最新第8讲+动态规划算法和实例分析课件ppt
合集下载
第8章动态规划PPT课件
fk
1
(sk
1 )
过程指标（阶段递推）函数:
第23页/共103页
k= 4
7
f4 (C1) = 3, f4 (C2) = 4
A1 4
B1 1
k= 3
2
6
f f
3( 3(
B B
1 2
) )
= =
m m
i i
n n
{ {
1 6
+ +
f f
4( 4(
C C
1 1
) )
= =
4 9
* ,
,
34++f 4f(4QC( C22) =)4=78*
; 的 最 优 控 制 等 问 题
第9页/共103页
§7.2 动态规划的基本概念和基本思想
一、基本概念
使用动态规划方法求解决策问题首先要将问题改造成符合动态规划求解要求的 形式,要涉及以下概念:
(1)阶段
(2)状态
(3)决策与策略
(4)状态转移方程
(5)指标函数
(6)基本方程
第10页/共103页
(1) 划分阶段
• 离散确定型 • 离散随机型 • 连续确定型 • 连续随机型
第6页/共103页
动态规划的特点:
• 动态规划没有准确的数学表达式和定义精确的算法, 它强调具体问题具体分 析, 依赖分析者的经验和技巧。
• 与运筹学其他方法有很好的互补关系, 尤其在处理非线性、离散性问题时有 其独到的特点。
第7页/共103页
何找到的这个终点）无关；-----无后效性
• 3、逐段地求解最优路径，势必会找到一个全过程最优路径。-----
动态规划
动态规划算法教学PPT
03
动态规划算法的实现步骤
明确问题，建立数学模型
1
确定问题的目标和约束条件，将其转化为数学模 型。
2
理解问题的阶段划分，将问题分解为若干个子问 题。
3
确定状态变量和决策变量，以便描述子问题的状 态和决策。
划分阶段，确定状态变量和决策变量
01
根据问题的阶段划分，将问题分解为若干个子问题。
02
确定状态变量和决策变量，以便描述子问题的状态 和决策。
02
将子问题的最优解组合起来，得到原问题的最优解。
对最优解进行验证和性能评估，确保其满足问题的要求。
03
04
动态规划算法的优化技巧
分支定界法
分支定界法是一种求解优化问题的算 法，它通过不断生成问题的分支并确 定每个分支的界限，来寻找最优解。 在动态规划中，分支定界法可以用来 优化状态转移方程，减少计算量。
详细描述
多目标规划问题在实际生活中应用广泛，如资源分配、项目计划、城市规划等领 域都有涉及。常用的求解多目标规划的方法包括权重和法、帕累托最优解等。
多阶段决策问题
总结词
多阶段决策问题是动态规划中的一类，解决的问题需要在多个阶段做出决策，每个阶段的决策都会影响到后续阶 段的决策。
详细描述
多阶段决策问题在实际生活中应用广泛，如生产计划、库存管理、路径规划等领域都有涉及。常用的求解多阶段 决策问题的方法包括递归法、动态规划等。
特点
动态规划算法具有最优子结构、重叠 子问题和最优解性质等特征。
动态规划算法的应用领域
计算机科学
在计算机科学中，动态规划算法广泛应用于字符 串处理、排序、数据压缩和机器学习等领域。
电子工程
在电子工程中，动态规划算法用于信号处理、通 信和控制系统等领域。
动态规划的基本方法ppt课件
状态具有无后效性的多阶段决策过程的状态转移方程如下
s2 T1 ( s1 , u1 ) s3 T2 ( s2 , u2 )
动态规划中能 处理的状态转移
sk 1 Tk ( sk , uk )
方程的形式。
精选ppt课件
11
5、策略：
是一个按顺序排列的决策组成的集合。在实际问题中，可供选择的 策略有一定的范围，称为允许策略集合。从允许策略集合中找出达 到最优效果的策略称为最优策略。
精选ppt课件
20
3
C1
2 B1 3
1
A
1 2
3
C2
3
D
4 B2 1
4
C3
第二阶段（B →C）： B 到C 有六条路线。
d( B1,C1 43;1
f2 ( B1 ) = min d( B1,C2 ) + f1 (C2 ) = min 3+3
d( B1,C3 ) + f1 (C3 )
间的自然特征来进行的，但要便于问题转化为多阶段决策。
年、
月、
一个数、
2、状态：
路段
一组数、 一个向量
表示每个阶段开始所处的自然状况或客观条件。通常一个阶段有若
干个状态，描述过程状态的变量称为状态变量。
状态变量的取值有一定的允许集合或范围，此集合称为状态允许集合。
精选ppt课件
8
3、决策：
表示当过程处于某一阶段的某个状态时，可以作出不同的决定， 从而确定下一阶段的状态，这种决定称为决策。 描述决策的变量，称为决策变量。决策变量是状态变量的函数。可 用一个数、一组数或一向量（多维情形）来描述。 在实际问题中决策变量的取值往往在某一范围之内，此范围称为允 许决策集合。
《动态规划》课件
《动态规划》ppt课 件
xx年xx月xx日
• 动态规划概述 • 动态规划的基本概念 • 动态规划的求解方法 • 动态规划的应用实例 • 动态规划的优化技巧 • 动态规划的总结与展望
目录
01
动态规划概述
定义与特点
定义
动态规划是一种通过将原问题分解为 相互重叠的子问题，并存储子问题的 解以避免重复计算的方法。
特点
动态规划适用于具有重叠子问题和最 优子结构的问题，通过将问题分解为 子问题，可以找到最优解。
动态规划的适用范围
最优化问题
01
动态规划适用于解决最优化问题，如最大/最小化问题、决策问
题等。
子问题重叠
02
动态规划适用于子问题重叠的情况，即子问题之间存在共享状
态或参数。
递归关系
03
动态规划适用于具有递归关系的问题，可以通过递归方式求解
机器调度问题
总结词
动态规划可以应用于机器调度问题，以确定最优的调度方案，满足生产需求并降低成本 。
详细描述
机器调度问题是一个经典的优化问题，涉及到如何分配任务到机器上，以最小化成本或 最大化效率。通过动态规划，可以将机器调度问题分解为一系列子问题，如确定每个任 务的调度顺序、分配机器等，并逐个求解子问题的最优解，最终得到整个调度方案的最
VS
详细描述
记忆化搜索法是一种优化技术，通过存储 已解决的子问题的解，避免重复计算，提 高求解效率。这种方法适用于子问题数量 较少且相互独立的情况。
04
动态规划的应用实例
最短路径问题
总结词
通过动态规划解决最短路径问题，可以找到 从起点到终点的最短路径。
详细描述
在图论中，最短路径问题是一个经典的优化 问题，旨在找到从起点到终点之间的一条路 径，使得路径上的所有边的权重之和最小。 动态规划是一种有效的解决方法，通过将问 题分解为子问题并存储子问题的解，避免了 重复计算，提高了求解效率。
xx年xx月xx日
• 动态规划概述 • 动态规划的基本概念 • 动态规划的求解方法 • 动态规划的应用实例 • 动态规划的优化技巧 • 动态规划的总结与展望
目录
01
动态规划概述
定义与特点
定义
动态规划是一种通过将原问题分解为 相互重叠的子问题，并存储子问题的 解以避免重复计算的方法。
特点
动态规划适用于具有重叠子问题和最 优子结构的问题，通过将问题分解为 子问题，可以找到最优解。
动态规划的适用范围
最优化问题
01
动态规划适用于解决最优化问题，如最大/最小化问题、决策问
题等。
子问题重叠
02
动态规划适用于子问题重叠的情况，即子问题之间存在共享状
态或参数。
递归关系
03
动态规划适用于具有递归关系的问题，可以通过递归方式求解
机器调度问题
总结词
动态规划可以应用于机器调度问题，以确定最优的调度方案，满足生产需求并降低成本 。
详细描述
机器调度问题是一个经典的优化问题，涉及到如何分配任务到机器上，以最小化成本或 最大化效率。通过动态规划，可以将机器调度问题分解为一系列子问题，如确定每个任 务的调度顺序、分配机器等，并逐个求解子问题的最优解，最终得到整个调度方案的最
VS
详细描述
记忆化搜索法是一种优化技术，通过存储 已解决的子问题的解，避免重复计算，提 高求解效率。这种方法适用于子问题数量 较少且相互独立的情况。
04
动态规划的应用实例
最短路径问题
总结词
通过动态规划解决最短路径问题，可以找到 从起点到终点的最短路径。
详细描述
在图论中，最短路径问题是一个经典的优化 问题，旨在找到从起点到终点之间的一条路 径，使得路径上的所有边的权重之和最小。 动态规划是一种有效的解决方法，通过将问 题分解为子问题并存储子问题的解，避免了 重复计算，提高了求解效率。
《动态规划课件》课件
应用场景：求解最短路径、背 包问题等
注意事项：避免重复计算子问 题和记忆化搜索
定义：将问题划分为 若干个较小的子问题， 并逐个解决子问题， 最终得到原问题的解
特点：将原问题分解为 更小的子问题，通过求 解子问题的最优解得到 原问题的最优解
应用场景：适用于 具有重叠子问题和 最优子结构特性的 问题
示例：背包问题、 最大子段和问题等
分段算法的代码 实现
分段算法的时间 复杂度分析
避免重复计算：使用备忘录或动态规划表来记录已计算过的子问题 减少子问题的数量：通过合并或减少不必要的子问题来降低计算复杂度 选择合适的递归方式：根据问题的特点选择最优的递归方式 优化递归栈：通过减少递归深度或使用循环代替递归来提高性能
优化算法：动态规划可以优化算法，提高计算效率 避免重复计算：通过记忆化搜索，避免重复计算，提高计算速度
添加标题ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
添加标题
添加标题
添加标题
动态规划与分治法比较：分治法将 问题分解为子问题，而动态规划将 子问题联系起来
动态规划与回溯法比较：回溯法会 穷举所有可能解，而动态规划可以 避免不必要的搜索
机器学习与深度 学习中的动态规 划
自然语言处理中 的动态规划
计算机视觉中的 动态规划
推荐系统中的动 态规划
最大子段和问题的定义 最大子段和问题的应用场景 最大子段和问题的解决方法 最大子段和问题的实际应用案例
定义：矩阵链乘法问题是一种优化问题，通过动态规划算法来求解
应用场景：在科学计算、机器学习、图像处理等领域都有广泛的应用
算法原理：通过动态规划算法，将矩阵链乘法问题转化为子问题，从而避免重复计算，提高 计算效率
应用场景：背包问题在计算机科学、运筹学、经济学等领域都有广泛的应用，如资源分配、路径规划、时间表安 排等。
第8章 动态规划《管理运筹学》PPT课件
Vk,n (sk , uk , , sn1) fk [sk , uk ,Vk 1,n (sk 1, uk 1, , 1)] ③函数 fk (sk , uk ,Vk 1,n ) 对于变量 Vk1,n 要严格单调。
8.2 动态规划模型建立
下面以投资问题为例介绍动态规划的建模条件。
【例8-2】 某公司现有资金20万元，若投资于三个
8.1 动态规划基础知识
（5）状态转移方程：状态转移方程是确定过程由一
个状态转移到另一个状态的演变过程。动态规划中某一状
态以及该状态下的决策，与下一状态之间具有一定的函数
关系，称这种函数关系的表达式为状态转移方程。如果第
k段的状态为 sk ，该阶段的决策为
的状态就可以用下式来表示：
uk
sk
，则第k+1段
阶段的指标函数，是该阶段最优的指标函数。
8.2 动态规划模型建立
建立动态规划模型，就是在分析实际问题的基础上建 立该问题的动态规划基本方程。成功地应用动态规划方法 的关键，在于识别问题的多阶段特征，将问题分解成为可 用递推关系式联系起来的若干子问题，或者说正确地建立 具体问题的基本方程，这需要经验与技巧。而正确建立基 本递推关系方程的关键又在于正确选择状态变量，保证各 阶段的状态变量具有递推的状态转移关系。
第8章 动态规划
动态规划(DYnamic Programming，缩写为DP)方法 ，是本世纪50年代初期由美国数学家贝尔曼(Richard E ，Bellman)等人提出，后来逐渐发展起来的数学分支， 它是一种解决多阶段决策过程最优化问题的数学规划法 。动态规划的数学模型和求解方法比较灵活，对于连续 的或离散的，线性的或非线性的，确定性的或随机性的 模型，只要能构成多阶段决策过程，便可用动态规划方 法求其最优解。因而在自然科学、社会科学、工程技术 等许多领域具有广泛的用途，甚至一定程度上比线性规 划（LP）、非线性规划（NLP）有成效，特别是对于某 些离散型问题，解析数学无法适用，动态规划方法就成 为非常有用的求解工具。
8.2 动态规划模型建立
下面以投资问题为例介绍动态规划的建模条件。
【例8-2】 某公司现有资金20万元，若投资于三个
8.1 动态规划基础知识
（5）状态转移方程：状态转移方程是确定过程由一
个状态转移到另一个状态的演变过程。动态规划中某一状
态以及该状态下的决策，与下一状态之间具有一定的函数
关系，称这种函数关系的表达式为状态转移方程。如果第
k段的状态为 sk ，该阶段的决策为
的状态就可以用下式来表示：
uk
sk
，则第k+1段
阶段的指标函数，是该阶段最优的指标函数。
8.2 动态规划模型建立
建立动态规划模型，就是在分析实际问题的基础上建 立该问题的动态规划基本方程。成功地应用动态规划方法 的关键，在于识别问题的多阶段特征，将问题分解成为可 用递推关系式联系起来的若干子问题，或者说正确地建立 具体问题的基本方程，这需要经验与技巧。而正确建立基 本递推关系方程的关键又在于正确选择状态变量，保证各 阶段的状态变量具有递推的状态转移关系。
第8章 动态规划
动态规划(DYnamic Programming，缩写为DP)方法 ，是本世纪50年代初期由美国数学家贝尔曼(Richard E ，Bellman)等人提出，后来逐渐发展起来的数学分支， 它是一种解决多阶段决策过程最优化问题的数学规划法 。动态规划的数学模型和求解方法比较灵活，对于连续 的或离散的，线性的或非线性的，确定性的或随机性的 模型，只要能构成多阶段决策过程，便可用动态规划方 法求其最优解。因而在自然科学、社会科学、工程技术 等许多领域具有广泛的用途，甚至一定程度上比线性规 划（LP）、非线性规划（NLP）有成效，特别是对于某 些离散型问题，解析数学无法适用，动态规划方法就成 为非常有用的求解工具。
动态规划ppt课件
动态规划
1
【例题】数字三角形 设有一个三角形的数塔，顶点为根结点，
每个结点有一个整数值。从顶点出发，可 以向左走或向右走，如图所示： 若要求从根结点开始， 请找出一条路径，使 路径之和最大，只要 输出路径的和。
2
【问题分析】 ① 贪心法往往得不到最优解： 贪心法问题所在：眼光短浅。 根据贪心法，则13－11－21和45，而实质上 13－8－40和61。
（2）第三项的前面有2项，因此需要做两次比较， 得到目前最长的不下降序列为2，情况如下表：
1234 5 6 7 8 b[i][0] 13 7 9 16 38 24 37 18 b[i][1] 1 1 2 1 1 1 1 1
13
பைடு நூலகம்
（3）一般处理过程是： ·L=0,在1~ i-1项中，找出<=b[i][0] 的最长长度L； ·若L>0，则b[i][1]=L+1； 最后本题经过计算，其数据存储表如下：
12 b[i][0] 13 7 b[i][1] 1 1
34 5 6 7 8 9 16 38 24 37 18 23 4 4 5 4
1 234 5 6 7 8 step[i] 0 0 2 3 4 4 6 4
计算长度时记录b[j][0] <=b[i][0] 的最长长度L的j（即连接项的 位置）。初始为0
6
编程计算状态转移方程 1）递推 2）记忆化搜索（一般在状态的拓朴顺序不 很明确时使用）
7
13
11 8
12 7 26
1）递推计算 int i,j;
6 14 15 8 12 7 13 24 11
for(j=1;j<=n;j++) d[n][j]=a[n][j];
1
【例题】数字三角形 设有一个三角形的数塔，顶点为根结点，
每个结点有一个整数值。从顶点出发，可 以向左走或向右走，如图所示： 若要求从根结点开始， 请找出一条路径，使 路径之和最大，只要 输出路径的和。
2
【问题分析】 ① 贪心法往往得不到最优解： 贪心法问题所在：眼光短浅。 根据贪心法，则13－11－21和45，而实质上 13－8－40和61。
（2）第三项的前面有2项，因此需要做两次比较， 得到目前最长的不下降序列为2，情况如下表：
1234 5 6 7 8 b[i][0] 13 7 9 16 38 24 37 18 b[i][1] 1 1 2 1 1 1 1 1
13
பைடு நூலகம்
（3）一般处理过程是： ·L=0,在1~ i-1项中，找出<=b[i][0] 的最长长度L； ·若L>0，则b[i][1]=L+1； 最后本题经过计算，其数据存储表如下：
12 b[i][0] 13 7 b[i][1] 1 1
34 5 6 7 8 9 16 38 24 37 18 23 4 4 5 4
1 234 5 6 7 8 step[i] 0 0 2 3 4 4 6 4
计算长度时记录b[j][0] <=b[i][0] 的最长长度L的j（即连接项的 位置）。初始为0
6
编程计算状态转移方程 1）递推 2）记忆化搜索（一般在状态的拓朴顺序不 很明确时使用）
7
13
11 8
12 7 26
1）递推计算 int i,j;
6 14 15 8 12 7 13 24 11
for(j=1;j<=n;j++) d[n][j]=a[n][j];
第8章动态规划PPT课件
逆推
f 0,k4 ,,1
3. 动态规划解决的问题必须包含最 优子结构，即可以由（n－1）的最 优推导出n的最优
7
动态规划模型的分类： 以“时间”角度可分成：
离散型和连续型。 从信息确定与否可分成：
确定型和随机型。 从目标函数的个数可分成：
单目标型和多目标型。
8
8.2 基本概念与方程
1.基本概念
阶段（Stage）——分步求解的过程，用阶段变量k表示，k=1，，n 状态（State）——每阶段初可能的情形或位置，用状态变 量Sk表示。
2 14 6
A
5
B2
10 4
79 6
C2 5
D1 5 0 2E
逆 序
19
1 13 12
B3 11
8 10
D2
C3
2
解 法
19
12
1
2
3
4
始
终
端
端
18
请在每个节点上标出从该节点到始点的最短距离
12
B1 14 C1 3
2
6
9
D1 5
顺
A
5
B2
10 4
1 13
12
6
C2 5
2
8 10
D2
E
序 解 法
B3 11 C3
为vkn= vkn(Sk， Pkn )。其中最优的称最优 指标函数，记 fk = fk（ Sk ）=opt vkn。
问题：动态规划的最优解和最优值各是什么？
——最优解：最优策略P1n ，
最优值：最优指标f1。
12
多阶段决策过程
d1
d2
s1
s2
第八章动态规划1PPT课件
第八章 动态规划
３.决策（Decision) uk(sk) 决策指从一个阶段的某个状态演变到下一个阶段的
某个状态的选择。
uk(sk)表示第k阶段当状态处于sk时的决策变量。 Ｄk(sk)表示决策集合。 Ｄ1(s1)= u1(A) = B1,B2 ; D2(S2)= u2(B1),u2(B2) =
C1,C2,C3;C2,C3,C4 ……
第八章 动态规划
二、动态规划的基本概念和基本原理
以书中例1最短路线问题为例，说明动态 规划的基本概念。
第八章 动态规划
1.阶段（stage)k 阶段指作出决策的若干轮次。将所给问题的过程，按
时间或空间特征分解成若干个相互联系的阶段，以 便按次序去求每阶段的解，常用k表示阶段变量。 如上例中我们把从A到G看成一个六阶段问题，k（阶 段变量）分别等于1，2，3，4，5，6
1、离散确定型； 2、离散随机型； 3、连续确定型； 4、连续随机型；
第八章 动态规划
• 应用
– 最短路问题 – 资源分配问题 – 生产调度问题 – 库存问题 – 排序问题 – 设备更新问题 – 生产过程最优控制问题
第八章 动态规划
多阶段决策过程最优化问题举例
1、最短路问题：运输网络如下图，求从A到E的最短路。
D5(S5)= u5(E1),u5(E2),u5(E3) = F1,F2; F1,F2; F1,F2 = F1,F2
D6(S6)= u6(F1),u6(F2) = G,G = G
第八章 动态规划
4.策略(policy)和子策略（sub-policy)
策略是指全过程中按顺序排列的各阶段决策 组成的集合。记为：p1,n(s1)
增加产量
成本降低 库存费增加
动态规划专题完整ppt
then begin m:=s[c[k-1,j]]+v[c[k,i],c[k-1,j]]; d:=c[k-1,j]; end;
s[c[k,i]]:=m; { S[c[k,j] ] 记录第K个阶段的第J个结点到 终点的最短距离}
h[c[k,i]]:=d;｛h[j]记录第j阶段最优路径经过的编号｝ end; end; writeln(s[n]);
三、动态规划中的几个概念
1、阶段
把解题的次序称为规划方向，把地位相同的结点称为一个 阶段。
2、状态
每一阶段的一个结点称为这个阶段的一个状态。如例1 中的第3阶段，有3个结点C1、C2、C3，称第3阶段有4种 状态，分别是C1、C2、C3。
3、状态转移方程 除边界外的任一阶段都得由其前面的阶段递推得到，这递
如：输入数据： N=7 4 3 2 1 4 4 t[i] 3 4 2 2 4 r[i] 输出 14 1 2+3 4+5 6+7
分析：
设F[i] 表示第i个人到第N个人买票所要的最小 时间。
F[i]=min{t[i]+f[i+1],r[i]+f[i+2] } (i=1,2,…,n-1)
F[n]=t[n] 目标是求f[1], 即所有歌迷总的买票时间的最小 值。
推的过程就表现出了阶段的动态演变。这种根据已有状态求得
未知状态的过程，我们称之为状态转移，状态转移的规则用数 学语言来描述，就称为状态转移方程。状态转移方程的形式多 样，如例1中的形式为G[i]=min{G[j]+ei,j}，ei,j∈E。
例题2：排队买票问题
一场演唱会即将举行。现有N（0〈N<=200〉个歌迷 排队买票，一个人买一张，而售票处规定，一个人每次最 多只能买两张票。假设第i位歌迷买一张票需要时间Ti（1 〈=I〈=n〉，队伍中相邻的两位歌迷（第j个人和第j+1个 人）也可以由其中一个人买两张票，而另一位就可以不用 排队了，则这两位歌迷买两张票的时间变为Rj，假如 Rj<T(j)+T(j+1)，则这样做就可以缩短后面歌迷等待的时间， 加快整个售票的进程。现给出N，Tj和Rj，求使每个人都买 到票的最短时间和方法。
s[c[k,i]]:=m; { S[c[k,j] ] 记录第K个阶段的第J个结点到 终点的最短距离}
h[c[k,i]]:=d;｛h[j]记录第j阶段最优路径经过的编号｝ end; end; writeln(s[n]);
三、动态规划中的几个概念
1、阶段
把解题的次序称为规划方向，把地位相同的结点称为一个 阶段。
2、状态
每一阶段的一个结点称为这个阶段的一个状态。如例1 中的第3阶段，有3个结点C1、C2、C3，称第3阶段有4种 状态，分别是C1、C2、C3。
3、状态转移方程 除边界外的任一阶段都得由其前面的阶段递推得到，这递
如：输入数据： N=7 4 3 2 1 4 4 t[i] 3 4 2 2 4 r[i] 输出 14 1 2+3 4+5 6+7
分析：
设F[i] 表示第i个人到第N个人买票所要的最小 时间。
F[i]=min{t[i]+f[i+1],r[i]+f[i+2] } (i=1,2,…,n-1)
F[n]=t[n] 目标是求f[1], 即所有歌迷总的买票时间的最小 值。
推的过程就表现出了阶段的动态演变。这种根据已有状态求得
未知状态的过程，我们称之为状态转移，状态转移的规则用数 学语言来描述，就称为状态转移方程。状态转移方程的形式多 样，如例1中的形式为G[i]=min{G[j]+ei,j}，ei,j∈E。
例题2：排队买票问题
一场演唱会即将举行。现有N（0〈N<=200〉个歌迷 排队买票，一个人买一张，而售票处规定，一个人每次最 多只能买两张票。假设第i位歌迷买一张票需要时间Ti（1 〈=I〈=n〉，队伍中相邻的两位歌迷（第j个人和第j+1个 人）也可以由其中一个人买两张票，而另一位就可以不用 排队了，则这两位歌迷买两张票的时间变为Rj，假如 Rj<T(j)+T(j+1)，则这样做就可以缩短后面歌迷等待的时间， 加快整个售票的进程。现给出N，Tj和Rj，求使每个人都买 到票的最短时间和方法。
《动态规划算法》课件
总结词
多阶段决策优化
详细描述
背包问题是一个经典的动态规划问题，通过将问题分解 为多个阶段，并为每个阶段定义状态和状态转移方程， 我们可以找到最优解。在背包问题中，我们使用一个二 维数组来存储每个状态的最优解，并逐步更新状态以找 到最终的最优解。
最长公共子序列求解
总结词
字符串匹配优化
详细描述
最长公共子序列问题是一个经典的动态规划问题，用 于找到两个序列的最长公共子序列。通过动态规划， 我们可以避免在寻找公共子序列时进行冗余比较，从 而提高算法效率。在动态规划中，我们使用一个二维 数组来存储子问题的最优解，并逐步构建最终的最长 公共子序列。
动态规划的基本思想
01
将问题分解为子问 题
将原始问题分解为若干个子问题 ，子问题的解可以构成原问题的 解。
02
保存已解决的子问 题
将已解决的子问题的解保存起来 ，以便在求解其他子问题时重复 使用。
03
递推求解
从子问题的解逐步推导出原问题 的解，通常采用自底向上的方式 求解。
02
动态规划算法的步骤
可并行化
动态规划算法可以并行化执行，以提高计算效率，这对于 大规模问题的求解非常有利。
缺点
• 空间复杂度高：动态规划算法需要存储大量的中间状态，因此其空间复杂度通常较高，有时甚至会超过问题规 模的一个指数倍。
• 问题规模限制：由于动态规划算法的空间复杂度较高，因此对于大规模问题的求解可能会遇到困难。 • 可能产生大量重复计算：在动态规划算法中，对于每个子问题，可能会被多次计算和存储，这会导致大量的重复计算和存储空间浪费。 • 不易发现：动态规划算法的应用范围有限，对于一些非最优子结构问题或没有重叠子问题的优化问题，动态规划算法可能不适用。因此，在解决问题时需要仔细分析问题特性，判断是
多阶段决策优化
详细描述
背包问题是一个经典的动态规划问题，通过将问题分解 为多个阶段，并为每个阶段定义状态和状态转移方程， 我们可以找到最优解。在背包问题中，我们使用一个二 维数组来存储每个状态的最优解，并逐步更新状态以找 到最终的最优解。
最长公共子序列求解
总结词
字符串匹配优化
详细描述
最长公共子序列问题是一个经典的动态规划问题，用 于找到两个序列的最长公共子序列。通过动态规划， 我们可以避免在寻找公共子序列时进行冗余比较，从 而提高算法效率。在动态规划中，我们使用一个二维 数组来存储子问题的最优解，并逐步构建最终的最长 公共子序列。
动态规划的基本思想
01
将问题分解为子问 题
将原始问题分解为若干个子问题 ，子问题的解可以构成原问题的 解。
02
保存已解决的子问 题
将已解决的子问题的解保存起来 ，以便在求解其他子问题时重复 使用。
03
递推求解
从子问题的解逐步推导出原问题 的解，通常采用自底向上的方式 求解。
02
动态规划算法的步骤
可并行化
动态规划算法可以并行化执行，以提高计算效率，这对于 大规模问题的求解非常有利。
缺点
• 空间复杂度高：动态规划算法需要存储大量的中间状态，因此其空间复杂度通常较高，有时甚至会超过问题规 模的一个指数倍。
• 问题规模限制：由于动态规划算法的空间复杂度较高，因此对于大规模问题的求解可能会遇到困难。 • 可能产生大量重复计算：在动态规划算法中，对于每个子问题，可能会被多次计算和存储，这会导致大量的重复计算和存储空间浪费。 • 不易发现：动态规划算法的应用范围有限，对于一些非最优子结构问题或没有重叠子问题的优化问题，动态规划算法可能不适用。因此，在解决问题时需要仔细分析问题特性，判断是
动态规划算法教学PPT
2013-8-23
作业三：求这个区域的 最长滑坡。 1 2 3 4 5 16 17 18 19 6 15 24 25 20 7 14 23 22 21 8 13 12 11 10 9 19
最大子段和：数列一段的和
N M 7 7 -1 6 2 -13 8 -5 6 6 -5 1 6 7 7 -1
14 13
2013-8-23
12
数塔问题
有形如下图所示的数塔，从顶部出发，在每 一结点可以选择向左下走或是向右下走，一直走 到底层，要求找出一条路径，使路径上的值最大 。
2013-8-23
13
考虑一下：
从顶点出发时到底向左走还是向右 走应取决于是从左走能取到最大值还是 从右走能取到最大值，只要左右两道路 径上的最大值求出来了才能作出决策。 同样，下一层的走向又要取决于再 下一层上的最大值是否已经求出才能决 策。这样一层一层推下去，直到倒数第 二层时就非常明了。 如数字2，只要选择它下面较大值 的结点19前进就可以了。所以实际求解 时，可从底层开始，层层递进，最后得 到最大值。
分别标记出每个 结点到D点的最短 路径
再一例：最短路径
பைடு நூலகம்
动态规划的基本步骤（完整）（选）
（1）【理解题目】找出最优解的性质，并刻画其结构特征。 （2）【状态之间的关系】递归地定义最优值。 （3）【规划的步骤和方式】以自底向上的方式计算出最优值。 理论上自底向上，形式上可有所变化。 （4）【规划的详细过程再现】根据计算最优值时得到的信息，构造 一个最优解。一般需要一个辅助的数组，保存状态之间的变迁线路。 说明： 其中（1）－（3）步是动态规划算法的基本步骤。在只需要求出 最优值的情形，步骤（4）可以省去。 若需要求出问题的一个最优解，则必须执行步骤（4）。此时，在 步骤（3）中计算最优值时，通常需记录更多的信息，以便在步骤 （4）中，根据所记录的信息，快速构造出一个最优解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0-1背包问题
逆推动态规划算法设计
建立递推关系 设m(i,j)为背包容量j，可取物品范围为i,i+1,…,n的最大
效益值。则 当0<=j<w(i)时，物品i不可能装入，最大效益值与 m(i+1,j)相同； 当j>=w(i)时，有两种选择： ⑴不装入物品i，这时的最大效益值与m(i+1,j)相同； ⑵装入物品i，这时会产生效益p(i)，背包剩余容量为 j-w(i)，可以选择物品i+1,…,n来装，最大效益值为 m(i+1,j-w(i))+p(i)；
}
0-1背包问题
逆推动态规划算法设计
构造最优解—步骤2
比较所装载的物品效益之和与最优值，决定w(n)是否装载， 方法：
if (m[1][c]-效益之和) 等于 物品n的效益p[n]
装入w(n)
if(m[1][c]-sp==p[n])
//判断w(n)是否装载
{ sw+=w[i];
sp+=p[i];
cw=c;
for(sp=0,sw=0,i=1;i<=n-1;i++)
if(m[i][cw]>m[i+1][cw])
//x(i)=1,装载w(i)
{ cw-=w[i];
//cw=cw-x(i)*w(i)
sw+=w[i];
sp+=p[i];
printf("%2d\t%3d\t%3d\n",i,w[i],p[i]);
printf("%2d\t%3d\t%3d\n",n,w[n],p[n]);
}
knapsack(0-1)
动态规划算法和实例分析
动态规划简介 0-1背包问题 最长公共子序列
最长公共子序列
最长公共子序列概念
子序列 一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干元素后所得到
的序列。即：给定X={x1,x2,…,xm}和Z={z1,z2,…,zk}，X 的子序列是指存在一个严格递增下标序列{i1,i2,…,ik}， 使得对于所有的j=1,2,…k，有zj=xij。例如： Z={b,d,c,a}是X={a,b,c,d,c,b,a}的一个子序列 公共子序列 若序列Z是序列X的子序列，又是序列Y的子序列，则称Z是序 列X和序列Y的公共子序列。例如： 序列"bcba"是"abcbdab"与"bdcaba"的公共子序列
第8讲+动态规划算法和实 例分析
动态规划简介
动态规划的基本思想
动态规划(DP：Dynamic Programming)是一种重要的程 序设计手段，其基本思想是在对一个问题的多阶段决策中， 按照某一顺序，根据每一步所选决策的不同，会引起状态的 转移，最后会在变化的状态中获取到一个决策序列。
动态规划就是为了使获取的决策序列在某种条件下达 到最优。动态规划是一种将多阶段决策过程转化为一系列单 阶段问题，然后逐个求解的程序设技方法。
⑶经过上述推导，最优值在m[1][c]中。
最优值推导示例
0-1背包问题
逆推动态规划算法设计
构造最优解—步骤1 if m(i,cw) > m(i+1,cw), i=1,2,…,n-1
则x(i)=1，装载w(i); 其中：cw从c开始(cw=c)，cw=cw-x(i)*w(i) else x(i)=0，不装载w(i);
⑶经过上述推导，最优值在c[0][0]中。
最优值推导示例
最长公共子序列
逆推动态规划算法设计——构造最优解
为了能够构造最优解，在逆推计算最优值的过程中，利用 s(i,j)记录x(i)与y(j)比较的结果：
当x(i)=y(j)时， s(i,j)=1 当x(i)!=y(j)时，s(i,j)=0 X序列的每一项与Y序列的每一项逐一比较，根据s(i,j)与 c(i,j)的取值构造最长公共子序列。对x(i)与y(j)比较， 其中i=0,1,…,m-1; j=t,…n-1(t从0开始），当确定最长 公共子序列中的一项时，通过t=t+1操作避免重复取项。 若s(i,j)=1且c(i,j)=c(0,0)时，取x(i)为最长公共序列中 的第1项。 若s(i,j)=1且c(i,j)=c(0,0)-w时，取x(i)为最长公共序列 中的第w项（其中，w从0开始，每确定最长公共子序列中的 一项，w增一）。
最长公共子序列
问题描述
给定两个序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}，找出序 列X和Y的最长公共子序列。
最长序列
逆推动态规划算法设计——计算最优值
⑴根据边界条件计算c(i,n)和c(m,j) m=strlen(x); n=strlen(y); for(i=0;i<=m;i++)
0-1背包问题
0-1背包问题
逆推动态规划算法设计
最优值计算
⑴根据边界条件计算m(n,j)
for(j=0;j<=c;j++)
//计算m(n,j)
if(j>=w[n])
m[n][j]=p[n];
else
m[n][j]=0;
0-1背包问题
逆推动态规划算法设计
最优值计算 ⑵逆推计算m(i,j) for(i=n-1;i>=1;i--) //逆推计算m(i,j),i=n-1...1 for(j=0;j<=c;j++) if(j>=w[i]&&m[i+1][j]<m[i+1][j-w[i]]+p[i]) m[i][j]=m[i+1][j-w[i]]+p[i]; else m[i][j]=m[i+1][j];
引例分析 多阶段决策问题，装每一件物品就是一个阶段，每个阶段都
有一个决策：物品装还是不装。 约束条件和目标函数
按照单位效益最大化装包，得xi的序列为(0,1,1,1,1,0) ，总效益为130
按重量最大化装包，得xi的序列为(0,1,1,0,1,1)，总效 益为134
结论：决策序列(0,1,1,0,1,1)为最优决策序列
c[i][n]=0; for(j=0;j<=n;j++)
c[m][j]=0;
最长公共子序列
逆推动态规划算法设计——计算最优值
⑵逆推计算c(i,j) for(i=m-1;i>=0;i--)
for(j=n-1;j>=0;j--) if(x[i]==y[j]) c[i][j]=c[i+1][j+1]+1; else { if(c[i][j+1]>c[i+1][j]) c[i][j]=c[i][j+1]; else c[i][j]=c[i+1][j]; }
引例：已知6种物品和一个可载重量为60的背包，物品 i(i=1,2,…,6)的重量wi分别为(15,17,20,12,9,14)，产生 的效益pi分别为(32,37,46,26,21,30)。装包时每一件物品 可以装入，也可以不装，但不可拆开装。确定如何装包，使 所得装包总效益最大。
动态规划简介
动态规划的基本思想