区间类型动态规划PPT课件
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DP-区间类型动态规划
同理，
i k j 1
F min(i, j ) min {F min(i, k ) F min(k 1, j ) t[i, j ]}
i k j 1
• Fmax[i,i] = 0，Fmin[i,i] = 0 • 时间复杂度为O(n3)
优化
• 由于石子堆是一个圈，因此我们可以枚举分开的位置，首 先将这个圈转化为链，因此总的时间复杂度为O(n4)。 • 这样显然很高，其实我们可以将这条链延长2倍，扩展成 2n-1堆，其中第1堆与n+1堆完全相同，第i堆与n+i堆完全 相同，这样我们只要对这2n堆动态规划后，枚举 f(1,n),f(2,n+1),…,f(n,2n-1)取最优值即可即可。 • 时间复杂度为O(8n3),如下图：
• 分析样例： N=4，4颗珠子的头标记与尾标记依次为 (2，3) (3，5) (5，10) (10，2)。 • 我们用记号⊕表示两颗珠子的聚合操作，释放总能量： ((4⊕1)⊕2)⊕3）=10*2*3+10*3*5+10*5*10=710
动态规划
• 该题与石子合并完全类似。 • 设链中的第i颗珠子头尾标记为(Si-1与Si)。 • 令F(i,j)表示从第i颗珠子一直合并到第j颗珠子所能 产生的最大能量，则有： F(i,j)=Max{F(i,k)+F(k+1,j)+Si-1*Sk*Sj, i<=k<j} • 边界条件：F(i,i)=0 • 1<=i<k<j<=n • 至于圈的处理，与石子合并方法完全相同，时间 复杂度O(8n3) 。
石子合并
在一园形操场四周摆放N堆石子(N≤100)； 现要将石子有次序地合并成一堆； 规定每次只能选相临的两堆合并成一堆,并将新的 一堆的石子数,记为该次合并的得分。 1. 选择一种合并石子的方案,使得做N-1次合并, 得分的总和最少 2. 选择一种合并石子的方案,使得做N-1次合并, 得分的总和最大
i k j 1
F min(i, j ) min {F min(i, k ) F min(k 1, j ) t[i, j ]}
i k j 1
• Fmax[i,i] = 0，Fmin[i,i] = 0 • 时间复杂度为O(n3)
优化
• 由于石子堆是一个圈，因此我们可以枚举分开的位置，首 先将这个圈转化为链，因此总的时间复杂度为O(n4)。 • 这样显然很高，其实我们可以将这条链延长2倍，扩展成 2n-1堆，其中第1堆与n+1堆完全相同，第i堆与n+i堆完全 相同，这样我们只要对这2n堆动态规划后，枚举 f(1,n),f(2,n+1),…,f(n,2n-1)取最优值即可即可。 • 时间复杂度为O(8n3),如下图：
• 分析样例： N=4，4颗珠子的头标记与尾标记依次为 (2，3) (3，5) (5，10) (10，2)。 • 我们用记号⊕表示两颗珠子的聚合操作，释放总能量： ((4⊕1)⊕2)⊕3）=10*2*3+10*3*5+10*5*10=710
动态规划
• 该题与石子合并完全类似。 • 设链中的第i颗珠子头尾标记为(Si-1与Si)。 • 令F(i,j)表示从第i颗珠子一直合并到第j颗珠子所能 产生的最大能量，则有： F(i,j)=Max{F(i,k)+F(k+1,j)+Si-1*Sk*Sj, i<=k<j} • 边界条件：F(i,i)=0 • 1<=i<k<j<=n • 至于圈的处理，与石子合并方法完全相同，时间 复杂度O(8n3) 。
石子合并
在一园形操场四周摆放N堆石子(N≤100)； 现要将石子有次序地合并成一堆； 规定每次只能选相临的两堆合并成一堆,并将新的 一堆的石子数,记为该次合并的得分。 1. 选择一种合并石子的方案,使得做N-1次合并, 得分的总和最少 2. 选择一种合并石子的方案,使得做N-1次合并, 得分的总和最大
《动态规划》课件
《动态规划》ppt课 件
xx年xx月xx日
• 动态规划概述 • 动态规划的基本概念 • 动态规划的求解方法 • 动态规划的应用实例 • 动态规划的优化技巧 • 动态规划的总结与展望
目录
01
动态规划概述
定义与特点
定义
动态规划是一种通过将原问题分解为 相互重叠的子问题，并存储子问题的 解以避免重复计算的方法。
特点
动态规划适用于具有重叠子问题和最 优子结构的问题，通过将问题分解为 子问题，可以找到最优解。
动态规划的适用范围
最优化问题
01
动态规划适用于解决最优化问题，如最大/最小化问题、决策问
题等。
子问题重叠
02
动态规划适用于子问题重叠的情况，即子问题之间存在共享状
态或参数。
递归关系
03
动态规划适用于具有递归关系的问题，可以通过递归方式求解
机器调度问题
总结词
动态规划可以应用于机器调度问题，以确定最优的调度方案，满足生产需求并降低成本 。
详细描述
机器调度问题是一个经典的优化问题，涉及到如何分配任务到机器上，以最小化成本或 最大化效率。通过动态规划，可以将机器调度问题分解为一系列子问题，如确定每个任 务的调度顺序、分配机器等，并逐个求解子问题的最优解，最终得到整个调度方案的最
VS
详细描述
记忆化搜索法是一种优化技术，通过存储 已解决的子问题的解，避免重复计算，提 高求解效率。这种方法适用于子问题数量 较少且相互独立的情况。
04
动态规划的应用实例
最短路径问题
总结词
通过动态规划解决最短路径问题，可以找到 从起点到终点的最短路径。
详细描述
在图论中，最短路径问题是一个经典的优化 问题，旨在找到从起点到终点之间的一条路 径，使得路径上的所有边的权重之和最小。 动态规划是一种有效的解决方法，通过将问 题分解为子问题并存储子问题的解，避免了 重复计算，提高了求解效率。
xx年xx月xx日
• 动态规划概述 • 动态规划的基本概念 • 动态规划的求解方法 • 动态规划的应用实例 • 动态规划的优化技巧 • 动态规划的总结与展望
目录
01
动态规划概述
定义与特点
定义
动态规划是一种通过将原问题分解为 相互重叠的子问题，并存储子问题的 解以避免重复计算的方法。
特点
动态规划适用于具有重叠子问题和最 优子结构的问题，通过将问题分解为 子问题，可以找到最优解。
动态规划的适用范围
最优化问题
01
动态规划适用于解决最优化问题，如最大/最小化问题、决策问
题等。
子问题重叠
02
动态规划适用于子问题重叠的情况，即子问题之间存在共享状
态或参数。
递归关系
03
动态规划适用于具有递归关系的问题，可以通过递归方式求解
机器调度问题
总结词
动态规划可以应用于机器调度问题，以确定最优的调度方案，满足生产需求并降低成本 。
详细描述
机器调度问题是一个经典的优化问题，涉及到如何分配任务到机器上，以最小化成本或 最大化效率。通过动态规划，可以将机器调度问题分解为一系列子问题，如确定每个任 务的调度顺序、分配机器等，并逐个求解子问题的最优解，最终得到整个调度方案的最
VS
详细描述
记忆化搜索法是一种优化技术，通过存储 已解决的子问题的解，避免重复计算，提 高求解效率。这种方法适用于子问题数量 较少且相互独立的情况。
04
动态规划的应用实例
最短路径问题
总结词
通过动态规划解决最短路径问题，可以找到 从起点到终点的最短路径。
详细描述
在图论中，最短路径问题是一个经典的优化 问题，旨在找到从起点到终点之间的一条路 径，使得路径上的所有边的权重之和最小。 动态规划是一种有效的解决方法，通过将问 题分解为子问题并存储子问题的解，避免了 重复计算，提高了求解效率。
《动态规划课件》课件
应用场景：求解最短路径、背 包问题等
注意事项：避免重复计算子问 题和记忆化搜索
定义：将问题划分为 若干个较小的子问题， 并逐个解决子问题， 最终得到原问题的解
特点：将原问题分解为 更小的子问题，通过求 解子问题的最优解得到 原问题的最优解
应用场景：适用于 具有重叠子问题和 最优子结构特性的 问题
示例：背包问题、 最大子段和问题等
分段算法的代码 实现
分段算法的时间 复杂度分析
避免重复计算：使用备忘录或动态规划表来记录已计算过的子问题 减少子问题的数量：通过合并或减少不必要的子问题来降低计算复杂度 选择合适的递归方式：根据问题的特点选择最优的递归方式 优化递归栈：通过减少递归深度或使用循环代替递归来提高性能
优化算法：动态规划可以优化算法，提高计算效率 避免重复计算：通过记忆化搜索，避免重复计算，提高计算速度
添加标题ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
添加标题
添加标题
添加标题
动态规划与分治法比较：分治法将 问题分解为子问题，而动态规划将 子问题联系起来
动态规划与回溯法比较：回溯法会 穷举所有可能解，而动态规划可以 避免不必要的搜索
机器学习与深度 学习中的动态规 划
自然语言处理中 的动态规划
计算机视觉中的 动态规划
推荐系统中的动 态规划
最大子段和问题的定义 最大子段和问题的应用场景 最大子段和问题的解决方法 最大子段和问题的实际应用案例
定义：矩阵链乘法问题是一种优化问题，通过动态规划算法来求解
应用场景：在科学计算、机器学习、图像处理等领域都有广泛的应用
算法原理：通过动态规划算法，将矩阵链乘法问题转化为子问题，从而避免重复计算，提高 计算效率
应用场景：背包问题在计算机科学、运筹学、经济学等领域都有广泛的应用，如资源分配、路径规划、时间表安 排等。
动态规划(完整)ppt课件
3
• Ⅲ --Ⅳ :
B1—C1—T
4
• Ⅱ--Ⅲ--Ⅳ ：A2—B1—C1—T
7
• Ⅰ--Ⅱ--Ⅲ --Ⅳ：
•
Q—A2—B1—C1—T
11
•
Q--A3—B1—C1—T
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•
Q--A3—B2—C2—T
11
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3
最短路径
11
4
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A1
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47
3 2
Q
A2
4
B1
1
4 76
3
C1
3
B2 3
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16
(4)策略和允许策略集合
策略(Policy)也叫决策序列．策略有全过程 策略和 k 部子策略之分，全过程策略是指具 有n 个阶段的全部过程，由依次进行的 n 个 阶段决策构成的决策序列，简称策略，表示
为 p1,n{x1,x2, ,xn}。从 k 阶段到第 n 阶段，
依次进行的阶段决策构成的决策序列称为 k
新分支的创立。
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6
• 动态规划将复杂的多阶段决策问题分解为 一系列简单的、离散的单阶段决策问题, 采用顺序求解方法, 通过解一系列小问题 达到求解整个问题目的;
• 动态规划的各个决策阶段不但要考虑本阶 段的决策目标, 还要兼顾整个决策过程的 整体目标, 从而实现整体最优决策.
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第七章 动态规划
主要内容:
§7.1多阶段决策问题 §7.2 动态规划的基本概念和基本原理 §7.3 动态规划应用举例
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1
例 求解最短路问题
2
Q
4
动态规划 —— 区间 DP —— 石子合并三讲
2.分析：
我们熟悉矩阵连乘，知道矩阵连乘也是每次合并相邻的两个矩阵，那么石子合并可以用矩阵连乘的方式来解 决。
设 dp[i][j] 表示第 i 到第 j 堆石子合并的最优值，sum[i][j] 表示第 i 到第 j 堆石子的总数量。
那么就有状态转移方程：
3.实现
int dp[N][N]; int sum[N]; int a[N]; int getMinval(int a[],int n) {
dp[i][i] = 0; p[i][i] = i; } for(int len=1; len<n; len++) { for(int i=1; i+len<=n; i++) {
int end = i+len; int tmp = INF; int k = 0; for(int j=p[i][end-1]; j<=p[i+1][end]; j++) {
for(int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &a[i]);
for(int i = 0; i < n; i++) { qsort(&a[i], n - i, sizeof(a[0]), Compare);
for(int j = 0; j < n; j++) printf("%d ", a[j]);
if(i+j >= n) return getsum(i,n-i-1) + getsum(0,(i+j)%n);
else return sum[i+j] - (i>0 ? sum[i-1]:0);
我们熟悉矩阵连乘，知道矩阵连乘也是每次合并相邻的两个矩阵，那么石子合并可以用矩阵连乘的方式来解 决。
设 dp[i][j] 表示第 i 到第 j 堆石子合并的最优值，sum[i][j] 表示第 i 到第 j 堆石子的总数量。
那么就有状态转移方程：
3.实现
int dp[N][N]; int sum[N]; int a[N]; int getMinval(int a[],int n) {
dp[i][i] = 0; p[i][i] = i; } for(int len=1; len<n; len++) { for(int i=1; i+len<=n; i++) {
int end = i+len; int tmp = INF; int k = 0; for(int j=p[i][end-1]; j<=p[i+1][end]; j++) {
for(int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &a[i]);
for(int i = 0; i < n; i++) { qsort(&a[i], n - i, sizeof(a[0]), Compare);
for(int j = 0; j < n; j++) printf("%d ", a[j]);
if(i+j >= n) return getsum(i,n-i-1) + getsum(0,(i+j)%n);
else return sum[i+j] - (i>0 ? sum[i-1]:0);
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分析样例：
N=4，4颗珠子的头标记与尾标记依次为 (2，3) (3，5) (5，10) (10，2)。 我们用记号⊕表示两颗珠子的聚合操作，释放总能量： ((4⊕1)⊕2)⊕3）=10*2*3+10*3*5+10*5*10=710
将一个数分成若干段乘积后比该数小，因为输入数不超过20 位，因此不需高精度运算。
证明： 假设AB分成A和B,且A,B<10,则有 AB=10*A+B>A*B(相当于B个A相加) 同理可证明A,B为任意位也成立
动态规划
可以先预处理出原数第i到j段的数值A[i,j]是多少，这 样转移就方便了，预处理也要尽量降低复杂度。
个正整数。 对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗
珠子的头标记。如果前一颗能量珠的头标记为m，尾标记 为r，后一颗能量珠的头标记为r，尾标记为n，则聚合后释 放的能量为m×r×n（Mars单位），新产生的珠子的头标 记为m，尾标记为n。 显然，对于一串项链不同的聚合顺序得到的总能量是不同的 ，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最 大。
情况2：t[i, p]>t[p+1,j] 与情况1是对称。（证明略）
状态转移方程
• 设t[i,j]表示从第i堆到第j堆石子数总和。 Fmax(i,j)表示将从第i堆石子合并到第j堆石子的最大的得分 Fmin(i,j)表示将从第i堆石子合并到第j堆石子的最小的得分
F mi,a j) x m ( { F m ai a x 1 ,jx )F ,( mi,a j 1 x ) } ( t[i,j]
同理，
F m i,ji) n m ({ F m ii n i1 ,n j)F ,( m i,ji 1 n ) } ( t[i,j]
• Fmax[i,i] = 0，Fmin[i,i] = 0 • 时间复杂度为O(n2)
能量项链
在Mars星球上，每个Mars人都随身佩带着一串能量项链。 在项链上有N颗能量珠。 能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某
或者
{ (i) (i+1… j) } { (i… j-1) (j) }
证明
设合并第i堆到第j堆石子的断开位置 p，且i<p<j-1。设在i,p 之间存在一种断开方案q。如下图；
情况1：t[i, p]≤t[p+1,j] 合并方案1： { [ (i…q) (q+1...p) ] (p+1…j) } ，它的得分 : F1=Fmax(i, q)+Fmax(q+1,p])+Fmax(p+1,j)+t[i, j]+t[i, p] 合并方案2: { (i…q) [ (q+1...p) (p+1…j) ] }，它的得分： F2 = Fmax [i, q]+Fmax [q+1,p]+Fmax [p+1,j]+t[i, j]+t[q+1,j] 由于q<p，所以t[i, p]≤t[p+1,j]<t[q+1,j]，所以F1<F2。 这说明方案2的合并方案比方案1好，因此这种情况下应 尽可能靠左边决策。
同理，
i k j 1
F m i,j) i m n( { F m ii,k ) n i F n m (k 1 i,jn ) t[ i( ,j]} i k j 1
Fmax[i,i] = 0，Fmin[i,i] = 0 时间复杂度为O(n3)
优化
由于石子堆是一个圈，因此我们可以枚举分开的位置，首先 将这个圈转化为链，因此总的时间复杂度为O(n4)。
典型试题：整数划分，凸多边形划分、石子合并 、多边形合并、能量项链等。
整数划分
给出一个长度为n的数 要在其中加m-1个乘号，分成m段 这m段的乘积之和最大 m<n<=20 有T组数据，T<=10000
贪心法
尽可能平均分配各段，这样最终的数值将会尽可能大。但有 反例。如191919分成3段 19*19*19=6859 但191*91*9=156429，显然乘积更大。
这样显然很高，其实我们可以将这条链延长2倍，扩展成2n1堆，其中第1堆与n+1堆完全相同，第i堆与n+i堆完全相 同，这样我们只要对这2n堆动态规划后，枚举 f(1,n),f(2,n+1),…,f(n,2n-1)取最优值即可即可。
时间复杂度为O(8n3),如下图：
猜想
合并第i堆到第j堆石子的最优断开位置s[i,j]要么等于 i+1，要么等于j-1，也就是说最优合并方案只可能 是：
区间类动态规划
合并类动态规划的特点
合并：意思就是将两个或多个部分进行整合，当 然也可以反过来，也就是是将一个问题进行分解 成两个或多个部分。
特征：能将问题分解成为两两合并的形式
求解：对整个问题设最优值，枚举合并点，将问 题分解成为左右两个部分，最后将左右两个部分 的最优值进行合并得到原问题的最优值。有点类 似分治算法的解题思想。
两堆分开下图：
动态规划
设t[i,j]表示从第i堆到第j堆石子数总和。 Fmax(i,j)表示将从第i堆石子合并到第j堆石子的最大的得分 Fmin(i,j)表示将从第i堆石子合并到第j堆石子的最小的得分
F m i,j) a m x{ ( F m a i,k ) a x F x m ( k a 1 ,j) x t[ i,j ( ]}
堆的石子数,记为该次合并的得分。 1. 选择一种合并石子的方案,使得做N-1次合并,
得分的总和最少 2. 选择一种合并石子的方案,使得做N-1次合并,
得分的总和最大
示例
贪心法
分析
假设只有2堆石子，显然只有1种合并方案 如果有3堆石子，则有2种合并方案，((1,2),3)和(1,(2,3)) 如果有k堆石子呢？ 不管怎么合并，总之最后总会归结为2堆，如果我们把最后
F[i，j]表示把这个数前i位分成j段得到的最大乘积。 F[i,j]=F[k,j-1]*A[k+1,i], 1<k<i<=n, j<=m 时间复杂度为O[mn2] 由于有10000组数据，因此估计时间复杂度为
10000*203=8*107 至于说输出，记录转移的父亲就可以了。
石子合并
在一园形操场四周摆放N堆石子(N≤100)； 现要将石子有次序地合并成一堆； 规定每次只能选相临的两堆合并成一堆,并将新的一