06弯曲变形PPT课件

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一、度量梁变形的两个基本位移量 1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用w表示。
与 y 同向为正，反之为负。
2.转角：横截面绕其中性轴转
动的角度。用 表示，反时
针转动为正，顺之为负。
二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。
其方程为： w =f (x)
小变形
三、转角与挠曲线的关系： tg dw w
解：
建立坐标系并写出弯矩方程
M (x)P (Lx)
写出微分方程并积分
应用位移边界条件求积分常数
E w IM (x ) P (L x ) Ew I12P(Lx)2C1
EI(0w )1 6P3LC20
E(I0)Ew I(0)1 2P2L C 10
EIw 1 6P(Lx)3C 1xC2 C11 2P2L;C21 6P3L
Fl3
4EI
12((xx12))4EEFFIIx(1232 lx12F2El212Ix22)3FEl2I
由此可知：
A
1(x1
0)
Fl2 (逆时针方)； 向 12EI
yC
y2(x2
3l) 2
Fl3 8EI
(向下)
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§6.4 用叠加原理求弯曲变形 一、载荷叠加
多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独 作用于结构而引起的变形的代数和。
写出弹性曲线方程并画出曲线
w (x)P(Lx)33L 2xL 3 6EI
最大挠度及最大转角
m
ax(L)
PL2
2EI
PL3 wmaxw(L)3EI
[例2] 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。
解：建立坐标系并写出弯矩方程
M (x) 0 P(xa)
(0xa) (axL)
写出微分方程并积分
连续光滑条件：
当 x x l时 y y ， ，
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1 21 2
代入以上积分公式中，解得：
C 1 1 F E 2 2 ， lI C 25 6 F E 2， lID 1 0 ， D 2 4 F E 3 lI
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故挠曲线方程和转角方程分别为：
y1E2FEFI(I43x13lx221F216El2xI23x)156FEl2Ix2
Ew I 0 P(xa)
(0xa) (axL)
E
Iw
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1 2
P(x
a)2
C1
D1
EIw16P(xa)3 C1xC2 D1xD2
应用位移边界条件求积分常数
EI(0w )1 6P3aC20
EI(0)12Pa2C10 (a)(a) C1 D1
w(a)w(a)
C 1aC 2D 1aD 2
C 1D 11 2P2a ;C 2D 21 6P3a
解：1．外力分析：求支座约束反力。 研究梁ABC，受力分析如图，列平衡方程：
m F yA R R A B R l B FF 1 .5 0 l0 R R B A 1 .0 5.F 5F
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2．内力分析：分区段列出梁的弯矩方程：
M
M
1 2
1 2
F
Fx1 (3l 2
x2
)
x1 (0， l )
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第六章 弯曲变形
§6.1 概述 §6.2 挠曲线近似微分方程 §6.3 用积分法求弯曲变形 §6.4 用叠加原理求弯曲变形 §6.5 梁的刚度校核 §6.6 提高弯曲刚度的一些措施
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§6.1 概 述
研究范围：梁在对称弯曲时位移的计算。 研究目的：①对梁作刚度校核；
②解超静定梁（为变形几何条件提供补充方程）。
2(x2)y E FI(2 3lx2)d2 xC 2 E F (2 3 Il2 xx 2 2 2)C 2 y2(x2) E FI(2 3l2 x1 2x2 2)d2 xC 2x2D 2 E F (4 3 Il2 2 x1 6x2 3)C 2x2D 2
边界条件：
当 x 1 0 时 y 1 ， 0 ； x 2 l时 y 2 ， 0
写出弹性曲线方程并画出曲线
w(x)66P P E EII(x3aa2x)3a33a2xa3
(0xa) (axL)
最大挠度及最大转角
m
ax(a)
Pa2 2EI
wma xw(L)6 PE2aI3La
[例3] 试用积分法求图示梁的挠曲线方程和转角方程，并
求C截面挠度和A截面转角。设梁的抗弯刚度EI为常数。
或写 w C 左 成 w C 右
或 写 C 左 成C 右
讨论：
①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。
②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。
③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条
件）确定。
④优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁。
[例1] 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。
挠曲线近似微分方程为:
1.微分方程的积分
Ew IM (x)
Ew IM(x)
Ew I(M (x)d )xC 1
E I( w (M (x )d x )) d x C 1 x C 2
2.位移边界条件
P
A
C
B
D
P
支点位移条件：
wA 0 wB 0
连续条件： wC wC
光滑条件：
C
C
wD 0 D 0
x
2
( l ，3 2
l
)
3．变形分析：
AB段：
由于
y1ME1(xI1)
F1x 2EI
积分后得：
1(x1)y2 E FIx1d1xC14 E FxI12C1
y1(x1)4 E FIx12d1xC1x1D 11E 2 FxI13C1x1D 1
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BC段：由于 y2 M E 2(x2I)E F(I2 3lx2) ，积分后得：
( P 1 、 P 2 、 P n ) 1 ( P 1 ) 2 ( P 2 ) n ( P n )
f ( P 1 、 P 2 、 P n ) f 1 ( P 1 ) f 2 ( P 2 ) f n ( P n )
二、结构形式叠加（逐段刚化法）
P
q [例4] 按叠加原理求A点转角
A
C
B 和C点挠度。
a
a
P
=
解、① 载荷分解如图 ② 由梁的简单载荷变形表，
A
B
查简单载荷引起的变形。
+
PA
dx
(1
§6.2 挠曲线近似微分方程
一、挠曲线近似微分方程
1 M z (x)
EI z
(1)
1(1w w2)3小2变形 w
w Mz (x) EIz
w M (x)
EIz
(2)
式（2）就是挠曲线近似微分方程。
对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：
Ew IM (x)
§6.3 用积分法求弯曲变形