运用导数解含参问题高考常见题型透视

运用导数解含参问题高考常见题型透视

作者：林日平

来源：《读写算》2013年第23期

【摘要】含参数问题既是高中教学的重点和难点，又是历年高考的热点。本文从四个常见题型对含参函数问题进行了分析与研究，着重介绍常见题型利用导数解决这些问题的基本策略。

【关键词】导数解决含参题型方法

运用导数解决含参数问题既是高中教学的重点和难点，又是历年高考的热点。这类问题既能全面地考查学生对导数及其运算的运用能力，又能综合地考查学生对函数与方程思想、分类与化归思想、数形结合思想、等价变换思想等以及综合运用知识解决新情境、新问题的能力。既体现了新的课程理念，又强调了数学的实际应用，有利于考查学生的实践能力。由于含参函数问题本身具有复杂性，涉及到不等式、导数、函数等章节的多个知识点，大多数学生在解决这类问题时往往感到很棘手。本文结合近几年高考试题中出现的含参数问题进行分析与研究，探讨用导数求参数范围的几种常见题型及求解策略。

题型一：已知恒成立，求参数问题

高中数学含参数恒成立问题是一类非常常见的问题，在高中的各类考试中经常出现，在历年的高考中，颇受高考命题专家的“青睐”。对这一类问题的求解，往往借助导数知识，巧妙求解，体现了导数较高的思维价值和应用价值。

（一）单调性最值法

案例1.（2012高考湖南卷）已知函数f（x）=eax-x，其中a≠0.

若对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合.

【解析】：（1）若a0，f（x）=eax-x

故a>0. 而f'（x）=aeax-1，令f'（x）=0，得x=1a1n1a

当x1a1n1a时，f'（x）>0，f（x）单调递增，故当x=1a1n1a时，f（x）取最小值f

（1a1n1a）=1a-1a1n1a

由题意f（x）1恒成立，当且仅当1a-1a1n1a1. 令g（t）=t-t1nt，则g'（t）=-1nt

当00，g（t）单调递增；当t>1时，g'（t）

故当t=1时，g（t）取最大值g（1）=1.因此，当且仅当1a=1即a=1时，①式成立.

综上所述，a的取值集合为{1}.

（二）分离参数最值法：

在求解某些含参数问题时，若能将参数分离出来，则往往显得非常简捷、有效。这种处理方式称为"分离参数法".

若不等式f（x）g（a）恒成立[f（x）]ming（a）（即求解f（x）的最小值）；

若不等式f（x）g（a）恒成立[f（x）]ming（a）（即求解f（x）的最大值）

案例2.（2008高考湖北卷）若f（x）=-12x2+b1n（x+2）在（1-，+∞）上是减函数，则b 的取值范围是（） A.[-1，+∞] B.（-1，+∞） C.（-∞，-1] D.（-∞，-1]

【解析】：由题意可知f'（x）=-x+bx+2，在x∈（-1，+∞）上恒成立，

即bx（x+2）=（x+1）2-1在x∈（-1，+∞）上恒成立，由于x≠-1，所以b-1，

分离变量法是近几年高考考查和应用最多的一种。解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一类；（2）确定是求最大值、最小值还是值域. 高三复习过程中，很多题目都需要用到分离变量的思想。

（三）端点最值法：

案例3.（2011高考浙江卷）设函数f（x）=a21nx-x2+ax且a>0

（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求所有实数a，使e-1f（x）e2对x∈[1，e]恒成立.

【解析】：（Ⅰ）f'（x）=a2x-2x+a=（x-a）（2x+a）x（x>0）

由于a>0，所以f（x）的增区间为（0，a），减区间为（a，+∞）

（Ⅱ）由题意得，f（1）=a-1e-1ae，由（Ⅰ）知f（x）在[1，e]内单调递增，

要使e-1f（x）e2对x∈[1，e]恒成立，只要f（1）=a-1e-1f（e）=a2-e2+aee2a=e

含参数的函数恒成立问题是高考热点题型之一，这类问题往往涉及面广，题目难度大，综合性强，解决此类问题所需的数学思想、方法较多。

题型二：已知函数单调性，求参数问题

已知函数的单调性，求参变量的取值范围，实质上是含参数恒成立问题的一种重要题型，若函数f（x）在区间D上是增函数，则f'（x）0在区间D上恒成立；若函数f（x）在区间D 上是减函数，则f'（x）0在区间D上恒成立；

案例4.（2011高考安徽卷）设f（x）=ex1+ax2，其中a为正实数

（Ⅰ）当a=43时，求f（x）的极值点；（Ⅱ）若f（x）为R上的单调函数，求a的取值范围。

【解析】：f'（x）= ex（1+ax2）-ex·2ax（1+ax）2=ex（1+ax2-2ax）（1+ax）2

（I）略（II）若f（x）为R上的单调函数，又a>0，

∴f'（x）0恒成立ax2-2ax+10恒成立

因此，△4a2-4a00a1，又a>0，∴a的取值范围为0

利用导数与函数单调性的关系求解的题型，是高考命题的一种趋势，它充分体现了高考“能力立意”的思想。对此，复习中不能忽视。

题型三、已知零点（或极值点），求参数问题

已知函数的零点或极值点，求参变量的取值范围，与函数的极值、最值（或值域）有密切相关，解决该类问题的关键是转化求解，从而使问题得到解决。

案例5.（2011高考辽宁卷）已知函数f（x）=ex-2x+a有零点，则a的取值范围是

分析：问题转化为方程f（x）=ex-2x+a=0有解，即a=2x-ex有解

令 g（x）=2x-ex则由g'（x）=2-ex=0x=1n2

当x1n2时，函数g（x）递减，

∴当x=1n2时，函数g（x）取得极大值，也是最大值g（1n2）=21n2-e1n2=21n2-2

从而a21n2-2

案例6.（2010高考北京卷）设定函数f（x）=a3x3+bx2+cx+d（a>0），且方程f'（x）-

9x=0的两个根分别为1，4.（Ⅱ）若f（x）在（-∞，+∞）无极值点，求a的取值范围。

【解析】：（Ⅱ）由于a>0，所以f（x）=a3x3+bx2+cx+d在（-∞，+∞）内无极值点等价于f'（x）=ax2+2bx+c0在（-∞，+∞）内恒成立