第四章 主分量分析

for i=1:L-1 for j=i+1:L % Optimal angle to rotate columns i, j x = eof(:,i)./h; y = eof(:,j)./h; u = x.*x - y.*y; v = 2*x.*y; t = atan2( 2*(D*u'*v-sum(u)*sum(v)), D*(u'*u-v'*v)-sum(u)^2+sum(v)^2 )/4; % Anticlockwise rotation of angle t (t+pi is valid, too) temp = [eof(:,i) eof(:,j)]*[cos(t) -sin(t); sin(t) cos(t)]; eof(:,i) = temp(:,1); eof(:,j) = temp(:,2); end end % New value of the objective function h = sqrt(sum(eof'.^2))'+exp(-700); % Communalities temp=eof./(h*ones(1,L)); V = [V sum(sum(temp.^4))-sum(sum(temp.^2).^2)/D]; function end % Sign inversion so that each column vector of eof has mainly % components of the same sign if sign>0 for i=1:L if sum(eof(:,i)) < 0 eof(:,i) = -eof(:,i); end end elseif sign<0 for i=1:L if sum(eof(:,i)) > 0 eof(:,i) = -eof(:,i); end end end
２．要素场的拟合
３．计算中的时空转换
4．EOF项数选取
EOF分解后应保留多少项，由分析对象和要求决定。常用North准则来定。
摘自Prof. Jin-Yi Yu课件
Matlab中进行EOF分析
4.4 旋转EOF（REOF）
EOF局限性
1. 与区域范围选择有关，这给进行物理解释 带来困难 2. 过分强调与分析区域尺度相当的现象，因 而使区域性相关结构反映不出来。
主分量分析与回归分析、判别分析不同，它 是一种分析方法而不是一种预报方法。
它能够把随时间变化的气象要素场分解为空 间函数部分和时间函数（主分量）部分。空间函 数部分概括场的地域分布特点，这部分是不随时 间变化的；而时间函数部分则由空间点（变量） 的线性组合所构成，称为主分量，这些主分量的 头几个占有原空间点（变量）的总方差的很大部 分。研究主分量随时间变化的规律就可以代替对 场的随时间变化的研究。
２．主分量的导出
３．主分量的性质
• 各主分量的方差分别为原ｐ个变量的协方差阵的特征值， 不同的主分量彼此是无关的。
i
• 各主分量的方差贡献大小按矩阵Ｓ特征值大小顺 序排列。
• ｐ个主分量的总方差与原ｐ个变量的总方差相等。
４．主分量的其它形式
５．主分量的计算
4.3 经验正交函数分解
１．气象要素场分解
EOF分解
分量形式
% [eof,V] = varimax(eof[,sign,tol]) Varimax rotation % % Performs varimax rotation (Kaiser 1958) on the column vectors contained % in eof. We follow Kaiser's notation. % % In: % eof: DxL matrix (L<D) of column vectors (possibly the loadings from % a factor analysis). % sign: preferred majoritary sign for the vector components (-1: % negative, 1: positive, 0: don't care). Default 0. % tol: minimum relative increase of the objective function to keep on % iterating (default 1e-5). % Out: % eof: DxL matrix with the rotated loadings. % V: training curve for the objective function. % Copyright (c) 1997 by Miguel A. Carreira-Perpinan function [eof,V] = varimax(eof,sign,tol) % Argument defaults if nargin==1 sign=0; end; if nargin<=2 tol=1e-5; end; [D,L] = size(eof); h = sqrt(sum(eof'.^2))'+exp(-700); % Communalities temp=eof./(h*ones(1,L)); V = [sum(sum(temp.^4))-sum(sum(temp.^2).^2)/D]; % Objective function V_old = V*(1-2*tol); while abs(V(length(V))-V_old) > tol*V(length(V)) V_old = V(length(V));
4.3 经验正交函数分解
１．气象要素场分解
摘自Prof. Jin-Yi Yu课件
4.1 两个变量的主分量
？
１．主分量的导出
２．主分量的性质
• 主分量的方差和它所对应的特征值相等。
• 不同的主分量之间是无关的。
３．主分量的几何意义
wk.baidu.com
４．标准化主分量
4.2 多个变量的主分量
１．主分量的表示
大气统计方法
第四章 主分量分析
Principal Component Analysis
主分量分析又称 主成分分析（PCA）
经验正交函数分解（EOF）
自然正交函数分解 特征向量分析 它是气象上多变量分析中常用方法之一（单要素场）。 在气象统计中，经常要研究分析各种气象要素场，例 如海温场、降水场。它们大多由不规则的网格点所组成。 如果抽取这些场的某一段历史时期的资料，就构成一组以 网格点为空间点随时间变化的样本，主分量分析就是以这 种样本为分析对象的。
REOF
基本思想
• 如果EOF分析截取了前K个空间型，累计解释场 的总方差已达一定要求，例如累计方差贡献率达 80%，可否（及怎样）将这K个空间型再做调整， 使得调整后的K个空间型累计解释原场总方差的 百分率保持不变，而单个空间型尽量反映场的局 部相关结构。
• 这种对K个EOF再做调整的过程在数学上是在它 们之间再做线性变换，几何形象是做旋转，所以 称为REOF。
% Objective