知∠A=∠D ，AB=4，AC=3，DE=1，当DF 等于多少时，这两个三角形相似．E A D CBEADCBA D CB例2 如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm ，高AD=80mm ， 要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上， 这个正方形零件的边长是多少？例3 一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm ×3.5cm ，放映的荧屏的规格为2m ×2m ，若放映机的光源距胶片20cm 时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？【中考演练】1.（08大连）如图，若△ABC ∽△DEF ，则∠D 的度数为______________．2. (08杭州) 在中, 为直角, 于点,,写出其中的一对相似三角形是 _ 和 _；并写出它的面积比_____.（第1题） （第2题） （第3题） 3.( 08常州) 如图，在△ABC 中,若DE ∥BC,＝,DE ＝4cm,则BC 的长为 ( ) A.8cm B.12cm C.11cm D.10cmRt ABC ∆C ∠AB CD ⊥D 5,3==AB BC AD DB 12B(0,－4)A(3,0)xy4. （08无锡） 如图，已知是矩形的边上一点，于，试证明．课时31．锐角三角函数【课前热身】1．（06黑龙江）在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，sinA ＝23，则AC 的长是（ ） A ．5 B ．3 C ．45D ．13 2．Rt ∆ABC 中，∠C=︒90，∠A ∶∠B=1∶2，则sinA 的值（ ）A ．21B ．22C ．23D ．13．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （3，0）， 点B （0，－4），则cos OAB ∠ 等于_______．4．︒+︒30sin 130cos =____________．【考点链接】1．sin α，cos α，tan α定义sin α＝____，cos α＝_______，tan α＝______ ． 2．特殊角三角函数值E ABCD CD BF AE ⊥F ABF EAD △∽△α bc【典例精析】例1 在Rt △ABC 中，a ＝5，c ＝13，求sinA ，cosA ，tanA ．例2 计算:4sin 302cos 453tan 60︒-︒+︒．例3 等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，求底角∠B 的四个三角函数值．【中考演练】1．(08威海) 在△ABC 中，∠C ＝ 90°，tan A ＝13，则sin B ＝( ) A ．10 B ．23 C ．34D ．310 2．若3cos 4A =，则下列结论正确的为（ ） 30° 45° 60° sin α cos α tan αA ． 0°< ∠A < 30°B ．30°< ∠A < 45°C ． 45°< ∠A < 60°D ．60°< ∠A < 90° 3. (08连云港) 在Rt ABC △中，90C ∠=，5AC =，4BC =，则tan A = ．4.（07济宁） 计算45tan 30cos 60sin -的值是 . 5. 已知3tan 30 A -=∠A =则 ．6．△ABC 中，若（sinA －12）2＋|32－cosB|＝0，求∠C 的大小．﹡7.（07长春）图中有两个正方形，A ，C 两点在大正方形的对角线上，△HAC 是等边三角形，若AB=2，求EF 的长．﹡8. 矩形ABCD 中AB ＝10，BC ＝8， E 为AD 边上一点，沿BE 将△BDE 对折，点D 正好落在AB 边上，求 tan ∠AFE ．_ E_ A_ F_ D_ C _ B_ O _ H_ G FA BC DE课时32．解直角三角形及其应用【课前热身】1．如图，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为________米．（结果保留根号）（第1题） 2. 某坡面的坡度为1：3，则坡角是_______度．3．(07山东)王英同学从A 地沿北偏西60º方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王英同学离A 地 ( )A ．150mB ．350mC ．100 mD ．3100m【考点链接】1．解直角三角形的概念：在直角三角形中已知一些_____________叫做解直角三角形． 2．解直角三角形的类型：已知____________；已知___________________． 3．如图（1）解直角三角形的公式：（1）三边关系：__________________．（2）角关系：∠A+∠B ＝_____，（3）边角关系：sinA=___，sinB=____，cosA=_______．cosB=____，tanA=_____ ，tanB=_____． 4．如图（2）仰角是____________,俯角是____________． 5．如图（3）方向角：OA ：_____，OB ：_______，OC ：_______，OD ：________． 6．如图（4）坡度：AB 的坡度i AB ＝_______，∠α叫_____，tanα＝i ＝____．（图2） （图3） （图4）αA C B45︒南北西东60︒A D C B 70︒O O A B Cc ba A C B【典例精析】例1 Rt ABC ∆的斜边AB ＝5, 3cos 5A =，求ABC ∆中的其他量.例2 (08十堰) 海中有一个小岛P ，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A 测得小岛P 在北偏东60°方向上，航行12海里到达B 点，这时测得小岛P 在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．例3（07辽宁）为了农田灌溉的需要，某乡利用一土堤修筑一条渠道，在堤中间挖出深为1.2米，下底宽为2米，坡度为1：0.8的渠道（其横断面为等腰梯形），并把挖出来的土堆在两旁，使土堤高度比原来增加了0.6米．（如图所示） 求：（1）渠面宽EF ；（2）修200米长的渠道需挖的土方数．【中考演练】1．在Rt ABC ∆中，090C ∠=，AB ＝5，AC ＝4，则 sinA 的值是_________.2．(07乌兰察布)升国旗时，某同学站在离旗杆24m 处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30°，若两眼距离地面 1.2m，则旗杆高度约为_______.（取 ，结果精确到0.1m）3 1.733．（07云南）已知：如图，在△ABC中，∠B = 45°，∠C = 60°，AB = 6．求BC的长. (结果保留根号)﹡4．（06哈尔滨）如图，在测量塔高AB时，选择与塔底在同一水平面的同一直线上的C、D两点，用测角仪器测得塔顶A的仰角分别是30°和60°．已知测角仪器高CE=1.5米，CD=30米，求塔高AB．（保留根号）。
相似三角形-备战2022年中考数学一轮复习考点(浙江专用)(解析版)
考点14 相似三角形【命题趋势】相似三角形是中考数学中非常重要的一个考点，它不仅可以作为简单考点单独考察，还经常作为压轴题的重要解题方法，和其他如函数、特殊四边形、圆等问题一起考察。
而且，在很多压轴题中，虽然题面上没有明确考察相似三角形的判定或性质，但是经常通过相似三角形的判定以及性质来得到角相等或者边长间的关系，也是动点问题中得到函数关系式的重要手段。
需要考生在复习的时候给予加倍的重视！ 【中考考查重点】 一、比例线段 二、相似三角形的性质 三、相似三角形的判定 四、相似三角形的基本图形考向一：比例线段一．比例的性质1.基本性质：bc ad d c b a =⇔=::；2.比例中项：b a c b c c a ⋅=⇔=2::，此时，c 为a 、b 的比例中项； 二．比例线段1.比例线段：在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段简称比例线段；2.黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ． 3.平行线分线段成比例的基本性质： 如图：AB ∥CD ∥EF ⇔DE BD CF AC =【同步练习】 1．已知＝，则的值为（ ） A ．B ．C ．D ．【分析】直接利用同一未知数表示出a，b的值，进而代入化简即可．【解答】解：∵＝，∴设a＝2x，b＝5x，∴＝＝．故选：C．2．线段AB的长为2，点C是线段AB的黄金分割点，则线段AC的长可能是（）A．+1B．2﹣C．3﹣D．﹣2【分析】根据黄金分割点的定义，知AC可能是较长线段，也可能是较短线段，分别求出即可．【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，∴AC＝AB＝×2＝﹣1，或AC＝2﹣（﹣1）＝3﹣，故选：C．3．如图，直线a，b，c截直线e和f，a∥b∥c，，则下列结论中，正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解答本题．【解答】解：∵a∥b∥c，，∴＝，∴，，，故选项A正确，符合题意，选项B、D不正确，不符合题意；连接AF，交BE于H，∵BE∥CF，∴△ABH∽△ACF，∴，，∴选项C不正确，不符合题意；故选：A．4．若＝＝（a≠c），则＝．【分析】根据等比的性质即可求解．【解答】解：∵＝＝（a≠c），∴＝．故答案为：．5．若（x、y、z均不为0），则＝．【分析】设比值为k，然后用k表示出x、y、z，再代入比例式进行计算即可得解．【解答】解：设＝＝＝k（k≠0），则x＝6k，y＝4k，z＝3k，所以，＝＝3．故答案为：3．6．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE＝6，，则EC的长是．【分析】根据平行线分线段成比例定理的推论得出＝，将AE＝6代入，求出AC＝14，那么EC＝AC﹣AE＝8．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，∵AE＝6，∴＝，解得：AC ＝14，∴EC ＝AC ﹣AE ＝14﹣6＝8． 故答案是：8．考向二：相似三角形的性质相似三角形的性质相似 三角 形的 性质相似三角形的对应角相等，对应边成比例 相似三角形的周长之比等于相似比 相似三角形的面积之比等于相似比的平方相似三角形的对应“三线”（高线、中线、角平分线）之比等于相似比【方法提炼】【同步练习】1．如图，已知△ABE ∽△CDE ，AD 、BC 相交于点E ，△ABE 与△CDE 的周长之比是，若AE ＝2、BE ＝1，则BC 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【分析】首先利用周长之比求得相似比，然后根据AE 的长求得CE 的长，从而求得BC 的长． 【解答】解：∵△ABE ∽△CDE ，△ABE 与△CDE 的周长之比是， ∴AE ：CE ＝2：5， ∵AE ＝2， ∴CE ＝5，相似三角形性质的主要应用方向： ➢ 求角的度数 ➢ 求或证明比值关系 ➢ 证线段等积式 ➢ 求面积或面积比相似三角形的对应边成比例是求线段长度的重要方法，也是动点问题中得到函数关系式的重要手段∵BE＝1，∴BC＝BE+EC＝1+5＝6，故选：D．2．如图，已知△ABC∽△DEF，若∠A＝35°，∠B＝65°，则∠F的度数是（）A．30°B．35°C．80°D．100°【分析】先根据三角形内角和定理求出∠C的度数，再根据相似三角形对应角相等即可解决问题．【解答】解：∵△ABC中，∠A＝35°，∠B＝65°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣35°﹣65°＝80°，又∵△ABC∽△DEF，∴∠F＝∠C＝80°，故选：C．3．如图，在正方形网格中：△ABC、△EDF的顶点都在正方形网格的格点上，△ABC∽△EDF，则∠ABC+∠ACB的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【分析】利用相似三角形的性质，证明∠BAC＝135°，可得结论．【解答】解：∵△ABC∽△EDF，∴∠BAC＝∠DEF＝135°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣135°＝45°，故选：B．4．如图，△ABC∽△A'B′C′，下列说法正确的是（）A．∠B＝∠C′B．S△ABC＝2S△A′B'C'C．AC＝4A'C'D．A'B′＝6【分析】根据相似三角形的性质解答即可．【解答】解：∵△ABC∽△A'B′C′，AB＝12，BC＝2a，B'C'＝a，∴∠B＝∠B'，S△ABC：S△ABC＝＝4，AC＝2A'C'，A'B'＝AB＝＝6．故A、B、C错误，D正确；故选：D．5．若D为△ABC中AB边上一点，且DE∥BC交AC于E，AB＝6，BC＝8，AC＝10，若△ADE与△ABC 的相似比为，则AE ＝．【分析】先根据DE∥BC得出△ADE∽△ABC，再根据AC＝10以及△ADE与△ABC的相似比为，即可求出AE．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵△ADE与△ABC的相似比为，∴＝，∵AC＝10，∴AE＝5．故答案为：5．考向三：相似三角形的判定一．相似三角形的判定方法：判定方法1·平行∵DE∥BC∴△ABC∽△ADE判定方法2·“AA”∵∠A=∠A`，∠C=∠C` ∴△ABC∽△A，B，C，二．判定三角形相似的思路：（1）有平行截线——用平行线的性质，找等角 （2）有一对等角，找⎩⎨⎧该角的两边对应成比例另一对等角 （3）有两边对应成比例，找夹角相等（4）直角三角形，找⎩⎨⎧例直角边、斜边对应成比一对锐角相等 （5）等腰三角形，找⎩⎨⎧底边和腰长对应成比例一对底角相等 【同步练习】1．如图，在△ABC 纸片中，∠A ＝76°，∠B ＝34°．将△ABC 纸片沿某处剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（ ） A ．①②B ．②④C ．①③D ．③④【分析】根据相似三角形的判定定理逐个判断即可．【解答】解：图①中，∠B ＝∠B ，∠A ＝∠BDE ＝76°，所以△BDE 和△ABC 相似；图②中，∠B ＝∠B ，不符合相似三角形的判定，不能推出△BCD 和△ABC 相似；判定方法3·“SAS ”∵````C B BCB A AB =，∠B=∠B ∴△ABC ∽△A ，B ，C ， 判定方法4·“SSS ”∵``````C A ACC B BC B A AB == ∴△ABC ∽△A ，B ，C ，图③中，∠C＝∠C，∠CED＝∠B，所以△CDE和△CAB相似；图④中，∠C＝∠C，不符合相似三角形的判定，不能推出△CDE和△ABC相似；所以阴影三角形与原三角形相似的有①③，故选：C．2．下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．＝D．AB2＝AD•AC【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．【解答】解：A、∵∠ABD＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；B、∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；C、不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意；D、∵AB2＝AD•AC，∴，∠A＝∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意．故选：C．3．如图，在下列四个条件：①∠B＝∠C，②∠ADB＝∠AEC，③AD：AC＝AE：AB，④PE：PD＝PB：PC 中，随机抽取一个能使△BPE∽△CPD的概率是（）A．0.25B．0.5C．0.75D．1【分析】根据相似三角形的判定方法判断即可．【解答】解：由题意得：∠DPC＝∠EPB，①∠B＝∠C，根据两角相等的两个三角形相似可得：△BPE∽△CPD，②∵∠ADB＝∠AEC，∴∠PDC ＝∠PEB ，所以，根据两角相等的两个三角形相似可得：△BPE ∽△CPD ， ③∵AD ：AC ＝AE ：AB ，∠A ＝∠A ， ∴△ADB ∽△AEC ， ∴∠B ＝∠C ，所以，根据两角相等的两个三角形相似可得：△BPE ∽△CPD ，④PE ：PD ＝PB ：PC ，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得：△BPE ∽△CPD ， ∴在上列四个条件中，随机抽取一个能使△BPE ∽△CPD 的概率是：1， 故选：D ．4．如图，在△ABC 中，AB ＝12，BC ＝15，D 为BC 上一点，且BD ＝BC ，在AB 边上取一点E ，使以B ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则BE＝ ．【分析】根据相似三角形对应边成比例得出或，再代值计算即可．【解答】解：∵△BDE ∽△BCA 或△BDE ∽△BAC ， ∴或，∵BD ＝BC ，BC ＝15， ∴BD ＝5， ∵AB ＝12， ∴或， 解得：BE ＝4或． 故答案为：4或．考向四：相似三角形的基本图形 一、A 字图及其变型“斜A 型”当∠ADE=∠ACB 时 △ADE ∽△ACB 性质：BCDEAB AE AC AD ==当DE ∥BC 时 △ADE ∽△ABC 性质：BCDEACAE ABAD ==①当∠A=∠C 时 △AJB ∽△CJD 性质：JDJBJC JA CDAB ==变型☆：斜A 型在圆中的应用： 如图可得：△PAB ∽△PCD二、8字图及其变型“蝴蝶型”变型三、一般母子型：联系应用：切割线定理：如图，PB 为圆O 切线，B 为切点，则：△PAB ∽△PBC得：四、一线三等角：同侧型（通常以等腰三角形或者等边三角形为背景）当AB ∥CD 时 △AOB ∽△DOC性质：OCOBOD OA CD AB ==当∠ABD=∠ACB 时 △ABD ∽△ACB 性质：ACAD AB •=2 PC PA PB •=2其中： ∠A 是公共角 AB 是公共边 BD 与BC 是对应边异侧型五、手拉手相似模型：模型名称几何模型图形特点具有性质相似型手拉手△ABC∽△ADEA、D、E逆时针A、B、C逆时针连结BD、CE①△ABD∽△ACE②△AOB∽△HOC③旋转角相等④A、B、C、H四点共圆“反向”相似型手拉手△ABC∽△ADEA、D、E顺时针A、B、C逆时针A、D、E`逆时针作△ADE关于AD对称的△ADE`性质同上①②③【同步练习】1．如图，已知，DE∥BC，AD：DB＝1：2，那么下列结论中，正确的是（）A．DE：BC＝1：2B．AE：AC＝1：3C．AD：AE＝1：2D．S△ADE：S四边形BDEC＝1：4【分析】利用平行线分线段成比例定理，比例的性质和相似三角形的性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论．【解答】解：∵AD：DB＝1：2，∴．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴．∴A选项的结论错误；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴．∴B选项的结论正确；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴．∴C选项的结论错误；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴．设S△ADE＝k，则S△ABC＝9k，∴S四边形BDEC＝S△ABC﹣S△ADE＝8k，∴．∴D选项的结论错误．综上所述，正确的结论是B，故选：B．2．如图，在矩形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，DE⊥EF，EF⊥FG，BE＝3，BF＝2，FC＝6，则DG的长是（）A．4B．C．D．5【分析】由矩形的性质可求出∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，证明△EFB∽△FGC，由相似三角形的性质得出，求出CG＝4，同理可得出△DAE∽△EBF，由相似三角形的性质求出AE的长，则可求出答案．【解答】解：∵EF⊥FG，∴∠EFB+∠GFC＝90°，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，∴∠GFC+∠FGC＝90°，∴∠EFB＝∠FGC，∴△EFB∽△FGC，∴，∵BE＝3，BF＝2，FC＝6，∴，∴CG＝4，同理可得△DAE∽△EBF，∴，∴，∴AE＝，∴BA＝AE+BE＝+3＝，∴DG＝CD﹣CG＝﹣4＝．故选：B．3．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转α得到△DEC，此时点D落在边AB上，且DE垂直平分BC，则的值是（）A．B．C．D．【分析】根据旋转的性质和线段垂直平分线的性质证明△DCF∽△DEC，对应边成比例即可解决问题．【解答】解：如图，设DE与BC交于点F，由旋转可知：CA＝CD，AB＝DE，BC＝EC，∠B＝∠E，∵DE垂直平分BC，∴DF⊥BC，DC＝DB，CF＝BF＝BC＝EC，∴∠DCB＝∠B＝∠E，∵∠DCB+∠FDC＝90°，∴∠E+∠FDC＝90°，∴∠DCE＝90°，∴△DCF∽△DEC，∴＝＝，∴＝．故选：B．4．如图，已知在△ABC中，点D在边AB上，那么下列条件中不能判定△ABC∼△ACD的是（）A．B．AC2＝AD•AB C．∠B＝∠ACD D．∠ADC＝∠ACB【分析】△ABC和△ACD有公共角，然后根据相似三角形的判定方法对各选项进行判断．【解答】解：∵∠DAC＝∠CAB，∴当∠ACD＝∠B或∠ADC＝∠ACB，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△ACD∽△ABC；当，即AC2＝AD•AB时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断△ACD∽△ABC．故选：A．5．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，若AE＝3，ED＝5，则的值为．【分析】利用平行线的性质判定△ABE∽△DCE，利用相似三角形的性质可得结论．【解答】解：∵AB∥CD，∴△ABE∽△DCE．∴．∵AE＝3，ED＝5，∴＝．故答案为：．1．已知，则的值是（）A．B．C．D．【分析】设＝k（k≠0），得出a＝13k，b＝5k，再代入要求的式子进行计算即可求出答案．【解答】解：设＝k（k≠0），则a＝13k，b＝5k，∴＝＝；故选：D．2．如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠A，AC＝6，BC＝4，所以AB长为（）A．2B．C．D．4【分析】将∠ABC三等分，与△ABC外接圆相交，交点分别为：E与F，利用托勒密定理列出方程组，求解即可解决问题．【解答】解：将∠ABC三等分，与△ABC外接圆相交，交点分别为：E与F，如图所示：圆上依次为ABCEF，记BE＝m，AB＝b，则利用托勒密定理有：，可得：，即，∴b＝，故选：B．3．如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F是AD的中点，FE交AC于O点，交CB的延长线于G点，那么S△AOF：S△COG＝（）A．1：4B．1：9C．1：16D．1：25【分析】根据平行四边形的性质求出AD＝BC，AD∥BC，推出△AFE∽△BGE，△AFO∽△CGO，再根据相似三角形的性质得出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵E为AB的中点，F为AD的中点，∴AE＝BE，AF＝AD＝BC，∵AD∥BC，∴△AFE∽△BGE，∴，∵AE＝BE，∴AF＝BG＝BC，∴＝∵AD∥BC，∴△AFO∽△CGO，∴＝（）2＝，即S△AOF：S△COG＝1：9，故选：B．4．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据平行线分线段成比例性质进行解答便可．【解答】解：∵EF∥BC，∴，∵EG∥AB，∴，∴，故选：A．5．如图，P为平行四边形ABCD的边AD上的一点，E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△P AB 的面积分别为S，S1，S2．若S＝3，则S1+S2的值为（）A．24B．12C．6D．3【分析】过P作PQ平行于DC，由DC与AB平行，得到PQ平行于AB，可得出四边形PQCD与ABQP 都为平行四边形，进而确定出△PDC与△PCQ面积相等，△PQB与△ABP面积相等，再由EF为△BPC 的中位线，利用中位线定理得到EF为BC的一半，且EF平行于BC，得出△PEF与△PBC相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，求出△PBC的面积，而△PBC面积＝△CPQ面积+△PBQ面积，即为△PDC面积+△P AB面积，即为平行四边形面积的一半，即可求出所求的面积．【解答】解：过P作PQ∥DC交BC于点Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，∴四边形PQCD与四边形APQB都为平行四边形，∴△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，∴S△PDC＝S△CQP，S△ABP＝S△QPB，∵EF为△PCB的中位线，∴EF∥BC，EF＝BC，∴△PEF∽△PBC，且相似比为1：2，∴S△PEF：S△PBC＝1：4，S△PEF＝3，∴S△PBC＝S△CQP+S△QPB＝S△PDC+S△ABP＝S1+S2＝12．故选：B．6．如图，在平行四边形ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，3AE＝2EB，连接DF．若S△AEF＝4，则S△ADF的值为（）A．6B．10C．15D．【分析】因为四边形ABCD是平行边形，所以AD∥BC，则△AEF∽△ABC，得＝＝，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ABC的面积为25，而△CDA≌△ABC，则△CDA的面积为25，根据等高三角形面积的比等于底的比即可求出△ADF的面积．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是平行边形，∴AD∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵3AE＝2EB，∴＝，∴＝＝，∴＝＝＝，∵S△AEF＝4，∴S△ABC＝＝＝25，∴CD＝AB，AD＝BC，AC＝CA，∴△CDA≌△ABC（SSS），∴S△CDA＝S△ABC＝25，∴S△ADF＝S△CDA＝×25＝10，∴S△ADF的值为10，故选：B．7．如图，平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果，那么＝．【分析】由平行四边形的对边相等可求得BC＝AD，BC∥AD，易证得△BEF∽△DAF，则，根据比例的性质即可得解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC；∵＝，∵AD∥BC，∴△BEF∽△DAF，∴，∴，∴＝＝．故答案为：．8．在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E是BC的中点，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F，连接CF、AC．（1）线段DF的长为；（2）若AC交DF于点M，则＝．【分析】（1）利用三角形面积相等，列出等式，求解即可；（2）延长DF交CB的延长线于K，利用相似三角形的性质求出KE，再利用平行线分线段成比例定理求解即可．【解答】解：（1）根据题意，画出下图：∵AB＝6，AD＝8，BE＝＝4，∴AE＝，∴S△ADE＝＝，S△ADE＝＝24，∴DF＝＝．（2）若AC交DF于点M，延长DF交BC延长线于点K，如图所示：∵∠KEF＝∠AEB，∠EFK＝∠ABE＝90°，∴△KEF∽△AEB，∴，∴，∴KE＝5，∴CK＝KE+EC＝9，∵AD∥CK，∴＝．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．（1）求证：BD•AD＝DE•AC．（2）若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．（3）在（2）的条件下，求cos∠BDE的值．【分析】（1）证明∠B＝∠C，∠DEB＝∠ADC＝90°，可证明△BDE∽△CAD即可解决问题；（2）利用面积法：•AD•BD＝•AB•DE求解即可；（3）可得出∠BDE＝∠BAD，则cos∠BDE＝cos∠BAD＝．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠B＝∠C，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC，∴△BDE∽△CAD．∴，∴BA•AD＝DE•CA；（2）∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，在Rt△ADB中，AD＝＝＝12，∵•AD•BD＝•AB•DE，∴DE＝．（3）∵∠ADB＝∠AED＝90°，∴∠BDE＝∠BAD，∴cos∠BDE＝cos∠BAD＝．10．已知：四边形ABCD中，AC＝AB＝20，点E为BC边上一点，BE≥CE，且DE＝DC，∠AED＝∠B，AC、DE相交于点F，cos∠B＝．（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）若BE＝18，求EF的长；（3）若∠DAE＝90°，求CE的长．【分析】（1）正确作出辅助线，找到对等关系，即可证明△ABE∽△ECF；（2）找到包含有要求解的边长有关系的三角形，利用勾股定理，求出AE的边长，再利用相似三角形，找到对应关系，即可求出EF的长；（3）在直角三角形内，根据给定的余弦值，找到对应边长，即可求出CE的长．【解答】（1）证明：如图所示：过点A作AH⊥BC于H，∵AB＝AC＝20，∴∠AED＝∠B，∴∠1+∠2＝180°﹣∠AED，∵∠3+∠2＝180°﹣∠B，∴∠1＝∠3，∴△ABE∽△ECF；（2）解：由（1）知，过点A作AH⊥BC于H，∵AB＝20，cos∠B＝，∴BH＝16，∵AB＝AC，∴BH＝CH＝16，∴BC＝32，∵BE＝18，∴EC＝14，在△ABH中，AH＝，HE＝BE﹣BH＝18﹣16＝2，∴AE＝，∵△ABE∽△ECF，∴，即，∴EF＝．（3）解：若∠DAE＝90°，则∠BAE＝90°，∵AB＝20，cos∠B＝，∴BE＝25，∴CE＝BC﹣BE＝32﹣25＝7．1.（2021·浙江衢州）图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE与地面平行，支撑杆AD，BC可绕连接点O转动，且OA＝OB，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆HD，点H是CD的中点，F A，EB均与地面垂直，测得F A＝54cm，EB＝45cm，AB＝48cm．（1）椅面CE的长度为cm．（2）如图3，椅子折叠时，连杆HD绕着支点H带动支撑杆AD，BC转动合拢，椅面和连杆夹角∠CHD 的度数达到最小值30°时，A，B两点间的距离为cm（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）【分析】（1）由平行线的性质可得∠ECB＝∠ABF，由锐角三角函数可得，即可求解；（2）如图2，延长AD，BE交于点N，由“ASA”可证△ABF≌△BAN，可得BN＝AF，可求NE的长，由锐角三角函数可求DE的长，即可求DH的长，如图3，连接CD，过点H作HP⊥CD于P，由锐角三角函数和等腰三角形的性质，可求DC的长，通过相似三角形的性质可求解．【解答】解：（1）∵CE∥AB，∴∠ECB＝∠ABF，∴tan∠ECB＝tan∠ABF，∴，∴，∴CE＝40（cm），故答案为：40；（2）如图2，延长AD，BE交于点N，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，在△ABF和△BAN中，，∴△ABF≌△BAN（ASA），∴BN＝AF＝54（cm），∴EN＝9（cm），∵tan N＝，∴＝，∴DE＝8（cm），∴CD＝32（cm），∵点H是CD的中点，∴CH＝DH＝16（cm），∵CD∥AB，∴△AOB∽△DOC，∴＝＝＝，如图3，连接CD，过点H作HP⊥CD于P，∵HC＝HD，HP⊥CD，∴∠PHD＝∠CHD＝15°，CP＝DP，∵sin∠DHP＝＝sin15°≈0.26，∴PD≈16×0.26＝4.16（cm），∴CD＝2PD＝8.32（cm），∵CD∥AB，∴△AOB∽△DOC，∴，∴，∴AB＝12.48≈12.5（cm），故答案为：12.5．2.（2021·浙江宁波）【证明体验】（1）如图1，AD为△ABC的角平分线，∠ADC＝60°，点E在AB上，AE＝AC．求证：DE平分∠ADB．【思考探究】（2）如图2，在（1）的条件下，F为AB上一点，连结FC交AD于点G．若FB＝FC，DG＝2，CD＝3，求BD的长．【拓展延伸】（3）如图3，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠BCA＝2∠DCA，点E在AC上，∠EDC＝∠ABC．若BC＝5，CD＝2，AD＝2AE，求AC的长．【分析】（1）由△EAD≌△CAD得∠ADE＝∠ADC＝60°，因而∠BDE＝60°，所以DE平分∠ADB；（2）先证明△BDE∽△CDG，其中CD＝ED，再由相似三角形的对应边成比例求出BD的长；（3）根据角平分线的特点，在AB上截取AF＝AD，连结CF，构造全等三角形和相似三角形，由相似三角形的性质求出AC的长．【解答】（1）证明：如图1，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAD，∵AE＝AC，AD＝AD，∴△EAD≌△CAD（SAS），∴∠ADE＝∠ADC＝60°，∵∠BDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠BDE＝∠ADE，∴DE平分∠ADB．（2）如图2，∵FB＝FC，∴∠EBD＝∠GCD；∵∠BDE＝∠CDG＝60°，∴△BDE∽△CDG，∴；∵△EAD≌△CAD，∴DE＝CD＝3，∵DG＝2，∴BD＝＝＝.（3）如图3，在AB上取一点F，使AF＝AD，连结CF．∵AC平分∠BAD，∴∠F AC＝∠DAC，∵AC＝AC，∴△AFC≌△ADC（SAS），∴CF＝CD，∠FCA＝∠DCA，∠AFC＝∠ADC，∵∠FCA+∠BCF＝∠BCA＝2∠DCA，∴∠DCA＝∠BCF，即∠DCE＝∠BCF，∵∠EDC＝∠ABC，即∠EDC＝∠FBC，∴△DCE∽△BCF，∴，∠DEC＝∠BFC，∵BC＝5，CF＝CD＝2，∴CE＝＝＝4；∵∠AED+∠DEC＝180°，∠AFC+∠BFC＝180°，∴∠AED＝∠AFC＝∠ADC，∵∠EAD＝∠DAC（公共角），∴△EAD∽△DAC，∴＝，∴AC＝2AD，AD＝2AE，∴AC＝4AE＝CE＝×4＝．3.（2021·浙江杭州）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连接BG．（1）求证：△ABG∽△AFC．（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．（3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD ＝∠CBE，求证：BG2＝GE•GD．【分析】（1）根据∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，知∠BAC＝∠F AC，由圆周角定理知∠G＝∠C，即可证△ABG∽△AFC；（2）由（1）知＝，由AC＝AF得AG＝AB，即可计算FG的长度；（3）先证△DGB∽△BGE，得出线段比例关系，即可得证BG2＝GE•GD．【解答】（1）证明：∵AG平分∠BAC，∴∠BAG＝∠F AC，又∵∠G＝∠C，∴△ABG∽△AFC；（2）解：由（1）知，△ABG∽△AFC，∴＝，∵AC＝AF＝b，∴AB＝AG＝a，∴FG＝AG﹣AF＝a﹣b；（3）证明：∵∠CAG＝∠CBG，∠BAG＝∠CAG，∴∠BAG＝∠CBG，∵∠ABD＝∠CBE，∴∠BDG＝∠BAG+∠ABD＝∠CBG+∠CBE＝∠EBG，又∵∠DGB＝∠BGE，∴△DGB∽△BGE，∴＝，∴BG2＝GE•GD．4.（2021·浙江金华）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣，0），点B在直线l：y＝x上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C．（1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D．①若BA＝BO，求证：CD＝CO．②若∠CBO＝45°，求四边形ABOC的面积．（2）是否存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）①由BC⊥AB，CO⊥BO，可得∠BAD+∠ADB＝∠COD+∠DOB＝90°，而根据已知有∠BAD＝∠DOB，故∠ADB＝∠COD，从而可得∠COD＝∠CDO，CD＝CO；②过A作AM⊥OB于M，过M作MN⊥y轴于N，设M（m，m），可得tan∠OMN＝tan∠AOM＝，即＝，设AM＝3n，则OM＝8n，Rt△AOM中，AM2+OM2＝OA2，可求出AM＝3，OM＝8，由∠CBO＝45°可知△BOC是等腰直角三角形，△ABM是等腰直角三角形，从而有AM＝BM＝3，BO＝CO ＝OM﹣BM＝5，AB＝AM＝3，BC＝BO＝5，即可求出S四边形ABOC＝S△ABC+S△BOC＝；（2）（一）过A作AM⊥OB于M，当B在线段OM或OM延长线上时，设OB＝x，则BM＝|8﹣x|，AB ＝，由△AMB∽△BOC，＝，即＝，得OC＝，BC＝＝，以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，分两种情况：①若＝，OB＝4；②若＝，OB ＝4+或OB＝4﹣或OB＝9；（二）当B在线段MO延长线上时，设OB＝x，则BM＝8+x，AB＝，由△AMB∽△BOC，＝，即＝，得OC＝•（8+x），以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，需满足＝，即＝，可得OB＝1．【解答】（1）①证明：∵BC⊥AB，CO⊥BO，∴∠ABC＝∠BOC＝90°，∴∠BAD+∠ADB＝∠COD+∠DOB＝90°，∵BA＝BO，∴∠BAD＝∠DOB，∴∠ADB＝∠COD，∵∠ADB＝∠CDO，∴∠COD＝∠CDO，∴CD＝CO；②解：过A作AM⊥OB于M，过M作MN⊥y轴于N，如图：∵M在直线l：y＝x上，设M（m，m），∴MN＝|m|＝﹣m，ON＝|m|＝﹣m，Rt△MON中，tan∠OMN＝＝，而OA∥MN，∴∠AOM＝∠OMN，∴tan∠AOM＝，即＝，设AM＝3n，则OM＝8n，Rt△AOM中，AM2+OM2＝OA2，又A的坐标为（﹣，0），∴OA＝，∴（3n）2+（8n）2＝（）2，解得n＝1（n＝﹣1舍去），∴AM＝3，OM＝8，∵∠CBO＝45°，CO⊥BO，∴△BOC是等腰直角三角形，∵BC⊥AB，∠CBO＝45°，∴∠ABM＝45°，∵AM⊥OB，∴△ABM是等腰直角三角形，∴AM＝BM＝3，BO＝CO＝OM﹣BM＝5，∴等腰直角三角形△ABM中，AB＝AM＝3，等腰直角三角形△BOC中，BC＝BO＝5，∴S△ABC＝AB•BC＝15，S△BOC＝BO•CO＝，∴S四边形ABOC＝S△ABC+S△BOC＝；（2）解：存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，理由如下：（一）过A作AM⊥OB于M，当B在线段OM或OM延长线上时，如图：由（1）②可知：AM＝3，OM＝8，设OB＝x，则BM＝|8﹣x|，AB＝，∵CO⊥BO，AM⊥BO，AB⊥BC，∴∠AMB＝∠BOC＝90°，∠ABM＝90°﹣∠OBC＝∠BCO，∴△AMB∽△BOC，∴＝，即＝，∴OC＝，Rt△BOC中，BC＝＝，∵∠ABC＝∠BOC＝90°，∴以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，分两种情况：①若＝，则＝，解得x＝4，∴此时OB＝4；②若＝，则＝，解得x1＝4+，x2＝4﹣，x3＝9，x4＝﹣1（舍去），∴OB＝4+或OB＝4﹣或OB＝9；（二）当B在线段MO延长线上时，如图：由（1）②可知：AM＝3，OM＝8，设OB＝x，则BM＝8+x，AB＝，∵CO⊥BO，AM⊥BO，AB⊥BC，∴∠AMB＝∠BOC＝90°，∠ABM＝90°﹣∠OBC＝∠BCO，∴△AMB∽△BOC，∴＝，即＝，∴OC＝•（8+x），Rt△BOC中，BC＝＝•，∵∠ABC＝∠BOC＝90°，∴以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，需满足＝，即＝，解得x1＝﹣9（舍去），x2＝1，∴OB＝1，综上所述，以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，则OB的长度为：4或4+或4﹣或9或1；1．（2021•瓯海区模拟）若＝，则的值是（）A．3B．C．D．2【分析】根据比例的性质求出b＝2a，再代入求出答案即可．【解答】解：∵＝，∴b＝2a，∴＝＝＝，故选：C．2．（2021•下城区校级四模）在比例尺为1：10000的地图上，相距4cm的A、B两地的实际距离是（）A．400m B．400dm C．400cm D．400km【分析】设AB的实际距离为xcm，根据比例尺的定义得到4：x＝1：10000，利用比例的性质求得x的值，注意单位统一．【解答】解：设AB的实际距离为xcm，∵比例尺为1：10000，∴4：x＝1：10000，∴x＝40000cm＝400m．故选：A．3．（2021•温岭市一模）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，则BC：CE＝（）A．3：5B．1：3C．5：3D．2：3【分析】直接根据平行线分线段成比例定理求解．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝＝＝．故选：A．4．（2021•拱墅区二模）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC、AB上一点，且AF＝BE，AE与DF 交于点G，连接CG．若CG＝BC，则AF：FB的比为（）A．1：1B．1：2C．1：3D．1：4【分析】作CH⊥DF于点H，证明△AGD≌△DHC，可得AG＝DH＝GH，tan∠ADG＝＝．由此可解决此问题．【解答】解：作CH⊥DF于点H，如图所示．在△ADF和△BAE中，，∴△ADF≌△BAE（SAS）．∴∠ADF＝∠BAE，又∠BAE+∠GAD＝90°，∴∠ADF+∠GAD＝90°，即∠AGD＝90°．由题意可得∠ADG+∠CDG＝90°，∠HDC+∠CDG＝90°，．∴∠ADG＝∠HDC．在△AGD和△DHC中，，∴△AGD≌△DHC（AAS）．∴DH＝AG．又CG＝BC，BC＝DC，∴CG＝DC．由等腰三角形三线合一的性质可得GH＝DH，∴AG＝DH＝GH．∴tan∠ADG＝．又tan∠ADF＝＝，∴AF＝AB．即F为AB中点，∴AF：FB＝1：1．故选：A．5．（2021•宁波模拟）如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝2，则的值为（）A．B．C．2D．3【分析】根据平行线分线段成比例定理定理列出比例式，计算即可．【解答】解：∵＝2，∴＝，∵DE∥AB，∴＝＝，故选：B．6．（2021•丽水模拟）如图，已知△ABC∽△BDC，其中AC＝4，CD＝2，则BC＝（）A．2B．C．D．4【分析】直接利用相似三角形的性质得出BC2＝AC•CD，进而得出答案．【解答】解：∵△ABC∽△BDC，∴＝，∵AC＝4，CD＝2，∴BC2＝AC•CD＝4×2＝8，∴BC＝2．故选：B．7．（2021•宁波模拟）如图，△ABC的两条中线BE，CD交于点O，则下列结论不正确的是（）A．＝B．＝C．△ADE∽△ABC D．S△DOE：S△BOC＝1：2【分析】根据三角形中位线定理得到DE＝BC，DE∥BC，根据相似三角形的性质进行计算，判断即可．【解答】解：∵AD＝DB，AE＝EC，∴DE＝BC，DE∥BC，∴＝，A选项结论正确，不符合题意；∵DE∥BC，∴＝，B选项结论正确，不符合题意；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，C选项结论正确，不符合题意；∵DE∥BC，∴△DOE∽△COB，∴S△DOE：S△COB＝1：4，D选项结论错误，符合题意；故选：D．8．（2021•西湖区校级二模）如图，正六边形ABCDEF外作正方形DEGH，连接AH交DE于点O，则等于（）A．3B．C．2D．【分析】连接BD，如图所示：由正六边形和正方形的性质得：B、D、H三点共线，设正六边形的边长为a，则AB＝BC＝CD＝DE＝a，解直角三角形求出BD，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．【解答】解：连接BD，如图所示：由正六边形和正方形的性质得：B、D、H三点共线，设正六边形的边长为a，则AB＝BC＝CD＝DE＝a，∵在△BCD中，BC＝CD＝a，∠BCD＝120°，∴BD＝a．∵OD∥AB，∴＝＝＝，故选：B．9．（2021•拱墅区二模）黄金分割比符合人的视觉习惯，在人体躯干和身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618越给人以美感．张女士身高165cm，若她下半身的长度（脚底到肚脐的高度）与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应该选择约厘米的高跟鞋看起来更美．（结果保留整数）【分析】根据黄金分割定义：下半身长与全身的比等于0.618即可求解．【解答】解：根据已知条件可知：下半身长是165×0.6＝99（cm），设需要穿的高跟鞋为ycm，则根据黄金分割定义，得＝0.618，解得：y≈8，经检验y≈8是原方程的根，答：她应该选择大约8cm的高跟鞋．故答案为8．10．（2021•金东区校级模拟）如图，已知直角坐标系中四点A（﹣2，4）、C（2，﹣3），分别过A、C作AB、CD垂直于x轴于B、D．设P是x轴上的点，且P A、PB、AB所围成的三角形与PC、PD、CD所围成的三角形相似，请写出所有符合上述条件的点P的坐标是．【分析】需要分情况分析，当点P在AB左边，在AB与CD之间，在CD的右边，通过相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例即可求得．【解答】解：设OP＝x（x＞0），分三种情况：一、若点P在AB的左边，有两种可能：①此时△ABP∽△PDC，则PB：CD＝AB：PD，则（x﹣2）：3＝4：（x+2），解得x＝4，∴点P的坐标为（﹣4，0）；②若△ABP∽△CDP，则AB：CD＝PB：PD，则（﹣x﹣2）：（2﹣x）＝4：3，解得：x＝14，与假设在B点左边矛盾，舍去．二、若点P在AB与CD之间，有两种可能：①若△ABP∽△CDP，则AB：CD＝BP：PD，∴4：3＝（x+2）：（2﹣x），解得：x＝，∴点P的坐标为（，0）；②若△ABP∽△PDC，则AB：PD＝BP：CD，∴4：（2﹣x）＝（x+2）：3，方程无解；三、若点P在CD的右边，有两种可能：①若△ABP∽△CDP，则AB：CD＝BP：PD，∴4：3＝（2+x）：（x﹣2），∴x＝14，∴点P的坐标为（14，0），②若△ABP∽△PDC，则AB：PD＝BP：CD，∴4：（x﹣2）＝（x+2）：3，∴x＝4，∴点P的坐标为（4，0）；∴点P的坐标为（，0）、（14，0）、（4，0）、（﹣4，0）．故答案为：（，0）、（14，0）、（4，0）、（﹣4，0）．11．（2021•宁波模拟）如图，▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD＝∠ACB，G是线段OD上一点，∠DGC﹣∠DCG＝90°，tan∠DCG＝，则的值为．【分析】由锐角三角函数可设GF＝a，CF＝2a，由“AAS”可证△GCE≌△GCF，可得CE＝CF＝2a，GF＝EG＝a，通过证明△GFD∽△CED，可求DC＝a，DE＝a，通过证明△DCO∽△ACD，可得，由勾股定理可求OE，即可求解．【解答】解：如图，过点C作CE⊥BD于E，过G作GF⊥CD于F，∵∠DGC＝∠CEG+∠GCE＝90°+∠GCE，∴∠DGC﹣∠GCE＝90°，又∵∠DGC﹣∠DCG＝90°，∴∠GCD＝∠ECG，∵tan∠DCG＝＝，∴设GF＝a，CF＝2a，在△GCE和GCF中，，∴△GCE≌△GCF（AAS），∴CE＝CF＝2a，GF＝EG＝a，∵∠GDF＝∠EDC，∠GFD＝∠CED＝90°，∴△GFD∽△CED，∴，∴＝＝，∴DF＝a，DG＝a，∴DC＝a，DE＝a，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AO＝CO，BO＝DO，∴∠ABD＝∠BDC，∠DAC＝∠ACB，∵∠ABD＝∠ACB，∴∠BDC＝∠DAC，又∵∠ACD＝∠DCO，∴△DCO∽△ACD，∴，∴DC2＝2OC2，∴OC2＝a2＝a2，∴OE＝＝a，∴OD＝DE+OE＝a＝OB，∴＝，故答案为：．12．（2021•西湖区二模）如图，在矩形ABCD中，E是CD上一点，AE＝AB，作BF⊥AE．（1）求证：△ADE≌△BF A；（2）连接BE，若△BCE与△ADE相似，求．【分析】（1）根据矩形的性质得出∠D＝∠DAB＝90°，求出∠DAE+∠F AB＝90°，∠FBA+∠F AB＝90°，求出∠D＝∠AFB，∠DAE＝∠FBA，再根据全等三角形的判定推出即可；（2）根据矩形的性质得出∠C＝∠D＝90°，DC∥AB，根据平行线的性质得出∠CEB＝∠ABE，设∠CEB＝∠ABE＝x°，根据等腰三角形的性质求出∠AEB＝∠EBA＝x°，根据相似三角形的性质得出两种情况：①∠DEA＝∠CEB＝x°，根据∠DEA+∠AEB+∠CEB＝180°得出x+x+x＝180，求出x，再解直角三角形求出AE和AD，再求出答案即可；②∠DEA＝∠EBC，设∠DEA＝∠EBC＝y°，求出∠DEA+∠AEB+∠CEB＝（y+2x）°＝180°，∠EBC+∠CEB＝（y+x）°＝90°，求出x，再得出答案即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠DAB＝90°，∴∠DAE+∠F AB＝90°，∵BF⊥AE，∴∠AFB＝90°，∴∠D＝∠AFB，∠FBA+∠F AB＝90°，∴∠DAE＝∠FBA，在△ADE和△BF A中，∴△ADE≌△BF A（AAS）；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，DC∥AB，∴∠CEB＝∠ABE，设∠CEB＝∠ABE＝x°，∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠EBA＝x°，当△BCE与△ADE相似时，有两种情况：①∠DEA＝∠CEB＝x°，∵∠DEA+∠AEB+∠CEB＝180°，∴x+x+x＝180，解得：x＝60，即∠DEA＝60°，∴∠DAE＝90°﹣60°＝30°，∴AE＝2DE，由勾股定理得：AD＝＝＝DE，∵AE＝AB，∴＝＝＝；②∠DEA＝∠EBC，设∠DEA＝∠EBC＝y°，∵∠CEB＝∠EBA＝∠AEB＝x°，则∠DEA+∠AEB+∠CEB＝y°+x°+x°＝（y+2x）°＝180°，在Rt△BCE中，∠EBC+∠CEB＝y°+x°＝（y+x）°＝90°，即，解得：x＝90°，即∠CEB＝90°，此时点E和点C重合，△BEC不存在，舍去；所以＝．13．（2021•拱墅区二模）如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC的中点，F是BC延长线上一点，∠F＝∠B．（1）若AB＝10，求FD的长；（2）若AC＝BC，求证：△CDE∽△DFE．【分析】（1）首先利用中位线定理得到DE∥AB以及DE的长，再证明∠DEC＝∠F即可；（2）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B，进而求出∠CDE＝∠F并结合∠CED＝∠DEF即可证明△CDE∽△DFE．【解答】解：（1）∵D、E分别是AC、BC的中点，∴DE∥AB，DE＝AB＝5，∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠B，而∠F＝∠B，∴∠DEC＝∠F，∴DF＝DE＝5；（2）∵AC＝BC，∴∠A＝∠B，∵∠CDE＝∠A，∠CED＝∠B，∴∠CDE＝∠B，∵∠B＝∠F，∴∠CDE＝∠F，∵∠CED＝∠DEF，∴△CDE∽△DFE．14．（2021•宁波模拟）如图，矩形ABCD中，E是边AD的中点，CE与BD交于点P，将△ABE沿BE翻折，点A的对应点F刚好落在线段CP上．（1）求证：△EBC是等边三角形．（2）求的值．【分析】（1）根据矩形的性质证明△ABE≌△DCE（SAS），可得EB＝EC，∠AEB＝∠CED，由翻折可知：∠AEB＝∠FEB，进而可以解决问题；（2）证明△PDE∽△PBC，可得＝＝，所以＝，进而可以解决问题．【解答】（1）证明：∵E是边AD的中点，∴AE＝DE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠CDA＝90°，AB＝CD，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（SAS），∴EB＝EC，∠AEB＝∠CED，由翻折可知：∠AEB＝∠FEB，∴∠AEB＝∠FEB＝∠CED＝60°，∴△EBC是等边三角形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，。
相似三角形的应用-2022年中考数学一轮复习考点(浙江专用)(解析版)
考点15 相似三角形的应用【命题趋势】相似三角形的应用在中考中主要考察热点有：8字图、A字图等简单相似模型。
出题类型可以是选择填空这类小题，也可以是18~19这类解答题，难度通常不大，问题背景多以现实中的实物如树高、楼高、物体尺寸等为背景，提炼出数学模型，进而利用（或构造）简单相似模型求解长度等问题。
【中考考查重点】一、相似三角形在实际生活中的应用二、位似图形三、相似三角形与函数综合考向一：相似三角形在实际生活中的应用相似三角形在实际生活中的应用：（一）建模思想：建立相似三角形的模型（二）常见题目类型：1.利用投影、平行线、标杆等构造相似三角形求解2.测量底部可以到达的物体的高度3.测量底部不可以到达的物体的高度4.测量河的宽度【同步练习】1．如图，小明周末晚上陪父母在马路上散步，他由灯下A处前进4米到达B处时，测得影子BC长为1米，已知小明身高1.6米，他若继续往前走4米到达D处，此时影子DE长为（）A．1米B．2米C．3米D．4米【分析】依据△CBF∽△CAP，即可得到AP＝8，再依据△EDG∽△EAP，即可得到DE 长．【解答】解：由FB∥AP可得，△CBF∽△CAP，∴＝，即＝，解得AP＝8，由GD∥AP可得，△EDG∽△EAP，∴＝，即＝，解得ED＝2，故选：B．2．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD为（）A．2米B．3米C．米D．米【分析】由题意知：△ABE∽△CDE，得出对应边成比例即可得出CD．【解答】解：由题意知：AB∥CD，则∠BAE＝∠C，∠B＝∠CDE，∴△ABE∽△CDE，∴＝，∴＝，∴CD＝3米，故选：B．3．在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.5m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，它的影子QN＝1.8m，MN＝0.8m，木竿PQ的长度为．【分析】根据同一时刻物高与影长成正比列式求解即可．【解答】解：设木竿PQ长为xm，依题意得＝，解得x＝1.6，答：木竿PQ长度为1.6m，故答案为：1.6m．4．如图，有一块三角形余料，它的边BC＝100m，高线AH＝80m，要把它加工成矩形零件，使矩形的一边EF在BC上，其余两个顶点D、G分别在边AB、AC上，设矩形DEFG的一边长DE＝xm，矩形DEFG的面积为S．（1）矩形DEFG的另一边长DG是多少？（用关于x的代数式表示）（2）求S关于x的函数表达式和自变量x的取值范围．（3）当x为多少时，矩形DEFG的面积S有最大值？最大值是多少？【分析】（1）利用矩形的性质，DG∥EF，利用同位角相等，证△ADG∽△ABC，利用相似三角形的性质求解即可；（2）由（1）可知，DG＝（80﹣x），然后即可求出用x表示的矩形面积的关系式．（3）利用配方法求出最大值即可．【解答】解：（1）∵四边形DEFG是矩形，∴DG∥EF，∴∠ADG＝∠ABC，∠AGD＝∠ACB，∴△ADG∽△ABC，∴＝，∴＝，∴DG＝（80﹣x）（m）；（2）矩形面积S＝x•（80﹣x）＝﹣x2+100x（0＜x＜80）；（3）∵S＝﹣（x2﹣80x）＝﹣（x﹣40）2+2000，∵﹣＜0，∴x＝40时，S的值最大，最大值为2000．答：当x＝40时，S的值最大，最大值为2000m2．考向二：位似图形位似图形满足的条件：①所有经过对应点的直线都相交于同一点（该点叫做位似中心）；②这个交点到两个对应点的距离之比都相等（这个比值叫做位似比）【同步练习】1．如图，BC∥ED，下列说法不正确的是（）A．AE：AD是相似比B．点A是两个三角形的位似中心C．B与D、C与E是对应位似点D．两个三角形是位似图形【分析】根据位似变换的概念和性质判断即可．【解答】解：A、当BC∥ED时，△AED∽△ACB，AE：AC是相似比，本选项说法不正确，符合题意；B、点A是两个三角形的位似中心，本选项说法正确，不符合题意；C、B与D、C与E是对应位似点，本选项说法正确，不符合题意；D、两个三角形是位似图形，本选项说法正确，不符合题意；故选：A．2．如图，已知△ABC和△ADE是以点A为位似中心的位似图形，且△ABC和△ADE的周长比为2：1，则△ABC和△ADE的位似比是（）A．1：4B．4：1C．1：2D．2：1【分析】利用位似的性质求解．【解答】解：∵△ABC和△ADE是以点A为位似中心的位似图形，∴△ABC∽△ADE，位似比等于相似比，∵△ABC和△ADE的周长比为2：1，∴△ABC和△ADE的相似比为2：1，∴△ABC和△ADE的位似比是2：1．故选：D．3．如图，在网格图中，以O为位似中心，把△ABC缩小到原来的，则点A的对应点为（）A．D点B．E点C．D点或G点D．D点或F点【分析】作射线AO，根据位似变换的概念判断即可．【解答】解：作射线AO，由图可知，点D和点G都在射线AO上，且＝，＝，则点A的对应点为D点或G点，故选：C．4．如图，在7×4方格纸中，点A，B，C都在格点上，用无刻度直尺作图．（1）在图1中的线段AC上找一个点E，使AE＝AC；（2）在图2中作一个格点△CDE，使△CDE与△ABC相似．【分析】（1）构造相似比为的相似三角形即可解决问题；（2）利用勾股定理的逆定理判断出∠ACB＝90°，从而解决问题．【解答】解：（1）如图，构造相似比为的相似三角形，则点E即为所求；（2）如图，∵BC2＝5，AC2＝20，AB2＝25，∴BC2+AC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，AC＝2BC，∴△CDE即为所求．5．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点为A（2，1），B （1，3），C（4，1），若△A1B1C1与△ABC是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1，且A1的坐标为（4，2）．（1）请在所给平面直角坐标系第一象限内画出△A1B1C1；（2）分别写出点B1、C1的坐标．【分析】（1）（2）利用点A和点A1的坐标特征确定位似比为2，然后把点B、C的横纵坐标都乘以2得到点B1、C1的坐标，然后描点即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1；（2）点B1的坐标为（2，6），点C1的坐标为（8，2）．考向三：相似三角形与函数综合【方法提炼】【同步练习】1．（2021•无棣县二模）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD＝BE＝5；②；③当0＜t≤5时，；④当秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（）A．①②③B．②③C．①③④D．②④【分析】据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P到达点E 时点Q到达点C，从而得到BC、BE的长度，再根据M、N是从5秒到7秒，可得ED 的长度，然后表示出AE的长度，根据勾股定理求出AB的长度，然后针对各小题分析解答即可．【解答】解：根据图（2）可得，当点P到达点E时，点Q到达点C，∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，∴BC＝BE＝5，∴AD＝BE＝5，故①小题正确；又∵从M到N的变化是2，∴ED＝2，∴AE＝AD﹣ED＝5﹣2＝3，相似三角形与函数的综合重点是利用相似三角形的性质，设置参数，构建对应函数模型，再利用函数的性质求解后续问题在Rt△ABE中，AB＝＝＝4，∴cos∠ABE＝＝，故②小题错误；过点P作PF⊥BC于点F，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠PBF，∴sin∠PBF＝sin∠AEB＝＝，∴PF＝PB sin∠PBF＝t，∴当0＜t≤5时，y＝BQ•PF＝t•t＝t2，故③小题正确；当t＝秒时，点P在CD上，此时，PD＝﹣BE﹣ED＝﹣5﹣2＝，PQ＝CD﹣PD＝4﹣＝，∵＝，＝＝，∴＝，又∵∠A＝∠Q＝90°，∴△ABE∽△QBP，故④小题正确．综上所述，正确的有①③④．故选：C．2．（2020•达州）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝6cm，CD＝2cm．P 为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接P A，过点P作PE⊥P A交射线CD于点E．聪聪根据学习函数的经验，对这个问题进行了研究：（1）通过推理，他发现△ABP∽△PCE，请你帮他完成证明．（2）利用几何画板，他改变BC的长度，运动点P，得到不同位置时，CE、BP的长度的对应值：当BC＝6cm时，得表1：BP/cm…12345…CE/cm…0.83 1.33 1.50 1.330.83…当BC＝8cm时，得表2：BP/cm…1234567…CE/cm… 1.17 2.00 2.50 2.67 2.50 2.00 1.17…这说明，点P在线段BC上运动时，要保证点E总在线段CD上，BC的长度应有一定的限制．①填空：根据函数的定义，我们可以确定，在BP和CE的长度这两个变量中，的长度为自变量，的长度为因变量；②设BC＝mcm，当点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围．【分析】（1）根据两角对应相等两三角形相似证明即可．（2）①根据函数的定义判断即可．②设BP＝xcm，CE＝ycm．利用相似三角形的性质构建二次函数，利用二次函数的性质求出y的最大值即可解决问题．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，∵∠B＝90°，∴∠B＝∠C＝90°，∵AP⊥PE，∴∠APE＝90°，∴∠APB+∠EPC＝90°，∵∠EPC+∠PEC＝90°，∴∠APB＝∠PEC，∴△ABP∽△PCE．（2）解：①根据函数的定义，我们可以确定，在BP和CE的长度这两个变量中，BP的长度为自变量，EC的长度为因变量，故答案为：BP，EC．②设BP＝xcm，CE＝ycm．∵△ABP∽△PCE，∴＝，∴＝，∴y＝﹣x2+mx＝﹣（x﹣m）2+，∵﹣＜0，∴x＝m时，y有最大值，∵点E在线段CD上，CD＝2cm，∴≤2，∴m≤4，∴0＜m≤4．1．如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5m时，标准视力表中最大的“”字高度为72.7mm，当测试距离为3m时，最大的“”字高度为（）A．121.17mm B．43.62mm C．29.08mm D．4.36mm【分析】直接利用平行线分线段成比例定理列比例式，代入可得结论．【解答】解：由题意得：CB∥DF，，∵AD＝3m，AB＝5m，BC＝72.7mm，，∴DF＝43.62（mm），故选：B．2．如图，点A，B都在格点上，若BC＝，则AC的长为（）A．B．C．2D．3【分析】根据相似三角形的判定和性质可以得到AB的长，然后由图可知AC＝AB﹣BC，然后代入数据计算即可．【解答】解：作CD⊥BD于点D，作AE⊥BD于点E，如右图所示，则CD∥AE，∴△BDC∽△BEA，∴，∴＝，解得BA＝2，∴AC＝BA﹣BC＝2﹣＝，故选：B．3．国旗法规定：所有国旗均为相似矩形，在下列四面国旗中，其中只有一面不符合标准，这面国旗是（）A．B．C．D．【分析】根据已知条件分别求出矩形的长与宽的比，即可得到结论．【解答】解：A、＝，B、＝，C、＝，D、＝，∵＝＝≠，∴B选项不符合标准，故选：B．4．如图，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心为点O，，△ABC的面积为9，则△A′B′C′面积为（）A．B．6C．4D．【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△A′B′C′，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答．【解答】解：根据题意知，△ABC∽△A′B′C′，∵，∴△ABC的面积：△A′B′C′面积＝9：4．又∵△ABC的面积为9，∴△A′B′C′面积为4．故选：C．5．如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：AA′＝2：5，则△ABC与△A′B′C′的周长比为（）A．2：3B．4：3C．2：9D．4：9【分析】根据题意求出OA：OA′＝2：3，根据相似三角形的性质求出AC：A′C′，根据相似三角形的性质计算即可．【解答】解：∵OA：AA′＝2：5，∴OA：OA′＝2：3，∵△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，∴AC∥A′C′，△ABC∽△A′B′C′，∴△AOC∽△A′OC′，∴AC：A′C′＝OA：OA′＝2：3，∴△ABC与△A′B′C′的周长比为2：3，故选：A．6．小明的身高为1.6m，某一时刻他在阳光下的影子长为2m，与他邻近的一棵树的影长为10m，则这棵树的高为m．【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个问题物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．【解答】解：设这棵树的高度为xm，根据相同时刻的物高与影长成比例，则可列比例为：，解得：x＝8．故答案为：8．7．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体AB的高为6cm，小孔O到物体和实像的水平距离BE、CE分别为8cm、6cm，则实像CD的高度为cm．【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到答案．【解答】解：∵AB∥CD，∴△OAB∽△OCD，∴，∴，∴CD＝4.5，答：实像CD的高度为4.5cm，故答案为：4.5．8．小丽想利用所学知识测量旗杆AB的高度，如图，小丽在自家窗边看见旗杆和住宅楼之间有一棵大树DE，小丽通过调整自己的位置，发现半蹲于窗边，眼睛位于C处时，恰好看到旗杆顶端A、大树顶端D在一条直线上，小丽用测距仪测得眼睛到大树和旗杆的水平距离CH、CG分别为7米、28米，眼睛到地面的距离CF为3.5米，已知大树DE的高度为7米，CG∥BF交AB于点G，AB⊥BF于点B，DE⊥BF于点E，交CG于点H，CF⊥BF于点F．求旗杆AB的高度．【分析】根据相似三角形的判定与性质得出比例式求解即可．【解答】解：由题意知BG＝HE＝CF＝3.5米，∴DH＝DE﹣CF＝7﹣3.5＝3.5（米），∵AB⊥BF，DE⊥BF，∴AG∥DH，∴△CDH∽△CAG，∴＝，即，∴AG＝14米，∴AB＝AG+GB＝14+3.5＝17.5（米），∴旗杆AB的高度为17.5米．9．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．（1）求证：△APQ∽△ABC；（2）若这个矩形的边PN：PQ＝1：2，则这个矩形的长、宽各是多少？【分析】（1）根据矩形的对边平行得到BC∥PQ，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”判定即可．（2）设宽为xmm，则长为2xmm，同（1）列出比例关系求解即可．【解答】解：（1）∵四边形PNQM为矩形，∴MN∥PQ，即PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC；（2）设边宽为xmm，则长为2xmm，∵四边形PNMQ为矩形，∴PQ∥BC，∵AD⊥BC，∴PQ⊥AD，∵PN：PQ＝1：2，∴PQ为长，PN为宽，∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∴＝，由题意知PQ＝2xmm，AD＝80mm，BC＝120mm，PN＝xmm，∴＝，解得x＝，2x＝．即长为mm，宽为mm．答：矩形的长mm，宽为mm．10．（2022•禅城区校级模拟）如图①，四边形ABCD是矩形，AB＝1，BC＝2，点E是线段BC上一动点（不与B、C两点重合），点F是线段BA延长线的一动点，连接DE，EF，DF，EF交AD于点G，设BE，AF＝y，已知y与x之间的函数关系式如图②所示，（1）图②中y与x的函数关系式为；（2）求证：△CDE∽△ADF；（3）当△DEG是等腰三角形时，求x的值．【分析】（1）利用待定系数法可得y与x的函数表达式．（2）利用两边成比例夹角相等证明△CDE∽△ADF即可．（3）分三种情况：①若DE＝DG，则∠DGE＝∠DEG，②若DE＝EG，如图①，作EH ∥CD，交AD于H，③若DG＝EG，则∠GDE＝∠GED，分别列方程计算可得结论．【解答】（1）解：设y＝kx+b，由图象得：当x＝1时，y＝2，当x＝0时，y＝4，代入得：，，∴y＝﹣2x+4（0＜x＜2）．故答案为：y＝﹣2x+4（0＜x＜2）．（2）证明：∵BE＝x，BC＝2∴CE＝2﹣x，∴＝＝，＝，∴＝，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠DAF＝90°，∴△CDE∽△ADF，∴∠ADF＝∠CDE．（3）解：假设存在x的值，使得△DEG是等腰三角形，①若DE＝DG，则∠DGE＝∠DEG，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°，∴∠DGE＝∠GEB，∴∠DEG＝∠BEG，在△DEF和△BEF中，，∴△DEF≌△BEF（AAS），∴DE＝BE＝x，CE＝2﹣x，在Rt△CDE中，由勾股定理得：1+（2﹣x）2＝x2，x＝．②若DE＝EG，如图①，作EH∥CD，交AD于H，∵AD∥BC，EH∥CD，∴四边形CDHE是平行四边形，∴∠C＝90°，∴四边形CDHE是矩形，∴EH＝CD＝1，DH＝CE＝2﹣x，EH⊥DG，∴HG＝DH＝2﹣x，∴AG＝2x﹣2，∵EH∥CD，DC∥AB，∴EH∥AF，∴△EHG∽△F AG，∴＝，∴＝，∴x1＝，x2＝（舍），经检验x＝是分式方程的解，∴x＝．③若DG＝EG，则∠GDE＝∠GED，∵AD∥BC，∴∠GDE＝∠DEC，∴∠GED＝∠DEC，∵∠C＝∠EDF＝90°，∴△CDE∽△DFE，∴＝，∵△CDE∽△ADF，∴＝＝，∴＝，∴2﹣x＝，∴x＝．综上，x＝或或．1.（2021·浙江绍兴）如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高PO＝5m，树影AC＝3m，树AB与路灯O的水平距离AP＝4.5m，则树的高度AB长是（）A．2m B．3m C．m D．m【分析】利用相似三角形的性质求解即可．【解答】解：∵AB∥OP，∴△CAB∽△CPO，∴，∴，∴AB＝2（m），故选：A．2.（2021·浙江嘉兴）如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们位似中心的坐标是．【分析】根据图示，对应点所在的直线都经过同一点，该点就是位似中心．【解答】解：如图，点G（4，2）即为所求的位似中心．故答案是：（4，2）．3.（2021·浙江温州）如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2：3，点A，B的对应点分别为点A′，B′．若AB＝6，则A′B′的长为（）A．8B．9C．10D．15【分析】根据位似图形的概念列出比例式，代入计算即可．【解答】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，位似比为2：3，AB＝6，∴＝，即＝，解得，A′B′＝9，故选：B．4.（2021·浙江金华）如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条BC上的点P处安装一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E．已知AB⊥BC，MN⊥BC，AB＝6.5，BP＝4，PD＝8．（1）ED的长为．（2）将木条BC绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到BC′（如图2），点P的对应点为P′，BC′与MN的交点为D′，从A点发出的光束经平面镜P′反射后，在MN上的光点为E′．若DD′＝5，则EE′的长为．【分析】（1）由题意可得，△ABP∽△EDP，则＝，进而可得出DE的长；（2）过点E′作∠E′FG＝∠E′D′F，过点E′作E′G⊥BC′于点G，易得△ABP′∽△E′FP′，由此可得＝，在Rt△BDD′中，由勾股定理可求出BD′的长，可求出∠BD′D的正切值，设P′F的长，分别表示E′F和E′D′及FG和GD′的长，再根据BD′＝13，可建立等式，可得结论．【解答】解：（1）如图，由题意可得，∠APB＝∠EPD，∠B＝∠EDP＝90°，∴△ABP∽△EDP，∴＝，∵AB＝6.5，BP＝4，PD＝8，∴＝，∴DE＝13；故答案为：13．（2）如图2，过点E′作∠E′FD′＝∠E′D′F，过点E′作E′G⊥BC′于点G，∴E′F＝E′D′，FG＝GD′，∵AB∥MN，∴∠ABD′+∠E′D′B＝180°，∴∠ABD′+∠E′FG＝180°，∵∠E′FB+∠E′FG＝180°，∴∠ABP′＝∠E′FP′，又∠AP′B＝∠E′P′F，∴△ABP′∽△E′FP′，∴＝即，＝，设P′F＝4m，则E′F＝6.5m，∴E′D′＝6.5m，在Rt△BDD′中，∠BDD′＝90°，DD′＝5，BD＝BP+PD＝12，由勾股定理可得，BD′＝13，∴cos∠BD′D＝，在Rt△E′GD′中，cos∠BD′D＝＝，∴GD′＝2.5m，∴FG＝GD′＝2.5m，∵BP′+P′F+FG+GD′＝13，∴4+4m+2.5m+2.5m＝13，解得m＝1，∴E′D′＝6.5，∴EE′＝DE+DD′﹣D′E′＝13+5﹣6.5＝11.5．故答案为：11.5．5.（2021·浙江湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一个动点，连结AO，AO的延长线交反比例函数y＝（k＞0，x＜0）的图象于点B，过点A作AE⊥y轴于点E．（1）如图1，过点B作BF⊥x轴，于点F，连接EF．①若k＝1，求证：四边形AEFO是平行四边形；②连结BE，若k＝4，求△BOE的面积．（2）如图2，过点E作EP∥AB，交反比例函数y＝（k＞0，x＜0）的图象于点P，连结OP．试探究：对于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积是否会发生变化？请说明理由．【分析】（1）①设点A的坐标为（a，），则当点k＝1时，点B的坐标为（﹣a，﹣），得出AE＝OF，AE∥OF，由平行四边形的判定可得出结论；②过点B作BD⊥y轴于点D，如图1，证明△AEO∽△BDO，由相似三角形的性质得出，则可得出答案；（2）过点P作PH⊥x轴于点H，PE与x轴交于点G，设点A的坐标为（a，），点P 的坐标为（b，），则AE＝a，OE＝，PH＝﹣，证明△AEO∽△GHP，由相似三角形的性质得出，解方程得出，由三角形面积公式可得出答案．【解答】（1）①证明：设点A的坐标为（a，），则当点k＝1时，点B的坐标为（﹣a，﹣），∴AE＝OF＝a，∵AE⊥y轴，∴AE∥OF，∴四边形AEFO是平行四边形；②解：过点B作BD⊥y轴于点D，如图1，∵AE⊥y轴，∴AE∥BD，∴△AEO∽△BDO，∴，∴当k＝4时，，即，∴S△BOE＝2S△AOE＝1；（2）不改变．理由如下：过点P作PH⊥x轴于点H，PE与x轴交于点G，设点A的坐标为（a，），点P的坐标为（b，），则AE＝a，OE＝，PH＝﹣，∵四边形AEGO是平行四边形，∴∠EAO＝∠EGO，AE＝OG，∵∠EGO＝∠PGH，∴∠EAO＝∠PGH，又∵∠PHG＝∠AEO，∴△AEO∽△GHP，∴，∵GH＝OH﹣OG＝﹣b﹣a，∴，∴﹣k＝0，解得，∵a，b异号，k＞0，∴，∴S△POE＝×OE×（﹣b）＝×（﹣b）＝﹣，∴对于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积不会发生变化．1．（2021•温州模拟）如图，在正六边形桌面中心正上方有一盏吊灯，在灯光下，桌面在水平地面的投影是一个面积为m2的正六边形，已知桌子的高度为0.75m，桌面边长为1m，则吊灯距地面的高度为（）A．2.25m B．2.3m C．2.35m D．2.4m【分析】首先根据正六边形的面积可得正六边形的边长，进而可通过构造相似三角形，由相似三角形性质求出．【解答】解：设正六边形的边长是xm，则x•x••6＝，解得x＝1.5，如图，依题意知DF＝FE＝0.5米，FG＝0.75米，CG＝0.75米，∵DE∥BC，∴△F AE∽△GAC，∴，即＝，解得：AF＝1.5，∴AG＝1.5+0.75＝2.25（m），答：吊灯距地面的高度为2.25m．故选：A．2．（2021•临海市一模）如图，为测量楼高AB，在适当位置竖立一根高2m的标杆MN，并在同一时刻分别测得其落在地面上的影长AC＝20m，MP＝2.5m，则楼高AB为（）A．15m B．16m C．18m D．20m【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．【解答】解：∵，即，∴楼高＝16米．故选：B．3．（2022•温州模拟）如图，在4×7的方格中，点A，B，C，D在格点上，线段CD是由线段AB位似放大得到，则它们的位似中心是（）A．点P1B．点P2C．点P3D．点P4【分析】延长CA、DB交于点P 1，根据位似中心的概念得到答案．【解答】解：延长CA、DB交于点P1，则点P1为位似中心，故选：A．4．（2021•嘉兴二模）如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点B的坐标为（﹣1，1），现以坐标原点O为位似中心，作与△ABC的位似比为的位似图形△A'B'C'，则B'的坐标为（）A．B．C．或D．或【分析】根据以原点为位似中心的对应点的坐标关系，把B点的横纵坐标都乘以或﹣得到B'的坐标．【解答】解：∵位似中心为坐标原点，作与△ABC的位似比为的位似图形△A'B'C'，而B的坐标为（﹣1，1），∴B'的坐标为（﹣，）或（，﹣）．故选：C．5．（2021•嘉善县一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（3，0），若△ABC与△DEF是位似图形，则的值是（）A．B．C．D．【分析】根据位似图形的概念得到AC∥DF，【解答】解：∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（3，0），∴OA＝1，OD＝3，即＝，∵△ABC与△DEF是位似图形，∴AC∥DF，∴△OAC∽△ODF，∴＝＝，故选：B．6．（2021•瑞安市一模）数学兴趣小组计划测量公路上路灯的高度AB，准备了标杆CD，EF及皮尺，按如图竖直放置标杆CD与EF．已知CD＝EF＝2米，DF＝2米，在路灯的照射下，标杆CD的顶端C在EF上留下的影子为G，标杆EF在地面上的影子是FH，测得FG＝0.5米，FH＝4米，则路灯的高度AB＝米．【分析】延长CG交FH于M，根据相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】解：如图，延长CG交FH于M，∵∠GMF＝∠CMD，∠GFM＝∠CDM＝90°，∴△GFM∽△CDM，∴，设FM为a米，则a＝（a+2）×，解得：a＝，设BD＝x米，AB＝y米，同理可得，△CMD∽△AMB，∴，，可得，，整理得：，解得：，经检验是分式方程组的解，∴AB＝5米．故答案为：5．7．（2022•鹿城区校级一模）如图，在8×8的网格中，△ABC是格点三角形，请分别在图1和图2中按要求作图．（1）在图1中以O为位似中心，作格点三角形△A1B1C1，使其与△ABC位似比为1：2．（2）在图2中作格点线段BM⊥AC．【分析】（1）连接OA，OB，OC，取OA，OB，OC的中点A1，B1，C1，连接A1B1，B1C1，C1A1即可；（2）利用数形结合的思想作出线段BM即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，线段BM即为所求．8．（2021•永嘉县校级模拟）已知一块等腰三角铁板废料如图所示，其中AB＝AC＝50cm，BC＝60cm，现要用这块废料裁一块正方形DEFG铁板，使它的一边DE落在△ABC的一腰上，顶点F、G分别落在另一腰AB和BC上，求；（1）等腰三角形ABC的面积S△ABC；（2）正方形DEFG的边长．【分析】（1）过A作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质得到BH＝BC＝30（cm），根据勾股定理得到AH＝＝＝40（cm），由三角形的面积公式即可得到结论；（2）过B作BM⊥AC交FG于N，根据三角形的面积公式得到BM＝48（cm），根据正方形的性质得到FG∥DE，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）过A作AH⊥BC于H，∵AB＝AC＝50cm，BC＝60cm，∴BH＝BC＝30（cm），∴AH＝＝＝40（cm），∴S△ABC＝BC•AH＝60×40＝1200（cm2）；（2）过B作BM⊥AC交FG于N，则S△ABC＝AC•BM＝1200，∵AC＝50cm，∴BM＝48（cm），∵四边形DEFG是正方形，∴FG∥DE，∴BN⊥FG，△BFG∽△BAC，∴＝，∴，∴FG＝，∴正方形DEFG的边长为．9．（2021•海曙区模拟）如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离BC＝4m．（1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，求滑梯的高AC；（2）若规定滑梯的倾斜角（∠ABC）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合安全要求？【分析】（1）直接利用同一时刻太阳光下影长与物体高度成比例进而得出答案；（2）直接利用锐角三角函数关系得出∠ABC的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得：＝，解得：AC＝2（m），答：滑梯的高AC为2m；（2）∵tan∠ABC＝＝＝＜tan30°＝，∴∠ABC＜30°，∴这架滑梯的倾斜角符合安全要求．10．（2021•婺城区校级模拟）已知在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，点P是直线AB上任意一点，联结PC．在∠PCD内部作射线CQ与对角线BD交于点Q（与B、D 不重合），且∠PCQ＝30°．（1）如图，当点P在边AB上时，如果BP＝3，求线段PC的长；（2）当点P在射线BA上时，设BP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式及定义域；（3）联结PQ，直线PQ与直线BC交于点E，如果△QCE与△BCP相似，求线段BP的长．【分析】（1）如图1中，作PH⊥BC于H．解直角三角形求出BH，PH，在Rt△PCH中，理由勾股定理即可解决问题．（2）如图1中，作PH⊥BC于H，连接PQ，设PC交BD于O．证明△POQ∽△BOC，推出∠OPQ＝∠OBC＝30°＝∠PCQ，推出PQ＝CQ＝y，推出PC＝y，在Rt△PHB 中，BH＝x，PH＝x，根据PC2＝PH2+CH2，可得结论．（3）分两种情形：①如图2中，若直线QP交直线BC于B点左侧于E．②如图3中，若直线QP交直线BC于C点右侧于E．分别求解即可．【解答】解：（1）如图1中，作PH⊥BC于H．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝4，AD∥BC，∴∠A+∠ABC＝180°，∵∠A＝120°，∴∠PBH＝60°，∵PB＝3，∠PHB＝90°，∴BH＝PB•cos60°＝，PH＝PB•sin60°＝，∴CH＝BC﹣BH＝4﹣＝，∴PC＝＝＝．（2）如图1中，作PH⊥BC于H，连接PQ，设PC交BD于O．∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∵∠PCQ＝30°，∴∠PBO＝∠QCO，∵∠POB＝∠QOC，∴△POB∽△QOC，∴＝，∴＝，∵∠POQ＝∠BOC，∴△POQ∽△BOC，∴∠OPQ＝∠OBC＝30°＝∠PCQ，∴PQ＝CQ＝y，∴PC＝y，在Rt△PHB中，BH＝x，PH＝x，∵PC2＝PH2+CH2，∴3y2＝（x）2+（4﹣x）2，∴y＝（0≤x＜8）．（3）①如图2中，若直线QP交直线BC于B点左侧于E．此时∠CQE＝120°，∵∠PBC＝60°，∴△PBC中，不存在角与∠CQE相等，此时△QCE与△BCP不可能相似．②如图3中，若直线QP交直线BC于C点右侧于E．则∠CQE＝∠B＝QBC+∠QCP＝60°＝∠CBP，∵∠PCB＞∠E，∴只可能∠BCP＝∠QCE＝75°，作CF⊥AB于F，则BF＝2，CF＝2，∠PCF＝45°，∴PF＝CF＝2，此时PB＝2+2，③如图4中，当点P在AB的延长线上时，∵△QCE与△BCP相似，∴∠CQE＝∠CBP＝120°，∴∠QCE＝∠PCB＝15°，作CF⊥AB于F．∵∠FCB＝30°，∴∠FCP＝45°，∴BF＝BC＝2，CF＝PF＝2，∴PB＝2﹣2．综上所述，满足条件的PB的值为2+2或2﹣2．。
中考数学第一轮复习 三角形
类型之二 三角形的重要线段的应用 命题角度： 1．三角形的中线、角平分线、高 2．三角形的中位线
[2011·成都] 如图 19－1，在△ABC 中，D、E 分别是边 AC、 BC 的中点，若 DE＝4，则 AB＝___8_____.
1．三条边对应相等的两个三角形全等(简记为________)S．SS 2．两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简记为________)． ASA3．两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简记为
________)．
4．两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简记为________)．
命题角度： 1．等腰三角形的性质 2．等腰三角形“三线合一”的性质 3．等腰三角形两腰上的高(中线)、两底角的平分线的性质
[2011·株洲] 如图 21－1，△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°， AC 的垂直平分线交 AB 于 E，D 为垂足，连接 EC.
__5_0_°____.
图 19－2
全等三角形
考点1 全等图形及全等三角形
1．能够完全_____重__合_的两个图形称为全等形，全等图形的形状和 ______大__小都相同．
2．能够完全______重_合_的两个三角形叫全等三角形． [注意] 完全重合有两层含义：(1)图形的形状相同；(2)图形的大小相等
大于
[总结] 任意三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角，最多有一个钝
角，最多有一个直角．
互余
类型之一 三角形三边的关系
命题角度： 1．利用三角形三边的关系判断三条线段能否组成三角形 2．利用三角形三边的关系求字母的取值范围 3．三角形的稳定性
中考数学一轮总复习 第30课时 图形的相似(一)(无答案) 苏科版
1第30课时：图形的相似（一）【知识梳理】1、比例的基本性质，线段的比、成比例线段，黄金分割．2、认识图形的相似，相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积比等于对应边比的平方．3、两个三角形相似的条件． 【课前预习】1、在比例尺是1:6000000的地图上，量得南京到北京的距离是15cm ，这两地的实际距离 是 .2、已知A :B =3:2,且A +B =10，则B = .3、2与2的比例中项是 .4、如图所示，AB ∥CD ，AE ∥FD ，AE 、FD 分别交BC 于点G 、H ，则图中共有 对相似三角形.5、如图，给出下列条件：①∠B =∠ACD ；②∠ADC =∠ACB ；③AC CD =AB BC；④2AC AD AB = .其中单独能够判定△ABC ∽△ACD 的条件个数为 .【例题讲解】例1如图，在△ABC 和△ADE 中，∠BAD =∠CAE ，∠ABC =∠ADE . （1）写出图中两对相似三角形（不得添加辅助线）； （2）请分别说明两对三角形相似的理由.例2如图，点E 、F 、G 分别在AD 、AB 、AC 上，且AF AG AE FB GC ED==，试说明：△EFG ∽△DBCD E例3 如图，在已建立直角坐标系的4×4正方形方格纸中，画格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若以格点P ，A ，B 为顶点的三角形与△ABC 相似（全等除外），则格点P 的坐标是_______．拓展变式 在Rt △ABC 中，斜边AC 上有一动点D （不与点A ，C 重合），过D 点作直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，则满足这样条件的直线共有______条．2例4 如图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠B =90°，E 为BC 上一点，且AE ⊥ED . （1）求证△AEB ∽△ACE ；（2）若E 为BC 中点，其他条件不变，那么图中还有其他的三角形相似吗？例5 如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 为DC 中点，直线BE 交AC 于F ，交AD 的延长线于G ；请说明：EF ·BG =BF ·EGA【课堂练习】1、下列说法：①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；③所有的等腰直角三角形都相似；④所有的直角三角形都相似，其中正确的序号为 .2、如图所示，∠1=∠2，添加一个条件使得△ADE ∽△ACB ，此条件是 .3、下列各组线段中，成比例线段的是（ ）.(A ) 1、2、3、4 (B ) 1、2、2、4 (C ) 3、5、9、13 (D ) 1、2、2、3 44个三角形中，与△ABC 相似的是（ ）.(A ) (B ) (C ) (D )5、如图所示，以DE 为对称轴，折叠等边三角形ABC ，使顶点A 恰好落在BC 边上的点F 处，求证△DBF∽△FCE . 6、如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC 和△DEF 的顶点都在方格纸的格点上.（1）判断△ABC 和△DEF 是否相似，并说明理由；（2）P 1，P 2，P 3，P 4，P 5，D ，F 是△DEF 边上的7个点，请AF3在这7格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC 相似.【课后作业】 班级 姓名 一、必做题：1、以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，不成比例的是（ ） (A )2，5，10，25 (B )4，7，4，7 (C )2，0.5，0.5，4 (D )2，5，52，252、两地的距离是500米，地图上的距离为10厘米，则这张地图的比例尺为（ ） (A )1∶50(B )1∶500 (C )1∶5000 (D )1∶500003、下列各组图形不一定相似的是（ ）(A )两个等边三角形 (B )各有一个角是100°的两个等腰三角形 (C )两个正方形 (D )各有一个角是45°的两个等腰三角形4、△ABC 的三边之比为 3∶4∶5，若 △ABC ∽△A 'B 'C ' ，且△A 'B 'C ' 的最短边长为 6，则△A 'B 'C '的周长为 （ ）(A )36 (B )24 (C )18 (D )125、如图，D 是BC 上的点，∠ADC ＝∠BAC ，则下列结论正确的是（ ） (A )△ABC ∽△DAC(B )△ABC ∽△DAB(C )△ABD ∽△ACD (D )以上都不对 6、如图，△ABC 中，AB 、AC 边上的高CE 、BD 相交于P 点，图中所有的相似三角形共有（ ） (A )2 个 (B )3 个 (C )4 个 (D )5 个7、如图，已知AB CD EF ∥∥，那么下列结论正确的是（ ） (A )AD BC DF CE = (B )BC DF CE AD = (C )CD BC EF BE = (D )CD ADEF AF=8、如图所示，给出下列条件：①B ACD ∠=∠；②ADC ACB ∠=∠；③AC AB CD BC=；④2AC AD AB = ． 其中单独能够判定ABC ACD △∽△的个数为（ ）(A ) 1 (B ) 2 (C ) 3(D ) 49、若3a ＝5b ，则ab＝ . 10、若线段A 、B 、C 、D 成比例且A ＝3CM ，B ＝6CM ，C ＝5CM ，则D ＝ CM . 11、已知，线段AB ＝15，点C 在AB 上，且AC ∶BC ＝3∶2，则BC ＝ .12、甲、乙两地的实际距离20千米，则在比例尺为 1∶1000000 的地图上两地间的距离应为 厘米.13、已知△ABC ∽△A 'B 'C '，AB ＝21，A 'B '＝18，则△ABC 与△A 'B 'C '的相似比k ＝ . 14、如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，则图中有 对相似三角形. 15、如图，△ABC 中，DE ∥BC ，已知AE EC ＝65，则DEBCB B A B DC E F ACD B4＝ ．16、如图，△ABC 内接于⊙O ，AD 是△ABC 的边BC 上的高，AE 是⊙O 的直径，连接BE ，△ABE 与△ADC 相似吗？请证明你的结论．17、如图，⊙O 中，弦AB CD 、相交于AB 的中点E ，连接AD 并延长至点F ，使DF AD =，连接BC 、BF . （1）求证：CBE AFB △∽△； （2）当58BE FB =时，求CB AD的值.二、选做题：18、点E 是ABCD 的边BC 延长线上的一点，AE 与CD 相交于点G ，则图中相似三角形共有 对.19、过△ABC 的边AB 上一点D 作一条直线与直线AC 相交，截得的小三角形与△ABC 相似，这样的直线有几条？请把他们一一做出来.BBB20、如图，A 、B 、D 、E 四点在⊙O 上，AE ，BD 的延长线相交于点C ，AE ＝8，OC ＝12，∠EDC ＝∠BAO ．(1)求证CD CEAC CB=； (2)计算CD ·CB 的值，并指出CB 的取值范围．21、如图所示，在平面直角坐标系中，已知A (0,3)，B (4,0)，设P 、Q 分别是线段AB 、OB 上的动点，它们同时出发，点P 以3个单位/秒的速度从A 向B 运动，点Q 以1个单位/秒的速度从B 向O 运动.设运动时间为T 秒.（1）用含t 的代数式表示P 的坐标；（2）当t 为何值时，△OPQ 为直角三角形？FBCx。
2024年河北省中考数学一轮复习考点突破课件：相似三角形(含位似)
（2）AE=_______．
第六节 相似三角形（含位似）
突
破
子题衍生 △ACE 与△BDE 的周长比为 __2_∶__3__；△BDE 与△ACE 的面积比为
重 ___9_∶__4__. 难
题
型
第六节 相似三角形（含位似）
突
破
仿真再练一 ［2023·石家庄 47 中模拟］如下图，在 Rt△ABC 中，
第六节 相似三角形（含位似）
■考点二 相似三角形（多边形）的性质与判定（8 年 5 考）
定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三
相 角形对应边的比叫做相似比.
似
三
1. 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相
角
交，所截得的三角形与原三角形⑨__相__似__.
形 2. ⑩___两__ 角对应相等的两个三角形相似.
相似三角形（含位似）
对接版本 人教 九下第二十七章 P23～59. 冀教 九上第二十五章 P57～102. 北师 九上第四章 P76～123.
第六节 相似三角形（含位似）
■考点一 比例线段的相关概念
线段的比：两条线段的比是两条线段的长度之比.
比例线段：在四条线段 a，b，c，d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与
突
破
5 如图,△ABC 中,∠A=78°,AB=4,AC=6.将△ABC 沿图示中的虚线剪开,剪下
重 的阴影三角形与原三角形不相似的是 （ C ）
难
题
型
第六节 相似三角形（含位似）
突
破
仿真再练二 已知 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，过点 A 作一条直线，使其将
重 △ABC 分成两个相似的三角形．观察下列图中尺规作图痕迹，作法错误的是 （
中考数学一轮复习专题解析—相似三角形
中考数学一轮复习专题解析—相似三角形复习目标1.了解相似图形和相似三角形的概念。
2.掌握三角形相似的判定方法和性质并学会运用。
考点梳理一、相似图形1.形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.2.比例线段的相关概念如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nm b a =，或写成n m b a ::=． 注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位． 在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注意：(1)当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．(2)比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b =． 3. 比例的性质基本性质：(1)bc ad d c b a =⇔=::；(2)b a c b c c a ⋅=⇔=2::．注意：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a b c d a c d c b d b ad b c a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 反比性质(把比的前项、后项交换)：cd a b d c b a =⇒=． 合比性质：dd c b b a d c b a ±=±⇒=． 注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间 发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=d c d c b a b a c c d a a b d c b a 等等． 等比性质： 如果)0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么b a n f d b m e c a =++++++++ ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．4.比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．(2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边．5.黄金分割把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB 例1．如果0ab cd =≠，则下列正确的是（ ）A ．::a c b d =B ．::a d c b =C ．::a b c d =D ．::d c b a = 【答案】B【分析】根据比例的基本性质，列出比例式即可．【详解】解：∵0ab cd =≠，∵::a d c b =，故选：B ．例2．两个相似多边形的一组对应边的长分别为6cm ，9cm ，那么它们的相似比为（ ）A ．23B C ．49 D ．94【答案】A【分析】根据相似多边形的性质求解即可；【详解】两个相似多边形一组对应边的长分别为6cm ，9cm ，∵它们的相似比为：6293=．故选A ．二、相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∵”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注意：∵对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．∵顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．∵两个三角形形状一样，但大小不一定一样．∵全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．三、相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∵ABC ∆．(2)对称性：若ABC ∆∵'''C B A ∆，则'''C B A ∆∵ABC ∆．(3)传递性：若ABC ∆∵C B A '∆''，且C B A '∆''∵C B A ''''''∆，则ABC ∆∵C B A ''''''∆．四、相似三角形的基本定理定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：五、三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
2020春中考数学一轮复习专题：相似三角形
2020春中考数学一轮复习专题：相似三角形（1）【复习目标】1.了解线段的比，成比例线段；通过建筑、艺术等方面的实例了解黄金分割.2. 了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的判定及直角三角形相似的判定；会用相似三角形证明角相等或线段成比例，或进行角的度数和线段长度的计算等【课堂研讨】考点一比例性质1．已知513ba=，则a ba b-+的值是2.已知三个数1，2， 3 ，请你再添上一个（只填一个）数，使它们能构成一个比例式，则这个数是。
3. 在RtΔABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于D，AC=6，AD=4,则AB= .4.已知点C是线段AB的黄金分割点，若ACAB≈0．6 18，那么CBAC的近似值是_______ 5.如图，直线l1∥l2∥l3，另两条直线分别交l1，l2，l3于点A，B，C及点D，E，F，且AB=3，DE=4，EF=2，则BC=______．★6. (1)如图，AD是△ABC的中线，P是AD的中点，延长BP交AC于点F，若AC的长为6，求AF的长(2)已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝6，求AC的长.第（1）题第（2）题BACDE1.如图，已知△ABC ∽△ADB 中，CD ＝6，AD ＝2，BD ＝3，则AB ＝_____， BC ＝_____.2.如图，在△ABC 中，EF ∥BC ，12AE EB =，S 梯形BCFE ＝8，则S △ABC 的值是3、如图，在△ABC 中，∠B =45°，BC =5，高AD =4，矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上，E 、F 分别在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H ． （1）求证：BCEFAD AH =； （2）设EF =x ，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大？并求出最大面积；4、如图，在R t △ABC 中，∠ACB =90°，AC =5cm ，∠BAC =60°，动点M 从点B 出发，在BA 边上以每秒2cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点N 从点C 出发，在CB 边上以每秒3cm 的速度向点B 匀速运动，设运动时间为t 秒（05≤≤t ），连接MN ． （1）若△MBN 与△ABC 相似，求t 的值；（2）当t 为何值时，四边形ACNM 的面积最小？并求出最小值．1.如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是________（请填上编号）．2.如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是 ( )A．∠ABD＝∠C B．∠ADB＝∠ABCC．AB CBBD CD= D．AD ABAB AC=3. 如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC= 14BC．图中相似三角形共有（）A．1对 B．2对C．3对 D．4对4、(1)提出问题:如图①，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点(不含端点B，C)，连接AM，以AM为边作等边△AMN，连接CN.求证：∠ABC＝∠ACN.(2)类比探究:如图②，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C)，其他条件不变，(1)中结论∠ABC＝∠ACN还成立吗？请说明理由．(3)拓展延伸:如图③，在等腰△ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点(不含端点B，C)，连接AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC.连接CN，试探究∠ABC与∠ACN 的数量关系，并说明理由．5. 如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=30°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．相似三角形拓展提升训练一、填空题1．如图，△ABC∽△DEF，相似比为1∶2，若BC＝1，则EF的长是（）A．1 B．2 C．3 D．42．如图，在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图中的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（）A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对3．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在边BC上，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转到AE，使得∠DAE=∠BAC，连接DE交AC于F，图中相似的三角形有______对.第3题第4题第5题P A4、如图，AD 是△ABC 的中线，F 在AC 上CF=3AF ，若BF 的长为6，则PF 的长为______.5、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝∠ACD ＝90°，AB ＝2，DC ＝3，则△ABC 与△DCA 的面积比为______________6、如图，P 为平行四边形ABCD 边AD 上一点，E ，F 分别为PB ，PC 的中点，△PEF ，△PDC ，△PAB 的面积分别为S ，S 1，S 2，若S ＝2，则S 1＋S 2＝______第6题 第7题7、如图，小明用长为3 m 的竹竿CD 做测量工具，测量学校旗杆AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB ＝12 m ，则旗杆AB 的高为_________________8、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠D=90°，∠ABC=60°，CD=33AD=16，点P 是AD 边上的一点，∠CPB=120°.①△PCB 与△ABP 相似吗？为什么？ ②求△ABP 的面积S 。
第18节相似三角形-中考数学一轮知识复习课件
相似比为13 ，把线段 AB 缩短，则点 A 的对应 点 A'的坐标为__(_2_，_1_)_或_(_－__2，__－__1)__．
知识清单
线段的比和比例线段 1．线段的比：两条线段__长_度___的比叫做 两条线段的比． 注意：求两条线段的比，要求长度单位相 同；线段的比与选用的长度单位无关． 2．对于四条线段 a，b，c，d，如果其中 两条线段的比__等__于__另外两条线段的比，就 说这四条线段是成比例线段．
＝6－6－32x －38 x2＝－38 x2＋32 x.
当 x≥2 时，S 随 x 增大而减少．
与 AC 交于点 G，则相似三角形共有( C )
A．3 对
B．5 对
C．6 对
D．8 对
针对训练 6．(2019·凉山州改编)如图，∠ABD＝∠BCD＝ 90°，DB 平分∠ADC，过点 B 作 BM∥CD 交 AD 于 点 M.连接 CM 交 DB 于点 N.求证：BD2＝AD·CD.
证明：∵DB 平分∠ADC， ∴∠ADB＝∠CDB. 且∠ABD＝∠BCD＝90°. ∴△ABD∽△BCD. ∴ABDD ＝BCDD . ∴BD2＝AD·CD.
4．(2020·宁夏)在平面直角坐标系中，△ ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(1，3)，B(4， 1)，C(1，1).
(1)画出△ABC 关于 x 轴成轴对称的△A1B1C1； (2)画出△ABC 以点 O 为位似中心，位似比为 1∶2 的△A2B2C2.
解：(1)(2)如图所示，△A1B1C1，△A2B2C2即为所求．
(2)若AADC ＝37 ，求FAGF 的值．
中考数学复习指导：三角形“两两相似”问题的五类基本模型.doc
三角形“两两相似”问题的五类基本模型模型一如图1,在Z\ABC中，AB=AC,点D, E在BC边上，且ZDAE=ZC.则△BEAsAAEDs/\CAD （证明略，下同）.例1如图2,在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A 为公共顶点，ZBAC=ZACF = 90°,它们的斜边长为2.若Z\ABC固定不动，△ AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C 重合），设BE=m, CD=n.（1）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的収值范围.（2）在旋转过程中，试判断以线段BD, DE和CE为边构成的三角形的形状，并说明理分析（1）因为AABC和AAFG均为等腰直角三角形，ZBAC= ZAGF=90° , BC =・••厶B =厶C = Z.DAE = 45°,由模型一，可知厶BEA s \AED s MAD,当点D与点B重合时，n=2.当点E与点C重合时，D为BC的屮点，则n=l：故自变量n的収值范围为l<n<2.(2)以线段BD, DE和CE为边构成的三角形为直角三角形(过程略).点评在已知三角形三边的前提下，判断一个三角形是否为直角三角形，一般可采用以下两种方法：一是先确定三条边中的最长边，再根据勾股定理的逆定理来判断；二是可通过添加辅助线來构造直角三角形，如本例，利用旋转变换将线段BD, DE和CE集中到RtAHBD 中.模型二如图3,在AABC中，AB=AC,点D, E在直线BC上，且ZBAD=ZE, 则△ EACsAEDAs △ ADB.图3例2如图3,在厶ABC44, AB=AC=1,点D, E在直线BC上运动.设BD=x, CE=y.(1)如果ZBAC=30° , ZDAE=105°,试确定y与x之间的函数关系式；(2)如果ZBAC=a, ZDAE = p,当a,卩满足怎样的关系吋，⑴中y与x之间的函数关系式仍然成立？试说明理由.分析(1)由已知可得ZABC=ZACB = 75° .ZDAB+ZCAE=75又ZCAE+ ZE= ZACB = 750, 故ZDAB=ZE.rti模型二，可知AEAC^AEDA^AADB,EC _ AC即y与X之间的函数关系式为y=丄；X（2）由 AB = AC, ZBAC=a,得ZABC=ZACB = 90° --a,2 故ZDBA=90° 4--a. 2耍使⑴中y 与x 之间的函数关系式仍然成立，则厶EDA^AADB, ・・・ZDAE=ZDBA,即 p=90° +|a.点评 确定两条线段Z 间的数量关系，通常可利用线段成比例，找出相等关系，再转 化为函数关系，本例中，设法证明BD 与CE 这两条线段所在的两个三角形相似，由比例 式建立y 与x 之间的函数关系式.模型三 如图4,在四边形ABCD 中，E 为AB 边中点, 且ZA=ZDEC=ZB,则厶ADE^AEDC^ABEC.例3 （2012年湖北天门中考题，有改动） 如图 5,在AABC.中，AB=AC=10. BC=12,D 为BC 边中点，以D 为顶点作ZMDN=ZB, 射线DM, DN 分别交线段AC, AB 于E, F 点（点E 与点A 不重合）.当ADEF 的面积等于AABC 面积的丄时，求线段EF 的长. 4分析 如图5,连结AD,过点D 作DG 丄AB 于点G, DH 丄EF 于点H. 由已知可得CA EB 图4例4如图7,在矩形ABCD44, AB = 5, BC=2,且A, B, C, D 四点均在正方形网 格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上.试在AB 边 上找一点E,分别连结CE 、DE,使得CE 、DE 分矩形ABCD 所成的3个三角形都相似.分析设AE=x,则BE=5—x.由模型四，可知△ADEs^BEC,解得 X1 = 1, X2 = 4.AD 丄 BC,BD == 6, A AD = J AB '-両=8, BD AD AB~S bDEF A4BC= -^-XyX12x8 = 12 ・由模型三，可知ABFD 5 6DFE,则 乙DFB =乙 EFD,又DG 1. AB,DH 丄 EF,・・・ DH = DG = y,2$则 EF = x 5.点评 木例屮rh ABFD<^ ADFE<^ACDE,可得DF, DE 分别平分ZBFE, ZCEF.若过点D 作DI 丄AC 于点I,贝ijDH = DG = DI=—• 5模型四 如图6,在矩形ABCD 屮，点E 是BC 边上一点，且ZAED=90° ,则AABE ^ADEA^AECD.厂］…「丁丁匸AD AE BE BC 24图54 DB EC 图6即AE 的氏为1或4,点E 的位置如图8所示.图8点评 解答此题后，我们不难得出，要使得AADE, ACDE 和ABCE 中的任意两个三角形均相似，只能ZDEC = 90° ,那么点E 须在以CD 为直径的圆上，且该圆与AB 相 切或相交.故当竺 ＞丄时，满足要求的点E 不存在；AB 2当竺=丄时，满足要求的点E 仅有1个； AB 2当竺＜_L 时，满足要求的点E 有2个.AB 2模型五 如图9,在RtAABC 屮,CD 是斜边AB 上的高，则△ CDB^AACB^AADC.交于点A 、B (点A 位于点B 的左侧)，与y 轴的正半轴交于点C.请你探索在第一象限 内是否存在点Q ，使得△QCO 、AQOA 和AQAB 中的任意两个三角形均相似(全等可看 作相似的特殊情况)？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由.分析由y=」x?—丄(b+l)x+° 4 4 4=扣_1)(兀_6得 A(l, 0), B(b, 0), C (0,-). 4假设存在这样的点Q,使得△QCO 、AQOA 和AQAB 屮的任意两个三角形均相似,且b ＞2)与x 轴的正半轴分别由ZQAB = ZAOQ + ZAQO,得ZQAB>ZAOQ, ZQAB>ZAQO.所以，要使得△ QOA和厶QAB相似，只能ZOAQ=ZQAB = 90° ,即QA丄x轴.由OB>2, OA=1,得AB>OA,则ZQOA>ZQBA,故ZQOA=ZAQB,此时ZOQB = 90° ,rti模型五，可知AQ AR△BQA S&OQ S^O A'则即AQ2=OA. AB = b-l,所以b=AQ2+l.由QA丄x轴，知QA〃y轴，则ZCOQ=ZOQA・所以，要使得△ QOA和厶OQC相似，只能.ZOCQ=90°或ZOQC=90° .① 当乙OCQ = 90。
考点19 相似三角形模型-备战2023届中考数学一轮复习考点梳理(解析版)
考点19 相似三角形基本模型相似三角形在初中数学中因为不同类型的规律比较明显，所以被总结了很多的模型，比如：A 字图、8字图、母子三角形、一线三等角、手拉手相似等。
而掌握了这类模型的套路后，可以更快的应对相似三角形类的应用。
所以考生需要对该考点完全掌握。
一、A 字图及其变型二、8字图及其变型三、一般母子型四、一线三等角五、手拉手模型考向一、A 字图及其变型“斜A 型”型在圆中的应用：如图可得：△PAB ∽△PCD1．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝6，则的值为（ ）A．B．C．D．【分析】利用平行线的性质和相似三角形的判定与性质解答即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝＝，故选：C．2．如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC，AD：AF：AB＝1：2：5，则S△ADE：S四边形DEGF：S四边形FGCB＝（ ）A．1：2：5B．1：4：25C．1：3：25D．1：3：21【分析】由DE∥FG∥BC，可得△ADE∽△AFG∽△ABC，又由AD：AF：AB＝1：2：5，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得S△ADE：S△AFG：S△ABC＝1：4：25，然后设△ADE的面积是a，则△AFG和△ABC的面积分别是3a，21a，即可求两个梯形的面积，继而求得答案．【解答】解：∵DE∥FG∥BC，∴△ADE∽△AFG∽△ABC，∴AD：AF：AB＝1：2：5，∴S△ADE：S△AFG：S△ABC＝1：4：25，设△ADE的面积是a，则△AFG和△ABC的面积分别是4a，25a，则S四边形DFGE＝S△AFG﹣S△ADE＝3a，S四边形FBCG＝S△ABC﹣S△AFG＝21a，∴S△ADE：S四边形DFGE：S四边形FBCG＝1：3：21．故选：D．3．将一张直角三角形纸片沿一条直线剪开，将其分成一张三角形纸片与一张四边形纸片，如果所得四边形纸片ABCD如图5所示，其中∠A＝∠C＝90°，AB＝7厘米，BC＝9厘米，CD＝2厘米，那么原来的直角三角形纸片的面积是 54或 平方厘米．【分析】分两种情况讨论，由勾股定理求出AD长，由三角形面积公式求出四边形ABCD的面积，由相似三角形的性质，即可解决问题．【解答】解：（1）分别延长CD，BA交于M，连接BD，设△MBC的面积是S（cm2），∵∠C＝∠DAB＝90°，∴DC2+BC2＝AB2+AD2＝BD2，∴22+92＝72+AD2，∴AD＝6（cm），∴△ADB的面积＝AD•AB＝×6×7＝21（cm2），△DCB的面积＝DC•BC＝×2×9＝9（cm2），∴四边形ABCD的面积＝21+9＝30（cm2），∴△DMA的面积＝（S﹣30）（cm2），∵∠M＝∠M，∠MAD＝∠MCB，∴△MDA∽△MBC，∴＝＝＝，∴＝，∴S＝54（cm2）．（2）分别延长AD，BC交于N，设△NAB的面积是S′（cm2），由（1）知四边形ABCD的面积＝30（cm2），∵∠N＝∠N，∠NCD＝∠A＝90°，∴△NCD∽△NAB，∴＝＝＝，∴＝，∴S′＝（cm2），∴原来的直角三角形纸片的面积是54cm2或cm2．故答案为：54或．4．如图，矩形DEFG的边DE在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．已知BC＝6cm，DE ＝3cm，EF＝2cm，那么△ABC的面积是 12 cm2．【分析】过点A作AN⊥BC，先利用相似三角形的判定说明△AGF∽△ABC，再利用相似三角形的性质求出△ABC的高，最后利用三角形的面积得结论．【解答】解：过点A作AN⊥BC，垂足为N，交GF于点M．∵四边形DEFG是矩形，∴GF∥DE，GF＝DE＝3cm，EF＝MN＝2cm．设AM＝acm，则AN＝（a+2）cm．∵GF∥DE，∴△AGF∽△ABC．∴＝．∴＝．∴a＝2．∴AN＝4cm．S△ABC＝BC•AN＝6×4＝12（cm）2．故答案为：12．5．如图▱ABCD中，点E在BA的延长线上，连接EC、BD交于点G，EC交AD于F，已知EA：AB＝1：2．（1）求EF：EC；（2）求FG：GC．【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理和比例的性质求解即可；（2）利用相似三角形的判定，先说明△EAF∽△CDF，再利用相似三角形的性质和比例的性质求出BC：FD，最后通过说明△FDG∽△CBG，利用相似三角形的性质得结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC．（1）∵EA：AB＝1：2，∴＝．∵AD∥BC，∴＝＝．（2）∵AB ∥CD ，∴△EAF ∽△CDF ．∴＝＝＝．∴＝＝．∵AD ∥BC ，∴△FDG ∽△CBG ．∴＝＝．考向二、8字图及其变型“蝴蝶型”变型1．如图，在△ABC 中，中线AD 与中线BE 相交于点G ，联结DE ．下列结论成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】由AD ，BE 是△ABC 的中线，得到DE 是△ABC 的中位线，推出△DEG ∽△ABG ，△CDE ∽△CBA ，由相似三角形的性质即可解决问题．【解答】解：AD ，BE 是△ABC 的中线，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DE＝AB，∴△DEG∽△ABG，∴DG：AG＝DE：AB＝1：2，BG：EG＝AB：DE，＝＝，∴DG＝AG，∵BG：EG＝AB：DE＝2：1，∴GB：BE＝2：3，∴S△AGB：S△AEB＝2：3，∵AE＝EC，∴S△AEB＝S△ABC，∴S△AGB＝S△ABC，∵△CDE∽△CBA，∴＝＝，∴S△CDE＝S△ABC，∴＝，结论成立的是＝，故选：C．2．如图，在平行四边形ABCD中，F为BC的中点，延长AD至点E，使DE：AD＝1：3，连接EF交DC 于点G，则S△CFG：S△DEG等于（ ）A．9：4B．2：3C．4：9D．3：2【分析】利用平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，，再根据线段中点的定义可得CF＝BC＝AD，然后证明8字模型相似三角形△EDG∽△FCG，利用相似三角形的性质进行计算即可解答．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵F为BC的中点，∴CF＝BC，∴CF＝AD，∵AE∥CF，∴∠E＝∠GCF，∠EDG＝∠C，∴△EDG∽△FCG，∵DE：AD＝1：3，∴DE＝AD，∴S△CFG：S△DEG＝（）2＝（）2＝（）2＝，故选：A．3．如图，在正方形ABCD中，E为AD上的点，连接CE．以点E为圆心，以任意长为半径作弧分别交EC，ED于点N，M，再分别以M，N为圆心，以大于MN长为半径作弧，两弧在∠CED内交于点P，连接EP并延长交DC于点H，交BC的延长线于点G．若AB＝16，AE：AD＝1：4，则EH的长为 6 ．【分析】根据题中作图判断EP是∠DEC的角平分线，利用线段比和勾股定理求出EC，再利用角平分线的性质和平行线的性质得到CG，利用相似三角形的判定和性质求出DH，最后利用勾股定理得结论．【解答】解：∵以点E为圆心，以任意长为半径作弧分别交EC，ED于点N，M，再分别以M，N为圆心，以大于MN长为半径作弧，两弧在∠CED内交于点P，连接EP，∴EP是∠DEC的角平分线，∴∠DEG＝∠CEG．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC＝AB＝16，∠D＝90°，AD∥BC．∵AE：AD＝1：4，AE+ED＝16，∴AE＝4，ED＝12．在Rt△EDC中，EC＝＝＝20．∵AD∥BC，∴∠G＝∠DEG＝∠CEG．∴EC＝CG＝20．∵AD∥BC，∴△EDH∽△GCH．∴＝＝＝．∵DH+HC＝CD＝16，∴DH＝6．在Rt△EDH中，EH＝＝＝＝6．故答案为：6．4．如图，在▱ABCD中，G是CD延长线上一点，连接BG交AC，AD于E，F．（1）求证：△ABE∽△CGE；（2）若AF＝2FD，求的值．【分析】（1）根据平行四边形对边平行，得到∠ABE＝∠CGE，再利用对顶角相等，可得△ABE∽△CGE；（2）利用平行四边形对边平行，证明△AEF∽△CEB，得到，再由（1）得，，从而求解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABE＝∠CGE，又∵∠AEB＝∠CGE，∴△ABE∽△CGE．（2）解：设FD＝m，则AF＝2m，∴AD＝3m，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，BC＝AD＝3m，∴∠EAF＝∠ECB，∠AFE＝∠CBE，∴△AEF∽△CEB∴＝＝，又∵△ABE∽△CGE，∴＝＝．即的值为．5．以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C，D均在格点上．（1）在图①中，的值为 1：3 ；（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．①如图②，在AB上找一点P，使AP＝3；②如图③，在BD上找一点P，使△APB∽△CPD．【分析】（1）如图①中，利用平行线的性质求解即可．（2）①根据勾股定理得AB的长为5，再根据相似三角形的判定方法即可找到点P；②作点A的对称点A′，连接A′C与BD的交点即为要找的点P，使△APB∽△CPD．【解答】解：（1）如图①中，∵AB∥CD，∴△PCD∽△PBA．∴＝＝，故答案为：1：3；（2）①取格点E，F，连接EF交AB于点P，点P即为所求的点．由勾股定理知：AB＝＝5．∵AP＝3，∴BP＝2．∵BE∥FA，∴△EPB∽△FPA．∵AP：BP＝AF：BE＝3：2．∴取格点E，F，连接EF交AB于点P，点P即为所求的点；②如图③所示，作点A的对称点A′，连接A′C，交BD于点P，点P即为所要找的点，∵AB ∥CD ，∴△APB ∽△CPD ．考向三、一般母子型：联系应用：切割线定理：如图，PB 为圆O 切线，B 为切点，则：△PAB ∽△PBC得：1．如图，在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，有下列条件：①∠A ＝∠BCD ；②∠A +∠BCD ＝∠ADC ；③；④BC 2＝BD •BA ．其中能判断△ABC 是直角三角形的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【分析】根据题目中①②③④给出的条件分别判定△BCD ∽△BAC 或△ABC ∽△ACD 即可求得∠ACB ＝90°，计算能求证△BCD ∽△BAC 或△ABC ∽△ACD 的个数即可解题．【解答】解：①∵∠A ＝∠BCD ，∠A +∠ACD ＝90°，∴∠BCD +∠ACD ＝90°，故本命题成立；②条件不足，无法求证∠ACB ＝90°，故本命题错误；③∵BD ：CD ＝BC ：AC ，∠ADC ＝∠CDB ＝90°，∴Rt △ADC ∽Rt △CDB ，（因为都有一个直角，斜边直角边成比例）∴∠ACD ＝∠B ；∵∠B +∠BCD ＝90°，其中：∠A 是公共角AB 是公共边BD 与BC 是对应边∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵∠ACB＝∠ACD+∠BCD，∴∠ACB＝90°；故本命题正确；④∵BC2＝BD×BA，∴＝，∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD，∴∠ACB＝90°，故本命题成立，故选：D．2．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠ACD＝3∠BCD，E为斜边AB的中点，则＝（ ）A．B．C．D．【分析】利用相似三角形的判定与性质得到∠BCD＝∠A＝22.5°，利用三角形的外角的性质得到∠CED＝45°，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到AE＝CE＝BE＝AB，设CD＝DE＝x，则CE＝，AD＝（+1）x，代入化简即可得出结论．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ACD＝3∠BCD，∴∠BCD＝22.5°，∠ACD＝67.5°．∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴△BCD∽△BAC，∴∠BCD＝∠A＝22.5°．∵∠ACB＝90°，E为斜边AB的中点，∴AE＝CE＝BE＝AB．∴∠ECA＝∠A＝22.5°，∴∠CED＝∠A+∠ECA＝45°，∵CD⊥AB，∴CD＝DE．设CD＝DE＝x，则CE＝，∴AE＝x，∴AD＝AE+DE＝（+1）x，∴＝+1．故选：B．3．如图，在△ABC中，∠A＝90°，点D、E分别在AC、BC边上，BD＝CD＝2DE，且∠C+∠CDE＝45°，若AD＝6，则BC的长为 8 ．【分析】首先根据等腰三角形的性质和已知条件证出∠BDE＝90°，作DF⊥BC于F，则BF＝CF，△DEF ∽△BED∽△BDF，得出＝＝＝，设EF＝x，则DF＝2x，BF＝CF＝4x，得出BC＝8x，DE＝x，得出CD＝BD＝2x，AC＝6+2x，证明△CDF∽△CBA，得出＝，代入计算即可得出结果．【解答】解：∵∠A＝90°，∴∠ABD+∠ADB＝90°，∵BD＝CD，∴∠DBC＝∠C，∴∠ADB＝∠DBC+∠C＝2∠C，∵∠C+∠CDE＝45°∴2∠C+∠CDE＝90°，∴∠ADB+∠CDE＝90°，∴∠BDE＝90°，作DF⊥BC于F，如图所示：则BF＝CF，△DEF∽△BED∽△BDF，∴＝＝＝，设EF＝x，则DF＝2x，BF＝CF＝4x，∴BC＝8x，DE＝x，∴CD＝BD＝2x，AC＝6+2x，∵∠DFC＝∠A＝90°，∠C＝∠C，∴△CDF∽△CBA，∴＝，即＝，解得：x＝，∴BC＝8；故答案为：8．4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是斜边AC的中点，连接DB，线段AE⊥线段BD交BC于点E，交DB于点G，垂足为点G．（1）求证：EB2＝EG•EA；（2）联结CG，若∠CGE＝∠DBC，求证：BE＝CE．【分析】（1）根据相似三角形的判定与性质可得结论；（2）由直角三角形的性质得BD＝AC＝CD，再由相似三角形的判定与性质可得EC2＝GE•EA，结合（1）的结论可得答案．【解答】证明：（1）∵AE⊥BD，∴∠BGE＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠BGE＝∠ABE，∵∠BEG＝∠AEB，∴△ABE∽△BGE，∴＝，即EB2＝EG•EA；（2）在Rt△ABC中，点D是斜边AC的中点，∴BD＝AC＝CD，∴∠DBC＝∠DCB，∵∠CGE＝∠DBC，∴∠CGE＝∠DCB，∵∠GEC＝∠GEC，∴△GEC∽△CEA，∴＝，∴EC2＝GE•EA，由（1）知EB2＝EG•EA，∴EC2＝EB2，∴BE＝CE．考向四、一线三等角：同侧型（通常以等腰三角形或者等边三角形为背景）异侧型1．如图，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D．AB＝2，DE＝4，BD＝6．点C为BD上一点，连接AC、CE．当BC＝（ ）时，可使AC⊥CE．A．3B．2或4C．D．2或3【分析】根据垂直定义可得∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠A+∠ACB＝90°，再利用平角定义可得∠ACB+∠ECD＝90°，然后利用同角的余角相等可得∠ECD＝∠A，从而证明△ABC∽△CDE，最后利用相似三角形的性质进行计算即可解答．【解答】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°，∴∠A+∠ACB＝90°，∵AC⊥CE，∴∠ACE＝90°，∴∠ACB+∠ECD＝180°﹣∠ACE＝90°，∴∠ECD＝∠A，∴△ABC∽△CDE，∴＝，∴＝，解得：BC＝2或BC＝4，∴当BC＝2或4时，可使AC⊥CE，故选：B．2．如图，点A，B，C在同一直线上，∠A＝∠DBE＝∠C，则下列结论：①∠D＝∠CBE，②△ABD∽△CEB，③＝，其中正确的结论有（ ）个．A．0B．1C．2D．3【分析】根据三角形内角和和平角的定义可得①正确，进行可得△ABD∽△CEB，得出②正确；由相似三角形的性质可知，相似三角形的对应线段成比例，得出结论．【解答】解：由图可知，∠A+∠D+∠ABD＝180°，∠ABD+∠DBE+∠CBE＝180°，∵∠A＝∠DBE，∴∠D＝∠CBE，故①正确；∵∠A＝∠C，∴△ABD∽△CEB，故②正确；∴＝，故③正确；故选：D．3．如图，在矩形ABCD中，点E是对角线上一点，连接AE并延长交CD于点F，过点E作EG⊥AE交BC 于点G，若AB＝8，AD＝6，BG＝2，则AE＝（ ）A．B．C．D．【分析】过点E作EN⊥BC，垂足为N，延长NE交AD于点M，根据矩形的性质可得AD＝BC＝6，∠DAB ＝∠ABC＝90°，从而可得四边形AMNB是矩形，进而可得∠AMN＝90°，AB＝MN＝8，AM＝BN，MN ∥AB，然后设ME＝x，则EN＝MN﹣EM＝8﹣x，再证明A字模型相似三角形△DME∽△DAB，并利用相似三角形的性质求出DM，从而求出AM，GN的长，最后证明一线三等角模型相似三角形△AME∽△ENG，利用相似三角形的性质列出关于x的方程，进行计算即可求出ME，AM的长，从而在Rt△AME 中，利用勾股定理进行计算即可解答．【解答】解：过点E作EN⊥BC，垂足为N，延长NE交AD于点M，∴∠ENB＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝6，∠DAB＝∠ABC＝90°，∴四边形AMNB是矩形，∴∠AMN＝90°，AB＝MN＝8，AM＝BN，MN∥AB，∴∠DME＝∠DAB＝90°，∠DEM＝∠DBA，∴△DME∽△DAB，∴＝，设ME＝x，则EN＝MN﹣EM＝8﹣x，∴＝，∴DM＝x，∴BN＝AM＝AD﹣DM＝6﹣x，∵BG＝2，∴GN＝BN﹣BG＝4﹣x，∵EG⊥AE，∴∠AEG＝90°，∴∠AEM+∠GEN＝90°，∵∠AEM+∠MAE＝90°，∴∠MAE＝∠GEN，∵∠AME＝∠ENG＝90°，∴△AME∽△ENG，∴＝，∴＝，∴x1＝，x2＝8，经检验：x1＝，x2＝8都是原方程的根，x2＝8（舍去），∴ME＝，AM＝6﹣x＝，∴AE＝＝＝，故选：B．4．如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝34，cos∠ABC＝，射线CM∥AB，D为线段BC上的一动点且和B，C不重合，联结DA，过点D作DE⊥DA交射线CM于点E，联结AE，作EF＝EC，交BC的延长线于点F，设BD＝x．（1）如图1，当AD∥EF，求BD的长；（2）若CE＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）如图2，点G在线段AE上，作∠AGD＝∠F，若△DGE与△CDE相似，求BD的长．【分析】（1）可推出△ABD是等腰三角形，从而求得BD；（2）作AK⊥BC于K，EH⊥CF于H，可证得△AKD∽△DHE，可求得AK＝8，DK＝x﹣6，EH＝y，DH＝34﹣x+y，进一步求得结果；（3）推出可以是△GDE∽△CDE或△GDE∽△CED，当△GDE∽△CDE时，可推出△GDE≌△CDE及△ABD≌△AGD，进而求得此时BD的值；当△GDE∽△CED时，推出四边形ADFED是平行四边形，再根据△AKD∽△DTE，进而求得此时BD．【解答】解：（1）如图1，作AK⊥BC于K，∴BK＝AB•cos∠ABC＝10×＝6，∴AK＝＝＝8，∵EF＝EC，∴∠ECF＝∠F，∵CM∥AB，AD∥EF，∴∠B＝∠ECF，∠ADB＝∠F，∴∠B＝∠ADB，∴AB＝AD，∴BD＝2BK＝12；（2）如图2，作AK⊥BC于K，EH⊥CF于H，∴∠ADK＝∠CHE＝90°，∴∠ADK+∠DAK＝90°，∵AD⊥DE，∴∠ADE＝90°，∴∠ADK+∠EDH＝90°，∴∠DAK＝∠EDH，∴△AKD∽△DHE，∴＝，∵BD＝x，BK＝6，BC＝34，∴DK＝x﹣6，DC＝34﹣x，∵∠ECF＝∠ABD，∴CH＝CE•cos∠ECF＝y•cos∠ABD＝，∴EH＝y，∴DH＝DC+CH＝34﹣x+，∴＝，化简，得，y＝，当∠HDE＝∠ECF时，DE∥CE，∴∠DAK＝∠ECH＝∠ABD，∴DK＝AK•tan∠DAK＝8•tan∠ABK＝8×＝，此时，BD＝BK+DK＝6+＝，∴6＜x＜；（3）如图3，∵∠AGD＝∠F，∠AGD+∠DGE＝180°，∴∠DGE+∠F＝180°，∵∠ECF+∠DCE＝180°，∠F＝∠ECF，∴∠DGE＝∠DCE，∴△GDE∽△CDE或△GDE∽△CED，当△GDE∽△CDE时，∠GDE＝∠CDE，∵DE＝DE，∴△CDE≌△GDE（AAS），∴DG＝DC，∵∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDC＝∠ADG+∠GDE＝90°，∴∠ADB＝∠ADG，∵∠ABD＝∠ECF＝∠F，∴∠ABD＝∠AGD，∵AD＝AD，∴△ABD≌△AGD（AAS），\∴DB＝DG，∴BD＝CD＝BC＝17，∵6＜BD＜，∴BD＝17不符合题意，舍去；当△GDE∽△CED时，如图4，∠GDE＝∠DEC，∠GED＝∠CDE，∴DG∥CE，CD∥GE，∴四边形CDGE是平行四边形，由（1）（2）知，AK＝8，DK＝x﹣6，CD＝34﹣x，△AKD∽△DTE，∴ET＝AK＝8，CT＝BK＝6，DT＝40﹣x，∴＝，∴＝，∴x＝8，综上所述：BD＝8．考向五、手拉手相似模型：模型名称几何模型图形特点具有性质相似型手拉手△ABC ∽△ADEA 、D 、E 逆时针A 、B 、C 逆时针连结BD 、CE ①△ABD ∽△ACE ②△AOB ∽△HOC③旋转角相等④A 、B 、C 、H 四点共圆“反向”相似型手拉手△ABC ∽△ADE A 、D 、E 顺时针A 、B 、C 逆时针A 、D 、E`逆时针作△ADE 关于AD 对称的△ADE`性质同上①②③1．如图，△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝90°，且△ABC ∽△AB 'C '，连接CC '，将CC ′沿C ′B ′方向平移至EB '，连接BE ，若CC '＝，则BE 的长为（ ）A ．1B ．C ．D ．2【分析】连接BB′，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义可得＝，再利用相似三角形的性质可得＝，∠ACB ＝∠AC ′B′＝90°，∠BAC ＝∠B ′AC ′＝30°，从而利用等式的性质可得∠BAB ′＝∠CAC ′，进而可证△BAB ′∽△CAC ′，然后利用相似三角形的性质可得∠BB ′A ＝∠CC ′A ，＝＝，再利用平移的性质可得CC ′∥B ′E ，＝＝，从而利用平行线的性质可得∠BB ′E ＝30°，最后证明△BCA ∽△BEB ′，从而可得∠BEB ′＝90°，进而在Rt △BEB ′中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：连接BB ′，∵∠BAC＝30°，∠ACB＝90°，∴cos30°＝＝，∵△ABC∽△AB'C'，∴＝，∠ACB＝∠AC′B′＝90°，∠BAC＝∠B′AC′＝30°，∴∠BAC+∠CAB′＝∠B′AC′+∠CAB′，∴∠BAB′＝∠CAC′，∴△BAB′∽△CAC′，∴∠BB′A＝∠CC′A，＝＝，由平移得：CC′＝B′E＝，CC′∥B′E，∴＝＝，∵CC′∥B′E，∴∠CC′B′+∠AB′C′+∠BB′A+∠BB′E＝180°，∴∠CC′B′+∠AB′C′+∠CC′A+∠BB′E＝180°，∴∠AC′B′+∠AB′C′+∠BB′E＝180°，∵∠AC′B′＝90°，∠B′AC′＝30°，∴∠AB′C′＝90°﹣∠B′AC′＝60°，∴∠BB′E＝30°，∴∠BB′E＝∠CAB＝30°，∴△BCA∽△BEB′，∴∠BEB′＝∠ACB＝90°，∴BE＝B′E•tan30°＝×＝，故选：B．2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝6，点P在边AC上运动（可与点A，C重合），将线段BP 绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，连接BD，CD，则CD长的最小值为 ．【分析】以BC为边构建出和△BPD相似的三角形，通过将CD边转化为其他边来求值．【解答】解：如图所示，以BC为底边向上作等腰△BQC，使∠BQC＝120°，连接PQ．由题意可得△BQC和△BPD均为顶角为120°的等腰三角形，可得，∠QBC＝∠PBD＝30°，∴∠QBC﹣∠QBD＝∠PBD﹣∠QBD，∴∠PBQ＝∠DBC，∴△PBQ∽△DBC，∴，∴当PQ⊥AC时，有PQ最小，即此时CD最小，如图所示，设OP′⊥AC，延长AQ与BC交K，此时QP'为QP的最小值，可得AK⊥BC，∵△BQC中，∠BQC＝120°，BC＝6，∴BK＝3，∠QBK＝30°，∴QK＝，∵AB＝AC＝3，KC＝3，∴AK＝＝6，∴AQ＝AK﹣QK＝5，∵∠AP'Q＝∠AKC＝90°，∠QAP'＝∠CAK，∴△AQP'∽△ACK，∴，∴，∴QP'＝，∴CD＝P′＝．3．已知在Rt△ABC中，CD⊥AB于点D．（1）在图1中，写出其中两对相似三角形．（2）已知BD＝1，DC＝2，将△CBD绕着点D按顺时针方向进行旋转得到△C'BD，连接AC'，BC．①如图2，判断AC'与BC之间的位置及数量关系，并证明；②在旋转过程中，当点A，B，C'在同一直线时，求BC的长．【分析】（1）利用两个角相等可得△ABC∽△ACD，△BCD∽△BAC；（2）①利用两边成比例且夹角相等证明△DBC∽△DC'A，得，∠DC'A＝∠DBC，可得结论；②分点C'在线段AB或AB的延长线两种情形，分别画出图形，利用勾股定理列方程可得答案．【解答】解：（1）∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝∠ACB＝90°，∴△ABC∽△ACD，△BCD∽△BAC；（2）①，AC'⊥BC，理由如下：由（1）知，在图1中，△ABC∽△CBD∽△ACD，∴，如图2，∵∠BDC'＝∠CDA＝90°，∴∠BDC＝∠C'DA，∴△DBC∽△DC'A，∴，∠DC'A＝∠DBC，∵∠DEB＝∠CEC'，∴∠C'FE＝∠BDC'＝90°，∴AC'⊥BC，∴，AC'⊥BC；②如图，当点A、B、C'在同一直线上时，由①知，，AC'⊥BC，设BC＝x，AC'＝2x，在Rt△ACB中，由勾股定理得，x2+（2x﹣）2＝（2）2，解得x＝（负值舍去），如图，当A、C'、B在同一直线上时，同理可得，x2+（2x+）2＝（2）2，解得x＝（负值舍去），综上：BC＝或．1．（2022秋•泗阳县期末）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高2m，测得AB＝3m，BC ＝6m．则建筑物CD的高是（ ）A．4m B．9m C．8m D．6m【分析】利用相似三角形的性质求解即可．【解答】解：∵EB∥CD，∴△AEB∽△ADC，∴＝，∴＝，∴CD＝6（m），故选：D．2．（2022秋•成华区期末）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BDEF是平行四边形，．若△ADE的面积为1，则平行四边形BDEF的面积为（ ）A．3B．4C．5D．6【分析】利用平行四边形的性质先说明△ADE∽△ABC、△CEF∽△CBA，再利用相似三角形的性质求出△ADE、△ABC、△CEF的面积，最后利用面积的和差关系得结论．【解答】解：∵四边形BDEF是平行四边形，∴DE∥BC，EF∥AB．∴△ADE∽△ABC，△CEF∽△CBA．∵，∴＝．∴＝．∴＝（）2＝，＝（）2＝．∵S△ADE＝1，∴S△ABC＝9，S△CEF＝4．∵S△ADE+S△CEF+S平行四边形BDEF＝S△ABC，∴S平行四边形BDEF＝9﹣1﹣4＝4．故选：B．3．（2022秋•海淀区校级月考）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝9，BP＝BC＝2，D在AC上，且∠APD ＝∠B，则CD＝ ．【分析】根据已知易得BC＝6，从而可得CP＝4，再利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，从而利用三角形内角和定理可得∠BAP+∠APB＝180°﹣∠B，然后利用平角定义可得∠APB+∠DPC＝180°﹣∠B，从而可得∠DPC＝∠BAP，进而可得△ABP∽△PCD，最后利用相似三角形的性质进行计算即可解答．【解答】解：∵BP＝BC＝2，∴BC＝3BP＝6，∴CP＝BC﹣BP＝6﹣2＝4，∵AB＝AC＝9，∴∠B＝∠C，∴∠BAP+∠APB＝180°﹣∠B，∵∠APD＝∠B，∴∠APB+∠DPC＝180°﹣∠APD＝180°﹣∠B，∴∠DPC＝∠BAP，∴△ABP∽△PCD，∴＝，∴＝，∴CD＝，故答案为：．4．（2022秋•万州区期末）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，E为CD的中点，F为BC上一点，BF＜FC，且AF⊥FE．对角线AC与EF交于点G，则GC的长为 ．【分析】根据矩形的性质可得∠B＝∠FCE＝90°，由∠AFB+∠EFC＝∠AFB+∠BAF可得∠EFC＝∠BAF，以此证明△ABF∽△FCE，根据相似三角形的性质得，设BF＝x，则CF＝9﹣x，以此列出方程解得BF＝3，CF＝6，过点G作GH⊥BC于点H，再证明△CHG∽△CBA，△FHG∽△FCE，得到，，联立两式子，算出CH、GH，最后根据勾股定理即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝∠FCE＝90°，∵AF⊥FE，∴∠AFB+∠EFC＝90°，∵∠AFB+∠BAF＝90°，∴∠EFC＝∠BAF，∴△ABF∽△FCE，∴，设BF＝x，则CF＝9﹣x，∵四边形ABCD为矩形，AB＝6，E为CD的中点，∴CE＝3，∴，整理得：x2﹣9x+18＝0，解得：x1＝3，x2＝6，∵BF＜FC，∴BF＝3，CF＝6，过点G作GH⊥BC于点H，如图，∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴GH∥AB，GH∥CD，∴△CHG∽△CBA，△FHG∽△FCE，∴，，∴①，②，联立①②得：，解得：，在Rt△CHG中，由勾股定理得GC＝．故答案为：．5．（2022•安徽模拟）在数学探究活动中，小明进行了如下操作：如图，将两张等腰直角三角形纸片ABC 和CDE如图放置（其中∠ACB＝∠E＝90°，AC＝BC，CE＝DE）．CD、CE分别与AB边相交于M、N 两点．请完成下列探究：（1）若AC＝2，则AN•BM的值为 4 ；（2）过M作MF⊥AC于F，若＝，则的值为 ．【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得∠A＝∠B＝45°，∠MCN＝45°，可得∠ACN＝∠ACM+∠MCN＝∠ACM+45°，∠BMC＝∠ACM+∠A＝∠ACM+45°，即可证明△ACN∽△BMC，可得＝，即可求解；（2）过点C作CG⊥AB于点G，可得∠CGN＝∠CFM＝90°，由等腰直角三角形的性质可得∠NCG+∠MCG＝45°，∠ACM+∠MCG＝45°，从而可得∠NCG＝∠MCF，可证得△GCN∽△FCM，可得＝＝，设CG＝4k，则CF＝5k，AC＝4k，即可求解＝．【解答】解：（1）∵△ABC和△CDE为等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝45°，∠MCN＝45°，BC＝AC＝2，∵∠ACN＝∠ACM+∠MCN＝∠ACM+45°，∠BMC＝∠ACM+∠A＝∠ACM+45°，∴∠ACN＝∠BMC，∴△ACN∽△BMC，∴＝，∵BC＝AC＝2，∴AN•BM＝AC•BC＝4，故答案为：4；（2）如图，过点C作CG⊥AB于点G，∵MF⊥AC，∴∠CGN＝∠CFM＝90°，∵∠NCG+∠MCG＝45°，∠ACM+∠MCG＝45°，∴∠NCG＝∠MCF，∴△GCN∽△FCM，∵＝，∴＝＝，设CG＝4k，则CF＝5k，AC＝4k，∴＝，故答案为：．6．（2022秋•驻马店期末）如图，AD是Rt△ABC斜边上的高，若AB＝4cm，BC＝10cm，求BD的长．【分析】根据射影定理列出算式，代入数据计算即可．【解答】解：由射影定理得，AB2＝BD•BC，则BD＝＝1.6．7．（2022秋•开化县期中）如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD．（1）求证：△ABC∽△DEC；（2）若AC：DC＝2：3，BC＝6，求EC的长．【分析】（1）由∠BCE＝∠ACD，可得出∠BCA＝∠ECD，结合∠A＝∠D，可证出△ABC∽△DEC；（2）由△ABC∽△DEC，利用相似三角形的性质可得出AC：DC＝BC：CE，结合已知条件，可求出EC 的长．【解答】（1）证明：∵∠BCE＝∠ACD，∴∠BCE+∠ECA＝∠ACD+∠ACE，即∠BCA＝∠ECD．又∵∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEC．（2）解：∵△ABC∽△DEC，AC：DC＝2：3，∴AC：DC＝BC：CE＝2：3，而BC＝6，∴EC＝9，∴EC的长为9．8．（2022秋•奉贤区期中）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC．E为边CB延长线上一点，联结DE 交边AB于点F，联结AC交DE于点G，且＝．（1）求证：AB∥CD；（2）如果AE2＝AG•AC，求证：＝．【分析】（1）由AD∥BC，得到△ADG∽△CEG，根据相似三角形的性质即可得到结论；（2）由AE2＝AG•AC易得△AEG∽△ACE，所以∠AEG＝∠ACE＝∠DAG，可得△ADG∽△EDA，再根据相似三角形的性质可得结论．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，∴△ADG∽△CEG，∴＝，∵＝，∴＝，∴AB∥CD；（2）∵AE2＝AG•AC，∴＝，∵∠EAG＝∠CAE，∴△AEG∽△ACE，∴∠AEG＝∠ACE，∵AD∥BC，∴∠ACE＝∠DAG，∴∠DAG＝∠AEG，∵∠ADG＝∠EDA，∴△ADG∽△EDA，∴，即＝．9．（2022秋•长安区校级月考）如图，已知AB∥EF∥CD，AC，BD相交于点E，EF：AB＝2：3．（1）若CE＝4，求AE的长；（2）若CD＝6，求AB的长；（3）若四边形ABFE的面积为8，直接写出△CEF的面积．【分析】（1）根据AB∥EF得到△CEF∽△CAB，接着利用相似三角形的性质得到EF：AB＝2：3＝CE：CA，由此求出CA＝6即可求解；（2）根据AB∥EF∥CD，得到△ABE∽△CDE，接着得到AB：CD＝AE：CE，利用比例的性质最后得到EFAE：CE＝AB：CD＝1：2即可求出AB＝3；（3）由于△CEF∽△CAB得到S△CEF：S△CAB＝＝＝，由此即可求解．【解答】解：（1）∵AB∥EF，∴△CEF∽△CAB，∴EF：AB＝2：3＝CE：CA，∵CE＝4，∴2：3＝4：CA，∴CA＝6，∴AE＝CA﹣CE＝6﹣4＝2；（2）∵AB∥EF∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴AB：CD＝AE：CE，∵EF：AB＝2：3＝CE：CA，∴CE：EA＝2：1，∴AE：CE＝AB：CD＝1：2，而CD＝6，∴AB＝3；（3）∵△CEF∽△CAB，∴S△CEF：S△CAB＝＝＝，∴＝，∴＝，∴S△CEF＝．10．（2022•文山州模拟）如图，在△ABC中，∠A＝90°，D、E分别是AB、BC上的点，过B、D、E三点作⨀O，交CD延长线于点F，AC＝3，BC＝5，AD＝1．（1）求证：△CDE∽△CBF；（2）当⨀O与CD相切于点D时，求⨀O的半径；（3）若S△CDE＝3S△BDF，求DF的值．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质可得∠BED+∠BFD＝180°，再根据同角的补角相等可得∠CED ＝∠BFD，然后根据两角相等的两个三角形相似进行证明即可解答；（2）连接OD，过点O作OM⊥BD，垂足为M，可得DM＝BM＝DB，∠OMD＝90°，从而可得∠ODM+∠MOD＝90°，再在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB的长，从而求出BD，DM的长，然后在Rt△ACD 中，利用勾股定理求出CD的长，再利用切线的性质可得∠ODC＝90°，最后利用一线三等角相似模型证明△DMO∽△CAD，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答；（3）过点D作DH⊥BC，垂足为H，过点B作BG⊥CF，垂足为G，根据△BDC的面积＝BC•DH＝BD•AC＝BG•CD，可求出DH＝，BG＝，再根据已知S△CDE＝3S△BDF，可得＝，然后设DF＝x，则CE＝15x，从而利用（1）的结论，进行计算即可解答．【解答】（1）证明：∵四边形BEDF是⊙O的内接四边形，∴∠BED+∠BFD＝180°，∵∠BED+∠CED＝180°，∴∠CED＝∠BFD，∵∠DCE＝∠BCF，∴△CDE∽△CBF；（2）连接OD，过点O作OM⊥BD，垂足为M，∴DM＝BM＝DB，∠OMD＝90°，∴∠ODM+∠MOD＝90°，∵∠A＝90°，BC＝5，AC＝3，∴AB＝＝＝4，∵AD＝1，∴BD＝AB﹣AD＝4﹣1＝3，∴DM＝BD＝，在Rt△ADC中，CD＝＝＝，∵⨀O与CD相切于点D，∴∠ODC＝90°，∴∠ODM+∠ADC＝180°﹣∠ODC＝90°，∴∠MOD＝∠ADC，∵∠OMD＝∠A＝90°，∴△DMO∽△CAD，∴＝，∴＝，∴DO＝，∴⨀O的半径为；（3）过点D作DH⊥BC，垂足为H，过点B作BG⊥CF，垂足为G，∵△BDC的面积＝BC•DH＝BD•AC＝BG•CD，∴BC•DH＝BD•AC＝BG•CD，∴5DH＝3×3＝BG，∴DH＝，BG＝，∵S△CDE＝3S△BDF，∴CE•DH＝3×DF•BG，∴CE•DH＝3DF•BG，∴CE＝3DF•，∴＝＝，∴设DF＝x，则CE＝15x，由（1）得：△CDE∽△CBF，∴＝，∴＝，解得：x＝，经检验：x＝是原方程的根，∴DF＝x＝，∴DF的长为．1．（2022•巴中）如图，在平面直角坐标系中，C为△AOB的OA边上一点，AC：OC＝1：2，过C作CD∥OB交AB于点D，C、D两点纵坐标分别为1、3，则B点的纵坐标为（ ）A．4B．5C．6D．7【分析】根据CD∥OB得出，根据AC：OC＝1：2，得出，根据C、D两点纵坐标分别为1、3，得出OB＝6，即可得出答案．【解答】解：∵CD∥OB，∴，∵AC：OC＝1：2，∴，∵C、D两点纵坐标分别为1、3，∴CD＝3﹣1＝2，∴，解得：OB＝6，∴B点的纵坐标为6，故选：C．2．（2022•凉山州）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，则BC的长为（ ）A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm【分析】根据＝，得到＝，根据DE∥BC，得到∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例即可得出答案．【解答】解：∵＝，∴＝，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴BC＝15（cm），故选：C．3．（2022•哈尔滨）如图，AB∥CD，AC，BD相交于点E，AE＝1，EC＝2，DE＝3，则BD的长为（ ）A．B．4C．D．6【分析】利用平行线证明判定三角形相似，得到线段成比例求解．【解答】解：∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴＝，即＝，∴BE＝1.5，∴BD＝BE+DE＝4.5．故选：C．4．（2022•雅安）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，若＝，那么＝（ ）A．B．C．D．【分析】根据相似三角形的判定定理和性质定理解答即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∵＝，∴＝，∴＝＝．故选：D．5．（2022•扬州）如图，在△ABC中，AB＜AC，将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点D在BC 边上，DE交AC于点F．下列结论：①△AFE∽△DFC；②DA平分∠BDE；③∠CDF＝∠BAD，其中所有正确结论的序号是（ ）A．①②B．②③C．①③D．①②③【分析】由旋转的性质得出∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠ADE，AB＝AD，∠E＝∠C，进而得出∠B＝∠ADB，得出∠ADE＝∠ADB，得出DA平分∠BDE，可判断结论②符合题意；由∠AFE＝∠DFC，∠E＝∠C，得出△AFE∽△DFC，可判断结论①符合题意；由∠BAC＝∠DAE，得出∠BAD＝∠FAE，由相似三角形的性质得出∠FAE＝∠CDF，进而得出∠BAD＝∠CDF，可判断结论③符合题意；即可得出答案．【解答】解：∵将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠ADE，AB＝AD，∠E＝∠C，∴∠B＝∠ADB，∴∠ADE＝∠ADB，∴DA平分∠BDE，∴②符合题意；∵∠AFE＝∠DFC，∠E＝∠C，∴△AFE∽△DFC，∴①符合题意；∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠FAE，∵△AFE∽△DFC，∴∠FAE＝∠CDF，∴∠BAD＝∠CDF，∴③符合题意；故选：D．6．（2022•达州）如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F 处，若CD＝3BF，BE＝4，则AD的长为（ ）A．9B．12C．15D．18【分析】证明△BEF∽△CFD，求得CF，设BF＝x，用x表示DF、CD，由勾股定理列出方程即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠A＝∠EBF＝∠BCD＝90°，∵将矩形ABCD沿直线DE折叠，∴AD＝DF＝BC，∠A＝∠DFE＝90°，∴∠BFE+∠DFC＝∠BFE+∠BEF＝90°，∴∠BEF＝∠CFD，∴△BEF∽△CFD，∴，∵CD＝3BF，∴CF＝3BE＝12，设BF＝x，则CD＝3x，DF＝BC＝x+12，∵∠C＝90°，∴Rt△CDF中，CD2+CF2＝DF2，∴（3x）2+122＝（x+12）2，解得x＝3（舍去0根），∴AD＝DF＝3+12＝15，故选：C．7．（2022•云南）如图，在△ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设△ABC的面积为S1，△EBD的面积为S2，则＝（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据三角形的中位线定理，相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．【解答】解：在△ABC 中，D 、E 分别为线段BC 、BA 的中点，∴DE 为△ABC 的中位线，∴DE ∥AC ，DE ＝AC ，∴△BED ∽△BAC ，∵＝，∴＝，即＝，故选：B ．8．（2022•锦州）如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于点F ．若AB ＝6，则△AEF 的面积为 3 ．【分析】由正方形的性质可知AE ＝3，AD //BC ，则可判断△AEF ∽△CBF ，利用相似三角形的性质得到，然后根据三角形面积公式得到S △AEF ＝S △ABE ．【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝BC ＝AB ＝6，AD ∥BC ，∵E 为AD 的中点，∴AE ＝AB ＝3，∵AE ∥BC ，∴△AEF ∽△CBF ，∴＝＝，∴S △AEF ：S △ABF ＝1：2，∴S△AEF＝S△ABE＝××3×6＝3．故答案为：3．9．（2022•牡丹江）如图，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D 在BC边上，DE与AC相交于点F，AH⊥DE，垂足是G，交BC于点H．下列结论中：①AC＝CD；②AD2＝BC•AF；③若AD＝3，DH＝5，则BD＝3；④AH2＝DH•AC，正确的是 ②③ ．【分析】①根据等腰直角三角形可知∠B＝∠ACB＝45°，若AC＝CD，则∠ADC＝∠CAD＝67.5°，这个根据已知得不出来，所以①错误；②证明△AEF∽△ABD，列比例式可作判断；④证明△ADH∽△BAH，列比例式可作判断；③先计算AH的长，由④中得到的比列式计算可作判断．【解答】解：①∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵∠ADC＝∠B+∠BAD，而∠BAD的度数不确定，∴∠ADC与∠CAD不一定相等，∴AC与CD不一定相等，故①错误；②∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵∠B＝∠AED＝45°，∴△AEF∽△ABD，∴＝，∵AE＝AD，AB＝BC，∴AD2＝AF•AB＝AF•BC，∴AD2＝AF•BC，故②正确；④∵∠DAH＝∠B＝45°，∠AHD＝∠AHD，∴△ADH∽△BAH，∴＝，∴AH2＝DH•BH，而BH与AC不一定相等，故④不一定正确；③∵△ADE是等腰直角三角形，∴∠ADG＝45°，∵AH⊥DE，∴∠AGD＝90°，∵AD＝3，∴AG＝DG＝，∵DH＝5，∴GH＝＝＝，∴AH＝AG+GH＝2，由④知：AH2＝DH•BH，∴（2）2＝5BH，∴BH＝8，∴BD＝BH﹣DH＝8﹣5＝3，故③正确；本题正确的结论有：②③故答案为：②③．10．（2022•东营）如图，在△ABC中，点F、G在BC上，点E、H分别在AB、AC上，四边形EFGH是矩形，EH＝2EF，AD是△ABC的高，BC＝8，AD＝6，那么EH的长为 ．【分析】设AD交EH于点R，由矩形EFGH的边FG在BC上证明EH∥BC，∠EFC＝90°，则△AEH∽△ABC，得＝，其中BC＝8，AD＝6，AR＝6﹣EH，可以列出方程＝，解方程求出EH 的值即可．【解答】解：设AD交EH于点R，∵矩形EFGH的边FG在BC上，∴EH∥BC，∠EFC＝90°，∴△AEH∽△ABC，∵AD⊥BC于点D，∴∠ARE＝∠ADB＝90°，∴AR⊥EH，∴＝，∵EF⊥BC，RD⊥BC，EH＝2EF，∴RD＝EF＝EH，∵BC＝8，AD＝6，AR＝6﹣EH，∴＝，解得EH＝，∴EH的长为，故答案为：．11．（2022•上海）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长．（1）如图（1）所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，α的代数式表示）（2）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．如图（2）所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度．【分析】（1）根据题意可得BE＝CD＝b米，EC＝BD＝a米，∠AEC＝90°，∠ACE＝α，然后在Rt△AEC 中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，进行计算即可解答；（2）根据题意得：GC＝DE＝2米，CD＝1.8米，∠ABC＝∠GCD＝∠EDF＝90°，然后证明A字模型相似三角形△ABH∽△GCH，从而可得＝，再证明A字模型相似三角形△ABF∽△EDF，从而可得＝，进而可得＝，最后求出BC的长，从而求出AB的长．【解答】解：（1）如图：由题意得：BE＝CD＝b米，EC＝BD＝a米，∠AEC＝90°，∠ACE＝α，在Rt△AEC中，AE＝CE•tanα＝a tanα（米），∴AB＝AE+BE＝（b+a tanα）米，∴灯杆AB的高度为（a tanα+b）米；（2）由题意得：GC＝DE＝2米，CD＝1.8米，∠ABC＝∠GCD＝∠EDF＝90°，∵∠AHB＝∠GHC，∴△ABH∽△GCH，∴＝，∴＝，∵∠F＝∠F，∴△ABF∽△EDF，∴＝，∴＝，∴＝，∴BC＝0.9米，∴＝，∴AB＝3.8米，∴灯杆AB的高度为3.8米．1．（2022•贺州）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝5，则S△ADE：S△ABC的值是（ ）A．B．C．D．【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵DE＝2，BC＝5，∴S△ADE：S△ABC的值为，故选：B．2．（2022•南岗区三模）如图，点E在菱形ABCD的边CD的延长线上，连接BE交AD于点F，则下列式子一定正确的是（ ）A．B．C．D．。
4.5相似三角形(含位似)-简单数学之2022年中考一轮复习一点三练系列(解析版)(全国适用)
第四章三角形4.5相似三角形（含位似）一、课标解读1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。
2.通过具体实例认识图形的相似。
了解相似多边形和相似比。
3.掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
4.了解相似三角形的判定定理及其证明。
5.了解相似三角形的性质定理。
6.了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。
7.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。
二、知识点回顾知识点1. 比例线段1．定义：对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等，如a b＝cd(即ad＝bc)，我们就说这四条线段成比例．2．基本性质：性质1：若ab＝cd，则ad＝bc (b≠0，d≠0)．性质2：若ab＝cd，则a±bb＝c±dd(b≠0，d≠0)．性质3：若ab＝cd＝…＝mn(b＋d＋…＋n≠0)，则a＋c＋…＋mb＋d＋…＋n＝ab．3．比例中项：如果ab＝bc，即b2＝ac，就把b叫做a，c的比例中项．知识点2. 平行线分线段成比例1．基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段．如图1，若l1∥l2∥l3，则ABBC＝DEEF或ABAC＝DEDF．2．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．如图2，3，若DE∥BC，则ADDB＝AEEC，ADAB＝AEAC等．知识点3 相似三角形的性质及判定1.定义:对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比.2.相似三角形的性质:(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例;(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比;(3)相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.知识点4 相似三角形的判定方法1.（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.（2）三边对应成比例的两个三角形相似.（3）两边对应成比例且对应边的夹角相等的两个三角形相似.（4）两角分别相等的两个三角形相似.（5）斜边和一直角边对应成比例.2. 常见的相似三角形模型（1）A字型及其变形已知BC∥DE 已知∠1＝∠B 已知∠1＝∠B（2）X字型及其变形已知AB∥DE 已知∠A＝∠D（3）旋转型（4）垂直型双垂直型 三垂直型一线三等角型知识点5 相似多边形1.概念:两个边数相等的多边形，如果它们的角对应相等，边对应成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形，对应边的比叫做相似比.2.性质: (1)相似多边形的对应角相等，对应边成比例;(2)相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.知识点5 位似1.位似图形的定义:如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这点叫做位似中心，这时我们说这两个图形关于这点位似，它们的相似比又称为位似比.2.位似图形的性质:位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.3.位似变换的坐标:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，即若原图形的某一点坐标为(x，y),则其位似图形对应点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky).三、热点训练热点1：相似图形的概念和性质一练基础1．（2022·福建三明·一模）如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，B，C，D，E，F，若DE＝7，EF＝10，则A BB C的值为（）A．710B．107C．717D．1017【答案】A【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，求解即可．解：∵DE =7，EF =10，a ∥b ∥c ，∴710AB DE BC EF ==，故选A ．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．2．（2021·广东·二模）如图，在△ABC 中，点D 是AB 边上的一点．以B 为圆心，以一定长度为半径画弧，分别交AB 、BC 于点F 、G ，以D 为圆心，以相同的半径画弧，交AD 于点M ，以M 为圆心，以FG 的长度为半径画弧，交 MN于点N ，连接DN 并延长交AC 于点E ．则下列式子中错误的是（ ）A ．AD AEBD EC=B ．AB ACBD EC=C ．AD DEBD BC=D ．AD AEAB AC=【答案】C 【解析】【分析】由平行线分线段成比例可得=AD AE BD EC ，=AD AEAB AC ，=AB AC BD EC由相似三角形的性质可得=AD DE AB BC ，即可求解．【详解】解：由题意可得：∠ABC ＝∠ADE ，∴DE ∥BC ，∴=AD AE BD EC ，=AD AEAB AC ，=AB AC BD EC，故选项A ，B ，D 不合题意，∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴=AD DEAB BC，故选项C 符合题意，【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．3．（2022·上海虹口·九年级期末）已知点P是线段AB上的黄金分割点，AP>PB，线段AB=2厘米，那么线段AP=____________．【答案】)1cm【解析】【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP AB，代入数据即可得出AP的长．【详解】解：由于P为线段AB的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP＝AB＝1，1．【点睛】本题考查黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．4．（2021·上海市徐汇中学九年级阶段练习）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），AB＝4，那么AP＝____．【答案】25-2##-2+25【解析】【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP AB，代入数据即可得出AP的长．【详解】解：由于P为线段AB的黄金分割点，且AP是较长线段，AB＝4，则AP AB×4＝2．故答案为2．【点睛】．5．（2018·安徽相山·中考模拟）若23a c eb d f===，则2323a c eb d f-+-+＝______．【答案】2 3【解析】【分析】根据23a c eb d f===可得222,,333a b c d e f===，把a，c，e代入所求代数式中，约分后即可求得结果．【详解】∵23a c eb d f===∴222,,333 a b c d e f ===∴2222323223233323233233b d fa c eb d fb d f b d f b d f-´+´-+-+==´= -+-+-+故答案为：2 3【点睛】本题考查了比例的性质，求代数式的值，根据比例的性质变形是关键．6．（2021·四川德阳·的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形，边AB1，则该矩形的周长为__________________．【答案】2或4【解析】【分析】分两种情况：①边AB为矩形的长时，则矩形的宽为3②边AB为矩形的宽时，则矩形的长为2=，求出矩形的周长即可．【详解】解：分两种情况：①边AB1)3=，\矩形的周长为：134-+=；②边AB为矩形的宽时，则矩形的长为：1)2=，\矩形的周长为12)2+=+；综上所述，该矩形的周长为2或4，故答案为：2或4．【点睛】本题考查了黄金分割，熟记黄金分割的比值是解题的关键．二练巩固7．（2022·上海杨浦·九年级期末）已知点P是线段AB上的一点，线段AP是PB和AB的比例中项，下列结论中，正确的是（）A．PBAP=B．PBAB=C．APAB=D．APPB=【答案】C【解析】【分析】设AB=1，AP=x，则PB=1－x，由比例中项得出AP2=PB·AB，代入解一元二次方程即可解答．【详解】解：设AB=1，AP=x，则PB=1－x，∵线段AP是PB和AB的比例中项，∴AP2=PB·AB，即x2=1－x，∴x2+x－1=0，解得：1x2x=，∴PB=1∴PBAP=，APAB=APPB故选：C．【点睛】本题考查比例中项、线段的比、解一元二次方程，熟知比例中项的定义是解答的关键．8．（2021·四川巴中·中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足BP APAP AB=，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（ ）A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x）C．x（20﹣x）＝202D．以上都不对【答案】A【解析】【分析】点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，则BP APAP AB=，即可求解．【详解】解：由题意知，点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，∴BP AP AP AB=，∴（20−x）2＝20x，故选：A．【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．9．（2021·全国·九年级专题练习）如果四条线段a、b、c、d构成a cb d=，0m>，则下列式子中，成立的是（）A．b ca d=B．a c mb d m+=+C．a b d cb d--=D．a c cb d d+=+【答案】D【解析】【分析】根据比例的性质变形，再进行判断．【详解】解：A、∵a cb d=，0m>，∴b da c=；故本选项错误；B 、∵a cb d =，0m >，∴ac m bd m +¹+；故本选项错误；C 、∵a cb d =，0m >，∴a b dc bd --=-；故本选项错误；D 、∵a cb d =，0m >，∴ac c bd d+=+；故本选项正确．故选D ．【点睛】本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．10．（2011·上海·中考模拟）若线段c 是线段a ，b 的比例中项，且4a =，9b =，则c =_____________．【答案】6【解析】【分析】根据比例中项的定义可得c 2=ab ，从而易求c ．【详解】解：∵线段c 是线段a ，b 的比例中项，∴c 2=ab ，∵a =4，b =9，∴c 2=36，∴c =6（负数舍去），故答案是：6．【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是理解比例中项的含义．11．（2021·四川内江·中考真题）已知非负实数a ，b ，c 满足123234a b c---==，设23S a b c =++的最大值为m ，最小值为n ，则nm的值为 __．【答案】1116+##0.6875【解析】【分析】设123234a b c k ---===，则21a k =+，32b k =+，34c k =-，可得414S k =-+；利用a ，b ，c 为非负实数可得k 的取值范围，从而求得m ，n 的值，结论可求．【详解】解：设123234a b ck---===，则21a k=+，32b k=+，34c k=-，23212(32)3(34)414S a b c k k k k\=++=++++-=-+．aQ，b，c为非负实数，\210 320 340kkk+ìï+íï-î………，解得：13 24k -……．\当12k=-时，S取最大值，当34k=时，S取最小值．1414162mæö\=-´-+=ç÷èø，3414114n=-´+=．\1116nm=．故答案为：11 16【点睛】本题主要考查了比例的性质，解不等式组，非负数的应用等，设123234a b ck---===是解题的关键．12．（2021·浙江·诸暨市暨阳初级中学一模）AD为面积为30 的锐角三角形ABC的高，∠ACB＝2∠BAD，线段AB上的点E将AB分成两条线段的比为3∶2，过点E作BC的平行线交AC于点F，若AD＝6，则CF ＝_______．【答案】4或6【解析】【分析】根据三角形面积公式求得BC＝10，根据角的和差倍数可得∠B＝∠BAC，继而由等角对等边的性质可得BC ＝AC＝10，根据线段比例即可求解．【详解】∵S△ABC＝12AD BC×＝30，AD＝6，∴BC＝10，在Rt △ABD 中，∠BAD ＝90°﹣∠B ，∠B ＝90°﹣∠BAD ，在Rt △ACD 中，∠CAD ＝90°﹣∠ACB ，∵∠ACB ＝2∠BAD ，∴∠CAD ＝90°﹣2∠BAD ，∴∠BAC ＝∠CAD ＋∠BAD ＝90°﹣∠BAD ，∴∠B ＝∠BAC ，∴BC ＝AC ＝10，∵点E 将AB 分成两条线段的比为3∶2，EF ∥BC ，∴2210455CF AC ==´=,或3310655CF AC ==´=，故答案为：4或6．【点睛】本题考查角的和差倍数关系，等角对等边的性质，线段的比例，解题的关键是求得BC ＝AC ＝10．三练拔高13．（2021·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD 中，P 为对角线BD 上一点，过点P 作//PE AB ，交AD 于点E ，过点P 作//PF CD ，交BC 于点F ，则下列所给的结论中，不一定正确的是（ ）．A ．PE PF AB CD =B ．AE BF DE CF =C ．1CF AE BC AD +=D ．1PE PF AB CD+=【答案】A【解析】【分析】根据//PE AB ，可证△EPD ∽△ABD ，△BFP ∽△BCD ，即可判断A ；由//PE AB ，//PF CD 可得AE BP ED PD =，BF BP FC PD =可判断B ；由//PE AB ，//PF CD ，可得AE BP AD BD =，FC PD BC BD=，可判断C ，由 //PE AB ，可证△EPD ∽△ABD ，△BFP ∽△BCD ，可判定D ．【详解】解：A ．∵//PE AB ，∴∠DEP =∠A ，∠DPE =∠DBA ，∴△EPD ∽△ABD ，∴ EP DP AB DB=，∵//PF CD ，∴∠BPF =∠BDC ，∠BFP =∠C ，∴△BFP ∽△BCD ，∴PF BP CD DB =，∵DP BP DB DB ¹，∴PE PF AB CD¹，故选项A 不正确；B ．∵//PE AB ，//PF CD ，∴AE BP ED PD =，BF BP FC PD =，∴AE BF DE CF=，故选项B 正确；C ．∵//PE AB ，//PF CD ，∴AE BP AD BD =，FC PD BC BD =，∴1AE FC BP PD AD BC BD BD+=+=，故选项C 正确，1CF AE BC AD+= ，D ．∵//PE AB ，∴∠DEP =∠A ，∠DPE =∠DBA ，∴△EPD ∽△ABD ，∴ EP DP AB DB=，∵//PF CD ，∴∠BPF =∠BDC ，∠BFP =∠C ，∴△BFP ∽△BCD ，∴PF BP CD DB =，∴ 1EP PF DP PB DP PB AB CD DB BD BD++=+==，故选项D 正确．故选择A ．【点睛】本题考查平行线截线段比例，和三角形相似判定与性质，掌握平行线截线段长比例，和三角形相似判定与性质是解题关键．14．（2021·全国·0.618)»的矩形称为黄金矩形，这被称为黄金分割比例．如图，名画《蒙娜丽莎的微笑》的整个画面的主体部分很好地体现了黄金分割比例，其中矩形ABCD 是黄金矩形，若我们把一个正方形AEFD 嵌入黄金矩形ABCD 中（正方形的边长等于黄金矩形的宽），这样就创造了一个新的黄金矩形BEFC ．如果把这个过程重复数次，接着我们要在每个正方形内画一条圆弧，让每个圆弧的半径等于它所在正方形的边长就会得到下面这张图，若AB a =，则图中弧HF 的长为（ ）A B ．2pC ．22a p·D ．32a p·【答案】C 【解析】【分析】根据黄金矩形的定义，求出BE 长，再用弧长公式求解即可．【详解】解：∵矩形ABCD 是黄金矩形，AB a =，∴BC AB =，BC =，∵矩形BEFC 是黄金矩形，∴BE CB =2BE GH a ==，弧HF 的长为2901802a GH p p ·=×，故选：C ．【点睛】本题考查了黄金分割和弧计算，解题关键是利用黄金分割求出半径，再熟练运用弧长公式进行计算．15．（2022·福建福州·一模）如图，在四边形ABCD 中，AB = 5，∠A = ∠B = 90°，O 为AB 中点，过点O 作OM ⊥CD 于点M ．E 是AB 上的一个动点（不与点A ，B 重合），连接CE ，DE ，若∠CED = 90°且CE DE = 43．现给出以下结论：（1）△ADE 与△BEC 一定相似；（2）以点O 为圆心，OA 长为半径作⊙O ，则⊙O 与CD 可能相离；（3）OM 的最大值是52；（4）当OM 最大时，CD =12524．其中正确的是 _________ ．（写出所有正确结论的序号）【答案】（1）（3）（4）【解析】【分析】利用“一线三垂直”可以判定△ADE 与△BEC 相似；再利用四边形ADMO 与四边形MOBC 相似，可知225OM AE AE =-+，即可得出OM 最大值为52，即可判定（2）、（3）、（4）．【详解】解：∵∠A = ∠B = 90°，∠CED = 90°，∴∠AED = ∠BCE ，∴V ADE ∼V BEC ．故（1）正确；∵∠OMC = 90°,∴∠ADM +∠AOM =180°，∠ADM +∠MCB =180°，∴∠AOM =∠MCB ，∴四边形ADMO 与四边形MOBC 相似，∴AD OM OM BC=，∴2OM AD BC=g ∵△ADE ∼△BEC ∴34AD AE DE BE BC CE ===，∴AD BC AE BE =g g ，∴2OM AE BE =g ，即()25-OM AE AE =g ，∴225OM AE AE=-+∴当AE =BE =52时，OM 值最大，最大值为52．∴以点O 为圆心，OA 长为半径作⊙O ，则⊙O 与CD 不可能相离，故（2）错误，（3）正确，∵当OM 最大时，点O 与点E 重合（如图所示），AE =BE =OM =52，∴AED MED @V V ，BCE MCE @V V ，∴AD =MD ，BC =MC ，∴CD =AD +BC ，∵34AD DE BE CE ==，34AE DE BC CE ==，解得：158AD =，103BC =，∴CD =AD +BC =12524．故答案为：（1）（3）（4）【点睛】本题主要考查的是四边形中相似的应用，熟练的进行边的比值的转化时本题的解题关键．16．（2021·湖南湘潭·中考真题）德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”．如图①，点C 把线段AB 分成两部分，如果0.618CB AC =»，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．（1）特例感知：在图①中，若100AB =，求AC 的长；（2）知识探究：如图②，作⊙O 的内接正五边形：①作两条相互垂直的直径MN 、A I ；②作ON 的中点P ，以P 为圆心，PA 为半径画弧交OM 于点Q ；③以点A 为圆心，AQ 为半径，在⊙O 上连续截取等弧，使弦AB BC CD DE AQ ====，连接AE ；则五边形ABCDE 为正五边形．在该正五边形作法中，点Q 是否为线段OM 的黄金分割点？请说明理由．（3）拓展应用：国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，是一个非常优美的几何图形，与黄金分割有着密切的联系．延长题（2）中的正五边形ABCDE 的每条边，相交可得到五角星，摆正后如图③，点E 是线段PD 的黄金分割点，请利用题中的条件，求cos72°的值．【答案】（1）61.8；（2）是，理由见解析；（3【解析】【分析】（1）根据黄金分割的定义求解即可；（2）设⊙O 的半径为a ，则OA =ON =OM =a ，利用勾股定理求出PA ，继而求出OQ ，MQ ，即可作出判断；（3）先求出正五边形的每个内角，即可得到∠PEA =∠PAE =18010872°-°=°，根据已知条件可知cos 72°=12AE PE，再根据点E 是线段PD 的黄金分割点，即可求解．【详解】0.618»，，即0.618100AC AC -=»，解得：AC ≈61.8；（2）Q 是线段OM 的黄金分割点，理由如下：设⊙O 的半径为a ，则OA =ON =OM =a ，∴OP ∴PA PQ =，∴OQ ∴MQ MQ OQ =∴Q 是线段OM 的黄金分割点；（3）正五边形的每个内角为：()521801085-´°=°，∴∠PEA =∠PAE =18010872°-°=°，∴cos 72°=12AE PE，∵点E 是线段PD 的黄金分割点，∴DE PE =，又∵AE =ED ，∴AE PE =，∴cos72°=12AEPE=【点睛】本题考查黄金分割、勾股定理、锐角三角函数，解题的关键是读懂题意正确解题．热点2：相似三角形的性质与判定一练基础1．（2022·福建三明·一模）下列各组图形中，不一定相似的是（）A．任意两个等腰直角三角形B．任意两个等边三角形C．任意两个矩形D．任意两个正方形【答案】C【解析】【分析】根据相似图形的判定定理，对选项进行一一分析，找出符合题意的答案．【详解】解：A、任意两个等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，两腰分别相等，它们两边的比值成比例，夹角为直角相等，根据相似三角形的判定定理可得任意两个等腰直角三角形相似，故不符合题意；B、任意两个等边三角形，三边分别相等，两个三角形三边对应成比例，根据三角形相似的判定定理可得任意两个等边三角形相似，故不符合题意；C、任意两个矩形，虽然对应角都等于90°相等，但对应边不一定成比例，任意两个矩形，不一定相似，故符合题意；D、任意两个正方形，四边各自相等，可得它们对应边成比例，对应角都是90°相等，根据多边形相似的判定定理可得任意两个正方形相似，故不符合题意．故选C．【点睛】本题考查相似图形的识别，掌握图形相似的定义即图形的形状相同，但大小不一定相同的是相似形与判定定理是解题关键．2．（2021·贵州毕节·九年级阶段练习）在图（1）、（2）所示的△ABC中，AB=4，AC=6．将△ABC分别按照图中所标注的数据进行裁剪，对于各图中剪下的两个阴影三角形而言，下列说法正确的是（）A．只有（1）中的与△ABC相似B．只有（2）中的与△ABC相似C．都与△ABC相似D．都与△ABC不相似【答案】B【解析】【分析】根据相似三角形判定定理，两边对应成比例夹角相等，两个三角形相似，先求出两个三角形中夹角相等的两边的比值，看是否相等可判断A不正确，B正确，进而可判断C与D即可．【详解】解：图形（1）中标字母如图，∵BE=2，BA=4，23BEBA=，BF=3，BC不定，3BF BEBC BC BA=¹，∴（1）中的△BEF不与△ABC相似，故选项A不正确；图2中标字母如图，∵GC=4，BH=1，AB=4，AC=6．∴AH=AB-BH=4-1=3，AG=AC-GC=6-4=2，∴2142AGAB==，3162AHAC==，∴AG AH AB AC=，∵∠HAG=∠CAB，∴△AHG ∽△ACB ，故选项B 正确，，故选项C 不正确，选项D 不正确．故选择B ．【点睛】本题考查相似三角形的判定，掌握三角形相似的判定方法是解题关键．3．（2022·江苏兴化·九年级期末）如图，如果BAD CAE Ð=Ð，那么添加下列一个条件后，仍不能确定ABC ADE V :V 的是（ ）A ．B DÐ=ÐB ．AB DE AD BC =C ．C AED Ð=ÐD ．AB AC AD AE=【答案】B【解析】【分析】根据题意可得EAD CAB Ð=Ð，然后根据相似三角形的判定定理逐项判断，即可求解．【详解】解：∵BAD CAE Ð=Ð，∴EAD CAB Ð=Ð，A 、若添加B D Ð=Ð，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明ABC ADE V :V ，故本选项不符合题意；B 、若添加AB DE AD BC=，不能证明ABC ADE V :V ，故本选项符合题意；C 、若添加C AED Ð=Ð，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明ABC ADE V :V ，故本选项不符合题意；D 、若添加AB AC AD AE=，可用两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，证明ABC ADE V :V ，故本选项不符合题意；【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．4．（2021·湖北当阳·一模）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm ，6cm 和10cm ，另一个三角形的最短边长为2.5cm ，则它的最长边为（ ）A ．3cmB ．4cmC ．4.5cmD ．5cm 【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得．【详解】解：设另一个三角形的最长边长为x cm ，根据题意，得：2.5510x =，解得：5x =，即另一个三角形的最长边长为5cm ，故选D ．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握相似三角形的性质.5．（2021·河南伊川·九年级期中）如图，在ABC V 中，6,4AC AB ==，点D 与点A 在直线BC 的同侧，且ACD ABC Ð=Ð，2CD =，点E 是线段BC 延长线上的动点，当DCE V 和ABC V 相似时线段CE 的长为（ ）A ．3B ．43C ．3或43D ．4或34【答案】C 【解析】根据ACD ABC Ð=Ð，可得A DCE Ð=Ð ，然后分两种情况讨论，即可求解．【详解】解：∵ACD ABC Ð=Ð，ACD DCE A ABC Ð+Ð=Ð+Ð ，∴A DCE Ð=Ð ，当 B CDE A C V :V 时，∴CD CE AB AC= ，∵6,4AC AB ==，2CD =，∴246CE = ，解得：3CE = ；当B CED A C V :V 时，∴CE CD AB AC= ，∵6,4AC AB ==，2CD =，∴246CE = ，解得：43CE =∴线段CE 的长为3或43．故选：C【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键．6．（2021·广东·东莞市石龙第二中学模拟预测）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，若△ABC 的面积为4，则四边形BCED 的面积为___．【答案】3【解析】【分析】由题意知DE 是ABC V 的中位线，有12DE BC DE BC =∥，，从而得ADE ABC △△∽，有212ADE ABC S S æö=ç÷èøV V ，求出ADE S V 的值，对ABC ADE BCED S S S =-V V 四边形计算求解即可．【详解】解：由题意知DE 是ABC V 的中位线∴12DE BC DE BC =∥，∴ADE ABC△△∽∴212ADE ABC S S æö=ç÷èøV V ∵=4ABC S △∴=1ADE S V ∴=3ABC ADE BCED S S S =-V V 四边形故答案为：3．【点睛】本题考查了中位线，相似三角形的性质．解题的关键在于明确相似三角形的面积比等于相似比的平方．7．（2021·广东惠阳·二模）如图，AB ，CD 相交于O 点，△AOC ∽△BOD ，OC ：CD ＝1：3，AC ＝2，则BD 的长为 __．【答案】4【解析】【分析】根据OC ：CD ＝1：3，求得OC ：OD ＝1：2，根据相似三角形的对应边的比相等列出方程，计算即可．【详解】∵OC ：CD ＝1：3，∴OC ：OD ＝1：2，∵△AOC ∽△BOD，∴AC OC BD OD=，即212 BD=，解得：BD＝4，故答案为：4．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等是解题的关键．8．（2022·江苏溧阳·九年级期末）如果两个相似三角形的周长比是1︰4，那么它们的面积比是_________．【答案】1:16【解析】【分析】根据相似三角形的相似比等于周长比，可得两个相似三角形的相似比是1︰4，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解．【详解】解：∵两个相似三角形的周长比是1︰4，∴两个相似三角形的相似比是1︰4，∴它们的面积比是1:16．故答案为：1:16【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的相似比等于周长比，相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．二练巩固9．（2022·福建福州·一模）如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且AD = 1，BD = 5，AE = 2，∠AED = ∠B，则AC的长是（）A．2.4B．2.5C．3D．4.5【答案】C【解析】【分析】由AED B Ð=Ð，DAE CAB Ð=Ð可证DAE CAB ∽△△，有DA AE CA AB =，计算求解即可．【详解】解：∵AED B Ð=Ð，DAE CAB Ð=Ð，∴DAE CAB ∽△△，∴DA AE CA AB =，∴1251AC =+，解得3AC =，故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键在于证明三角形相似．10．（2021·湖南·师大附中梅溪湖中学二模）如图，在菱形ABCD 中，点F 在线段CD 上，连接EF ，且∠CBE +∠EFC ＝180°，DF ＝2，FC ＝3．则DB ＝（ ）A ．6B ．C ．5D ．【答案】D【解析】【分析】根据菱形的性质可得BD =2DE ，BC =CD =5，从而得到∠CBE =∠CDB ，再由∠CBE +∠EFC ＝180°，可得∠CBE =∠CDB =∠DFE ，从而得到△DEF ∽△DCB ，可得到2DE DF BC DE=，解得DE ，即可求解．【详解】解：在菱形ABCD 中，BD =2DE ，BC =CD =DF +FC =2+3=5，∴∠CBE =∠CDB ，∵∠CBE +∠EFC ＝180°，∠DFE +∠EFC ＝180°，∴∠CBE =∠DFE ，∴∠CBE =∠CDB =∠DFE ，∵∠CDB =∠EDF ，∴△DEF ∽△DCB ，∴DE DF DC BD = ，∴2DE DF BC DE =，∴252DE DE= ，解得：DE ，∴2DB DE =．故选：D【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理，菱形的性质定理是解题的关键．11．（2021·广东花都·三模）如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AB 边上一点，若AE ：AB ＝1：3，则S △AEF ：S △ADC ＝（ ）A ．1：12B ．1：9C ．1：6D ．1：3【答案】A【解析】【分析】先判断出△AEF 与△DCF 是相似，利用性质可求面积比，再由△AEF 与△ADF 是等高的三角形，也可得出面积比，最后根据S △ADC =S △CDF +S △ADF 计算比值即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∵AE ：AB ＝1：3，∴AE ：CD ＝1：3，∵AE ∥CD ，∴△AEF ∽△CDF ，∴21(9AEF CDF S AE S CD ==V V ，13EF AE DF CD ==，∴S △CDF =9S △AEF ，S △ADF =3S △AEF ，∵S △ADC =S △CDF +S △ADF ，∴19312AEF AEF ADC AEF AEF S S S S S ==+V V V V V ，故选：A ．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似和平行四边形的基本知识，属于中考常考题型．12．（2021·山东济南·中考真题）如图，在ABC V 中，90ABC Ð=°，30C Ð=°，以点A 为圆心，以AB 的长为半径作弧交AC 于点D ，连接BD ，再分别以点B ，D 为圆心，大于12B D 的长为半径作弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点E ，连接DE ，则下列结论中不正确的是（ ）A ．BE DE=B ．DE 垂直平分线段AC C．EDC ABC S S △△D ．2BD BC BE=×【答案】C【解析】【分析】由题中作图方法易证AP 为线段BD 的垂直平分线，点E 在AP 上，所以BE=DE ，再根据，90ABC Ð=°，30C Ð=°得到ABD D 是等边三角形，由“三线合一”得AP 平分BAC Ð，则30PAC C Ð=Ð=°，AE CE =,且30°角所对的直角边等于斜边的一半，故12AB AD AC ==，所以DE 垂直平分线段AC ，证明~EDC ABC D D 可得ED CD AB BC =即可得到结论．【详解】由题意可得：AD AB =，点P 在线段BD 的垂直平分线上AD AB =Q ，\点A 在线段BD 的垂直平分线上\AP 为线段BD 的垂直平分线Q 点E 在AP 上，\BE=DE ，故A 正确；Q 90ABC Ð=°，30C Ð=°，60BAC \Ð=°且12AB AD AC ==ABD \D 为等边三角形且AD CD=AB AD BD \==，AP \平分BAC Ð1302EAC BAC \Ð=Ð=°，AE EC \=，ED \垂直平分AC ，故B 正确；30ECD ACB Ð=Ð=°Q ，90EDC ABC Ð=Ð=°，EDC ABC \D D ∽，ED CD AB AB BC BC \===，213EDC ABC s s D D \==，故C 错误；ED BE =Q ，AB CD BD==BE BD BD BC\=，2BD BC BE \=×，故D 正确故选C ．【点睛】本题考查30°角的直角三角形的性质、线段垂直平分线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握这些基础知识为解题关键．13．（2021·山西·太原五中九年级阶段练习）如图，D 、E 分别是ABC V 的边AB 、BC 上的点，且//DE AC ，若:1:3BDE CDE S S =V V ，则DOE AOC S S V V :的值（ ）A ．13B ．14C ．19D ．116【答案】D【解析】【分析】证明:1:3=BE EC ，得出:1:4BE BC =；证明BDE BAC D D ∽，DOE AOC D D ∽，得到14DE BE AC BC ==，由相似三角形的性质即可解决问题．【详解】解：:1:3BDE CDE S S D D =Q ，:1:3BE EC \=；:1:4BE BC \=；//DE AC Q ，BDE BAC \D D ∽，DOE AOC D D ∽，\14DE BE AC BC ==，21:()16DOE AOC DE S S AC D D \==．故选：D ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．14．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，在ACD △中，6AD =，5BC =，()2AC AB AB BC =+，且DAB DCA V :V ，若3AD AP =，点Q 是线段AB 上的动点，则PQ 的最小值是（ ）A B C D ．85【答案】A【解析】【分析】根据相似三角形的性质得到A D C DB D A D =，得到4BD =，4AB BD ==，过B 作BH AD ^于H ，根据等腰三角形的性质得到132AH AD ==，根据勾股定理得到BH ==，当PQ AB ^时，PQ 的值最小，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：DAB DCA D D Q :，AD CD BD AD\=，656BD BD +\=，解得：4BD =（负值舍去），DAB DCA D D Q :，9362AC CD AB AD \===，32AC AB \=，()2AC AB AB BC =+Q ，()232AB AB AB BC æö\=+ç÷èø，4AB \=，4AB BD \==，过B 作BH AD ^于H ，132AH AD \==，BH \=，3,6AD AP AD ==Q ，2AP \=，当PQ AB ^时，PQ 的值最小，90,AQP AHB PAQ BAHÐ=Ð=°Ð=ÐQ APQ ABH \D D :，AP PQ AB BH\=，24\PQ \故选：A ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．15．（2021·福建·莆田八中九年级阶段练习）如图，点D 在等边三角形ABC 的边BC 上，连接AD ，线段AD 的垂直平分线EF 分别交边AB 、AC 于点E 、F ．当CD ＝2BD 时，AE AF 的值为___．【答案】45##0.8【解析】。
中考数学相似三角形专题复习一
1 / 2相似三角形专题复习一：线段的比、黄金分割1、在比例尺1：10000的地图上，相距2cm 的两地的实际距离是（ ）。
A ．200cm B ．200dm C ．200m D ．200km 2．已知线段a=10，线段b 是线段a 上黄金分割的较长部分，则线段b 的长是 3．若则下列各式中不正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．4、若52=-yy x ，则y x =_________。
已知32=y x ，则yx yx +-=_________。
5、若045=-y x 且0≠xy ，则x ∶y =_________。
6、2和8的比例中项是_________；线段2㎝与8㎝的比例中项为_________。
7、如果两个相似三角形的面积比为3∶4，则它们的周长比为_________。
8、已知a ：b ：c ＝2 ：3 ：4，且2a ＋3b －2c ＝10，求a ， b ，c 的值。
相似三角形专题复习二：相似的性质1、如果两个相似三角形的面积比为3∶4，则它们的周长比为_________。
1.1已知△ABC∽△DEF，且AB ：DE=1：2，则△ABC 的面积与△DEF 的面积之比为 2、如图,DE ∥BC ，AD ∶BD=2∶3，则ΔADE 的面积∶四边形DBCE 的面积=_________。
2.1如图，已知等边三角形ABC 的边长为2，DE 是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE=1，（2）△CDE ∽△CAB ，（3）△CDE 的面积与△CAB 的面积之比为1：4.其中正确的有：（ ）个3、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，△ADE 与△BCE 面积之比为4 ：9，那么△ADE 与△ABE 面积之比为________4、如图，在△ABC 中，矩形DEFG ，G 、F 在BC 上，D 、E 分别在AB 、AC 上，AH ⊥BC 交DE 于M ，DG ∶DE ＝1∶2，BC ＝12 cm ，AH ＝8 cm ，求矩形的各边长。
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2019-2020 年中考数学第一轮复习资料课时
30 相似三角形
【课前热身】
1．两个相似三角形对应边上中线的比等于
3：2，则对应边上的高的比为
______，周长之比
为 ________，面积之比为 _________．
2．若两个相似三角形的周长的比为
4：5，且周长之和为 45，则这两个三角形的周长分别为
__________ ．
3．如图，在△ ABC 中，已知∠ ADE= ∠ B ，则下列等式成立的是（
）
A ． AD
AE
B
． AE AD AB AC
BC BD C ．
DE
AE
D
． DE
AD BC AB
BC AC
4．在△ ABC 与 △A ′B ′C ′中 ，有下列条件：
（ 1）
AB BC ；（ 2） BC
AC
；（3）∠ A= ∠ A ；′（ 4）∠ C= ∠ C ．′ A ' B ' B 'C ' B 'C ' A 'C '
如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△
ABC ∽△A ′B ′C ′的共有多少组（ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3
D
． 4
【考点链接】
一、相似三角形的定义
三边对应成 _________ ，三个角对应 ________的两个三角形叫做相似三角形． 二、相似三角形的判定方法
1. 若 DE ∥ BC （A 型和 X 型）则 ______________．
2. 射影定理：若 CD 为 Rt △ ABC 斜边上的高（双直角图形）
则 Rt △ ABC ∽ Rt △ACD ∽Rt △ CBD 且 AC 2=________ ， CD 2=_______， BC 2=__ ____ ．
A E D C
D
E A
B C
B
C A
D B
3. 两个角对应相等的两个三角形 __________ ．
4. 两边对应成 _________且夹角相等的两个三角形相似．
5. 三边对应成比例的两个三角形
___________．三、相似三角形的性质
1. 相似三角形的对应边 _________ ，对应角 ________．
2. 相似三角形的对应边的比叫做 ________，一般用 k 表示．
3. 相似三角形的对应角平分线，对应边的________线，对应边上的 _______? 线的比等于
_______比，周长之比也等于 ________比，面积比等于 _________．
【典例精析】
例 1 在△ ABC 和△ DEF 中，已知∠ A= ∠D ，AB=4 ， AC=3 ， DE=1 ，当 DF 等于多少时，这
两个三角形相似．
例 2 如图，△ ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm ，高 AD=80mm ， ?要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上， ?这个正方形零件的边长是多少？
例 3 一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为： 3.5cm× 3.5cm，放映的荧屏的规格为 2m× 2m，若放映机的光源距胶片20cm 时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放
映的图象刚好布满整个荧屏？
【中考演练】
1. （ 08 大连）如图，若△ ABC∽△ DEF ，则∠ D 的度数为 ______________．
2. (08 杭州 )在Rt ABC中, C 为直角,CD AB 于点 D ,BC3, AB 5 ,
写出其中的一对相似三角形是_和_；并写出它的面积比_____.
A
D E
B C
（第 1 题）（第2题）（第3题）
3. ( 08 常州 ) 如图，在△ ABC 中,若 DE∥ BC, AD
＝
1
,DE ＝ 4cm,则 BC 的长为 ( ) DB 2
A.8cm
B.12cm
C.11cm
D.10cm
4. （ 08 无锡）如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF AE 于 F ，
试证明△ ABF ∽△ EAD ．。