随机线性网络编码

编码模型
多信源的Slepian —Wolf定理：
有r个离散的无记忆信息源 X1, X 2 , , X r ,它们是随机二进制序列， 对每个信源独立进行编码，再进行联合译码，其性能跟所有信源 联合编码是一致的。只要满足在r个信源中任取k个信源的和速率， 不能小于这k个信源以剩余的r-k个信源为条件的熵，而对于总的 和速率不能小于这r个信源的联合熵。
总 结
随机线性网络编码无须了解网络的拓扑 情况，适用于链路动态变化的场景，具 有很强的实用性。
分布式随机线性网络编码能有效地压缩 相关源。
有限域的值越大时，能够成功解码 的概率越大
总结与展望
展 望
编码系数可以在非均匀分布的域上选 取，可能是依据某种适应性，使得网 络满足不同的性能
随机选取编码系数的性质，使得随 机线性网络编码可能可以应用于网 络安全
另v’点是一个网络的汇结点，我
们认为 z Z(v',1), Z(v',2), , Z(v',(v'))是
这个节点的输出过程矢量
另M表示一个网络的传输矩阵，这 样z=x*M,对于固定的系数α，β， ε，我们不难看出，M矩阵里的数 也是从伽罗华域中选取的。
编码模型
GF( 2 m)域
以m=4为例，它的本原多项式为 4 1 0 ,即 4 1
编码模型
·每条链路的容量是一比特每单元，如果某条边的容量大于一比特 每单位时间，则看做是几条并行的边。如果边的容量不是整数，则 将时间单元取得大一点，使得小数部分可以近似成整数。 ·假设每条链路的延迟是一样的。 ·对于线性相关源，我们认为每一个独立信源的熵率是一比特每单 位时间，如果不是，则将它们变成一些并行的熵率是一比特每单位 时间的源的集合。 ·对于任意相关源，我们要求信源的熵是整数，并且有着任意的联 合概率分布 ·对于不同的节点，它们要处理的随机过程之间是相互独立的，这 个假设符合通信网络一般的情况
Add不yo考ur虑title in here 延迟
考虑 延迟
编码模型
符号简介（1）
非循环图G=（V,E）表示的 网络中，每条边可以根据 网络拓扑进行顺序编号: 如 e1,e2, e E ，对于每条从 属于E的边，它的源表示为 o( ei),它的目的节点表示 为d( Aeid)d。y一ou个r t路itle径in就h是er一e 系列的链路集
对于接收位置为（x,y）的点，接收 机能接收到两个发送信息的概率为
RF—
RC—
(1 1/ q) 2( x y2) （q是伽罗华域字母表）
方案举例
RF方案和RC方案在不同点成功解调的概率
可以看到，当网络比较大时，RF方案是不适用的；对于RC， 当有限域越大时，能成功解调的概率越大
总结与展望
编码模型
对有向网络来说，对网络节点进行排序，定义相应的邻接矩 阵F，F矩阵的第i行第 j 列元素表示网络流图中第i条边与第 j 条边的连接关系，F可表示为
Fi, j

0,ei
,e j
,
head(ei
)

tail(e j ) 其它
其中 head(ei ) tail(e j ) 表示有向边 ei的终点与有向边 e j的起点重
A Random Linear Network Coding Approach to Multicast
overview
简要介绍 编码模型 方案举例 总结与展望
简要介绍
满足网络容量要求
网络容量 问题
随机分布 问题
最大流最小截定理
多源（包 括相关源） 多径问题
一般组外的所有中间节点，只要在一个足够大的有限 域上随机选择它们输入链路到输出链路的映射，且各节点映射关 系的选取是相互独立的，从而保证各信宿能以较高概率成功译码
合， ei ,ej 是有限域中的一非 0 元素，则M可表示为：
M A(I F )1 BT
这种编码的构造简单而且有效，但是计算量大。
编码模型
图中节点 v ，接收到编码包 x1 2x2 3x3 和 x1 4x2 5x3 。节点 v 应用随机网络编码的思想，在有限域中随机选取系数(1,2)， 并对接收到的两个编码包进行运算 1(x1 2x2 3x3 ) 2(x1 4x2 5x3 )， 得到新的编码系数(3,10,13)，并将新的编码包发送。
编码模型
符号简介（2）
I (v)
定义 I (v) 为所有以节点V为结束点的边
的集合 I (v) e E : head(e) v
定义 0 (v)为所有从节点V开始的边的集合
0 (v)
0 (v) e E : tail(e) v
接收机β处的终端链路的集合称为
合d(ei ) o(ei1) ，对任意的
i ≠j,d (ei ) ≠ d (e j ) 。
O( ei )
边ei
节点V 即d(ei) 既称为head（e）i 边ei1 又称为tail( ei1)
进入一个节点的边数称为一个节 点的入度，由一个节点发出的边 数称为节点的出度，节点的入度 和出度的和称为节点的度数
各链路上的系数向量和信源发 送的信息进行同步传输，信息 在通过编码节点时，系数向量 根据随机选取的映射关系进行 更新，最终信宿节点收到的输 入信息将包含输入链路对应的 全局编码向量和信源发送的信 息流，然后采用高斯消元法 （解线性方程组）正确译码获 得信源原始传输的信息
简要介绍
·怎样构建随机线性网络编码 ·怎样在分布网络中有效的将信息传输到接收节点
编码模型
随机网络编码中中间节点只需要对接收到的数据进行线性组合， 而不需要判断接收到的信息是否线性相关。这样在接收节点处 有可能出现线性相关的编码信息导致解码失败。对于任意一个 可行的多播网络，如果网络编码部分或所有的编码系数都是独 立的均匀的在一个有限域 Fq 上选取，则所有的目的节点能够成 功进行解码的概率至少为 (1 d / q) ，q ≥d ，其中 d 表示目 的节点的数目，η 为随机选取编码系数的链路数目，q为编码 符号域的大小。当有限域的字母表大小 q 远大于接收节点数目 d 时，所有的接收节点可以以很高的概率恢复出原始信息。采 用随机线性网络编码的多播网络中，多个源节点可以相互独立， 也可以线性相关。对于线性相关的源，随机线性编码起到了信 息压缩的作用。
在伽罗华域中，加法等于对应位异或
先给出推导过程
0 0000 3 1000 1 0001 4 0011 14 1001 0010 5 0110 15 0001
2 0100
…
Add y可our以ti看tle出in ，he当re m=4时，GF(4)是一个包含15个数的有限域，
且这15个数循环产生。
Add your title in here
这里的α，β，ε都 是从伽罗华域中随机 选择的
如果α，β，ε是独 立的，则系统是时不 变的，否则系统是时 变的
编码模型
Add your title in here
x X (v,1), X (v,2), , X (v,u(v)) 表示在源节
点观察到的输入信号矢量
对于不同的通信需求，今后可以考 虑一些关于随机线性网络编码的通 信协议，比较一些特殊的编码协议 和路由协议的性能的不同
L/O/G/O
Thank You!
A(dvd) yoXur(vt,i1t)l,eXin(vh,2e),re , X (v,u(v)) 是在节点v收集到的
u(v)个离散随机过程
在边e上传输的随机过程称为Y(e)
编码模型
如图是一个非延迟网络，对于链路e上的随机处理过程满足
对于汇节点的输出Z是由属于 I (u) 的所有边上的随机过程Y(e)形成 的
Add your title in here
编码模型
考虑边容量为1的情况， 每个节点在等到所有 进入此节点的信息后 才发往离开此节点的
出边
有着v个节点和信息传输速率是r的 循环网络可以变成非循环网络，此 网络有kv个节点，信息传输速率大 于等于（k-v）r,信息在这种网络 上的传输可以被模仿成原来循环网 络k个时隙的步骤。这种情况我们 假设每个链路的延迟是一样的。
方案举例
网络的目的是每个节点都 能收到信源发出的两个随 机过程
随机流结构(RF) ·源节点延两个轴向分别发送两 个信息 ·只接收到一个信息过程的节点 向其它三个方向发送信息 ·接收到两个信息过程的节点分 别向对应的轴向发送相应的信息
方案举例
随机编码结构(RC) ·源节点延两个轴向分别发送两 个信息 ·只接收到一个信息过程的节点向其它三个 方向发送信息 ·接收到两个信息过程的节点向其余的轴向 发送接收到的信息的线性组合
在伽罗华域中，每对应一个m，会有一个相应的本原多项
式，根据这个本原多项式，就可以推出域里面的值。
编码模型
Add your title in here
传输矩阵可以表示为
编码模型
传输矩阵可以表示为
Add your title in here
矩阵 A为源节点输入信息与边之间的关 系矩阵，矩阵B为接收节点对接收到的 数据进行线性组合。单源单汇的节点的 信息传输时，只要相应的转移矩阵是满 秩的，则源节点输出的信息在接收端就 可以准确的恢复。单源多汇的节点的信 息多播传输，利用网络编码时，只要能 保证各个目的节点对应的网络转移矩阵 是满秩的，则目的节点就可以准确的恢 复出原始发送的信息。