最新研究生数值分析考试试题汇总

研究生《数值分析》试卷

研究生“数值分析”试题一，填空（20分）1，n ＋1个互异节点插值型数值求积公式的代数精度为________次，最高为________次。

2，SOR 方法收敛的必要条件：松弛因子ω满足条件_________。

3，对于插值型求积公式∑⎰=-≈nk k k x f A dx x f 011)()(，其节点),,1,0(n k x k =是高斯点的充分必要条件是_________。

4，设)(ij a A =为n ×n 矩阵，则1A =________，∞A =________。

5，设解方程组b Ax =的迭代法为d Bx x k k +=+1，则迭代收敛的充分必要条件是________。

6，判断下面的函数是否为三次样条函数（填是或否）（1）211001)1(0)(233≤≤<≤<≤⎪⎩⎪⎨⎧-+=x x x x x x x f －（2）⎩⎨⎧≤≤<≤-++++=100112212)(33x x x x x x x f二，（10分）在22-≤≤-x 上给出x e x f -=)(等距节点函数运用二次插值求x e -的近似值，要使误差不超过610-，问使用函数表的步长应取多大？三，（10分）四，（10分）设)(x f 在[]30,x x 上有三阶连续导数，且3210x x x x <<<，试作一个次数不高于四次的多项式)(x p ，满足条件)()(j j x f x p ==j 0，1，2，3)(')('11x f x p = 推导它的余项)()()(x p x f x E -=的表达式五，（10分）试用Romberg （龙贝格）方法，计算积分⎰311dx x，并精确到小数点后4位。

六，（10分）利用数值积分的Simpson （辛甫生）公式，导出公式)''4'(31111-+-++++=n n n n n y y y h y y 并指出次方法的阶七，（10分）设0)(=x f 的单根α，)(x F x =是0)(=x f 的等价方程，则：)(x F 可表为)()()(x f x m x x F -=证明：当1)]('[)(-≠ααf m 时，)(x F 是一阶的。

研究生数值分析考试

工科研究生《数值分析》复习练习一．填空（共4分，每空44分）（1）设i x i =（n i ,,2,1,0⋯=）插值结点，)(x l i 是相应的n 次Lagrange 插值基函数，则()ni i l x ==∑（）,=∑=ni i i x l x 0)(（）.（2）用简单迭代法求方程3()10f x x x =−−=的正实根，迭代格式（）至少是二阶收敛的。

(3)求解非线性方程01=−x xe 的牛顿迭代公式是（）（4）在所有首项系数为1的n 次多项式中，首项系数为1的n 次（）多项式在[-1，1]上与零的平方逼近误差最小。

（5）设211314122A −⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠，则1||||A =（），||||A ∞=（）.（6）32()272f x x x =−+，则[1,2,3,4]f =（），[1,1,1]f =（）（7）n 次Chebyshev 多项式在[-1，1]上的零点为（）（8）插值型求积公式0()()nbk k ak A f x f x dx =≈∑∫至少具有（）次代数精度，求积系数之和0nk k A ==∑（）,而Gauss 求积公式至少具有（）次代数精度。

（9）初值问题'24,(0)2,y y x y =−−=，则显式Euler 格式，隐式Euler 格式和梯形格式分别为（），（），（）。

(10)已知数据对),,2,1)(,(n k y x k k ⋯=，用直线c bx ax y ++=2拟合这n 个点，则参数c b a ,,满足的法方程组是（）（11）第一种幂法迭代格式为（）二（10分）求一个次数不高于4次的代数多项式()p x ，使它满足(0)'(0)0,(1)'(1)1,(2)1p p p p p =====，并写出其余项表达式。

（利用Newton 插值公式，制作带重节点的差商表）三（10分）证明：区间[a,b]上带权()x ρ的正交多项式()n g x 的零点都是实数，相异的，且全部落在开区间(,)a b内部。

研究生数值分析试题

第三章线性方程组的直接解法自测题
一、选择题（四个选项中仅有一项符合题目要求，每小题 3 分，共计 15 分)
1、一般用高斯消元法解线性代数方程组要采用的技术是（
）
（1）调换方程位置；（2）选主元；（3）直接求解；（4）化简方程组。
⎛ 2 2 3⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞⎛2 2 3⎞
2、设矩阵
A
为初值迭代一步。
四、（12 分）应用牛顿法于方程
f (x) =
xn
−a
Байду номын сангаас
=
0和
f (x) =1−
a xn
= 0 ，分别导出求 n
a
的
迭代公式，并求极限 lim n a − xk+1 。 k→∞ ( n a − xk )2
五、（ 12 ）方程 x3 − 6 x − 8 = 0 在 x = 3 附近有根，把方程写成三种不同的等价形式
零， A = LU 为 Doolitte 分解，则上三角矩阵 U 的上半带宽为
。
5、设对称正定矩阵
A
=
(aij
)∈
Rn×n , a11
≠
0
，经过一次
Gauss
消元得到形如
A
=
⎛ ⎜ ⎝
a11 0
∗⎞
A1
⎟ ⎠
的
矩阵，则 A1 是
矩阵。
三、（12 分）试用高斯列主元素法求解线性方程组
⎡ 1 3 −2 −4 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡3 ⎤
3、设矩阵 A ∈ Rn×n ， Q ∈ Rn×n ，且 QT Q = E ，则下列关系式不成立的是（
）
(1) A = AQ ；(2) QA = A ；(3) Qx = x ，其中 x ∈ Rn ；

东华大学研究生数值分析试题

东华大学研究生数值分析试题(笔试部分)班级 _______ 学号 ________ 姓名 ___________ 得分 _________ 一、由f(x) =3x 在0，1,-1的值分别按不同要求计算3 3的数值解 (计算过程均保留2位小数，其中“ 1” “2”需估计结果有几位有效数字) 1、1、按f(x)在0，1，-1处的值由分段线性插值计算; 2、2、按f(x)在0,1处的值及f(0)9n3“.10由二阶Hermite 插值计算;3、3、按f (x)在0，1, -1处的值由直线拟合计算;1J3x xdx 茫 0.83 4、4、由［-1，1］上一次平方逼近多项式计算(取」 )的二阶导数且满足P( 2)=°;22、由“ 1” 当 f(x)满足 f(1)二 P(1),f(2) =P(2),f '(1) = P '(1)时求的数值解及对应余项1f (x)dx ： Af (0) Bf (1) Cf ' (1)bf (x) dx2、由(*)导出解a的数值积分公式并由此公式将［0，1］ n 等分导出解1f(x)dx的复化求积公式并求 Cond ：：(A)；2、由三角分解A=LU 解AX=B ，、1、求a 及不超过二次多项式P(x)使S(x)0_x_ 1仁x±2具有连续三、1、求A ，B ，C 使度;(*)至少有2次代数精四、1、由选主元Gauss 消去法解AX=B ，其中z-3 0 0 ' \ ,A = 1 1-2,B = 1「-21』A 二其中并写出对应“消去法”的3 | 2五、 1、讨论求X 3 -3x 2 •仁0在［2.5,3］上根的迭代格式X k 1「3X k - 1（**）的合理性并由迭代收敛定理讨论（**）的收敛性；2、写出（** ）的“迭代一加速”格式并讨论加速效果。

^y = f （x, y ）六、 1、求a i,a2使解 ,&0）=丫0 （ *** ）的显式差分格式y n+ = yn +h （aK 七2心）K = f （X n , y n ） 2 =f （Xn+襄丫广昨）Z 二f X 哼几+爭K ）有二阶精度；2、写出“ 1”中格式与隐式差分格式y n^ynl［f （Xn，y n ）f （xn 1,yn1）］联合解（*** ）的“预报一较正”格式1"a "■b 0、1,L =,U =,B =3 4丿<0 1<cJ 丿“回代”过程。

数值分析(研究生)试卷

华中科技大学研究生课程考试试卷课程名称：_______________________ 课程类别考核形式数值分析学生类别______________考试日期______________学生所在院系_______________ □公共课□专业课√□开卷□√闭卷2009.5.6学号__________________姓名__________________任课教师___________________ 一、填空题（每空2分，共20分）　1. 为避免有效数字的损失，应将,1,ln )1ln(>>-+x x x 改写为_____________。

2. 设其三阶差商,200720082009)(3++=x x x f =]3,2,1,0[f _____________，四阶差商____________。

=]4,3,2,1,0[f 3. 设是上带权b x x x +-=22)(?]1,0[1)(=x ρ的正交多项式，则=b ___________。

4. 对于常微分方程数值解，若某算法的局部截断误差为，则称该算法有_____________阶精度；显式欧拉法有____________阶精度。

)O(h1p+5. 设是的二重根。

*x 0)(=x f )(x f ′′在邻近连续，则用迭代公式________________*x 求此根的近似值所产生的序列至少具有二阶收敛性。

6. ，当a 满足条件___________时，A 可作LU 分解，当a 满足条件__________时，必有分解式，这种分解唯一吗？ _____________ ??????+=1221a A TL L A ?=二、（10分）函数在上有三阶连续导数，作一个不高于二次的多项式满足)(x f ],[10x x )(x P .)()(),()(),()(110000x f x P x f x p x f x P =′=′=证明其唯一性，并写出它的余项的表达式。

(完整版)数值分析整理版试题及答案,推荐文档

9
1
xdx T4
h[ 2
f
1
3
2 k 1
f
xk
f
9]
2[ 1 2 3 5 7 9] 2
17.2277
（2）用 n 4 的复合辛普森公式
由于 h 2 ， f x
x
，
xk
1
2k k
1, 2,3，
x
k
1
2
2k k
0,1, 2,3，所以，有
2
3
9
1
xdx S4
h[ 6
f
1
若 span1, x，则0 (x) 1 ，1(x) x ，这样，有
2
1
0 ,0 1dx 1
0
1,1
1 0
x2dx
1 3
0
,1
1,0
1
0
xdx
1 2
1
f ,0 exdx 1.7183
0
1
f ,1 xexdx 1
0
所以，法方程为
1
1
1
2 1
a0
a1
1.7183 1
1 0
1
23
2 1
a0
a1
6 1
12
3
再回代解该方程，得到
a1
4
，
a0
11 6
故，所求最佳平方逼近多项式为
S1*
(
x)
11 6
4x
例 3、设 f (x) ex ， x [0,1] ，试求 f (x) 在[0, 1]上关于 (x) 1 ， span1, x的最
佳平方逼近多项式。解：
1
4
x1
1 5

研究生数值分析习题

1. 五个节点的Newton-Cotes 求积公式的代数精度为______，五个节点的求积公式最高代数精度为___________。

（即Gauss 型求积公式）2. 已知数值求积公式为311()[(1)4(2)(3)]3f x dx f f f ≈++⎰ ，则其代数精度为______。

3. 数值积分公式1'12()[(1)8(0)(1)]9f x dx f f f -≈-++⎰的代数精度为_________。

4. 要使求积公式11101()(0)()4f x dx f A f x ≈+⎰具有2次代数精度，则1x =___,1A =___。

5. 在Newton-Cotes 求积公式：()()()()nbn i i a i f x dx b a C f x =≈-∑⎰中，当系数()n i C 是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当___________时的Newton-Cotes 求积公式不能使用。

()8()7()10()6A n B n C n D n ≥≥≥≥6. 若用复化梯形公式计算10x e dx ⎰，要求误差不超过610-，利用余项公式估计，至少用______个求积节点。

7. 对于Gauss 型求积公式31()()()bk k a k f x x dx A f x ρ=≈∑⎰，其中()x ρ为权函数，下列说法错误的是_________。

（A ）该求积公式一定是稳定的；（B ）31()k k k A f x b a ==-∑；（C ）该求积公式的代数精度为5；（D ）2(35)()()0ba x x x x dx ωρ-=⎰ ，其中31()()k k x x x ω==∏-。

8. 0{()}k k x ϕ∞=是区间[0,1]上权函数()x x ρ=的最高系数为1的正交多项式族，其中0()1x ϕ=，则140()_______x x dx ϕ=⎰。

9. 构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：10101()()(1)2xf x dx A f A f ≈+⎰10. 数值积分公式形如1()()(0)(1)(0)(1)xf x dx S x Af Bf Cf Df ''≈=+++⎰（1）试确定参数A 、B 、C 、D ，使公式的代数精度尽量高；（2）设4()[0,1]f x C ∈，推导余项公式10()()()R x xf x dx S x =-⎰，并估计误差。

060708研究生数值分析试卷(A).doc

武汉大学2006〜2007学年第一学期硕士研究生期末考试试题(A 卷)科H 名称：数值分析学生所在院：学号：姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。

一、(12分)设方程组Ax = 0为■1、 (1\J 1>(1)用Doolittle 分解法求解方程组;(2) 求矩阵A 的条件数Cwd(A)g 二、(12分)设A 为n 阶对称正定矩阵，A的n 个特征值为山 < 心< .•. V 九，为求解方程组Ax = b,建立迭代格式求出常数s 的取值范围，使迭代格式收敛。

三、(12分)已知数据试用二次多项式p ⑴=ax 1 2+hx + c 拟合这些数据。

四、(14分)已知y = /(x)的数据如下：取得最小值。

六、 (12)确定常数片，使求积公式1求f (x)的Hermite 插值多项式W 3(x)；2 为求\\f{x)dx 的值，采用算法：•⑴必:=「久3)击+ R 试导出截断误差R五、(12分)确定常数。

，b 的值，使积分r I.2I(a,b) = J 0(czx + /?-/) dxc 2^f{x)dx a A/(0) + A2/(l) + A3/(2)的代数精度尽可能高，并问是否是Gauss型公式。

七、(12分)设伊⑴导数连续，迭代格式x M =(p{x k)—阶局部收敛到点x*。

对于常数人，构造新的迭代格式：A 1 ,、队=一从+ 一心)1 +2 1 + 人问如何选取人，使新迭代格式有更高的收敛阶，并问是儿阶收敛。

八、(14分)对于下面求解常微分方程初值问题」方= 的单步法：Mo) = JoA)'〃+】=儿 + hk2< k、=(1)验证它是二阶方法；(2)确定此单步法的绝对稳定区域。

武汉大学2007~2008学年第一学期硕士研究生期末考试试题科目名称：数值分析学生所在院：学号：姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。

2024年考研高等数学一数值分析与数值方法历年真题

2024年考研高等数学一数值分析与数值方法历年真题在数学学科中，数值分析与数值方法是一个重要的分支。

它的主要研究内容是利用数值计算的方法，对数学问题进行近似求解。

考研高等数学一中的数值分析与数值方法部分，通常会涉及到一些历年真题，以检验考生对该知识点的掌握程度。

本文将按照数值分析与数值方法题型的常见形式，对2024年考研高等数学一数值分析与数值方法历年真题进行分析和解答。

一、题型一：插值与拟合插值与拟合是数值分析与数值方法中的重要内容之一。

下面我们来看一道2020年的考研高数真题：【题目】已知函数f(x)在区间[0,2]上的连续函数，且有f(0)=1,f(1)=3, f(2)=-1，请利用Lagrange插值法求f(x)在x=0.5处的近似值。

【解答】Lagrange插值法的基本思想是：用已知数据点的函数值来构造一个多项式，使得该多项式经过这些数据点。

此多项式称为拉格朗日插值多项式。

在本题中，已知数据点为(0,1)，(1,3)，(2,-1)，我们需要根据这三个点来构造一个二次多项式。

设L1(x)，L2(x)，L3(x)分别为通过点(0,1)，(1,3)，(2,-1)的拉格朗日插值基函数。

具体公式如下：L1(x) = (x-1)(x-2)/((0-1)(0-2)) = 0.5x^2 - 1.5x + 1L2(x) = (x-0)(x-2)/((1-0)(1-2)) = -x^2 + 2xL3(x) = (x-0)(x-1)/((2-0)(2-1)) = 0.5x^2 - 0.5x那么，根据拉格朗日插值多项式的定义，f(x)在x=0.5处的近似值为：f(0.5) = f(0)L1(0.5) + f(1)L2(0.5) + f(2)L3(0.5)= 1 * (0.5 * 0.5 - 1.5 * 0.5 + 1) + 3 * (-0.5 * 0.5 + 2 * 0.5) + (-1) * (0.5 * 0.5 - 0.5 * 0.5)= 0.25 + 2.25 - 0.5= 2所以，根据Lagrange插值法，f(x)在x=0.5处的近似值为2。

硕士课程—数值分析题集(附答案).docx

2009-2010数值分析第一章绪论 (1)第二章函数插值 (2)第三章函数逼近 (5)第四章数值积分与数值微分 (10)第五章解线性方程组的直接解法 (12)第六章解线性方程组的迭代解法 (16)第七章非线性方程求根 (19)第九章常微分方程初值问题的数值解法 (21)第一章绪论1.1要使胸的相对误差不超过0.1%,应取几位有效数字？解：面的首位数字％=4。

设/有n位有效数字，由定理知相对误差限k(.r*)|<—xlO1^ =-xl0^1 r 1 2x4 84-xio1-" <0.1%, 8解得〃Z3.097,即需取四位有效数字.1.2 序列｛/｝满足关系式y,,=10y,_]-l(n = l,2,...),若y0=V2«1.41,计算到M。

，误差有多大？这个算法稳定吗？解：y0 = V2,y* =1.41,|y0 -y*| <^-xl0-2=5 ,于是|/i 一川=|1。

》0 —IT。

〉；+1| = 1。

|光 - 司 < 1。

5卜2-》；| = |10》1一1一10》；+1| = 10卜1一酣〈10逆, 一般地|儿一司<103 因此计算到Mo其误差限为1010^，可见这个计算过程是不稳定的。

1. 3计算球的体积，要使相对误差限为1%,问测量半径R时允许的相对误差限是多少?解:5,、九兀K ~-7tK R_R* R2+R*R + R*2R_R* 37?2R_R*。

，“ ,(v)= _2 ---------- 2 «■«.____________ = _____ 3 = 1% ' 4 f RR- R R 2 R-7lR 3》=一' ,即测量半径R 时允许的相对误差限是一、。

R 300300第二章函数插值2.1、利用如下函数值表构造差商表，并写出牛顿插值多项式。

进而得牛顿多项式为地⑴=f (.%) + /■氏次』吼⑴+ /[.r (p x 1,.r 2]<»2(.r) + /[.r (p x 1,.r 2,.r 3]<»3(.r)1 1 33A^3 (x) = 3 + — (x -1) + — (x -1)(尤)-2(x- l)(x )x2. 2、已知f(-2) = 2, f(-1) = 1, f (0) = 2, f (0.5) = 3试选用合适的插值节点利用Lagrange 二次插值多项式计算f (-o.5)的近似值，使之精度尽可能高。

数值分析试题及答案

数值分析试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列关于数值分析的说法，错误的是（）。

A. 数值分析是研究数值方法的科学B. 数值分析是研究数值方法的数学理论C. 数值分析是研究数值方法的误差分析D. 数值分析是研究数值方法的数学理论、误差分析及数值方法的实现答案：B2. 在数值分析中，插值法主要用于（）。

A. 求解微分方程B. 求解积分方程C. 求解线性方程组D. 通过已知数据点构造一个多项式答案：D3. 线性方程组的解法中，高斯消元法属于（）。

A. 直接方法B. 迭代方法C. 矩阵分解方法D. 特征值方法答案：A4. 牛顿法（Newton's method）是一种（）。

A. 插值方法B. 拟合方法C. 迭代方法D. 优化方法答案：C5. 在数值分析中，下列哪种方法用于求解非线性方程的根？A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 雅可比方法D. 斯托尔-温格尔方法答案：B6. 下列关于误差的说法，正确的是（）。

A. 绝对误差总是大于相对误差B. 相对误差总是小于绝对误差C. 误差是不可避免的D. 误差总是可以消除的答案：C7. 在数值分析中，下列哪个概念与数值稳定性无关？A. 条件数B. 截断误差C. 舍入误差D. 插值多项式的阶数答案：D8. 用泰勒级数展开函数f(x)=e^x，下列哪一项是正确的？A. f(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...B. f(x) = 1 - x + x^2/2! - x^3/3! + ...C. f(x) = x + x^2/2 + x^3/6 + ...D. f(x) = x - x^2/2 + x^3/6 - ...答案：A9. 插值多项式的次数最多为（）。

A. n-1B. nC. n+1D. 2n答案：B10. 下列关于数值积分的说法，错误的是（）。

A. 梯形法则是一种数值积分方法B. 辛普森法则是一种数值积分方法C. 龙格法则是数值积分方法中的一种D. 数值积分方法总是精确的答案：D二、填空题（每题3分，共15分）1. 在数值分析中，条件数是衡量问题的______。

060708研究生数值分析试卷(A).doc

武汉大学2006〜2007学年第一学期硕士研究生期末考试试题(A 卷)科H 名称：数值分析学生所在院：学号：姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。

一、(12分)设方程组Ax = 0为■1、 (1\J 1>(1)用Doolittle 分解法求解方程组;(2) 求矩阵A 的条件数Cwd(A)g 二、(12分)设A 为n 阶对称正定矩阵，A的n 个特征值为山 < 心< .•. V 九，为求解方程组Ax = b,建立迭代格式求出常数s 的取值范围，使迭代格式收敛。

三、(12分)已知数据试用二次多项式p ⑴=ax 1 2+hx + c 拟合这些数据。

四、(14分)已知y = /(x)的数据如下：取得最小值。

六、 (12)确定常数片，使求积公式1求f (x)的Hermite 插值多项式W 3(x)；2 为求\\f{x)dx 的值，采用算法：•⑴必:=「久3)击+ R 试导出截断误差R五、(12分)确定常数。

，b 的值，使积分r I.2I(a,b) = J 0(czx + /?-/) dxc 2^f{x)dx a A/(0) + A2/(l) + A3/(2)的代数精度尽可能高，并问是否是Gauss型公式。

七、(12分)设伊⑴导数连续，迭代格式x M =(p{x k)—阶局部收敛到点x*。

对于常数人，构造新的迭代格式：A 1 ,、队=一从+ 一心)1 +2 1 + 人问如何选取人，使新迭代格式有更高的收敛阶，并问是儿阶收敛。

八、(14分)对于下面求解常微分方程初值问题」方= 的单步法：Mo) = JoA)'〃+】=儿 + hk2< k、=(1)验证它是二阶方法；(2)确定此单步法的绝对稳定区域。

武汉大学2007~2008学年第一学期硕士研究生期末考试试题科目名称：数值分析学生所在院：学号：姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。

数值分析试题及答案

数值分析试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 线性代数中，矩阵A的逆矩阵记作（）。

A. A^TB. A^-1C. A^+D. A*答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值多项式的基函数是（）。

A. 多项式B. 指数函数C. 正弦函数D. 余弦函数答案：A3. 在数值积分中，梯形规则的误差是（）阶的。

A. O(h^2)B. O(h^3)C. O(h)D. O(1/h)答案：A4. 求解线性方程组时，高斯消元法的基本操作不包括（）。

A. 行交换B. 行乘以非零常数C. 行加行D. 行除以非零常数答案：D5. 非线性方程f(x)=0的根的迭代法中，收敛的必要条件是（）。

A. f'(x)≠0B. f'(x)=0C. |f'(x)|<1D. |f'(x)|>1答案：C6. 利用牛顿法求解非线性方程的根时，需要计算（）。

A. 函数值B. 函数值和导数值C. 函数值和二阶导数值D. 函数值、一阶导数值和二阶导数值答案：B7. 矩阵的特征值和特征向量是（）问题中的重要概念。

A. 线性方程组B. 特征值问题C. 线性规划D. 非线性方程组答案：B8. 在数值分析中，条件数是衡量矩阵（）的量。

A. 稳定性B. 可逆性C. 正交性D. 稀疏性答案：A9. 利用龙格现象说明，高阶插值多项式在区间端点附近可能产生（）。

A. 振荡B. 收敛C. 稳定D. 单调答案：A10. 雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法都是求解线性方程组的（）方法。

A. 直接B. 迭代C. 精确D. 近似答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 线性代数中，矩阵A的行列式记作________。

答案：det(A) 或 |A|12. 插值法中，牛顿插值多项式的基函数是________。

答案：差商13. 在数值积分中，辛普森规则的误差是________阶的。

答案：O(h^4)14. 求解线性方程组时，迭代法的基本思想是从一个初始近似解出发，通过不断________来逼近精确解。

研究生《数值分析》复习题

0
1 1 1 ⩽ ∵ ∗ < ∗ S S − x∗ M i ( 3 ) 1 4 ∑ ∗ ∗ ∴ εr (A ) ⩽ · |xi − xi | 4 M i=1 ( 3 ) 1 ∑ ∗ ∗ ∴ εr (A ) ⩽ |xi − xi | M i=1
(k = 0, 1, · ·· , n − 2)
类似地，由 (n − 1) 次多项式 y = xn−1 可证明
′
求三次样条插值 M0 , M1 , M2 , M3 满足的方程组 M x = b. 第一种边界条件的三弯矩方程 x0 ̸= x2 2 1 M0 0 x0 + x2 x1 ̸= 2 0.5 2 0.5 M1 = −3 0.5 2 0.5 M2 −3 3、设 xi = i + 1 (i = 0, 1, · · · , n − 1)，f (x) 为首项系数为一的 1 2 M3 18 n 次多项式，Rn−1 (x) 为其在上述结点上的 (n − 1) 次插值多项式的余项，求证：|Rn−1 (0)| = |Rn−1 (n + 1)| = n! 7、利用表中数据求方程 x − e−x = 0 的根： |Rn−1 (x)| = f (n) (ξ ) n! ωn (x) = ωn (x) = |ωn (x)| n! n! |Rn−1 (0)| = |ωn (0)| = n! |Rn−1 (n + 1)| = |ωn (n + 1)| = n! 4、令 Vn (x) = Vn (x0 , x1 , · · · , xn−1 , x) 1 1 . = . . 1 1 x0 x1 . . . xn−1 x x2 0 x2 1 . . . x2 n−1 x2 ··· ··· .. . ··· ··· xn 0 xn 1 . . . xn n−1 xn x e

哈工大研究生数值分析试题及答案

哈⼯⼤研究⽣数值分析试题及答案1. 3,2x =-分别是⽅程328120x x x --+= 的根；讨论⽤Newton 迭代法求它们近似值的收敛阶。

取初值02x =-计算根3x =-的近似值，要求迭代3次。

（结果保留4位⼩数）解：设 32()812f x x x x =--+ 2()328f x x x '=-- ()62f x x ''=- (3)0,(3)0f f '-=-≠，(2)0,(2)0,(2)100f f f '''===≠则：3-是()0f x =的单根，故Newton 迭代在3-附近是平⽅收敛； 2是()0f x =的⼆重根，故Newton 迭代在2附近是线性收敛；取02x =-，Newton 迭代：3212()812()328n n n n n n n n f x x x x x x x f x x x +--+=-=-'-- 223634n n n x x x ++=+2001023634x x x x ++==+2112123634x x x x ++==+2223223634x x x x ++==+2. 设常数0a ≠ ，求出a 的取值范围使得解⽅程组112233212313a x b a x b a x b --?????? ??? ?-= ??? ? ??? ???????的Jacobi 迭代法收敛。

解： Jacobi 迭代：(1)()k k J x B x g +=+10210211203203130130J a B a a a -----=--=-- ? ? ? ? ? ???123a b g a b a b -??=迭代矩阵J B 的特征⽅程：021211120323013013J a E B a a a a λλλλλλλ-----=+-=-=即：3()14()0a a λλ+=特征根：0,aλλ==±谱半径：()1J B aρ=< 时Jacobi 迭代收敛故：a >3. 设（1）⽤Crout 三⾓分解法求解⽅程组 12323251034133619x x x ?????? ??? ?= ??? ? ??? ???????；（2）⽤乘幂法求⽅程组系数阵的按摸最⼤的特征值和对应的特征向量。

数值分析试题及答案汇总

数值分析试题及答案汇总一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解线性方程组？A. 牛顿法B. 插值法C. 迭代法D. 泰勒展开法答案：C2. 以下哪个选项是数值分析中用于求解非线性方程的迭代方法？A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 多项式插值D. 辛普森积分法答案：B3. 以下哪个选项是数值分析中用于数值积分的方法？A. 牛顿法B. 辛普森积分法C. 牛顿-拉弗森迭代D. 拉格朗日插值答案：B4. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解常微分方程的初值问题？A. 欧拉法B. 牛顿法C. 辛普森积分法D. 高斯消元法答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 插值法中，拉格朗日插值法的插值多项式的阶数是______。

答案：n2. 泰勒展开法中，如果将函数展开到第三阶，那么得到的多项式是______阶多项式。

答案：三3. 在数值分析中，牛顿法求解非线性方程的迭代公式为______。

答案：x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n)4. 辛普森积分法是将积分区间分为______等分进行近似计算。

答案：偶数三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述数值分析中插值法的基本原理。

答案：插值法的基本原理是根据一组已知的数据点，构造一个多项式函数，使得该函数在给定的数据点上与数据值相等，以此来估计未知数据点的值。

2. 解释数值分析中误差的概念，并说明它们是如何影响数值计算结果的。

答案：数值分析中的误差是指由于计算方法或计算工具的限制，导致计算结果与真实值之间的差异。

误差可以分为舍入误差和截断误差。

舍入误差是由于计算机表示数值的限制而产生的，而截断误差是由于计算方法的近似性质而产生的。

这些误差会影响数值计算结果的准确性和稳定性。

3. 请说明在数值分析中，为什么需要使用迭代法求解线性方程组。

答案：在数值分析中，迭代法用于求解线性方程组是因为对于大规模的方程组，直接方法（如高斯消元法）的计算成本很高，而迭代法可以在较少的计算步骤内得到近似解，并且对于稀疏矩阵特别有效。

西安理工大学研究生《数值分析》复习题

－1 0 1 3 2 2
.。
x y
（4）设 I ( f )
则其 2 次 Lagrange 插值多项式为
.，2 次拟合多项式为。
.。

1
0
1 e x dx ，则用梯形公式所得近似值为
y f ( x, y ), y (a) a xb
（5）求解常微分方程处值问题
6 4 2
b 的经验公式。 x
四、利用矩阵的三角分解法，解方程组五给定方程 x Lnx 2 0 。（1）分析该方程存在几个根，找出每个根所在的区间；（2）构造求近似根的迭代公式，并证明所用的迭代公式是收敛的。
1 1 1 2 1 3 1 x1 1 x2 六求解矛盾方程组 2 5 2 1 x3 2 3 1 5
ax 2 bx ，求证：用欧拉法以 h 为步长所得近似解 2
yn 的整体截断误差为 n y( xn ) yn
八给定线性方程组 Ax b ，其中 A
1 ahxn 。 2
3 2 3 , b ，用迭代公式 x(k 1) x(k ) (b Ax(k ) ) 1 2 1
b 的经验公式。 x
ax 2 bx ，求证：用欧拉法以 h 为步长所得近似解 2
yn 的整体截断误差为 n y( xn ) yn
八给定线性方程组 Ax b ，其中 A
1 ahxn 。 2
(k 0,1,2 )
3 2 3 , b ，用迭代公式 x( k 1) x( k ) (b Ax( k ) ) 1 2 1
x2
. 试在 M

数值分析考试卷及详细答案解答汇总

姓名 __________ 班级 ___________ 学号 _____________一、选择题i.F （2,5,-3,4）表示多少个机器数（C ）.A 64B 129C 257D 256 2. 以下误差公式不正确的是（D ）A ・ £（迎 *一七 *）« 5（Xj*）+£（£ *） c ，£（“*•£ *）«|^2 *k （-'l*） + |时住2 *）3. 设° =（、任_1）6,从算法设计原则上定性判断如下在数学上等价的表达式，哪一个在数值计算上将给出°较好的近似值？（D ）A ———B 99-70V2C （3-2V2）3D —— （V2 +1）6 （3 + 204. 一个30阶线性方程组，若用Crammer 法则来求解，则有多少次乘法？（A ） A31X29X30! B 30X30X30! C31X30X31! D 31X29X29!5. 用一把有亳米的刻度的米尺来测量桌子的长度，读出的长度1235mm,桌子的精确长度记为（D ） A 1235mm B 1235-0.5mm C 1235+0.5nun D 1235±0.5mm二、填空1. 构造数值算法的基本思想是近似替代、离散化、递推化。

2. 十进制123.3转换成二进制为1111011.0而1。

3. 二进制110010.1001转换成十进制为 50.5625 。

4. 二进制o.ioi 转换成十进制为-o75.已知近似数X *有两位有效数字，则其相对误差限 5%。

6.1112=0.69314718...,精确到 10一’的近似值是 0.693。

* *7. x = ;r = 3.1415926・・・，则“ =3.1416 , =3.141的有效数位分别为5 和 3 __________ o8. 设卅=2.001,严=-0.8030是由精确值x 和y 经四舍五入得到的近似值，则兀* +y *的误差限____________________ o9.设x = 2.3149541•…，取5位有效数字，则所得的近似值卅二2.3150 。

大学硕士研究生《数值分析》考试试卷

**大学硕士研究生考试试卷— 学年第一学期（A 卷）考试科目: 数值分析考试时间：120分钟出卷教师: 出卷时间: 阅卷负责人签名：一、(15分) 设dx x x I nn ⎰+=105),2,1,0(Λ=n （1）验证nI I n n 151=+- ),2,1(Λ=n ；（2）设计一种数值稳定的算法，并证明算法的稳定性.二、（15分）试构造方程组⎩⎨⎧=+=+423322121x x x x 能保证收敛的雅可比（Jacobi ）迭代格式及高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代格式,说明其收敛的理由.用 T x)0,0()0(=对高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代格式求迭代一步的近似解)1(x （取到小数点后5位）三、（10分）用列主元高斯消去法解下列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++-=++562436321321321xxxxxxxxx四、（10分）设初值问题:⎩⎨⎧=≤≤++=')0(10,122yxyxy,(1) 写出用Euler方法、取步长1.0=h解上述初值问题数值解的公式；(2) 写出用改进Euler方法、取步长1.0=h解上述初值问题数值解的公式。

五、（10分）用最小二乘法求解下列超定线性方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+212212121xxxxxx六、(10分)在区间[]1,0上利用压缩映像原理判断迭代格式Λ,1,0,411==+kex k xk的敛散性.七、(10分) 已知函数)(x f y =的数据如下：0235()1342x f x --(1) 求()f x 的三次牛顿（Newton ）插值多项式3()N x ;(2) 写出插值余项.八、(10分) 已知某河宽20m ，测得水深)(x f 如下表（单位：m ）:4.18.10.28.20.35.28.20.38.15.10.1)(20181614121086420k kx f x利用所有数据，用复合辛普森（Simpson ）公式计算河水的截面积dx x f ⎰20)(的近似值.九、（10分）求线性代数方程组Ax b =的数值解法主要有矩阵的直接分解法(如LU 分解法、Crout 分解法、Cholesky 分解法等)和迭代法（如Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel 迭代法）.请你简述求解线性代数方程组Ax b =的直接分解法和迭代法这两类方法的不同点和相同点.。