故事《田忌赛马》背后的数学

故事《田忌赛马》背后的数学

发表时间：2019-12-10T17:25:32.893Z 来源：《教育学文摘》2019年12期作者：陈英[导读] “田忌赛马”的故事，很多人或多或少都有印象。

摘要：“田忌赛马”的故事，很多人或多或少都有印象。我们从这个故事中感受到，田忌利用了聪明的智慧最终赢得齐威王。在这个故事背后，你发现了数学知识吗？在这里，我谈及两点：一是数学排列组合中的优化原则，二是田忌赛马其实就是博弈思想的在数学中的一个运用。

关键词：田忌赛马；排列组合；优化原则；博弈思想

一.田忌赛马的故事

《史记》中有这样一个故事：战国时期，齐国的人都很喜欢赛马，齐威王也不例外。有一次，齐威王兴致很高，他想和他的将军田忌赛马。于是，他们一致规定：

1.我们双方每一个人都从自己的上等马、中等马、下等马中，各选一匹来比赛。

2.每一匹马只能参加一次比赛。如果每次比赛中取胜一次，主人就可获得一千两黄金；如果每次比赛落后一次，就要付给对方一千两黄金。

齐威王的马都是精挑细选筛选出来的，所以他的每一个等次的马都会比田忌同样等次的马要稍微强一些。所以，如果田忌按部就班，用自己的上等马pk齐威王的上等马，用自己的中等马pk齐威王的中等马，用自己的下等马pk齐威王的下等马，那么田忌就会比赛三场输掉三场，同时输掉黄金三千两。但是结果呢，他不仅没有输，反而赢了一千两黄金。

这是什么原因呢？在比赛之前，田忌找到聪明的军事家孙膑谈论此事。孙膑灵机一动，给田忌出了一个主意：田忌用自己的下等马pk 齐威王的上等马，用自己的上等马pk齐威王的中等马，用自己的中等马pk齐威王的下等马。田忌觉得孙膑的想法不错，所以在比赛中依计行事。结果，田忌的下等马当然会输，但是上等马和中等马都赢了。田忌在三场比赛中，两胜一负，最终赢了齐威王。让田忌意想不到的是，他不仅没有输，反而还赢了黄金一千两。

田忌同样的三匹马，因为在比赛过程中调换了出场顺序，结果就出现了转败为胜的效果。为什么会出现这种转败为胜的结果呢？在有双方参加的竞赛或斗争中，策略是很重要的。其实，这里的策略就要用到这个故事背后隐藏着的数学文化知识。

二.田忌赛马背后的数学文化（一）.数学排列组合中的优化原则 1.利用数学中的排列组合,算出一共有多少种比赛的可能性。

在《田忌赛马》故事中，我们有齐威王和田忌两方，那么田忌一共有多少场应对齐威王的策略呢，结果如何?怎样找才能有顺序，不重不漏呢？这其实就是一个数学中的排列组合问题。我们先找准对象是田忌，目的就是要赢得比赛。田忌每一场比赛只能出一匹马，而且每一匹马只能参加一场比赛。

第一场比赛，田忌就只能从3匹马中选择1匹马，就有3种选法。第二场比赛，田忌就只能从剩下的2匹马中选1匹马，就有2种选法。第三场比赛，田忌就只能从剩下的1匹马中选1匹马，就有1种选法。由于每一场比赛是分步进行的，3场比赛都完成了才能决定胜负，所以计算这种分步完成的事件就要采取乘法原则，即把每一步的可能性都乘起来就是总的可能性。所以，田忌应对齐威王的比赛的可能性就应该把每一步的选法乘起来，就一共有3×2×1=6种策略。但是，这6种方法中哪些才是田忌能赢的呢？

2.在6种可能性中优化出最有利于田忌成功的可能。

田忌总共有3场比赛，田忌肯定要赢2场、输一场，才能最终赢得比赛。既然要输，田忌就用最差的下等马，输给齐威王最好的上等马。然后田忌剩下的上等马就可以对齐威王的中等马，这样就可以先赢得一场；最后田忌的中等马对齐威王的下等马，这样就可以再赢得一场。最终田忌就以2:1赢得了齐威王。而且这种策略是总共6种策略中，唯一一种田忌能够战胜齐威王的可能。所以优化6种策略中最有利于田忌的那一种，他就取得了胜利。

（二）田忌赛马就是博弈思想的一个运用。

什么是博弈思想呢？博弈思想简单地说就是指二人在对局中，各自考虑到对方的策略来改变自己的对抗策略，从而达到获得比赛胜利的目的。就比如，我们来看一个脑筋急转弯的问题，问题是这样的：?在什么情况下，“零大于二、二大于五、五又大于零？”用正常的思维是不可能有答案的，但是我们换一个情景来思考，你就会发现答案就是在玩一种叫“石头-剪刀-布”游戏的时候。博弈思想就是利用了这种游戏思维来突破看似无法改变的局面，解决现实的严肃问题的策略。

在数学学科里，研究这种竞赛的策略的数学分支叫作博弈论，又称对策论（Game Theory）或者赛局理论。它不仅仅是现代数学中一个新的分支，也是运筹学中非常重要的一部分内容。在很早的时候就已经有了博弈思想，比如中国古代的著作《孙子兵法》，它就不仅是一部军事著作，而且算是最早的一部博弈论著作。博弈的构成要素有：局中人、策略、得失、信息、均衡。

1.局中人

在一场比赛或者博弈中，每一个参与者都是有权利做出决策的，因而他们就成为一个局中人。所以，如果在一场比赛中只有两个局中人的博弈现象称为“两人博弈”。同理，三个及三个以上局中人的博弈称为“多人博弈”。

2.策略

在一场博弈中，每个局中人都会选择对自己有利的、实际可行的、完整的行动方案。方案，不是某一个阶段的行动方案，而是能够指导实际行动的整体方案。一个局中人，他制作出的可行的、自始至终都是为了这场博弈筹划的行动方案，就是这个局中人的策略之一。如果在一场博弈中，局中人的所有策略的个数有有限个，则称为“有限博弈”，否则称为“无限博弈”。

3.得失

什么是得失呢？它就是在一局博弈结束时，局中人的结果就是得失。每一个局中人在博弈中的得失，既与该局中人的选择有关，也与其他局中人在那种特定情况下所选择的策略有关。所以，一场博弈中，每个局中人的“得失”跟自己的选择有关，也跟比赛中的其他局中人有很大的关系。