计算传热学 第2讲 传热问题的数学描述

点P的 影响区
x
双曲型偏微分方程
∂u + a ∂u = 0 ∂t ∂x
解域中存在特征线，提纯初值问题可以，提 边值问题要结合特征线走向。
2.1.4 控制方程的数学特征
单通道坐标与双通道坐标
单通道（单向）坐标 one-way coordinate
扰动仅能沿一个方向传递 该坐标任一点处的物理量仅受来自一侧条件的影响 例子：时间坐标；边界层流动中的主流坐标 数学上：抛物方程，初值问题 数值方法上：可以采用逐步推进法求解
φ ＝T，ρ＝ ρc，U=0， Γφ ＝λB导热微分方程 φ ＝1，ρ＝ ρ，Sφ ＝0B连续性方程
Why do we need a generic equation?
各类问题的共同特征 深化理论研究（numerical） 编制通用程序（universal program for all problems)
2.1.4 控制方程的数学特征
△当微分方程转化为差分方程并用数值方法求解时， 不同类型的微分方程，其数值处理方法各异，其中包 括定解条件提法的适定性、物理解的性质、差分格式 的适用性等。
△在一些特殊的问题中，甚至通过差分格式的特技巧 来改变方程的数学性质。
2.1.4 控制方程的数学体特对，于征按不连可续压性缩方流程
热传导（Thermal conduction) 热对流（Thermal advection)
对流换热（Convection heat transfer)
热辐射（Thermal radiation)
辐射换热（Radiation heat transfer)
关系：
共存，相互影响 辐射的特殊性
K n
x
推导方法：原理及依据 Tf Boundary-layer Theory u
Tw
2.1.3 通用方程
由来及意义
Source term
The Equation
∂ ∂t
(
ρφ
)
+
∇
⋅
(
G
ρUφ
)
=
∇
⋅
(
Γφ
gradφ
)
+
Sφ
Untsetremaφρdy通广用义变密C量度o，，nvgueencnitvieoernarsliazleddednesipteyndentDviaftferuirasmbiolen
便于有限单元的分析 简化了积分过程 得到了广泛的应用 非守恒型方程不便于积分，但是
离散化时灵活运用连续性方程 相同的结果
2.1.4 控制方程的数学特征
控制方程的分类
椭圆型方程（elliptic equations）
稳态导热问题
稳态非边界层对流换热问题
数学及数值特征：
恰当的控制方程 Governing equations 定解条件 physical boundary conditions
定解条件
物理条件 physical conditions 几何条件 geometry conditions 初始条件 initial conditions 边界条件 boundary conditions
∂
∂ϕ
(Rϕ )]
Spherical
利用这些公式，可以得到不同坐标系下的导热微分方程
2.1.2 对流换热
Definition & Complexity
Newton’s Cooling Law
q = α (Tw − Tf )

Continuity Equation
Mass Conservation
)
+
qV
= div(λgradT ) + qV
符号意义，单位
τ time
λ thermal conductivity
ρ specific heat
qV heat source
2.1.1热传导
Operators
G grad() = i
∂
() +
G j
∂
G () + k
∂
()
Cartesian
y
开口边界，非稳态
步进法（marching forward）求解
非
影
响
区
初
值
影
P
响 区
x
抛物型偏微分方程
∂u ∂t
=
a
∂2u ∂x2
第一类边界条件
u Γ = g(t)
第二类边界条件 第三类边界条件
∂u ∂n
Γ = g(t)
(k
∂u ∂n
+
hu)
Γ
=
g (t )
2.1.4 控制方程的数学特征
2.2.1 初始条件
初始状态特征：非稳态过程开始时 设定：给定系统待求变量在初始时刻的分布
φ t=0 = φ0 (P), P ∈ Ω
对系统的影响：
不同时间阶段内的表现不尽相同：
初始阶段：较为明显 随着时间的推移：影响逐渐减弱 时间无限长时：完全消失，进入新的状态
边界条件与时间无关：稳态 边界条件与时间有关：非稳态
可以忽略 以边界条件的形式给出
2.1.1热传导
Definition
Fourier’s Law
G q
=
−λgradT
=
−λ
∂T
G n
∂n
λ 导热系数
gradT 温度梯度
2.1.1热传导
Energy Conservation Equation
∂
∂τ
(ρcT
)
=
∇ ⋅ (λ∇T
向的？
回流问题或椭圆型问题
所有空间坐标都是双向坐标
单向坐标与一阶偏导数有关
x is a two-way coordinate!
双向坐标与二阶偏导数有关
ρc(u
∂T ∂x
+
v
∂T ∂y
)
=
∂ ∂x
(λ
∂T ∂x
)
+
Sh
2.2 定解条件
数学模型 Mathematical model/description
∂ρ
∂t
G
+ ∇ ⋅ (ρU ) = 0
符号意义
For incompressible flow:
∂ρ = 0
G
G
∇ ⋅ (ρU ) = 0 ∇ ⋅ (U ) = 0
∂τ
2.1.2 对流换热
Momentum Equations
Refers to Text Book 来源、个数、基本原理 体积（第二）粘度系数 second viscosity coef.
Not well-defined Contradictory conclusions Less important for most of the practical cases
Related to the divergence of velocity
2.1.2 对流换热
Energy Equation
边值问题，boundary value problems
封闭边界，稳态
y
整体求解
联立求解，各点间相互影响

x
椭圆型偏微分方程
∂2u ∂x2
+
∂2u ∂y2
=
0
第一类边界条件：Dirichlet 问题
第二类边界条件：Neumann问题
第三类边界条件：Robin问题
u Γ = f (x, y)
∂u ∂n
Γ=
f (x, y)
(k
∂u ∂n
+ hu)
Γ=
f (x, y)
2.1.4 控制方程的数学特征
控制方程的分类
抛物型方程（parabolic equations）
非稳态导热问题
边界层流动问题（流动方向）
数学及数值特征：
初值问题，initial value problems
div(ρU)＝0
因为，
G
∇ ⋅ (ρhU) =
∂
(ρhu) +
∂
(ρhv) +
∂
(ρhw)
∂x
∂y
∂z
= h[ ∂ (ρu) + ∂ (ρv) + ∂ (ρw)] + ρ (u ∂h + v ∂h + w ∂h )
∂x
∂y
∂z
∂x ∂y ∂z
=
G
hdiv(ρU
)
+
ρ
(u
∂h
+
v
∂h
+
w
∂h
)
∂x ∂y ∂z
U 速度向量（ter场m），velocity vector (field)
Γφ 广义扩散系数，universal diffusivity S φ 广义源项，（universal) source term
2.1.3 通用方程
对流-扩散方程（Convection-diffusion~) 适当选择φ 、ρ 、U、 Γφ 、S φ
关于黏性耗散函数的说明：
由来及地位
Dissipation effects
2.1.2 对流换热
The Heat Transfer Coefficient
The Definition: Newton’s Cooling Law
The Equation