国家教师资格考试《高中数学学科知识与教学能力》辅导课件
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7x 1 lim 2 lim x 7 ( x 49)(2 x 3) x7 ( x 7)(2 x 3)
1 56
当a0 0, b0 0, m和n为非负整数时有
a0 , 当 n m , b 0 m m 1 a 0 x a1 x am lim 0,当n m , n n 1 x b x b x bn 0 1 , 当n m ,
国家教师资格考试 数学学科知识与教学能力
大纲要求
• 高中：大学本科数学专业基础课程的知识是指：数学分析、 高等代数、解析几何、概率论与数理统计等大学课程中与 中学数学密切相关的内容，包括数列极限、函数极限、连 续函数、一元函数微积分、向量及其运算、矩阵与变换等 内容及概率与数理统计的基础知识。
• 其内容要求是：准确掌握基本概念，熟练进行运算，并能 够利用这些知识去解决中学数学的问题。 • 初中：大学专科数学专业基础课程知识是指：数学分析、 高等代数、解析几何、概率论与数理统计等大学专科数学 课程中与中学数学密切相关的内容。 • 其内容要求是：准确掌握基本概念，熟练进行运算，并能 够利用这些知识去解决中学数学的问题。
1 13 1 13 (舍去) 解得 A , A 2 2 1 13 lim x n . n 2
A 2 3 A,
sin x lim 1 x0 x 1 x lim (1 ) e x x
a bx c ab lim(1 ) e x x
lim(1 ax)
方法：以分母中自变量的最高次幂除分子,分母, 以分出无穷小,然后再求极限.
例2 求 lim(
n
1 n 1
2
1 n 2
2
ห้องสมุดไป่ตู้
1 n n
2
).
n 1 1 n , 解 2 2 2 2 n n n 1 n n n 1
n 又 lim 2 lim n n n n
1 1 1 n
1,
1 1 2 n 1 1 1 lim( 2 ) 1. 2 2 n n 1 n 2 n n
n 2 n
lim
n n 1
lim
1
1,
由准则1得
例3 证明数列 xn 3 3 3 ( n重根
式)的极限存在.
证
显然 xn1 xn ,
xn 是单调递增的 ;
又 x1 3 3, 假定 xk 3, x k 1 3 x k 3 3 3,
xn 是有界的;
lim x n 存在.
n
2 xn1 3 xn , x n1 3 x n ,
2 lim x n 1 lim( 3 x n ), n n
1.跳跃间断点 如果 f ( x )在点 x0处左, 右极限都
存在, 但f ( x0 0) f ( x0 0), 则称点 x0为函数 f ( x )的跳跃间断点.
x, 例4 讨论函数 f ( x ) 1 x , x 0, 在x 0处的连续性. x 0,
0
义则称点 x0为函数 f ( x )的可去间断点 .
例5 讨论函数
2 x , 0 x 1, f ( x ) 1, x 1 x 1, 1 x , 在x 1处的连续性 .
y
2 1
数学分析
函数与极限
求极限：罗必塔法则、两个重要极限、无穷小量的等价
替换、求分段函数的极限（用定义）、分母（分子）有
理化； 判断连续性：一般为分段函数、判断间断点的类别。
例1 解
2 x 3 求 lim 2 . x 7 x 49
2 x 3 (2 x 3)(2 x 3) lim 2 lim x 7 x 7 ( x 2 49)(2 x 49 x 3)
y
解
f (0 0) 0,
f (0 0) 1,
f (0 0) f (0 0),
x 0为函数的跳跃间断点 .
o
x
2.可去间断点如果 f ( x )在点 x0处的极限存在 ,
但 lim f ( x ) A f ( x ), 或 f ( x ) 在点 x 处无定 0 0 x x
tan x sin x为x的三阶无穷小 .
例6
x
lim 3 9
x
1 x x
lim 9
x
x
1 x x
1 x 1 3
0
1 x
3 1 9 lim 1 x x 3
1 3x x
9 e 9
例7
tan 2 x 求 lim . x 0 1 cos x
2
1 2 解 当x 0时, 1 cos x ~ x , tan 2 x ~ 2 x . 2 2 (2 x ) 原式 lim 8. x 0 1 2 x 2
若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则 可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无 穷小代换，而不会改变原式的极限．
tan x sin x 解 lim x 0 x3 1 sin x 1 cos x lim( ) 2 x 0 cos x x x 1 sin x 1 cos x 1 lim lim lim , 2 x 0 cos x x 0 x x 0 x 2
x 0
b c x
e
ab
x 1 例4 lim x x 1
解
x
x
1 1 1 x 1 e 1 x lim lim 2 x x 1 e e x 1 1 x
x
例5 证明 : 当x 0时, tan x sin x为x的三阶无穷小 .
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当a0 0, b0 0, m和n为非负整数时有
a0 , 当 n m , b 0 m m 1 a 0 x a1 x am lim 0,当n m , n n 1 x b x b x bn 0 1 , 当n m ,
国家教师资格考试 数学学科知识与教学能力
大纲要求
• 高中：大学本科数学专业基础课程的知识是指：数学分析、 高等代数、解析几何、概率论与数理统计等大学课程中与 中学数学密切相关的内容，包括数列极限、函数极限、连 续函数、一元函数微积分、向量及其运算、矩阵与变换等 内容及概率与数理统计的基础知识。
• 其内容要求是：准确掌握基本概念，熟练进行运算，并能 够利用这些知识去解决中学数学的问题。 • 初中：大学专科数学专业基础课程知识是指：数学分析、 高等代数、解析几何、概率论与数理统计等大学专科数学 课程中与中学数学密切相关的内容。 • 其内容要求是：准确掌握基本概念，熟练进行运算，并能 够利用这些知识去解决中学数学的问题。
1 13 1 13 (舍去) 解得 A , A 2 2 1 13 lim x n . n 2
A 2 3 A,
sin x lim 1 x0 x 1 x lim (1 ) e x x
a bx c ab lim(1 ) e x x
lim(1 ax)
方法：以分母中自变量的最高次幂除分子,分母, 以分出无穷小,然后再求极限.
例2 求 lim(
n
1 n 1
2
1 n 2
2
ห้องสมุดไป่ตู้
1 n n
2
).
n 1 1 n , 解 2 2 2 2 n n n 1 n n n 1
n 又 lim 2 lim n n n n
1 1 1 n
1,
1 1 2 n 1 1 1 lim( 2 ) 1. 2 2 n n 1 n 2 n n
n 2 n
lim
n n 1
lim
1
1,
由准则1得
例3 证明数列 xn 3 3 3 ( n重根
式)的极限存在.
证
显然 xn1 xn ,
xn 是单调递增的 ;
又 x1 3 3, 假定 xk 3, x k 1 3 x k 3 3 3,
xn 是有界的;
lim x n 存在.
n
2 xn1 3 xn , x n1 3 x n ,
2 lim x n 1 lim( 3 x n ), n n
1.跳跃间断点 如果 f ( x )在点 x0处左, 右极限都
存在, 但f ( x0 0) f ( x0 0), 则称点 x0为函数 f ( x )的跳跃间断点.
x, 例4 讨论函数 f ( x ) 1 x , x 0, 在x 0处的连续性. x 0,
0
义则称点 x0为函数 f ( x )的可去间断点 .
例5 讨论函数
2 x , 0 x 1, f ( x ) 1, x 1 x 1, 1 x , 在x 1处的连续性 .
y
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数学分析
函数与极限
求极限：罗必塔法则、两个重要极限、无穷小量的等价
替换、求分段函数的极限（用定义）、分母（分子）有
理化； 判断连续性：一般为分段函数、判断间断点的类别。
例1 解
2 x 3 求 lim 2 . x 7 x 49
2 x 3 (2 x 3)(2 x 3) lim 2 lim x 7 x 7 ( x 2 49)(2 x 49 x 3)
y
解
f (0 0) 0,
f (0 0) 1,
f (0 0) f (0 0),
x 0为函数的跳跃间断点 .
o
x
2.可去间断点如果 f ( x )在点 x0处的极限存在 ,
但 lim f ( x ) A f ( x ), 或 f ( x ) 在点 x 处无定 0 0 x x
tan x sin x为x的三阶无穷小 .
例6
x
lim 3 9
x
1 x x
lim 9
x
x
1 x x
1 x 1 3
0
1 x
3 1 9 lim 1 x x 3
1 3x x
9 e 9
例7
tan 2 x 求 lim . x 0 1 cos x
2
1 2 解 当x 0时, 1 cos x ~ x , tan 2 x ~ 2 x . 2 2 (2 x ) 原式 lim 8. x 0 1 2 x 2
若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则 可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无 穷小代换，而不会改变原式的极限．
tan x sin x 解 lim x 0 x3 1 sin x 1 cos x lim( ) 2 x 0 cos x x x 1 sin x 1 cos x 1 lim lim lim , 2 x 0 cos x x 0 x x 0 x 2
x 0
b c x
e
ab
x 1 例4 lim x x 1
解
x
x
1 1 1 x 1 e 1 x lim lim 2 x x 1 e e x 1 1 x
x
例5 证明 : 当x 0时, tan x sin x为x的三阶无穷小 .