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《动态规划》课件
《动态规划》ppt课 件
xx年xx月xx日
• 动态规划概述 • 动态规划的基本概念 • 动态规划的求解方法 • 动态规划的应用实例 • 动态规划的优化技巧 • 动态规划的总结与展望
目录
01
动态规划概述
定义与特点
定义
动态规划是一种通过将原问题分解为 相互重叠的子问题，并存储子问题的 解以避免重复计算的方法。
特点
动态规划适用于具有重叠子问题和最 优子结构的问题，通过将问题分解为 子问题，可以找到最优解。
动态规划的适用范围
最优化问题
01
动态规划适用于解决最优化问题，如最大/最小化问题、决策问
题等。
子问题重叠
02
动态规划适用于子问题重叠的情况，即子问题之间存在共享状
态或参数。
递归关系
03
动态规划适用于具有递归关系的问题，可以通过递归方式求解
机器调度问题
总结词
动态规划可以应用于机器调度问题，以确定最优的调度方案，满足生产需求并降低成本 。
详细描述
机器调度问题是一个经典的优化问题，涉及到如何分配任务到机器上，以最小化成本或 最大化效率。通过动态规划，可以将机器调度问题分解为一系列子问题，如确定每个任 务的调度顺序、分配机器等，并逐个求解子问题的最优解，最终得到整个调度方案的最
VS
详细描述
记忆化搜索法是一种优化技术，通过存储 已解决的子问题的解，避免重复计算，提 高求解效率。这种方法适用于子问题数量 较少且相互独立的情况。
04
动态规划的应用实例
最短路径问题
总结词
通过动态规划解决最短路径问题，可以找到 从起点到终点的最短路径。
详细描述
在图论中，最短路径问题是一个经典的优化 问题，旨在找到从起点到终点之间的一条路 径，使得路径上的所有边的权重之和最小。 动态规划是一种有效的解决方法，通过将问 题分解为子问题并存储子问题的解，避免了 重复计算，提高了求解效率。
xx年xx月xx日
• 动态规划概述 • 动态规划的基本概念 • 动态规划的求解方法 • 动态规划的应用实例 • 动态规划的优化技巧 • 动态规划的总结与展望
目录
01
动态规划概述
定义与特点
定义
动态规划是一种通过将原问题分解为 相互重叠的子问题，并存储子问题的 解以避免重复计算的方法。
特点
动态规划适用于具有重叠子问题和最 优子结构的问题，通过将问题分解为 子问题，可以找到最优解。
动态规划的适用范围
最优化问题
01
动态规划适用于解决最优化问题，如最大/最小化问题、决策问
题等。
子问题重叠
02
动态规划适用于子问题重叠的情况，即子问题之间存在共享状
态或参数。
递归关系
03
动态规划适用于具有递归关系的问题，可以通过递归方式求解
机器调度问题
总结词
动态规划可以应用于机器调度问题，以确定最优的调度方案，满足生产需求并降低成本 。
详细描述
机器调度问题是一个经典的优化问题，涉及到如何分配任务到机器上，以最小化成本或 最大化效率。通过动态规划，可以将机器调度问题分解为一系列子问题，如确定每个任 务的调度顺序、分配机器等，并逐个求解子问题的最优解，最终得到整个调度方案的最
VS
详细描述
记忆化搜索法是一种优化技术，通过存储 已解决的子问题的解，避免重复计算，提 高求解效率。这种方法适用于子问题数量 较少且相互独立的情况。
04
动态规划的应用实例
最短路径问题
总结词
通过动态规划解决最短路径问题，可以找到 从起点到终点的最短路径。
详细描述
在图论中，最短路径问题是一个经典的优化 问题，旨在找到从起点到终点之间的一条路 径，使得路径上的所有边的权重之和最小。 动态规划是一种有效的解决方法，通过将问 题分解为子问题并存储子问题的解，避免了 重复计算，提高了求解效率。
《动态规划课件》课件
应用场景：求解最短路径、背 包问题等
注意事项：避免重复计算子问 题和记忆化搜索
定义：将问题划分为 若干个较小的子问题， 并逐个解决子问题， 最终得到原问题的解
特点：将原问题分解为 更小的子问题，通过求 解子问题的最优解得到 原问题的最优解
应用场景：适用于 具有重叠子问题和 最优子结构特性的 问题
示例：背包问题、 最大子段和问题等
分段算法的代码 实现
分段算法的时间 复杂度分析
避免重复计算：使用备忘录或动态规划表来记录已计算过的子问题 减少子问题的数量：通过合并或减少不必要的子问题来降低计算复杂度 选择合适的递归方式：根据问题的特点选择最优的递归方式 优化递归栈：通过减少递归深度或使用循环代替递归来提高性能
优化算法：动态规划可以优化算法，提高计算效率 避免重复计算：通过记忆化搜索，避免重复计算，提高计算速度
添加标题ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
添加标题
添加标题
添加标题
动态规划与分治法比较：分治法将 问题分解为子问题，而动态规划将 子问题联系起来
动态规划与回溯法比较：回溯法会 穷举所有可能解，而动态规划可以 避免不必要的搜索
机器学习与深度 学习中的动态规 划
自然语言处理中 的动态规划
计算机视觉中的 动态规划
推荐系统中的动 态规划
最大子段和问题的定义 最大子段和问题的应用场景 最大子段和问题的解决方法 最大子段和问题的实际应用案例
定义：矩阵链乘法问题是一种优化问题，通过动态规划算法来求解
应用场景：在科学计算、机器学习、图像处理等领域都有广泛的应用
算法原理：通过动态规划算法，将矩阵链乘法问题转化为子问题，从而避免重复计算，提高 计算效率
应用场景：背包问题在计算机科学、运筹学、经济学等领域都有广泛的应用，如资源分配、路径规划、时间表安 排等。
第6章_动态规划ppt课件
gg(u1)
这时，机器的年完好率为a，即如果年初完好 机器的数量为u，到年终时完好的机器就为au， 0<a<1。在低负荷下进行生产时，产品的年 产量和投入生产的机器数量u2的关系为
hh(u2)
PPT学习交流
7
这时，机器的年完好率为b，0<b<1 。
假定开始生产时完好的机器数量为s，要求制定 一个五年计划，在每年开始时，决定如何重新分配 完好的机器在两种不同的负荷下生产的数量，使在 五年内产品的总产量达到最高？
PPT学习交流
15
2．在多阶段决策过程中，动态规划方法是既把前一 段和未来各段分开，又把当前效益和未来效益结 合起来考虑的一种最优化方法。因此，每段决策 的选取是从全局来考虑的，与该段的最优选择答 案一般是不同的。
3．在求整个问题的最优策略时，由于初始状态是已 知的，而每段的决策都是该段状态的函数，故最 优策略所经过的各段状态便可逐次变换得到，从 而确定了最优路线。
因f3是x3线性单调下降函数，故得最优解 x3*=0，相应的有f3(s3)=18s3
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36
K=2时
f2(s2)0 m x 2 s2 [4 a x 2 x6 s2f3(s3) ]0 m x 2 s2(4 a x 2x 6 s2 1s3 8 ) 0 m x 2 s2 4 a x 2x 6 s2 1(5 4 8 s21 3x 0 2) 0 m x 2 s2(2 a5 2 0 x s27 5x 2)
sk1T k(sk,xk(sk))
PPT学习交流
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PPT学习交流
13
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14
§3 动态规划的基本方法
一、动态规划方法的基本原理
动态规划方法的基本思想：
动态规划讲解+例子ppt课件
航天飞机飞行控制问题：由于航天飞机的运动的环境是不断变化的，因此就要 根据航天飞机飞行在不同环境中的情况，不断地决定航天飞机的飞行方向和速 度（状态），使之能最省燃料和完成飞行任务（如软着陆）。
5
多阶段决策过程的特点：
• 根据过程的特性可以将过程按空间、时间等标志分为若干个互相联系又
互相区别的阶段。
6 6
E3
F1 4
G 3 F2
4
5
63
背包问题 有一个徒步旅行者，其可携带物品重量的限度为a 公斤，设有n 种物品可供他选择装入包中。已知每种物品的重量及使用价值（作用），问此 人应如何选择携带的物品（各几件），使所起作用（使用价值）最大？
物品
12…j…n
重量（公斤/件） a1 a2 … aj … an 每件使用价值 c1 c2 … cj … cn
112
2
B1
10
14
A
5
B2 610
1
4
13
B3
12 11
C1 3
9 6
C2 5
8
C3 10
D1 5 E
2
D2
8
112
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B1
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B2 610
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B3
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C1 3
9 6
C2 5
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C3 10
D1 5
2
D2
解：整个计算过程分四个阶段，从最后一个阶段开始。
第四阶段（D →E）： D 有两条路线到终点E 。
学习动态规划，我们首先要了解多阶段决策问题。
2
最短路径问题：给定一个交通网络图如下，其中两点之间的数字表示距离 （或运费），试求从A点到G点的最短距离（总运输费用最小）。
5
多阶段决策过程的特点：
• 根据过程的特性可以将过程按空间、时间等标志分为若干个互相联系又
互相区别的阶段。
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E3
F1 4
G 3 F2
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5
63
背包问题 有一个徒步旅行者，其可携带物品重量的限度为a 公斤，设有n 种物品可供他选择装入包中。已知每种物品的重量及使用价值（作用），问此 人应如何选择携带的物品（各几件），使所起作用（使用价值）最大？
物品
12…j…n
重量（公斤/件） a1 a2 … aj … an 每件使用价值 c1 c2 … cj … cn
112
2
B1
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A
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B2 610
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B3
12 11
C1 3
9 6
C2 5
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C3 10
D1 5 E
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12 11
C1 3
9 6
C2 5
8
C3 10
D1 5
2
D2
解：整个计算过程分四个阶段，从最后一个阶段开始。
第四阶段（D →E）： D 有两条路线到终点E 。
学习动态规划，我们首先要了解多阶段决策问题。
2
最短路径问题：给定一个交通网络图如下，其中两点之间的数字表示距离 （或运费），试求从A点到G点的最短距离（总运输费用最小）。
动态规划(完整)ppt课件
3
• Ⅲ --Ⅳ :
B1—C1—T
4
• Ⅱ--Ⅲ--Ⅳ ：A2—B1—C1—T
7
• Ⅰ--Ⅱ--Ⅲ --Ⅳ：
•
Q—A2—B1—C1—T
11
•
Q--A3—B1—C1—T
11
•
Q--A3—B2—C2—T
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3
最短路径
11
4
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A1
4
2
6
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47
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Q
A2
4
B1
1
4 76
3
C1
3
B2 3
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16
(4)策略和允许策略集合
策略(Policy)也叫决策序列．策略有全过程 策略和 k 部子策略之分，全过程策略是指具 有n 个阶段的全部过程，由依次进行的 n 个 阶段决策构成的决策序列，简称策略，表示
为 p1,n{x1,x2, ,xn}。从 k 阶段到第 n 阶段，
依次进行的阶段决策构成的决策序列称为 k
新分支的创立。
最新版整理ppt
6
• 动态规划将复杂的多阶段决策问题分解为 一系列简单的、离散的单阶段决策问题, 采用顺序求解方法, 通过解一系列小问题 达到求解整个问题目的;
• 动态规划的各个决策阶段不但要考虑本阶 段的决策目标, 还要兼顾整个决策过程的 整体目标, 从而实现整体最优决策.
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第七章 动态规划
主要内容:
§7.1多阶段决策问题 §7.2 动态规划的基本概念和基本原理 §7.3 动态规划应用举例
最新版整理ppt
1
例 求解最短路问题
2
Q
4
动态规划专题讲义解读课件
02
动态规划基本问题
最短路径问题
总结词
最短路径问题是动态规划中常见的问题类型，主要解决在给定图 中从起点到终点的最短路径问题。
详细描述
最短路径问题可以分为单源最短路径问题和多源最短路径问题。 单源最短路径问题是指给定一个起点和一组终点，求起点到每个 终点的最短路径。多源最短路径问题则是给定一组起点和终点， 求每对起点和终点之间的最短路径。
问题规模限制
对于大规模问题，动态规划算法可能 会面临性能瓶颈，因为其时间复杂度 是指数级的。
适用性问题
并非所有问题都适合使用动态规划算 法，对于一些问题，其他算法可能更 有效。
06
动态规划的未来发展展望
动态规划与其他算法的结合使用
动态规划与机器学习算法 结合
利用动态规划优化机器学习模型的训练过程 ，提高模型的预测精度和泛化能力。
动态规划理论研究的深入和创新
深入研究动态规划算法的数学基础和 理论基础，探索其更广泛的应用领域 。
创新动态规划算法的设计和应用，解 决现实生活中的复杂问题，推动科学 技术的发展。
THANK YOU
感谢聆听
动态规划与人工智能算法 结合
将动态规划应用于人工智能领域，如强化学 习、自然语言处理等，以解决更复杂的问题
。
动态规划在大数据和云计算领域的应用前景
大数据处理
利用动态规划处理大规模数据集，提 高数据处理效率，降低计算成本。
云计算优化
通过动态规划算法优化云计算资源的 分配和管理，提高资源利用率和系统 性能。
动态规划专题讲义解读课件
目
CONTENCT
录
• 动态规划概述 • 动态规划的基本问题 • 动态规划的算法实现 • 动态规划的应用场景 • 动态规划的优缺点分析 • 动态规划的未来发展展望
《动态规划教学》课件
动态规划的理论研究
要点一
动态规划算法的收敛性研究
深入探讨动态规划算法的收敛速度和收敛条件，为算法优 化提供理论支持。
要点二
动态规划的近似算法研究
研究近似动态规划算法，在保证一定精度下降低计算复杂 度，提高求解效率。
THANK YOU
缺点
01
空间复杂度高
动态规划通常需要存储所有子问题的解决方案，因此其空 间复杂度通常较高。对于大规模问题，可能需要大量的存 储空间，这可能导致算法在实际应用中受到限制。
02 03
可能陷入局部最优解
虽然动态规划有助于找到全局最优解，但在某些情况下， 它可能陷入局部最优解。这是因为动态规划通常从问题的 初始状态开始，逐步解决子问题，如果初始状态不是最优 的，则可能在整个过程中都围绕着一个非最优的解决方案 。
期权定价
动态规划可以用于期权定价模型，以更准确地预测期 权价格。
计算机科学
算法优化
动态规划可以用于优化算法，以提高计算效率和 准确性。
数据压缩
动态规划可以用于数据压缩算法，以更有效地压 缩和解压缩数据。
游戏开发
动态规划可以用于游戏开发和AI算法，以提高游 戏的可玩性和智能性。
生物信息学
基因序列比对
动态规划可以用于基因序列比对 ，以ห้องสมุดไป่ตู้定不同基因序列之间的相 似性和差异性。
蛋白质结构预测
动态规划可以用于预测蛋白质的 三维结构，以更好地理解蛋白质 的功能和作用机制。
进化树构建
动态规划可以用于构建进化树， 以更好地理解物种的进化关系和 演化历程。
05
动态规划的优缺点
优点
高效性
动态规划能够有效地解决最优化问题，特别是那些具有重叠子问题和最优子结构的问题。通过将问题分解为子问题并 存储它们的解决方案，动态规划避免了重复计算，从而大大提高了算法的效率。
动态规划专题讲义课件
VS
状态转移方程是动态规划中的重要概念，它描述了状态之间的转移关系。在求解问题时，通过状态转移方程可以将一个状态转移到另一个状态，从而逐步求解出问题的最优解。
状态转移方程的建立需要通过对问题进行深入分析，找出状态之间的依赖关系，并建立数学模型。在应用状态转移方程时，需要注意状态的初始状态和终止状态，以及状态转移过程中的约束条件。
02
动态规划的基本概念
最优化原理是动态规划的核心思想，它认为一个问题的最优解可以通过子问题的最优解来构建。在解决复杂问题时，将问题分解为若干个子问题，分别求解子问题的最优解，再利用子问题的最优解来求解原问题的最优解。
最优化原理的应用范围很广，包括计算机科学、运筹学、经济学等领域。通过将问题分解为子问题，可以降低问题的复杂度，提高求解效率。
自顶向下策略
自底向上策略
分支定界法：通过将问题分解为多个分支来解决问题，同时使用界限来排除不可能的解。与动态规划结合，可以更有效地处理具有大量状态和决策的问题。
THANK YOU
感谢各位观看
排班问题
如求解最优的排班方案，使得员工的工作计划合理且满足各种约束条件。
03
递推关系
建立子问题的解之间的递推关系，通过这种关系逐步求解更大规模的问题，直到达到原问题的解。
01
将原问题分解为子问题
将原问题分解为若干个子问题，这些子问题是原问题的较小规模或部分问题的解。
02
存储子问题的解
将已解决的子问题的解存储起来，以便在求解更大规模的问题时重复使用，避免重复计算。
03
动态规划的算法实现
状态空间法是动态规划的基本方法，通过构建状态转移方程来求解最优化问题。
状态转移方程描述了从状态转移至其他状态的过程，通过迭代更新状态变量的值，最终得到最优解。
第6章动态规划PPT课件
第4页/共55页
动态规划问题实例
例6-1 给定一个线路网络，要从A向F铺设一条输油管，
各点间连线上的数字表示距离，问应选择什么路线，可
使总距离最短？
C1 6
5
1
B1 3
6
8
3
C2 5
D1 2
2
E1 3
5
F1 4
5
A
3
3
87
C3 3
1
D2
2
E2 2
6
G
3
F2
B2 6
8
C4 4
3
D3 3
6
E3
第5页/共55页
动态规划
所谓多阶段决策问题是指这样的决策问题:其过程可分 为若干个相互联的阶段，每一阶段都对应着一组可供选择 的决策，每一决策的选定即依赖于当前面临的状态，又影 响以后总体的效果。当每一阶段的决策选定以后，就构成 一个决策序列，称为一个策略，它对应着一个确定的效果。 多阶段决策问题就是寻找使此效果最好的策略。
最优指标函数 fk(xk) 表示从目前状态到E的最短路径。终 端条件为:
f7 (s7) = f7(G) = 0 其含义是从G到G的最短路径为0。 递推方程为:
fk (sk )
=
Min
ukDk ( sk
){Vk
(
sk
,
uk
)
+
fk+1(sk+1)}
第21页/共55页
贝尔曼最优化原理
作为一个全过程的最优策略具有这样的性质:对于最 优策略过程中的任意状态而言，无论其过去的状态和决 策如何，余下的诸决策必构成一个最优子策略。
第8页/共55页
动态规划问题实例
动态规划问题实例
例6-1 给定一个线路网络，要从A向F铺设一条输油管，
各点间连线上的数字表示距离，问应选择什么路线，可
使总距离最短？
C1 6
5
1
B1 3
6
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C2 5
D1 2
2
E1 3
5
F1 4
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C3 3
1
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B2 6
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C4 4
3
D3 3
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动态规划
所谓多阶段决策问题是指这样的决策问题:其过程可分 为若干个相互联的阶段，每一阶段都对应着一组可供选择 的决策，每一决策的选定即依赖于当前面临的状态，又影 响以后总体的效果。当每一阶段的决策选定以后，就构成 一个决策序列，称为一个策略，它对应着一个确定的效果。 多阶段决策问题就是寻找使此效果最好的策略。
最优指标函数 fk(xk) 表示从目前状态到E的最短路径。终 端条件为:
f7 (s7) = f7(G) = 0 其含义是从G到G的最短路径为0。 递推方程为:
fk (sk )
=
Min
ukDk ( sk
){Vk
(
sk
,
uk
)
+
fk+1(sk+1)}
第21页/共55页
贝尔曼最优化原理
作为一个全过程的最优策略具有这样的性质:对于最 优策略过程中的任意状态而言，无论其过去的状态和决 策如何，余下的诸决策必构成一个最优子策略。
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动态规划问题实例
《动态规划》课件
《动态规划》PPT课件
动态规划（Dynamic Programming）是一种用来解决复杂问题的算法思想。
什么是动态规划
动态规划是一种将问题拆分成子问题并进行最优解比较的算法，常用于求解最优化问题。
问题模型
状态
将问题抽象成能够描述当前情况的状态。
目标
定义问题的目标，通常是最小化或最大化某 个指标。
经典面试题：爬楼梯问题
爬楼梯问题是指给定楼梯的阶数，求解爬到楼顶的不同方式的数量。
经典面试题：硬币找零问题
硬币找零问题是指给定一定面值的硬币和一个金额，找到凑出该金额的最少 硬币数。
经典面试题：最长回文子串问题
最长回文子串问题是指找到给定字符串中最长的回文子串。
实用案例：机器人找出路
机器人找出路是指给定一个迷宫，找到从起点到终点的路径。
决策
根据状态作出选择或决策。
转移方程
根据子问题的最优解推导出整体问题的最优 解。
最优子结构和重叠子问题
1 最优子结构
问题的最优解包含了子问题的最优解。
2 重叠子问题
子问题之间存在重复的计算，可以利用记 忆化存储中间结果来优化。
动态规划三部曲
1
定义状态
明确问题的状导转移方程
国王游戏问题
国王游戏问题是指在一个棋盘上放置国王，使得它们无法互相攻击。
编辑距离问题
编辑距离问题是指计算两个字符串之间转换的最小操作次数，包括插入、删 除和替换操作。
矩阵连乘问题
矩阵连乘问题是指给定一系列矩阵，找到最佳的乘法顺序，使得计算乘法的总次数最小。
最长递增子序列问题
最长递增子序列问题是指找到给定序列中最长的递增子序列的长度。
斐波那契数列问题
动态规划（Dynamic Programming）是一种用来解决复杂问题的算法思想。
什么是动态规划
动态规划是一种将问题拆分成子问题并进行最优解比较的算法，常用于求解最优化问题。
问题模型
状态
将问题抽象成能够描述当前情况的状态。
目标
定义问题的目标，通常是最小化或最大化某 个指标。
经典面试题：爬楼梯问题
爬楼梯问题是指给定楼梯的阶数，求解爬到楼顶的不同方式的数量。
经典面试题：硬币找零问题
硬币找零问题是指给定一定面值的硬币和一个金额，找到凑出该金额的最少 硬币数。
经典面试题：最长回文子串问题
最长回文子串问题是指找到给定字符串中最长的回文子串。
实用案例：机器人找出路
机器人找出路是指给定一个迷宫，找到从起点到终点的路径。
决策
根据状态作出选择或决策。
转移方程
根据子问题的最优解推导出整体问题的最优 解。
最优子结构和重叠子问题
1 最优子结构
问题的最优解包含了子问题的最优解。
2 重叠子问题
子问题之间存在重复的计算，可以利用记 忆化存储中间结果来优化。
动态规划三部曲
1
定义状态
明确问题的状导转移方程
国王游戏问题
国王游戏问题是指在一个棋盘上放置国王，使得它们无法互相攻击。
编辑距离问题
编辑距离问题是指计算两个字符串之间转换的最小操作次数，包括插入、删 除和替换操作。
矩阵连乘问题
矩阵连乘问题是指给定一系列矩阵，找到最佳的乘法顺序，使得计算乘法的总次数最小。
最长递增子序列问题
最长递增子序列问题是指找到给定序列中最长的递增子序列的长度。
斐波那契数列问题
第5章动态规划.ppt
企业在使用设备时都要考虑设备的更
新问题，因为设备越陈旧所需的维修费用
越多，但购买新设备则要一次性支出较大
的费用；现某企业要决定一台设备未来8
年的更新计划，已预测了第j年购买设备
的价格为Kj，设Gj为设备经过j年后的残
值，Cj为设备连续使用j-1年后在第j年
的维修费(j＝1，2，…，8)，问应在哪些
5.3动态规划模型的建立与求解 5.3.1动态规划模型的建立
资源分配问题 例5 某公司有资金10万元，若投资于项目j(j＝ 1，2，3)的投资额为xi时，其收益分别为g1(x1) ＝4x1，g2(x2)＝9x2，g3(x3)＝2x32，问应如何 分配投资数额才能使总收益最大?
fk (sk )
min{d uk
k
(
sk
,
uk
)
f k 1 ( sk 1 )}
f6(s6) 0
k 5,4,3,2,1
图7-2
5.1.2.动态规划的基本原理
动态规划方法的基本思想：
(1) 将多阶段决策过程划分阶段，恰当地选取状态变 量、决策变量及定义最优指标函数，从而把问题化 成一族同类型的子问题，然后逐个求解。
Vk,n = Vk,n（sk,sk+1,…,sn）
指标函数Vk,n的最优值，称为相应的最优指标
函数，记为fk(sk)。
5.2动态规划的基本概念和基本原理
5.1.2.动态规划的基本原理
• Bellman最优化原理
•作为整个过程的最优策略具有这 样的性质：即无论过去的状态和 决策如何，对前面的决策所形成 的状态而言，余下的诸决策必须 构成最优策略。
例1 生产与存贮问题
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幻想乡的夏天的一天，萃香得到了N堆西瓜，她想把这些西瓜合 并成一堆，每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆西瓜 的数量之和，合并后与这两堆西瓜相邻的西瓜将和新堆相邻，合 并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同，找出一种合 理的方法，使总的代价最小。
分析
阶段：顺序排列的西瓜堆将随着合并逐渐减少从i到j的长为j-i+1的 区间可以认为是阶段
1.最优子结构
当前取得了最优值,那么直接用这个值来参与计算后 面的状态能使后面的也最优
只要比较取一个值最优的保存
2.无后效性
当前作出决策只会影响后面的状态 前面的决策的影响都在状态中被包含了顺序
3.重叠子问题
也就是有前所述的那种重复计算的减少,动态规划才能减 少算法的运行时间
动态规划的要素
最容易想到的方法：
我们可以列举每一条可能的路线，分别累加比较每条路线的修复值 进行比较，取得最大的一条作为答案。我们先不引入时间复杂度的 计算，来用一个n较小的例子手工计算我们需要做的计算量。
为什么会计算那么多次呢？
因为这个算法有天然呆的属性，多次经过同一个点，太健忘了！ 到这个点为止的最大和其实已经算出来了， 而回溯法在每次回溯时会重复计算！
每一层都看做一个这样的问题，也就是到当前位置可以获得的最大值，依次类 推。
原问题答案：到最下面某个位置（也就是最后一层子问题的［当前位置］）的 最大修复值。
这就是传说中的：
这样的计算次数
进行1次比较和1次加法 （1+4）*4/2-1=9个点
共计算18次。
虽然只少了6次，但n增长时与n^2成正比的计算量就可以接受了。
动态规划的求解模式和程序实现
划分阶段 设计状态 确定决策写出转移 写出方程和边界 递推：看作递推方程，用循环依次递推出每一个状态 记忆化搜索：按搜索的方式写，但是对于已经搜索过的
状态直接返回最优值，不再次搜索
按照方程的形态大致分类的几个例题
线性选择 性选择型的DP 阶段：按顺序处理到哪一个原子核 状态:f[i]表示处理到第i个，且选取第i个的最大序列长度 决策：上一个原子核是哪一个（逆推） 方程f[i]=max(f[j])+1 1<=j<i f[1]=1
帕秋莉的图书（POJ3624）
帕秋莉诺蕾姬是幻想乡中红魔馆的图书馆管理员，管理 着图书馆中10万本魔法书。她总是试图整理这些图书， 把质量好的放在一个专门的书架上。
阶段 状态 决策
阶段
每个状态属于一个阶段有了前后关系保证最优子结构和 无后效性比较明显,是前提也是一种特征
比如：时间的前后，灵梦的灵符那种层次关系
状态
动态规划时操作的对象 表示我们解到了哪一个子问题 1维或者多维 所属的阶段，一些相关信息
决策
是前面阶段的状态向后面的状态转移的操作 是决策把各个阶段的状态依次求出
，取较大的。 方程：f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-Wi]+Ki) 1=<i<=n 0<=j<=M 后面部分要求Wi<=j f[][0]=0
萃香的的西瓜
伊吹萃香是被赶到幻想乡的鬼，位列鬼族四天王之一，据传为“ 怪力乱神”四天王中怪的代表。
虽然看上去是一个少女，但其实已活了几百年。她有操纵密和疏 的能力，可以任意合并和分解周围的东西。
动态规划的定义
动态规划是： 运筹学的一个分支 解决策过程最优化的数学方法 把多阶段过程转化为一系列单阶段问题
动态规划—— 求解可以划分阶段的最优化问题的方法
效率高 局限性 必须可以划分阶段并满足几个条件 指数级->多项式级
动态规划的适用条件
不是一个纯理论的知识 看出来这个题题是考用动态规划求解 感性的认识
空的裂解原子核（POJ1887）
灵乌路空有着特别姿态的鸦。左足是“分解之足”、右足是“融 合之足”、还有制御两者的右手“第三足”，她以这三足操控著 究极的能源。
空居住在地灵殿在无聊的时候经常控制原子核进行核裂解来 练习自己的能力。她捕捉到了N个原子核，控制每个原子核进 行裂解会获得Ci的能量值，她可以依次挑选一个序列进行裂变 （不必连续）。但是由于她能力的特殊性，她用来裂解的原子 核的能量只能越来越低，否则会导致控制失败而造成核反应制 御不能的后果。但是空是一个低智力的笨蛋，她想让你帮忙计 算她最多可以控制几个原子核进行裂变。
这样要计算多少次？
我们先不引入时间复杂度的计算，来用一个n较小的例子手工计算 我们需要做的计算量。 n＝＝4，共有2^(4-1)＝8条路线 每条两次加法和一次比较，共24次计算。 但是如果n=100呢？n=1000呢？指数级的运算量将会飞快增长
无法接受
换一种方法
取当前和较大的一种路线记录下来，往下走的时候直接用这个数跟下面点的修 复值相加。
这个专用书架承受的最大重量是M，总共有N本候选图 书，编号1－n，每本有一个重量和知识值Wi和Ki，她想 知道，在书架不会超过承重的情况下，图书的知识值最 大。
分析
阶段：物品随意排列，以做决定到了哪个物品作为阶段 状态：f[i][j]表示处理到第i个物品，已经使用重量j得到
的最大知识值 决策与转移：决策就是对每个物品是否取用，分别转移
动态规划入门讲解
by
引入
我们用一个简单的例子来让大 家了解什么是动态规划
灵梦的灵符（USACO 1.5.1）
博丽灵梦是东方幻想乡中博丽神社的巫女，她跟幻想乡中最老资格的妖怪八 云紫一起维护着隔绝幻想乡与现实世界的大结界，维护现实世界不被幻想乡 中的妖怪侵害，幻想乡中的生物也可以自由自在的维持古老的生活方式。 但不幸的是，每隔六十年，结界会有一次大异变，为了维护结界的完整，博 丽灵梦必须将灵力注入灵符，让灵力以最好的方式游走来修复结界。 灵梦的灵符是一个三角形，由一堆数字组成，每个数字表示灵力经过这个位 置获得的修复值，三角形共n层，第i层有i个数字，从上方的最尖端注入灵力 ，灵力只能前往前位置的左下方或者右下方，最终走的下面的边的某个位置 释放，问灵梦最多可以获得多少修复值？
分析
阶段：顺序排列的西瓜堆将随着合并逐渐减少从i到j的长为j-i+1的 区间可以认为是阶段
1.最优子结构
当前取得了最优值,那么直接用这个值来参与计算后 面的状态能使后面的也最优
只要比较取一个值最优的保存
2.无后效性
当前作出决策只会影响后面的状态 前面的决策的影响都在状态中被包含了顺序
3.重叠子问题
也就是有前所述的那种重复计算的减少,动态规划才能减 少算法的运行时间
动态规划的要素
最容易想到的方法：
我们可以列举每一条可能的路线，分别累加比较每条路线的修复值 进行比较，取得最大的一条作为答案。我们先不引入时间复杂度的 计算，来用一个n较小的例子手工计算我们需要做的计算量。
为什么会计算那么多次呢？
因为这个算法有天然呆的属性，多次经过同一个点，太健忘了！ 到这个点为止的最大和其实已经算出来了， 而回溯法在每次回溯时会重复计算！
每一层都看做一个这样的问题，也就是到当前位置可以获得的最大值，依次类 推。
原问题答案：到最下面某个位置（也就是最后一层子问题的［当前位置］）的 最大修复值。
这就是传说中的：
这样的计算次数
进行1次比较和1次加法 （1+4）*4/2-1=9个点
共计算18次。
虽然只少了6次，但n增长时与n^2成正比的计算量就可以接受了。
动态规划的求解模式和程序实现
划分阶段 设计状态 确定决策写出转移 写出方程和边界 递推：看作递推方程，用循环依次递推出每一个状态 记忆化搜索：按搜索的方式写，但是对于已经搜索过的
状态直接返回最优值，不再次搜索
按照方程的形态大致分类的几个例题
线性选择 性选择型的DP 阶段：按顺序处理到哪一个原子核 状态:f[i]表示处理到第i个，且选取第i个的最大序列长度 决策：上一个原子核是哪一个（逆推） 方程f[i]=max(f[j])+1 1<=j<i f[1]=1
帕秋莉的图书（POJ3624）
帕秋莉诺蕾姬是幻想乡中红魔馆的图书馆管理员，管理 着图书馆中10万本魔法书。她总是试图整理这些图书， 把质量好的放在一个专门的书架上。
阶段 状态 决策
阶段
每个状态属于一个阶段有了前后关系保证最优子结构和 无后效性比较明显,是前提也是一种特征
比如：时间的前后，灵梦的灵符那种层次关系
状态
动态规划时操作的对象 表示我们解到了哪一个子问题 1维或者多维 所属的阶段，一些相关信息
决策
是前面阶段的状态向后面的状态转移的操作 是决策把各个阶段的状态依次求出
，取较大的。 方程：f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-Wi]+Ki) 1=<i<=n 0<=j<=M 后面部分要求Wi<=j f[][0]=0
萃香的的西瓜
伊吹萃香是被赶到幻想乡的鬼，位列鬼族四天王之一，据传为“ 怪力乱神”四天王中怪的代表。
虽然看上去是一个少女，但其实已活了几百年。她有操纵密和疏 的能力，可以任意合并和分解周围的东西。
动态规划的定义
动态规划是： 运筹学的一个分支 解决策过程最优化的数学方法 把多阶段过程转化为一系列单阶段问题
动态规划—— 求解可以划分阶段的最优化问题的方法
效率高 局限性 必须可以划分阶段并满足几个条件 指数级->多项式级
动态规划的适用条件
不是一个纯理论的知识 看出来这个题题是考用动态规划求解 感性的认识
空的裂解原子核（POJ1887）
灵乌路空有着特别姿态的鸦。左足是“分解之足”、右足是“融 合之足”、还有制御两者的右手“第三足”，她以这三足操控著 究极的能源。
空居住在地灵殿在无聊的时候经常控制原子核进行核裂解来 练习自己的能力。她捕捉到了N个原子核，控制每个原子核进 行裂解会获得Ci的能量值，她可以依次挑选一个序列进行裂变 （不必连续）。但是由于她能力的特殊性，她用来裂解的原子 核的能量只能越来越低，否则会导致控制失败而造成核反应制 御不能的后果。但是空是一个低智力的笨蛋，她想让你帮忙计 算她最多可以控制几个原子核进行裂变。
这样要计算多少次？
我们先不引入时间复杂度的计算，来用一个n较小的例子手工计算 我们需要做的计算量。 n＝＝4，共有2^(4-1)＝8条路线 每条两次加法和一次比较，共24次计算。 但是如果n=100呢？n=1000呢？指数级的运算量将会飞快增长
无法接受
换一种方法
取当前和较大的一种路线记录下来，往下走的时候直接用这个数跟下面点的修 复值相加。
这个专用书架承受的最大重量是M，总共有N本候选图 书，编号1－n，每本有一个重量和知识值Wi和Ki，她想 知道，在书架不会超过承重的情况下，图书的知识值最 大。
分析
阶段：物品随意排列，以做决定到了哪个物品作为阶段 状态：f[i][j]表示处理到第i个物品，已经使用重量j得到
的最大知识值 决策与转移：决策就是对每个物品是否取用，分别转移
动态规划入门讲解
by
引入
我们用一个简单的例子来让大 家了解什么是动态规划
灵梦的灵符（USACO 1.5.1）
博丽灵梦是东方幻想乡中博丽神社的巫女，她跟幻想乡中最老资格的妖怪八 云紫一起维护着隔绝幻想乡与现实世界的大结界，维护现实世界不被幻想乡 中的妖怪侵害，幻想乡中的生物也可以自由自在的维持古老的生活方式。 但不幸的是，每隔六十年，结界会有一次大异变，为了维护结界的完整，博 丽灵梦必须将灵力注入灵符，让灵力以最好的方式游走来修复结界。 灵梦的灵符是一个三角形，由一堆数字组成，每个数字表示灵力经过这个位 置获得的修复值，三角形共n层，第i层有i个数字，从上方的最尖端注入灵力 ，灵力只能前往前位置的左下方或者右下方，最终走的下面的边的某个位置 释放，问灵梦最多可以获得多少修复值？