2018年高考理科数学浙江卷导----数压轴题解析

2020年高考理科数学浙江卷导数压轴题解析

已知函数.

（I）若在，处导数相等，证明：；

（II）若，证明：对任意，直线与曲线有唯一公共点.

【题目分析】

本题综合考察了函数的单调性、极值以及零点的分析。解决第（I）问中取值范围问题的关键在于建立与之间的关系将双变量转化为单变量，寻找该单变量的取值范围，构造函数并根据函数的单调性以及定义域讨论其值域，难度不大。

第（II）问重点考察函数零点的寻找，“零点存在性定理”与“函数单调性”的结合是解决“唯一零点”这类问题的常规套路——“零点存在性定理”解决有没有的问题，“函数单调性”解决可能有几个的问题。题目中需要构造这样一个含有双参变量的函数，参数a不会影响“函数单调性”，也就是意味着函数的单调性比较好处理，难点在于“零点存在性定理”的运用，是否存在大于0或者小于0的点是由参数k和a共同控制的，对于这样一个既含有根号又含有对数的函数而言，处理起来比较棘手。当然考虑在及处的极限很容易得出存在零点的结论，但是需要强调的是求极限严格来讲不属于高中阶段内的知识点（虽然高中教材中有涉及），高考时得不得分存在很大争议，因此高考数学官方标准答案中都会带入“特殊值”，通过不等式的放缩来证明函数值是否存在大于(小于)0的点，本题中官方标准答案中给出以及这样两个极其复杂的“特殊值”，让人望而生叹直呼好难想到。

本解答过程另辟蹊径，给出了两个非常简单的范围来说明的正负号问题——将分为与两部分，此时参数k和a分开(k和a二者之间没有关系，相互独立)，逐一讨论范围之后再合并，从而确定的正负号。

【题目解答】

（I），；令，则和是关于的一元二次方程的两个不相等的正数根，从

而

；

令，则，在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，即，得证.（II）直线与曲线有唯一公共点等价于函数有唯一零点；

(a)零点的存在性证明：

当时，当时，所以当时，；当时，当时，因此当时，；根据零点存在性定理可知函数在区间至少存在一个零点，从而在至少存在一个零点.

(b)零点的唯一性证明：

；

若，则恒成立，单调递减，此时在最多只有一个零点；

若，有两个不相等正根和（设）且易知，从而在上单调递减，上单调递增，上单调递减。由得：

，

从而；结合（I）中函数的单调性可知：，即，所以当时函数，结合的单调性可知在内无零点，在最多一个零点；此时在亦最多只有一个零点.

综上，当且时函数有唯一零点，即直线与曲线有唯一公共点.