信息光学常用函数
信息光学 中常用函数
令 ，则称G(ω)是f(x)的傅立叶变换（也称G(ω)是f(x)的频谱函数、象函数），傅立叶积分（也叫傅氏逆变换）和傅立叶变换构成了傅立叶变换对：
第一章：数学预备知识
为了方便后面的学习，我们复习一下有关的数学知识。
§1-1 几个常用函数
一、矩形函数（rectangle function）
1、一维矩形函数
表达式为：
其函数图形为：
当x0=0，a=1时，矩形函数为： [此时rect(x)=rect(-x)]
其图形为
2、二维矩形函数
表达式为：
其函数图形为：
常用的傅立叶变换对见表1-2（P.35）。下面给出几个傅立叶变换的例子。
推广是这样来进行的：若存在一个函数序列gn(x,y)，其傅立叶变换存在，对应的傅立叶变换——即频谱函数序列为Gn(ωx,ωy)。函数g(x,y)虽然不存在傅立叶变换，但是g(x,y)却是gn(x,y)当n→∞的极限，则定义当n→∞时Gn(ωx,ωy)的极限为g(x,y)的广义傅立叶变换。
四、傅立叶变换的性质
因为
当N→∞时，根据δ函数的定义
其表示的物理意义就是只有在ω0处有一无限高的谱线。
三、广义傅立叶变换
一个非周期函数能进行傅立叶变换的条件是：①f(x，y)在任一有限区域上满足狄氏(Dirichlet)条件（有限个间断点、有限个极大极小点、没有无穷大间断点）；②f(x,y)在整个平面上绝对可积 。但是当光学现象用理想化的数学模型来描述时，不少有用的函数是不能满足上述条件的，为此，我们把傅立叶变换的定义进行推广。
信息光学公式整理1
信息光学公式 1·矩形函数⎪⎩⎪⎨⎧≤-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-其它,021,100a x x a x x rectF { a sinc(a x ) } = rect(f /a )F ⎪⎭⎫ ⎝⎛Λ=b f b 1(bx)}{sinc22·inc s 函数()()a x x a x x a 000sin x x sinc --=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππ 3·三角形函数 ⎪⎩⎪⎨⎧≤-=⎪⎭⎫ ⎝⎛Λ其它,0,1a x a xa x4·符号函数()⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1sgn x x x x5·阶跃函数()⎩⎨⎧<>=0,00,1x x x step6·圆柱函数⎪⎩⎪⎨⎧<+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+其它,0,12222ayx a y x circ极坐标内⎩⎨⎧><=⎪⎭⎫ ⎝⎛ar o a r a r ,,1circ7·δ函数的定义 普通函数形式的定义()()⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⎩⎨⎧==∞≠≠=∞∞-⎰⎰1,0,0,0,0,dxdy y x y x y x y x δδ广义函数形式的定义()()()0,0,,φφδ=∞∞-⎰⎰dxdy y x y x其中()y x ,φ在原点处连续 δ函数的性质设函数()y x f ,在()00,y x 点出连续，则有 筛选性质()()()y x f dxdy y y x x y x f ,,,00=--∞∞-⎰⎰δ坐标缩放性质 ()()y x abby ax ,1,δδ=可变性 ()()()y x y x δδδ=, 8·梳状函数性质()()()∑∑∞-∞=∞∞-=-=m nx j m x x πδ2exp comb()∑∞∞-∆-∆=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆x m x x x x δcomb()∑∞-∞=⎪⎭⎫⎝⎛∆-∆=∆m xm x x δ1xx comb ()()ξcomb x comb −−→←ℑ()ξx comb x x comb ∆∆−−→←⎪⎭⎫ ⎝⎛∆ℑx ()()()y x comb comb y x,comb =9·傅里叶变换()()(){}dxdy y x j y x f F ηξπηξ+-=∞∞-⎰⎰2exp ,, ()()()[]ηξηξπηξd d y x j F y x f +=∞∞-⎰⎰2exp ,,10·阶跃函数step(x)的傅里叶变换(){}(){}()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=+=ℑℑπξξδj 21x sgn 121x step11·卷积的定义()()()()()x h x f d x h f x g *=-=⎰∞∞-ααα定义()x f 和()x h 的二维卷积：()()()()()y x h y x f d d y x h f y x g ,*,,,,=--=⎰⎰∞∞-βαβαβα卷积的几个重要性质： 线性性质：{),(),(),(),(),()},(),(y x g y x bh y x g y x af y x g y x bh y x af *+*=*+卷积符合交换律：,(),(),(),(y x f y x h y x h y x f *=*卷积符合结合律：[][]),(),(),(),(),(),(y x g y x h y x f y x g y x h y x f **=**卷积的坐标缩放：若),(),(),(y x g y x h y x f =*，则),(1),(),(by ax g abby ax h by ax f =*（a,b 均不等于0）卷积位移不变性：若),(),(),(),(y x f y x h y x h y x f *=*，则),(),(),(),(),(000000y y x x g y y x x h y x f y x h y y x x f --=--*=*--函数),(y x f 与δ函数的卷积： ),(),(),(0000y y x x f y y x x y x f --=--*δ12·米尔对称性()()ηξηξ--=*,,FF13·卷积定理()()()x rect x rect *=Λx(){}(){}(){}()ξ2sinc x rect x rect ==Λℑℑℑx()(){}()()()ξξξrect rect rect sin x sinc ==*ℑx c()()(){}()x sinc rect sinc sinc 1==*-ℑξx x14·线性平移不变系统()()()()()y x h y x f d d y x h f y x g ,,,,,*=--=∞∞-⎰⎰βαβαβα15·函数变换输入函数 ()()y x y x f 002cos ,ηξπ+= 其频谱函数()()()[]0000,,21,ηηξξδηηξξδηξ-++--=F16·单色光波场的复振幅复振幅 ()()r k j ra P U *=exp 0光强 *==UU UI 217·X 方向的空间频率的相关公式等相线位方程 c kx =αcos λπ2=k αλc o s =X X 方向的空间频率λαξcos 1==X 18·整个空间的空间频率()()[]z y x j a Z Y X U ζηξπ++=2exp ,, 221λζηξ=++2219·泰伯效应()()jkz d n c n nG exp ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∞-∞=ξδξ 泰伯距离 λ22dz T =20·相干截止频率 f D λρ2c =非相干截止频率 f D λρρ22c oc == 21·相干面积 ()()SSC A Z A Ω≈=λλ2第二章2·1夫琅禾费近似()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=y y x x z k j y x z k j zj jkz y x y x h 002200exp 2exp exp ,,λ； 2·2菲涅尔衍射()()()()()0020200002exp ,exp ,dy dx z y y x x jk y x U zj jkz y x U ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-=∞∞-⎰⎰λ傅里叶变换()()()()()()00002020000222exp 2exp ,2expexp1,dy dx y y xx z jy x z k j y x Uy x z k j jkz zj y x U ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∞∞-⎰⎰λπλ2·3透镜系统（1）输入平面位于透镜前焦面 这时f d =0得 ()()000000exp ,,dy dx f y y x x jk y x t c y x U ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-'=∞∞-⎰⎰ （2）输入面紧贴透镜 这时00=d 得 ()()00000022exp ,2exp ,dy dx q y y x x jk y x t qy x jk c y x U ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+'=∞∞-⎰⎰ （3）物在透镜后方()()()0000000022exp ,2exp ,dy dx d q y y x x jk y x t d q y x jk c y x U ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+'=∞∞-⎰⎰ 4·1希尔伯特变换可看成是一个线性平移不变系统，该系统的脉冲响应为t t h π1)(-= 而 )()()(t u t j t t u r *⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=πδ脉冲响应对应的传递函数为()()νπνn j t F H sg 1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=4·2互相干函数时间的平均值⎰-∞→=TTT dt t f Tt f )(21lim)(光场的互相干函数())(,),(),(),(12**2*12211ττΓ=+--t P u t P u t t P u t t P u *＝光场的自相干函数)(),(),(111*1ττΓ+＝t P u t P u复相干度()()()()()21122/122111212]00[I I τττγΓ=ΓΓΓ=Q 点的光强为()()()()(){}τγ122121Re 2)(I Q I Q I Q I Q I Q ++=干涉条纹的可见度为min ma x m i n m a x I I I I +-=V ()()()()()τγ1221212Q I Q I Q I Q I +=Imax 和Imin 是Q 点附近干涉条纹的极大值和极小值()()()()()()()()Q I Q I Q I Q I I Q I Q I Q I Q I I 2121min 2121max 22-+=++=光源的光谱密度分布 ()()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∞→∞→2T 2T2*,lim ,,lim v P v P v P v T T TTT U U UG相干时间vc ∆=1τ 相干长度c c c l τ= 时间延迟t ＝2h/c4·3确定像点坐标：i z 为正表示发散球面波，i z 为负表示会聚球面波1012121-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±=z z z z r p i λλλλ p pi r i i i x z zx z z x z z x +±=2120012λλλλp pi r i i i y z z y z z y z z y +±=2120120λλλλ4.4)⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-±-⎰∞∞-A B AC A dx C Bx Ax 22exp 2exp π积分公式：4·5 范西泰特——策尼克定理()()()()[]()()()()βαβαβαβαλπβαψd d I d d y x z j I j y x I y x I y xy x y xy x J u ,2exp ,exp ,,,;,,;,221122112211∞∞-∞∞-⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆+∆-==4·6 傅里叶透镜的截止频率、空间带宽积和视场 1. 截止频率 传播方向角u 最大为 ()()fD D fD D u 22211-=-≈相应的空间频率 f D D uuλλλξ2sin 1-=≈=传播方向角u 最小为 ()()fD D f D D v 22211+=+≈相应的空间频率 fD D v vλλλξ2sin 1+=≈=2.空间带宽积δξξ单频线宽频带宽度信息容道∆=NfD D λξξ12-==∆11D =δξ SW N =∆=δξξSW 就是空间带宽积3.视场 21DD =4正弦条件 ηλf u f h ==sin。
信息光学(1)02-常用函数、傅立叶变换;03-相关、卷积、线性系统、二维光场-66精讲
傅里叶变换的意义
傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种 看待问题的角度：一个连续的信号可以看作是一个个 小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成 原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。 时阈信号：将信号从时间角度的分割和叠加。
傅里叶变换：将信号从频率的角度叠加。
傅里叶变换的意义
傅立叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波 （或者余弦波）信号。也就是说，用无数的正弦波，可 以合成任何所需要的信号。
逆变换
f x, y
F ( , ) exp j 2 ( x y)d d
把非周期函数分解为复指数函数 在整个连续频率区间上的积分和
极坐标下的傅里叶变换
G( , ) g (r , )
2 0 0 2
rg (r , ) exp[ j 2 r cos( )]drd
信 息 光 学
南京邮电大学 光电工程学院
几个常用非初等函数
矩形函数（ Rectangle function ）
x x0 1 1 x x0 1, x 1, rect( x) ) a 2 2 , 标准型 : rect( a 其它 0, 其它 0,
特点: rect(0)=1, 矩形宽度=1，矩形面积=1, 偶函数
n
exp( j 2 nx)
comb x comb( )
原函数
缝函数
频谱函数
asinc( af )
absinc(af x )sinc(bf x )
aJ 1 ( 2a f x f y )
2 2
傅 里 叶 变 换 对
二维矩形函数
x2 y2 1 ) 圆函数 circ( a 0
信息光学基础复习
a
x
sin c
x
a
a
零点位置：
x na n 1, 2,3,
函数图形
6）高斯函数 (Gauss function)
经常见到
7）圆域函数 (Circle function)
定义
x2 y 2
Circ
r
0
1
0
x 2 y 2 r0
1 cos
1 cos
1 cos
fz
fy
fx ZΒιβλιοθήκη YX
平面波的空间频率
频率
传播方向
由于各个不同空间频率的空间傅里叶分量可
看作是沿不同方向传播的平面波，因此称空间频谱
为xy平面上复振幅分布的角谱。
以平面波传播方向的角度(方向余弦)为宗量，
复振幅分布的空间频谱(角谱)表示为
Nonlinear systems often use specialized methods
unique to each system. No general theory exists
for nonlinear systems.
➢ Time or space invariant.
➢ Memoryless .
即系统对输入函数中不同频率基元成分的传递能力。
线性平移不变系统的脉冲响应h(x,y)与传递函数
H(u,v)构成一对FT对：
其根源在于：脉冲响应(信号)是在空域中描述系统
的性质，在空域中对输入函数进行分解，选用的基
元函数是δ(x- , y- ); 而传递函数是在频域中描述
信息光学常用函数傅立叶变换相关卷积线性系统二维光场
一般情况下,相关运算与卷积运算的区别:
f(x)要取复共轭；运算时 f(x) 不需折叠
2.互相关不满足交换律
相 关 运 算（correlation）
2. 自相关 auto-correlation
rff (x)
f (x)★f (x)
f ( ) f *( x)d
互相关在两函数有相似性时出现峰值， 自相关则在位移到重叠时出现极大值
相 关 运 算（correlation）
1. 互相关 cross correlation
rfg (x)
f (x)★g(x)
f *( )g(x )d
与卷积的关系：
rfg ( x) f * ( x)g( )d g( x) f * ( x)
1. 当且仅当 f*(-x)=f(x) ，相关才和卷积相同。
三角形函数
原型
:
tri ( x)
1
0,
x,
x 1 其它 ,
标准型
:
tri
(
x
a
x0
)
1 0,
x x0 , a
x x0 1 a 其它
tri(x) 1
1
-1 0 1 x
-a+x0
x x0 a+x0
底宽: 2 最大值：tri(0)=1 曲线下面积: S=1
底宽:2|a|, 面积: S= |a|
2024/10/1
H仅依赖于观察点与脉冲输入点坐标在x和y方向
的相对间距 ( x )和 ( y ) ，与坐标本身的绝
对数值无关。
叠
加
g( x, y) f ( , )h( x , y )dd
积
分
f ( x, y) h( x, y)
信息光学常用函数傅立叶变换相关卷积线性系统二维光场
1807年－《热的传播》推导出热传导方程 ，提出任一函数 都可以展成三角函数的无穷级数。
1822年－《热的分析理论》中解决了热在非均匀加热的固 体中分布传播问题
频域
在你的理解中，一段音乐是什么呢？
时域：
频域：
傅里叶级数
傅里叶级数
周期为 1 的函数 f (t)可以展开为三角级数
aJ1( 2a f x 2 f y 2 ) fx2 fy2
(
f
)
1( 2
f
f0)
1( 2
f
f0)
高斯函数 g(x) exp(ax2 )
函数 (x)
1
常数
1
傅里叶变换的意义
三角形函数
原型
:
tri ( x)
1
0,
x,
x 1 其它 ,
标准型
:
tri
(
x
a
x0
)
1 0,
x x0 , a
x x0 1 a 其它
tri(x) 1
1
-1 0 1 x
-a+x0
x x0 a+x0
底宽: 2 最大值：tri(0)=1 曲线下面积: S=1
底宽:2|a|, 面积: S= |a|
x
曲线下面积 S=1； 0点位置 x=n (n=1, 2, 3…)等间隔； 偶函数
Sinc 函数
二维sinc函数:
sinc(x)sinc(y)
Sinc函数的重要性: 数学上,sinc函数和rect函数互为傅里叶变换
物理上,单一矩形脉冲rect(t)的频谱是sinc函数;
单缝的夫琅和费衍射花样是sinc函数
傅里叶变换
信息光学知识点Word
[]{}{}{}{}{}{}),(),(),(),(),(),(),(),()2()()]()([212sin )](exp[)](exp[)]()([212cos )()()()(),()](2exp[)(sin )(sin )()(1),()(sin )(sin )()()](2exp[),()()(),()()(11)()(),(),(),(),()(),(1),(),(),(),(1),(000),(1)2(),()(),(01)(exp ),(exp 01)()(),()()(sin sin Sinc )()(),(021)(11110002222000220000000000222212222212222222222000200ηεηεηεηερπρδδπππδδπδπδπδτδτδτττδδδδδδδδδδδππππππG b F a bG aF y x g b y x f a y x bg y x af J r circ f f f f jx f f f y x f f f f xf f comb f comb y comb x comb f f f f y f x f j f c f c y tri x tri y x f c f c y rect x rect b f a f j b y a x y Comb x Comb y x Comb n x n x x Comb y x y x y y x x y x f y y x x xy f y x abby ax y x f dxdy y y x x y x f dxdy y x y x y x y x y x N J N y x f y x N Circ N y x f a y x a y x Circ y x N N y x f a x a x Gaus ax a x a x a x Tir Ny Sinc Nx Sinc N y x f a x x ax x a x x c Ny rect Nx rect N y x f a x x a x x rect x x y x x x y x b y a x b a y x y x y x n n N NN N N ---∞-∞=∞-∞=∞+∞-∞+∞-+=++=+---+-+--+---++---=-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--=--==--⎪⎩⎪⎨⎧=≠≠=++=+=⎪⎩⎪⎨⎧≤+=++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎩⎪⎨⎧≤-=∧==--=-=⎪⎩⎪⎨⎧≤-=-∑∑⎰⎰⎰⎰F F FF F F 频谱函数原函数频谱函数原函数，梳状函数：分离性质：相乘性质：比例性质：筛选性质：函数的定义及性质：贝塞尔函数：，其它）（）（圆域函数：，）（）（高斯函数：其它）（）（三角函数：，）（函数：，其它矩形函数：线性关系。
信息光学-1.1常用函数
七、圆域函数 Circular Function
1, 2 2 定义: circ(r) = circ( x y ) 0,
circ函数是不可分离变量的二元函数
x2 y 2 1 其它
描述无穷大不透明屏上半径为1的圆孔的透过率
1 y
0
x
原型特点: rect(0)=1, 矩形宽度=1，矩形面积=1
1 -1/2 rect(x) x 0 1/2
快门; 单缝, 矩孔,区域限定
四、三角形函数 Triangle Function
x - x0 1 - x , x 1 x - x0 , 1 原型 : tri( x) , 标准型 : tri( ) a a 其它 0, 0,
tri(x) -1 0 1 1 x 1 -a+x0 x0 x a+x0
x - x0 1 a 其它
底宽:2|a|, 面积: S= |a| 底宽: 2 最大值：tri(0)=1 又写成：L(x) 曲线下面积: S=1 非相干成像系统光学OTF
五、sinc函数
sin( px) 原型 : sinc ( x) , px
二维sinc函数: sinc(x)sinc(y)
六、高斯函数 Gaussian Function
Gaus(x) = exp(-px2) Gaus(0) = 1 S=1 是非常平滑的函数,即各阶导数均连续.
二维情形:
0
Gaus(x)Gaus(y)=exp[- p(x2+y2)]
常用来描述激光器发出的高斯光束
定义: Sgn(x)=
{
1 , x>0 0, x=0 -1, x<0
原型
1 0 Sgn(x) x
信息光学：1-1常用函数
一幅图像由缓慢变化的背景、粗的轮廓等比较低 的“空间频率”成分和急剧变化的细节等比较高 的“空间频率”成分构成。
5
学完本课程后要对光学现象有一个新的认识：
1、衍射场的计算； 2、透镜成像的本质； 3、光学成像系统的传递函数； 4、光学全息技术与应用； 5、光学信息处理的理论基础及应用；
Step(x)
0
x
11
第一章 §1.1 常用函数 阶跃函数
标准型:
x0 是间断(跃变)点
Step( x-x0 ) =
1 , x > x0 1/2, x = x0 0, x < x0
Step(x)
1
0
x0
x
12
第一章 §1.1 常用函数 阶跃函数
阶跃函数的性质
与函数相乘
f（x）
Step( x-x0 ) ·f（x）=
0ay xb
20
第一章 §1.1 常用函数 矩形函数
标准型
rect x x0 • rect y y0
a
b
（x0 、y0 ）是对称中心
一维情况
二维情况
rect(x/a) 1
rect(x,y)
0 x0 x
0 y0
x0
ay
x
b
21
第一章 §1.1 常用函数 矩形函数 光学意义
一维矩形函数
单缝 的 透过率函数
Sgn(x) = 2 Step (x) － 1
16
第一章 §1.1 常用函数 符号函数
符号函数的性质 与函数相乘
f（x） Sgn( x-x0 ) ·f（x）= 0
- f（x）
信息光学复习考点.doc
Rect函数物理意义：用来描述无限大不透明屏上矩形孔的透过率。
Sine函数：与矩形函数（单缝、矩孔的透过率）之间的这种紧密联系，致使他们在傅里叶光学中经常被用到。
阶跃函数：描述光学直边（或刀口）的透过率。
符号函数：描述孔径的复振幅透过率。
三角形函数：表示一个光瞳为矩形的非相干成像系统的光学传递函数。
高斯函数：在统计学领域内经常遇到。
在光学领域小，描述激光器发出的高斯光束，有时也用于光学信息处理中的“切趾术”。
圆域函数：描述无限大不透明屏上圆孔的透过率。
§函数:在物理学和工程技术中常用来描述一个极限状态，描述脉冲状态这一类的物理现象。
互相关是两个信号间存在多少相似性或关联性的量度。
自相关是两个相同函数图像重叠程度的量度。
位相调制作用：不改变振幅，只改变位相。
相干、非相干成像系统是广场复振幅变换的线性空间不变系统。
F(/v , f y ) = F{/(x, y)} = J L /(x, y)e~l27r(flX+f )y)dxdy基尔霍夫积分定理:X ））= 士"咕云仏 +九）.才｛“ 3，x ）｝5诂你唱-嚎心已 cos(n, &)一 cos(〃, ©)菲涅尔衍射积分公式:夫琅禾费衍射公式:卷积物理意义:光学系统像平面上的光强分布是物的光强分布与单位强度点光源对应的像强度分布的卷积。
几何意义：1、置换变量：将f(X)与h (x) >p的自变量X换成积分变量;2、折叠：将h ()绕轴旋转180度，构成对称于纵轴的镜像h (-)；3、位移：将曲线h (-) 移动距离x,得到h(X-)；4、相乘：将位移后的函数h (x-)乘以f (),得到f ()h(x-)；5、积分：f () h (x-)曲线下的面积即为给定于x值得卷积值。
线性系统：设函数于= 代表对系统的激励，函数/=!果在激励与响应之间成立关系匕(兀2，丿2)=必(坷」)}'&(%2，)‘2)= £纟心2』2)代表系统相应的响应，勺是任意复常数，(p{ }表示系统算符。
信息光学复习重要知识点
信息光学复习重要知识点1.常用的非初等函数：矩形函数、Sinc函数、三角形函数、符号函数、阶跃函数、圆柱函数。
2.δ函数的定义：a.类似普通函数定义b.序列极限形式定义c.广义函数形式定义δ函数的性质：a.筛选性质b.坐标缩放性质c.可分离变量性d.与普通函数乘积性质4.卷积，性质：线性性质、交换律、平移不变性、结合律、坐标缩放性质5.互相关，两个函数f(x,y）和g(x,y)的互相关定义为含参变量的无穷积分6.惠更斯-菲涅尔原理：光场中任意给定曲面上的诸面元可以看作是子波源，如果这些子波源是相干的，则在波继续传播的空间上任意一点处的光振动都可看作是子波源各自发出的子波在该点相干叠加的结果。
7.基尔霍夫理论：在空域中光的传播，把孔径平面上的光场看作点源的集合，观察平面上的场分布则等于他们所发出的带有不同权重的因子的球面子波的相干叠加。
8.角谱理论：孔径平面和观察平面上的光场分布都可以分别看成是许多不同方向传播的单色平面波分量的线性组合。
9.点扩散函数：面元的光振动为单位脉冲即δ函数时，这个像场分布函数叫做~。
10.菲涅尔衍射成立的充分条件：传递函数：11.泰伯效应：当用单色平面波垂直照明一个具有周期性透过率函数的图片时，发现在该透明片后的某些距离上出现该周期函数的现象，这种不用透镜就可以对周期物体成像的现象称为~。
12.夫琅禾费衍射：13.衍射受限系统：不考虑系统的几何像差，仅仅考虑系统的衍射限制。
14.单色信号的复表示：去掉实信号的负频成分，加倍实信号的正频成分。
多色信号的复表示：16.如果两点处的光扰动相同，两点间的互相干函数将变成自相干函数。
18.光学全息：利用干涉原理，将物体发出的特定光波以干涉条纹的形式记录下来，使物光波前的全部信息都储存在记录介质中，做记录的干涉条纹图样被称为“全息图”，当用光波照射全息图时，由于衍射原理能能重现出原始物光波，从而形成与原物体逼真的三维像，这个波前记录和重现的过程成为~19.+1级波（虚像），-1级波（实像），±1级波（赝像）20.从物光与参考光的位置是否同轴考虑：同轴全息、离轴全息。
信息光学线性系统分析
3. 极坐标系内的二维傅里叶变换 定义 xy面的极坐标r，θ；频谱面η、ξ上极坐标为ρ、ϕ。有以下关 系 x = r cos θ , y = r sin θ ξ = ρ cos ϕ ,η = ρ sin ϕ 代入直角坐标下的定义式得
F (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) = ∫
∞ 0
证明：设 t ' = at , 则有 t =
t' 1 , dt = dt ', a a
当 a > 0 时，利用检验函数f(t) ,
1 t' dt ' ∫−∞ δ ( at ) φ ( t ) dt = ∫−∞ a δ ( t ') φ a ∞ 1 1 1 ∞ = = φ ( 0) δ ( t ) φ= ( t ) dt ∫−∞ [ δ ( t )] φ ( t ) dt ∫ −∞ a a a ∴ δ (at ) = 1 δ (t ) |a|
Gaus ( x ) = e
性质
−π x 2
用于表示激光光束光强分布, 高斯函数非常光滑， 可以无穷次求导。
1.2 δ函数 1.2.1 δ函数定义 1. 类似普通函数形式的定义 一维坐标
x≠0 x=0 时 时
δ( x ) = 0 δ( x ) = ∞
∫
∞
−∞
δ ( x )dx = 1
二维坐标
δ( x , y ) =
G( ρ = ,ϕ )
∫
0
rg (r )
{∫
2π
0
exp[− j 2πρ r cos(θ − ϕ )]dθ dr
}
利用贝塞尔函数关系
∫
2π
0
exp[ − ja cos(θ − ϕ )]dθ = 2πJ 0 (a )
信息光学总复习1
意义：衡量同一函数不同点之间的相关程度。
应用：自相关测量
自相关的运算性质：
1、厄米特对称：
e ff ( x ) f ( x ) ★ f ( x ) f ( x ) ★ f ( x )
若f(x)为实函数，则自相关函数为偶函数。
2、自相关函数的模在原点处有极大值。即
e ff ( x ) f ( x ) ★ f ( x ) e ff (0 ) f (0 ) ★ f (0 )
f ( , ) ( x x 0 , y y 0 )d d
任一函数与函数卷积运算的结果只是将该函数在坐标上平
移x0, y0，函数值分布不变，曲线形状不变。
证 明 2 ： f ( x, y ) ( x x0 , y y0 )
T
* 各个梳之间等间距；
* 每个梳具有 函数性质。
二维： comb ( x , y ) comb
( x ) comb ( y )
( x n, y m )
n , m
梳状函数与普通函数的乘积：
f ( x )co m b ( x x0 ) x0
m
2 自相关
定义：
e ff ( x ) f ( x ) ★ f ( x )
f ( ) f ( x ) d
f ( x ) f ( ) d
性质：
e ff ( x ) f ( x ) ★ f ( x ) f ( x ) ★ f ( x ) e ff ( x )
应用：矩形光瞳的非相干成像系统光学传递函数。
信息光学部分章节小结
信息光学部分章节小结第一部分：数学基础一 几个常用函数（1）矩形函数：该二维矩形函数可用来描述无限大不透明屏上矩形孔的透过率。
（a>0,b>0）（2）sinc 函数：sin by b y a x a x b y c a x c b y a x /)/sin(/)/sin()(sin )(sin ),ππππ∙=∙= (a>0,b>0) (3)阶跃函数： （4）符号函数：（5）三角函数：二维三角函数可用来表示一个光瞳为矩形的非相干成像系统的光学传递函数 （6）高斯函数：（7）圆域函数：（8）δ函数： ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=∙=others b y a x by rect a x rect b y a x rect ,02,2,1)()(),(⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<=0102100)(a x a x a x a x step ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-=>=010001)sgn(a x a x a x a x ⎪⎩⎪⎨⎧<--=ΛΛ=Λothers b y a x b y a x b y a x b y a x ,01,),1)(1()()(),(0,]})()[(exp{),(22>+-=b a b y a x b y a x Gauss πothers r y x r r y x circ r r circ 01{)()(0220220≤+==+= 1),( 20,),( 1000000⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=--︒⎩⎨⎧==∞=--︒⎰⎰∞+∞-dxdy y y x x others y y x x y y x x δδ（9）comb 函数：∑--==nm ny y mx x y x y y comb x x comb y y x x comb ,00000000),()()(),(δ 二 几种重要的数学运算1 卷积：卷积的几个重要性质： （1） 线性性质：{),(),(),(),(),()},(),(y x g y x bh y x g y x af y x g y x bh y x af *+*=*+（2） 卷积符合交换律：),(),(),(),(y x f y x h y x h y x f *=*（3） 卷积符合结合律：[][]),(),(),(),(),(),(y x g y x h y x f y x g y x h y x f **=**（4） 卷积的坐标缩放：若),(),(),(y x g y x h y x f =*，则),(1),(),(by ax g ab by ax h by ax f =* （a,b 均不等于0） （5） 卷积位移不变性：若),(),(),(),(y x f y x h y x h y x f *=*，则),(),(),(),(),(000000y y x x g y y x x h y x f y x h y y x x f --=--*=*--（6） 函数),(y x f 与δ函数的卷积：),(),(),(0000y y x x f y y x x y x f --=--*δ2 相关互相关：自相关：3 傅立叶变换 傅立叶变换对：正变换 ⎰⎰+∞∞-+-=dxdy y f x f j y x f f f F y x y x )(2exp[),(),(π 逆变换 ⎰⎰+∞∞-+=y x y x y x df df y f x f j f f F y x f )(2exp[),(),(π频谱函数),(y x f f F 一般是复函数，因此：[]),(exp ),(),(y x y x y x f f i f f F f f F φ= 傅立叶变换的重要性质：（1）线性 a,b 为任意常数ηξηξηξd d y x h f y x h y x f y x g ),(),(),(),(),(--=*=⎰+∞∞-),(),(),(),(),(y x g y x f d d y x g f y x e fg ⊗=++=⎰⎰*ηξηξηξηξηξηξηξηξηξd d f y x f d d y x f f y x f y x f y x e ff ),(),(),(),(),(),(),(**⎰⎰⎰⎰--=++=⊗=),(),(y x bg y x af +⇔(,)(,)x y x y aF f f bG f f +（2）缩放定理 （3）位移定理 [])(2ex p ),(),(b f a f i f f F b y a x f y x y x +±⇔±±π),()](2exp[),(ηξηξπ y x f f F y x i y x f ⇔+±（4）卷积定理),(),(),(),(),(),(),(),(y x y x y x y x f f G f f F y x g y x f f f G f f F y x g y x f *⇔⇔* （5）互相关定理),(),(),(),(),(),(),(),(y x y x y x y x f f G f f F y x g y x f f f G f f F y x g y x f ⊗⇔⇔⊗***由互相关定理可以推导出自相关定理。
【信息光学课件】第一章 基础-aa PDF版
2 T /2 1 a0 = ∫ f ( x ) dx − T / 2 T 1 2π nx 2 T /2 ) dx an = ∫ f ( x)cos( − T T /2 T 1 2π nx 2 T /2 ) dx bn = ∫ f ( x)sin( − T / 2 T T
δ( x )
δ( x − x0 ) + δ ( x + x0 )
− x0
x0
表示高度集中的物理量，如质点、点电荷、点光源、瞬时电脉冲
（2）普通函数序列极限形式的定义
lim g n ( x) δ ( x) = n →∞ lim = g n ( x) 0 n →∞ ∞ g ( x)dx 1 = k ∫ −∞
δ
由此我们可以认为，今后涉及到的函数 都存在着相应的傅立叶变换，只有狭义 和广义之分罢了。
2. 极坐标系中的二维傅里叶变换
（1）定义式：
设 ( x, y ) 平面的极坐标为 (r ,θ ) ，频率平面 ( µ ,ν ) 的极坐标为 ( ρ , ϕ ) ， , dxdy rdrdθ x r= = cosθ , y rsinθ = 则有： , dµ dν ρ dρ dϕ = µ ρ = = cosϕ , ν ρ sinϕ 代入直角坐标系中的傅里叶变换定义式，并令
x ≤1 x >1
-1 1
tri(x)
或者
x 0 1
−1 ≤ x ≤ 0 0 ≤ x ≤1 其他
曲线下面积为1，表示光瞳为矩形的非相干成像系统的光学传递函数
（4）符号函数
记为：
sgn ( x )