(可修改)06弯曲变形 绝对能帮上你的.ppt

a
..........
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[例3] 试用积分法求图示梁的挠曲线方程和转角方程，并
求C截面挠度和A截面转角。设梁的抗弯刚度EI为常数。
解：1．外力分析：求支座约束反力。 研究梁ABC，受力分析如图，列平衡方程：
Fy mA
RA RB RB l
F 0 F 1.5l
0
RRBA
0.5F 1.5F
式（2）就是挠曲线近似微分方程。
对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：
EIw.......... M ( x)
6
§6.3 用积分法求弯曲变形
挠曲线近似微分方程为:
1.微分方程的积分
EIw M (x)
EIw M (x)
EIw (M (x))dx C1
EIw ( (M (x))dx)dx C1x C2
3 ( 2 lx2
1 2
x22 )dx2
C2 x2
D2
F EI
(
3 4
lx22
1 6
x23 )
C2 x2
D2
边界条件：
当 x1 0时，y1 0；x2 l时，y2 0
连续光滑条件：
当x x l时，y y ，
1
2
1
2
1
2
代入以上积分公式中，解得：
C1
Fl 2 12EI
，C2
5Fl 2 6EI
②解超静定梁（为..变.......形. 几何条件提供补充方程）3 。
..........
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一、度量梁变形的两个基本位移量 1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用w表示。
与 y 同向为正，反之为负。
2.转角：横截面绕其中性轴转
动的角度。用 表示，反时
针转动为正，顺之为负。
二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。
Pa2
; C2
D2
1 6
Pa3
..........
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写出弹性曲线方程并画出曲线
P
w(x)
6EI P
6EI
(x a)3 3a2 x a3 3a2 x a3
(0 x a) (a x L)
最大挠度及最大转角
max
(a)
Pa 2 2EI
wm a x
w(L)
Pa 2 6EI
3L
EIw
1 2
P(x
a)2
C1
EIw
1 6
P(x
a)3
C1x
C2
D1
D1x D2
..........
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应用位移边界条件求积分常数
EIw(0)
1 6
Pa3
C2
0
EI
(0)
1 2
Pa2
C1
0
(a ) (a ) C1 D1
w(a ) w(a )
C1a C2 D1a D2
C1
D1
1 2
EIw M (x) P(L x)
EIw(0)
1 6
PL3
C2
0
EIw
百度文库
1 2
P(L
x)2
C1
EI
(0)
EIw(0)
1 2
PL2
C1
0
EIw
1 6
P(L
x)3
C1x
C2
..........
C1
1 2
PL2
;
C2
1 6
PL3
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写出弹性曲线方程并画出曲线
w(x) P (L x)3 3L2x L3 6EI
最大挠度及最大转角
max
(L)
PL2 2EI
wm a x
w(L)
PL3 3EI
..........
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[例2] 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。
解：建立坐标系并写出弯矩方程
M
(x)
P(x 0
a)
(0 x a) (a x L)
写出微分方程并积分
EIw
P(x 0
a)
(0 x a) (a x L)
F 4EI
x12dx1
C1x1
D ...1.......
F 12EI
x13 C1x1 D1
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BC段：由于
y2
M2 (x2 ) EI
F EI
(3 2
l
x2 )
，积分后得：
2 (x2 )
y
F EI
3 ( 2
l
x2 )dx2
C2
F EI
3 ( 2
lx2
x22 2
)
C2
F
y2 (x2 ) EI
其方程为： w =f (x)
小变形
三、转角与挠曲线的关系： tg dw w
dx ..........
(1)
5
§6.2 挠曲线近似微分方程
一、挠曲线近似微分方程
1 M z (x)
EI z
(1)
1
(1
w w2
)
小变形
3 2
w
w M z ( x) EI z
w M (x)
EI z
(2)
..........
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2．内力分析：分区段列出梁的弯矩方程：
M 1
M
2
1 2
F
Fx1 (3l 2
x2
)
x1 (0，l)
x2
(l，3 2
l
)
3．变形分析：
AB段：
由于
y1
M1(x1) EI
Fx1 2EI
积分后得：
1 ( x1 )
y
F 2EI
x1dx1
C1
F 4EI
x12
C1
y1 ( x1 )
2.位移边界条件
P
A
C
B
D
P
..........
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支点位移条件：
wA 0 wB 0
连续条件： wC wC
wD 0 D 0
或写成
w C
左
wC 右
光滑条件： C C
或写成 C 左 C 右
讨论：
①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。
②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。
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1
第六章 弯曲变形
§6.1 概述 §6.2 挠曲线近似微分方程 §6.3 用积分法求弯曲变形 §6.4 用叠加原理求弯曲变形 §6.5 梁的刚度校核 §6.6 提高弯曲刚度的一些措施
..........
2
§6.1 概 述
研究范围：梁在对称弯曲时位移的计算。 研究目的：①对梁作刚度校核；
③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条
件）确定。
④优点：使用范围广，直接求......出.... 较精确； 缺点：计算较繁8 。
[例1] 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。
解：
建立坐标系并写出弯矩方程
M (x) P(L x)
写出微分方程并积分
应用位移边界条件求积分常数
，D1
..........
0，D2
Fl 3 4EI
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故挠曲线方程和转角方程分别为：
y
F 1E2FIEI(
x13 3l 4
x22
Fl2 12EI x1
1 6
x23
)
5Fl2 6EI
x2
Fl3 4EI
1(x1)
2 (x2 )
F
4EI F
EI
x12
Fl2 12EI
(3 2
lx2
1 2
x22 )
Fl2 3EI
由此可知：
A
1(x1
0)
Fl2 12EI
(逆时针方向)；
yC
y2 (x2
3 l) 2
Fl3 8EI
(向下)
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§6.4 用叠加原理求弯曲变形 一、载荷叠加
多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独 作用于结构而引起的变形的代数和。
(P1、P2、Pn ) 1(P1) 2 (P2 ) n (Pn )