机翼升力与伯努利方程

机翼升力与伯努利方程

摘 要:本文首先介绍连续性方程和伯努利方程的基本原理，然后对于飞机靠机翼能够产生升力的原因进行理论分析，并使用一些物理方法和公式进行简化和计算，最后使用歼-10的相关数据进行验证。另外还介绍了机翼升力的逆应用。 关键词：机翼升力 伯努利方程 连续性方程

人类自古以来就梦想着能像鸟一样在天空中飞翔。作为二十世纪最重大的发明之一，飞机使得人类的这个梦想得以实现。而飞天成功与流体力学的发展有着分不开的联系。

流体力学，是研究流体的力学运动规律及其应用的学科。其中的伯努利方程从经典力学的能量守恒出发，表述了流体定常运动下的流速、压力、管道高程之间的关系，为如今的固定翼飞机飞行提供了理论基础。

一、伯努利方程

在介绍伯努利方程之前，不得不先说明一下连续性方程。

理想流体作稳定流动时，流体通过同一流管中任何截面的体积流量皆相等。这就是理想流体的连续性原理。它表示流体在流动时，应遵守质量守恒定律，其数学表示为

t Sv cos = （1）

其中，v 为流速，S 为流管的截面面积。由此方程我们可以得到这样一个结论：对于同一流管，截面积越小，流速越大；截面积越大，流速越小。

通过连续性原理和功能守恒原理推导出的伯努利方程揭示了液体流动过程中的能量变化规律。它表示理想流体作定常流动时，应遵守能量守恒定律，其数学表示为

t gh v p cos 2

1

2=++

ρρ （2） 其中，p 为此处流体的压强，ρ为此处流体的密度，v 为此处流体的流速，

h 为此处距基准面的高度，g 为重力加速度。由此方程可以得到一个结论：同一

流管等高处两点，流速大的地方压强小，流速小的地方压强大。

二、机翼升力

1.理论分析

飞机飞行时候主要靠机翼提供升力。机翼的设计参照了大鸟滑翔飞行机理，使得机翼在快速移动时候获得升力，带动飞机升天。

飞机的机翼横截面一般前端圆钝、后端尖锐，上表面拱起、下表面较平。气流在机翼前端被分成上、下两股，在机翼后端再重新汇合。由于机翼上表面凸出，流管较细，由连续性方程(1)式可得流速加快，再根据伯努利方程（2）式，机翼上方的压力低。类似的，而机翼下表面比较平坦，流管变粗，由于机翼与水平面有一个迎角，气流受阻挡，流速减慢，压力增大。于是在机翼上、下表面出现了压力差，垂直于气流方向的压力差则产生机翼的升力。

除此之外，飞机飞行时还会

受到各种阻力，比如摩擦阻力、压差阻力、诱导阻力等。而且，由于尾翼的存在，飞机飞行时升力的获得不仅仅只靠机翼单方面作用，也受到尾翼的负升力以及飞机外形影响。

2.公式计算

为了是计算简便，假设飞机是静止的，空气从远处流来，忽略机翼本身的厚度所造成的高度差。此外，认为空气是理想流体，并且作定常流动。

设机翼前方气流的速度为0v ，压强为0p ，机翼上部气流流速为1v ，压强为1p ，机翼下部流速为2v ，压强为2p ，空气密度为ρ。由伯努利方程（2）式得：

2

112002

121v p v p ρρ+=+

（3） 2

222002

121v p v p ρρ+=+

（4） （3）-（4），得到机翼上下的压力差为：

)(2

12

22112v v p p -=

-ρ （5） 设机翼的面积为S ，获得的升力为F ,则有

)(2

1)(2

22112v v S p p S F -=

-=ρ （6） 另外，由连续性方程（1）式可以知道，分别在机翼的上下方各取一个小流管，则有

1100S v S v = （7） 1100'S v S v = （8）

由（7）和（8）式可以发现01v ∝v ，02v ∝v ，并且联系（6）式可得出

2221v ∝v F -，加以综合可以得到2

0v ∝F ，不妨假设这个系数为k ，则得到

在（6）式得基础上得出的新方程

2

02

1Skv F ρ=

（9） 经过查阅资料（王家楣《流体力学》第十二章 机翼理论）可得到关于升力系数的相关介绍，其定义为

2

02

1Sv F

c L ρ=

（10）

比较（9）和（10）两个式子很容易发现，L c 即为所推导的系数k ，也证实了我推导的过程。

3.数据验证

为了证实我所推导的（9）式的正确性，选取实际数据加以验证。经过查阅资料，得到有关歼-10的相关技术参数：

此外，空气密度取20摄氏度时的大小，即1.2053/m kg ，重力加速度取9.82/s m ，将上述数据代入（9）式可得

N v SC F L 25.861092

12

0==

ρ N mg G 86632==

飞机在天空中稳定飞行时，应该认为处于平衡状态，所以受到的重力和升力应该相等。而将最小平飞速度和飞机空重作为数据代入也是合理的。代入具体数据后，经过比较可以发现，升力和重力在误差允许的范围内是相等的。

4.误差分析

尽管理论值和实际值符合得很好，但是是有一些误差，而且，实际过程中飞机的重量不可能是完全空重，如果考虑到驾驶员的重量和加入的燃油的重量，则理论值和实际值的偏差不能忽略。产生误差的原因主要有两个：

首先是原始数据并不精确，正如在表格中标注的一样，机翼面积和升力系数官方并未公布，机翼面积是专家和爱好者根据官方给出的机翼长宽数据和形状估算出来的，而升力系数是专家和爱好者根据歼-7，歼-8以及美国和俄罗斯的一些飞机类比估算出来的。

另外一个是考虑飞机升力的时候将问题简化了，很多地方并没有考虑。首先，空气并不是理想气体，所做的也不是定常流动；其次，各种阻力如摩擦阻力、压差阻力、诱导阻力并未加以考虑；最后，尾翼所提供的升力和负升力因为能力有

技术参数 符号表示 数值 备注

机翼面积 S

402

m 估计值 升力系数 L c 2.2 估计值

最小平飞速度 0v 145h km / 官方证实 约为0.3s m / 全机空重

m

8840kg

官方证实