2019年广州市高三年级调研测试-数学(文科)
广东省广州市2019届高三年级调研考试数学(文科)试题
1 分别表示圆 x 2
2
y2 4
和直线 x 1，易知 AB ＝ 2 3 ．
15． C 为圆周上一点， AB 是直径，所以 AC ⊥BC，而 BC ＝ 3， AB ＝ 6，得∠ BAC ＝ 30° , 进而得
∠ B＝ 60°，所以∠ DCA ＝ 60°，又∠ ADC ＝ 90°，得∠ DAC ＝30°，
加工的零件数是乙机床加工的零件数的二倍．
（ 1）从甲、乙、丙加工的零件中各取一件检验，求至少有一件一等品的概率；
（ 2 ）将三台机床加工的零件混合到一起，从中任意的抽取一件检验，求它是一等品的概
率；
（3）将三台机床加工的零件混合到一起，从中任意的抽取
4 件检验，其中一等品的个数
记
为 X，求 EX．
18．（本小题满分 14 分）
若有，加以证明；若没有，请说明理由
4 ) 是否有确定的大小关系？
3
4/8
届高三年级调研考试试题
文 科 数 学答案
一、 1． D 2 ．A 3 ． A 4 ． A 5 ． B 6． C 7． D 8 ．
9 A 10D
二、 11． 63 8
1
12．
13． 3 2 2
32
14．在平面直角坐标系中，曲线
4sin 和 cos
直线 PQ 的方程是： y
2x 2 x1
y1 ．
将上式代入抛物线 C 的方程 , 得： x 2
8 x
4( 2
y1 )
0,
x1
故 x1+x2 =
8
, x1x2 =－8－ 4y1 ,所以 x2=
8
4
－ x1 , y2= +y1+4 ．
2019年度广东-广州市高考数学二模(文科)试题标准参考答案
图1俯视图侧视图正视图试卷类型：A2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）2018．4本试卷共4页，21小题， 满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式： 锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 等于A ．2-iB ．2iC ．2-D ．2 2．已知集合{}}{20,1,2,3,0A B x x x ==-=，则集合A B I的子集个数为A ．2B ．4C ．6D ．8 3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x >C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤4. 下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是 A．y =．21y x =-+ C ．cos y x = D ．1y x =+5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3， 将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是 A ．16 B ．13 C ．12 D ．386．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为A ．12πB ．6πC ．4πD ．2π7．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，公差0d ≠， 若113132,24k S a a =+=，则正整数k 的值为 A ．9 B ．10 C ．11 D ．128．在△ABC 中，60ABC ︒∠=，1AB =，3BC =， 则sin BAC ∠的值为AD9．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为ABC ．13D ． 1610．将正偶数2,4,6,8,L 按表1的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253表1二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．不等式()()120x x +-<的解集为 . 12.已知四边形ABCD 是边长为3的正方形，若2,2DE EC CF FB ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，则AE AF ⋅u u u r u u u r的值为 .13．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 .（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t=-⎧⎨=⎩为参数)与圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且12AE EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则△AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R .(1) 求函数()f x 的最小正周期和值域； （2）若0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()12f θ=，求sin 2θ的值. 17．（本小题满分12分）某校高三年级一次数学考试之后,为了解学生的数学学习情况, 随机抽取n 名学生的数 学成绩, 制成表2所示的频率分布表. (1) 求a ，b ，n 的值;(2) 若从第三, 四, 五组中用分层抽样方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2 名与张老师面谈，求第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率.HFED CBA表218．（本小题满分14分）如图2，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，EF∥平面ABCD，1EF=，,90FB FC BFC︒=∠=，AE=H是BC的中点.（1）求证：FH∥平面BDE；（2）求证：AB⊥平面BCF；（3）求五面体ABCDEF的体积.图219．（本小题满分14分）已知等差数列{}na的前n项和为nS2(,n pn q p q=++∈R)，且235,,a a a成等比数列.（1）求,p q的值；（2）若数列{}n b满足22log logn na n b+=，求数列{}n b的前n项和n T.20．（本小题满分14分）已知函数()2lnf x x x ax=++，a∈R .（1）若函数()f x在其定义域上为增函数，求a的取值范围；（2）当1a=时，函数()()1f xg x xx=-+在区间[),t+∞(t∈N*)上存在极值，求t的最大值.( 参考数值: 自然对数的底数e≈2.71828)21．（本小题满分14分）已知点()2,1A在抛物线2:E x ay=上，直线1:1(l y kx k=+∈R，且0)k≠与抛物线E相交于,B C两点，直线,AB AC分别交直线2:1l y=-于点,S T.（1）求a的值；（2）若ST=1l的方程；（3）试判断以线段ST为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由.2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数． 2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．11．()1,2- 12．9 13．4 141+ 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（1）解：∵()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴ 函数()f x 的最小正周期为2π. ……………2分∵x ∈R ，[]cos 1,14x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， ……………3分4x π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭. ……………4分∴ 函数()f x 的值域为⎡⎣. ……………5分 （2）解法1：∵()12f θ=，142πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………6分∴cos 44πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………7分 ∴ sin 2cos 22πθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭……………9分212cos 4πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ……………11分2124⎛=-⨯ ⎝⎭34=. ……………12分解法2：∵()12f θ=，142πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………6分1cos cos sin sin 442ππθθ⎫-=⎪⎭. ……………7分∴1cos sin 2θθ-=. ……………8分两边平方得221cos 2cos sin sin 4θθθθ-+=. ……………10分M OH F E D CB A ∴ 3sin 24θ=. ……………12分 17．（本小题满分12分）(1) 解：依题意，得5200.05,0.35,a b n n n===， 解得，100n =，35a =，0.2b =. ……………3分(2) 解：因为第三、四、五组共有60名学生，用分层抽样方法抽取6名学生，则第三、四、五组分别抽取306360⨯=名，206260⨯=名，106160⨯=名. …………6分 第三组的3名学生记为123,,a a a ，第四组的2名学生记为12,b b ，第五组的1名学生记为1c ，则从6名学生中随机抽取2名，共有15种不同取法，具体如下：{}12,a a ，{}13,a a ，{}11,a b ，{}12,a b ，{}11,a c ，{}23,a a ，{}21,a b ，{}22,a b ，{}21,a c ，{}31,a b ，{}32,a b ，{}31,a c ，{}12,b b ，{}11,b c ，{}21,b c . ……………8分其中第三组的3名学生123,,a a a 没有一名学生被抽取的情况共有3种，具体如下：{}12,b b ，{}11,b c ，{}21,b c . ……………10分故第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率为310.815-=. ……………12分 18．（本小题满分14分）（1）证明：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点，连接,OH EO ， ∵H 是BC 的中点，∴OH ∥AB ，112OH AB ==. ……………1分 ∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD I 平面ABFE AB =， ∴EF ∥AB . ……………2分 ∵1EF =，∴OH ∥EF ，OH EF =.∴四边形EOHF 是平行四边形. ∴EO ∥FH ，EO =FH . ……………3分∵EO ⊂平面BDE ，FH ⊄平面BDE ， ∴FH ∥平面BDE . ……………4分（2）证法1：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==，由（1）知，EF ∥MB ，且EF =MB ， ∴四边形EMBF 是平行四边形.∴EM ∥FB ，EM FB =. ……………5分在Rt△BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB =∴EM =……………6分 在△AME中，AE =1AM =，EM =∴2223AM EM AE +==.∴AM EM ⊥. ……………7分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………8分 ∵FB BC B =I ，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………9分 证法2：在Rt △BFC 中，H 为BC 的中点，∴112FH BC ==.在△AEO中，112AE AO AC EO FH =====,OHFE D C B A ∴222AO EO AE +=.∴AO EO ⊥. ……………5分 ∵FH ∥EO ,∴AO FH ⊥. ……………6分∵,FH BC BC ⊥⊂平面ABCD , AO ⊂平面ABCD , AO BC C =I ,∴FH ⊥平面ABCD .∵AB ⊂平面ABCD ,∴FH ⊥AB . ……………7分 ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………8分∵BC ⊂平面BCF , FH ⊂平面BCF , BC FH H =I ,∴AB ⊥平面BCF . ……………9分（3）解：连接EC ，在Rt△BFC 中，112FH BC ==， ∴1EO FH ==.由（2）知AB ⊥平面BCF ，且EF ∥AB ，∴EF ⊥平面BCF . ……………10分 ∵FH ⊥平面ABCD , EO ∥FH ，∴EO ⊥平面ABCD . ……………11分 ∴四棱锥E ABCD -的体积为113ABCD V EO S =⋅⋅正方形2141233=⨯⨯=. ………12分 ∴三棱锥E BCF -的体积为213BCF V EF S =⋅⋅∆21111323=⨯⨯⨯=. ………13分∴五面体ABCDEF 的体积为1253V V V =+=. ……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当1n =时，111a S p q ==++， ……………1分 当2n ≥时，1n n n a S S -=- ……………2分 ()()221121n pn q n p n q n p ⎡⎤=++--+-+=-+⎣⎦. ………3分∵{}n a 是等差数列，∴1211p q p ++=⨯-+，得0q =. ……………4分 又2353,5,9a p a p a p =+=+=+， ……………5分 ∵235,,a a a 成等比数列，∴2325a a a =，即()()()2539p p p +=++， ……………6分解得1p =-. ……………7分 解法2：设等差数列{}n a 的公差为d ，则()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭. ……………1分 ∵2n S n pn q =++，∴12d =，12da p -=，0q =. ……………4分∴2d =，11p a =-，0q =. ∵235,,a a a 成等比数列，∴2325a a a =， ……………5分即()()()2111428a a a +=++.解得10a =. ……………6分 ∴1p =-. ……………7分 （2）解法1：由（1）得22n a n =-. ……………8分 ∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++L ()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅L ，①……………10分()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅L ，② ……………11分①-②得0121344444n nn T n --=++++-⋅L 14414n nn -=-⋅-()13413n n -⋅-=.……………13分∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 解法2：由（1）得22n a n =-. ……………8分∵22log log n n a n b +=，∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++L ()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅L .……………10分由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠-L ， ……………11分两边对x 取导数得，012123n x x x nx -++++=L ()()12111n n nx n x x +-++-. …………12分 令4x =，得()()0122114243414431419n n nn n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦L . ∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：函数()f x 的定义域为()0,+∞, ……………1分∵()2ln f x x x ax =++， ∴()12f x x a x'=++. ……………2分 ∵ 函数()f x 在()0,+∞上单调递增， ∴ ()0f x '≥, 即120x a x++≥对()0,x ∈+∞都成立. ……………3分 ∴ 12a x x -≤+对()0,x ∈+∞都成立. ……………4分 当0x >时, 12x x +≥=当且仅当12x x=,即2x =时,取等号.……………5分∴a -≤即a ≥-.∴a的取值范围为)⎡-+∞⎣. ……………6分解法2：函数()f x 的定义域为()0,+∞, ……………1分∵()2ln f x x x ax =++， ∴()21212x ax f x x a x x++'=++=.……………2分方程2210x ax ++=的判别式28a ∆=-. ……………3分① 当0∆≤,即a -≤≤, 2210x ax ++≥,此时, ()0f x '≥对(0,x ∈+∞都成立,故函数()f x 在定义域()0,+∞上是增函数. ……………4分 ② 当0∆>,即a <-或a >时, 要使函数()f x 在定义域()0,+∞上为增函数, 只需2210x ax ++≥对()0,x ∈+∞都成立.设()221h x x ax =++, 则()010,0,4h a ⎧=>⎪⎨-<⎪⎩得0a >.故a >. ……………5分综合①②得a的取值范围为)⎡-+∞⎣. ……………6分（2）解：当1a =时, ()()2ln ln 111f x x x x xg x x x x x x ++=-=-=+++. ()()211ln 1x x g x x +-'=+. ……………7分 ∵ 函数()g x 在[),t +∞(t ∈N *)上存在极值，∴ 方程()0g x '=在[),t +∞(t ∈N *)上有解,即方程11ln 0x x +-=在[),t +∞(t ∈N *)上有解. ……………8分 令()11ln x x x ϕ=+-()0x >, 由于0x >, 则()2110x x xϕ'=--<,∴函数()x ϕ在()0,+∞上单调递减. ……………9分∵()413ln 3ln33ϕ=-=4e 2741 2.5ln 0327>>, ……………10分 ()514ln 4ln44ϕ=-=5e 256513ln 04256<<, ……………11分 ∴函数()x ϕ的零点()03,4x ∈. ……………12分∵方程()0x ϕ=在[),t +∞(t ∈ N *)上有解, t ∈N *∴3t ≤. ……………13分∵t ∈N *，∴t 的最大值为3. ……………14分 21．（本小题满分14分） （1）解：∵点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上， ∴4a =. ……………1分第（2）、（3）问提供以下两种解法：解法1：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意，2211224,4x y x y ==，由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,22x k ==±. ∴12124,4x x k x x +==-. ……………2分直线AB 的斜率2111111124224AB x y x k x x --+===--， 故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………3分令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………4分同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x xx x x x k k---===+++. ……………6分∵ST =，∴12x x -=. 由()221212124x x x x x x -=+-，得22201616k k =+，解得2k =, 或2k =-, …………… 7分∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. ……………9分 （3）设线段ST 的中点坐标为()0,1x -， 则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=- ⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………10分而2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x k k k +-+-==， ……………11分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. 展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………12分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………13分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 解法2：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ……………2分由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=， 即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-.∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………3分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-， 则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………4分 ∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………5分 又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--， 化简得122kk k =. ……………6分 ()12121222222k k ST k k k k -⎛⎫⎛⎫=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ……………7分∵ST = ∴()12122k k k k -=.∴()()2212125k k k k -=.由()()()2221212121212454k k k k k k k k k k +=-+=+， 得()225124k k k +=+， 解得2k =±. ……………8分 ∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. …………… 9分 （3）设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=u u r u u r， ……………10分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………11分整理得，()224410x x y k+-++=. ……………12分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………13分∴ 以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分。
【精品解析】广东省广州市2019届高三上学期调研考试(一模)文科数学试题--含解析
2019届广州市高三期末调研测试文科数学2018．12 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式得集合P,利用交集的定义求解即可.【详解】集合，，所以故选D.【点睛】本题主要考查了集合交集的运算，属于基础题.2.若复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由复数的除法运算可得，进而可得模长.【详解】由，可得..故选C.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及复数模的概念，属于基础题.3.下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由奇函数的定义先可排除选项A,D再利用函数单调性判断B,C，即可得选项.【详解】由奇函数的定义，可知A,D不满足奇函数的定义，排除A,D；由与均为增函数，知为增函数，B正确；对于，有，所以为减函数，D不正确.故选B.【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的判断及单调性的判断，属于基础题.4.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2015年1月至2017年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误．．的是（）A. 年接待游客量逐年增加B. 各年的月接待游客量高峰期在8月C. 2015年1月至12月月接待游客量的中位数为30万人D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】C【解析】【分析】根据已知中2015年1月至2017年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，逐一分析给定四个结论的正误，可得答案．【详解】由已有中2015年1月至2017年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据可得：年接待游客量呈上升趋势，所以年接待游客量逐年增加，故A正确；每一年的接待量八月份的最大，故B正确；折线图中没有具体数据，中位数无法计算，故C错误；各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确.故选C.【点睛】本题主要考查了学生的读题能力和信息处理能力，属于基础题.5.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”. 现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】还原几何体为四棱锥P-ABCD，底面ABCD为长方形，易知该几何体与变成为1,2,1的长方体有相同的外接球，则长方体的体对角线即为外接球的直径，从而得解.【详解】如图所示，该几何体为四棱锥P-ABCD，底面ABCD为长方形.其中底面ABCD，AB=1,AD=2,PD=1.易知该几何体与变成为1,2,1的长方体有相同的外接球.则该阳马的外接球的直径为 .球体积为： .故选A.【点睛】本题主要考查了几何的外接球问题，常用的解法是将几何体放入长方体内，即补体的思想，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.6.已知的边上有一点满足，则可表示为( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由，结合题中条件即可得解.【详解】由题意可知.故选D.【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，熟练掌握向量的加减法及数乘运算是解题的关键，属于基础题.7.已知双曲线的中心为坐标原点，离心率为，点在上，则的方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】讨论双曲线的焦点轴，设出方程，根据条件列出方程组求解即可.【详解】当双曲线的焦点在x轴，设双曲线的方程为：.根据题意可得：，解得，所以.当双曲线的焦点在y轴，设双曲线的方程为：.根据题意可得：，方程无解.综上的方程为.故选B.【点睛】本题主要考查了双曲线方程的求解，注意题中没有交代焦点轴时，解题时需要分情况讨论，属于中档题.8.由的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，所得图象对应的函数解析式为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的平移和伸缩变换可直接得解.【详解】由的图象向左平移个单位，可得到.再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，得到.故选A.【点睛】本题考查的是三角函数的平移和伸缩变换问题，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将x的系数提出来，针对x本身进行加减和伸缩.9.是直线和平行的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】C【解析】试题分析：先判断当a=3成立是否能推出两条直线平行；再判断当两条直线平行时，一定有a=3成立，利用充要条件的定义得到结论．解：当a=3时，两条直线的方程分别是3x+2y+9=0和3x+2y+4=0，此时两条直线平行成立反之，当两条直线平行时，有但即a=3或a=﹣2，a=﹣2时，两条直线都为x﹣y+3=0，重合，舍去∴a=3所以“a=3”是“直线ax+2y+2a=0和直线3x+（a﹣1）y﹣a+7=0平行”的充要条件．故选：C．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；两条直线平行的判定．10.若实数，满足不等式组则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到取值范围即可.【详解】作出不等式的可行域，如图所示：由，即.平移此直线经过点A（0,5）时，z取得最小值-5，经过点B(2,1)时，z有最大值3，所以的取值范围是.故选A.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.11.已知的内角, , 的对边分别是, , ，且，若，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵∴∴∴,∴∴,又∴的取值范围为故选：B12.已知椭圆Γ：的长轴是短轴的2倍，过右焦点F且斜率为的直线与Γ相交于A，B两点．若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据条件可将椭圆化简为，为简化计算，令，直线与椭圆联立，根据条件可得，再由结合韦达定理求解即可.【详解】根据题意可知，所以.椭圆Γ：,可化为：.过右焦点F且斜率为的直线为：，即.为简化计算，令，则.由，联立可得：. ①设，由可得.由①可得：.因为，所以.解得，所以，由，可得.故选D.【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，利用设而不求的思想，通过韦达定理解决方程问题，属于中档题.二、填空题。
广东省广州市2019届高三第二次模拟考试数学(文)试题Word版含答案
2019年5月2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）文科数学2019.4本试卷共6页，23小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号，并将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A={x∈N|0<x<6} , B={2, 4, 6, 8} ,则 A∩B=A.{0,1,3,5}B.{0,2,4,6}C. {1,3,5}D.{2,4,6}2．已知复数z=m(3+i)-(2+i)在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是A． B. C． D.3．某公司生产A，B，C三种不同型号的轿车，产量之比依次为2：3：4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A种型号的轿车比B种型号的轿车少8辆，则n=A. 96B. 72C. 48D. 364．执行如图所示的程序框图，则输出z的值是A. 21B. 22C. 23D. 245．从某班5名学生（其中男生3人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动，则所选3人中至少有1名女生的概率为A. B. C. D.6．函数y=的部分图像如图所示，则函数的解+析式为A． B.C. D．7．设等比数列{a n}的前n项和为S n，则下列等式中一定成立的是A. S n+S2n=S3nB. S22n=S n S3nC. S22n=S n+S2n- S3nD. S2n + S22n=S n (S2n+S3n) 8．已知双曲线拘渐近线方程为5x±3y=0，则此双曲线的离心率为A. B. C. D.9．一个圆锥的体积为，当这个圆锥的侧面积最小时，其母线与底面所成角的正切值为A． B． C． D．10.设a≥b≥c，且1是一元二次方程ax2+ bx+c=0的一个实根，则的取值范围为A．[-2，0] B．C．D．11．在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=2，AB=AC=I，BC=，则该三棱锥的外接球的表面积为A． B． C． D．12.己知函数与的图像上存在关于x轴对称的点，则实数a 的取值范围为A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量，向量，则=14. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为．15.若函数f(x)=x 2 -x+l+ alnx在(0，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是．16.己知点P在直线x+2y-l=0上，点Q在直线x+2y+3=O E，PQ的中点为M(x0，y0)，且-1≤y0 -x0≤7，则的取值范围是____．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分．17. （本小题满分12分）△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知。
广州市2019年高三毕业班第三次模拟考试 文科数学试题
3C ． 13D ．34．已知函数 f ( x ) = ( ) x - 2 x ，则 f ( x )5. 已知曲线 C 1： y = sin x ，C 2： y = sin(2 x -2πA ．把 C 1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得B ．把C 1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得广州市 2019 年高三毕业班第三次模拟考试数学（文科）本试卷共 23 题，共 150 分，共 4 页，考试结束后将本试卷和答题卡一并收回．注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题目的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合 A = {x | y = lg( x - 2)} ， B = (-2, 3) ，则 AB =A ． (-2, 2)(2,3） B ． (-2, 2) C ． (2, 3) D ． [2, 3)2．已知 a ∈ R , i 是虚数单位，若 z = 3 + ai ， | z |= 2 ，则 a =A ． 7或- 7B ．1 或-1C ． 2D ． -23．已知向量 a = (1,2), b = (2, -1), c = (1, λ ) ，若 (a + b ) ⊥ c ，则 λ 的值为A ． -3B ． -112A. 是奇函数，且在 R 上是增函数B. 是偶函数，且在 R 上是增函数C. 是奇函数，且在 R 上是减函数D. 是偶函数，且在 R 上是减函数3) ，则下面结论正确的是π3到曲线 C 2π 3．．．8012 8 C ． 1A ． 1 2到曲线 C 2C ．把 C 1 上各点的横坐标缩短到原来的到曲线 C 2D ．把 C 1 上各点的横坐标缩短到原来的1 π倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得2 31 π倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得2 3到曲线 C 26. 已知数列{a } 满足 (n + 1)a = na （ n ∈ N * ），a = 2 ，等比数列{b } 满足 b = a ，b = a ，则{b }nn n +1 2 n 1 1 2 2 n的前 6 项和为A ． -64B ． 63C ． 64D ．1267. 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组 20 人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如右茎叶图：则下列结论中表述不正确的是A. 第一种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需要的时间至少 80 分钟B. 第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高C. 这 40 名工人完成任务所需时间的中位数为 80D. 无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是 分钟.8．右图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中△ABC 为直角三角形，四边形 DEFC 为它的内接正方形，已知 BC=2，AD EAC=4，在△ABC 上任取一点，则此点取自正方形 DEFC 的概率为2 451A ．B ．C ．D ．99 9 29．如图，网格纸上虚线小正方形的边长为 1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体上下两部分的体积比为1 1B ．D ．64CF B10. 过双曲线 x 2 y2 - a b 2= 1(a > 0,b > 0) 两焦点且与 x 轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为2C ． 5 - 1n 4=.6 ，点 D 在 BC 上，A ．2B ． 3D ． 5 + 1211.已知圆锥的顶点为 S ，底面圆周上的两点 A 、 B 满足 ∆SAB 为等边三角形，且面积为 4 3 ，又知 SA 与圆锥底面所成的角为 45°，则圆锥的表面积为A ． 8 2πB ． 4( 2 + 2)πC ． 8( 2 + 1)πD ． 8( 2 + 2)π12. 已知点 P 在直线 x + 2 y - 1 = 0 上，点 Q 在直线 x + 2 y + 3 = 0 上， M ( x , y ) 为 PQ 的中点，且y > 2x + 1 ，则 0 0 y0 的取值范围是 x1A ． [ , +∞)B ． (- 3 1 1 1 1 1, ) C ． (-∞,0) (0, ) D ． (- ,0) (0, ]2 3 3 2 3二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13．命题“对 ∀x ∈[-1,1], x 2 + 3x - 1 > 0 ”的否定是 _______.14．在曲线 f ( x ) = x 3 - 4x 的所有切线中，斜率最小的切线方程为 .1 15．若圆 x2 + y 2 = 1与圆 x 2 + y 2 - 6 x - 8 y - m = 0 相切，则 m 的值为. 416. 如图，给出一个直角三角形数阵，满足每一列的数成等差数列，从第三12 ，14行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第 i 行第 j 列的数为 a (i ≥ j , i 、j ∈ Z + ) ,则 aij3 3 3 ， ，4 8 16 ......三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答．第 22 题～第 23 题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共 60 分17.（12 分）在△ABC 中， AC = 4 2 ， ∠C =π1cos ∠ADC = - .3（1）求 AD 的长；（△2）若 ABD 的面积为 2 2 ，求 AB 的长；B18. （12 分）如图，在四边形 ABED 中，AB//DE ，AB ⊥ BE ，点 C 在 AB 上，且 AB ⊥ CD ，AC=BC=CD=2，现将△ACD 沿 CD 折起，使点 A到达点 P 的位置，且 PE = 2 2 .（1）求证：平面 PBC ⊥ 平面 DEBC ；（2）求三棱锥 P-EBC 的体积.19.（12 分）某地种植常规稻 A 和杂交稻 B ，常规稻 A 的亩产稳定为 500 公斤，统计近年来数据得到每年常规稻 A 的单价比当年杂交稻 B 的单价高 50%．统计杂交稻 B 的亩产数据，得到亩产的频率分布直方图如下；统计近10年来杂交稻 B 的单价（单位：元 /公斤）与种植亩数（单位：万亩）的关系，得到的10 组数据记为( x , y )(i = 1,2, 10) ，并得到散点图如下，参考数据见下．ii（1）求出频率分布直方图中m 的值，若各组的取值按中间值来计算，求杂交稻的亩产平均值；（2）判断杂交稻 B 的单价 y （单位：元/公斤）与种植亩数 x （单位：万亩）是否线性相关，若相关，试根据以下统计的参考数据求出 y 关于 x 的线性回归方程；（3）调查得到明年此地杂交稻 B 的种植亩数预计为 2 万亩，估计明年常规稻 A 的单价，若在常规稻 A和杂交稻 B 中选择，明年种植哪种水稻收入更高？统计参考数据： x = 1.60 ， y = 2.82 ， ∑( x - x )( y - y ) = -0.52 ， ∑ ( x - x ) ∑ ( x - x )( y - y )n．已知椭圆 C : + = 1 ，直线 l : y = x + m （ m ∈ R ）与椭圆 C 交于不同的两点 A 、 B .（2）若0 < a < 1， x 是函数 f ( x ) 的零点， f '(x ) 是 f ( x ) 的导函数，求证： f '( ) < f '(x ) < f '(3) ．2（ B B附：线性回归方程 y = bx + a ， b =ni =110 10i i ii =1 i =1i i∑ ( x - x )2ii =12 = 0.65 ，20.（12 分）x 2y 263 2 3（1）若 | AB |= 5 33，求 m 的值；（2）试求 || OA |2 - | OB |2 | （其中 O 为坐标原点）的最大值. 21．(12 分)已知函数 f ( x ) = x - a - 1ee x + a ln x - x （ a < 1 ，e 是自然对数的底， e ≈ 2.72 ）（1）讨论 f ( x ) 的单调性；30 0（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22. [选修 4-4：坐标系与参数方程] （10 分）以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ 2 cos 2θ = a 2（ a ∈ R ,a 为常数）），过点 P (2,1) 、倾斜角为 30︒ 的直线 l 的参数方程满足 x = 2 +3 2t ， t 为参数）．（1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的参数方程；（2）若直线 l 与曲线 C 相交于 A 、 两点（点 P 在 A 、 之间），且 | P A | ⋅ | PB |= 2 ，求 a 和 || PA | - | PB ||的值．23. [选修 4 - 5：不等式选讲] (10 分）已知函数 f ( x ) =| x + 1| - | x - 1| ，（1）求函数 f ( x ) 的值域；（2）若 x ∈ [-2,1] 时， f ( x ) ≤ 3x + a ，求实数 a 的取值范围．解析: 8.设 CD = x ，则由 x⨯ 4 ⨯1⨯ 4 l 4 5 x广州市 2019 年高三毕业班第三次模拟考试（文科）参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．一、选择题题序答案1C 2B 3A 4C 5C 6B 7D 8B 9C 10D 11C 12B4 - x 4 4 1 4=，得 x = , p = ( )2 ⨯ = 选 B 24 3 3 4 99. 由三视图知该几何体是下方为长方体上方为一直三棱柱的组合体，其上下体积比为121 = 42 ⨯3 6.10 ．将 x = c 代入双曲线的方程得 y 2= b 4 b 2 b 2 1 ⇒ y =± ，则 c = ⇒ ac = c 2 - a 2 ⇒ e - =1 ，解得 a 2 a a ee = 5 + 1.211. 设圆锥母线长为 ,由 ∆SAB 为等边三角形，且面积为 3 得34l 2 = 4 3 ⇒ l = 4 ，设圆锥底面半径为r ，则又 S A 与圆锥底面所成的角为45°得 r = 2 2 ，故 S =π r l + π r 2 = 8( 2 + 1)π .表12. 因直线 x + 2 y - 1 = 0 与 x + 2 y + 3 = 0 平行，故点 M 的轨迹为与两直线距离相等且平行于两直线的直线，其方程为 x + 2 y + 1 = 0 ，即点 M ( x , y ) 满足 x + 2 y + 1 = 0 ，而满足不等式 y > 2x + 1 的点在0 0 0 0 0 03 1直线 y = 2 x + 1 的上方，易得直线 x + 2 y + 1 = 0 与 y = 2 x + 1 的交点为 (- , - ) ，故问题转化为求射5 53 y线（不含端点）x + 2 y + 1 = 0 （ x < - ）上的点 M ( x , y ) 与坐标原点 (0,0) 连线斜率、即 0 的取0 0 0 0 0值范围, 故y= kxOM 1 1∈ (- , ) . 2 3651n 4 = ⨯ ( )3 =2二、填空题题序1314 15 16答案∃x ∈[-1,1],x 2+ 3x -1 ≤ 0 y = -4 x （或 4 x + y = 0 ） -9或11n32解 析 ： 15. 圆 x 2 + y 2 - 6 x - 8 y - m = 0 的 圆 心 为 (3, 4) ， 半 径 r =25 + m ， 若 两 圆 外 切 ， 则2 5+ m + 1 = ， m = -9 ，若两圆内切，则 25 + m -1 = 5 解得 m = 11.16. a1，每一行的公比均为 ，由等差数列的通项公式知第 n 4 21 1 n n 1 n 行第一个数为 + (n - 1)⨯ = ，故 a 4 4 4 42 32 三、解答题.17.解：（1）∵ cos ∠ADC = - 1 3,且 0 < ∠ADC < π∴ sin ∠ADC = 1 - (1 )2 = 32 2 3，--------------------------2 分正弦定理有 AD AC AC sin ∠C 1 3= ，得 AD = = 4 2 ⨯ ⨯ = 3 ；-----5 分sin ∠C sin ∠ADC sin ∠ADC 2 2 2（2）∵ sin ∠ADB = sin(π - ∠ADC ) = sin ∠ADC = 2 23， ---------------------6 分S ∆ABD = 1AD ⋅ BD ⋅ sin ∠ADB = 2BD ，∴ 2BD = 2 2 ，得 BD = 2 ，--------------------------------------------------8 分1又∵ cos ∠ADB = cos(π - ∠ADC ) = - cos ∠ADC = ，-------------------------9 分31由余弦定理得 AB 2 = 32 + 22 - 2 ⨯ 3 ⨯ 2 ⨯ = 9 ，3∴ AB = 3 ．----------------------------------------------------12 分18. 解：（1）证明：∵AB⊥BE，AB⊥CD，∴BE//CD，-----1 分∵AC⊥CD，∴PC⊥CD，∴PC⊥BE，---------2 分又 BC⊥BE，PC∩BC=C，∴EB⊥平面 PBC ，-------------------4 分又∵EB ⊂ 平面 DEBC ，∴平面 PBC ⊥ 平面 DEBC ；------------------6 分E - P BC = S1（2）解法 1：∵AB//DE，结合 CD//EB 得 BE=CD=2，------------7 分由（1）知 EB⊥平面 PBC ，∴EB⊥PB，由 PE = 2 2得 PB = PE 2 - EB 2 = 2 ,------------------------8 分∴△PBC 为等边三角形，∴ S∆PBC = 3 4⨯ 22= 3 ,----------------10 分∴VP - E BC= V ⋅ EB = ⨯ 3 ⨯ 2 1 13∆PBC3= 2 33.---------------------------------------12 分【 解 法 2 ： ∵A B//DE ， 结 合 CD//EB 得 BE=CD=2 ，-------------------------7 分由（1）知 EB⊥平面 PBC ，∴EB⊥PB，由 PE = 2 2 ，得 PB = PE 2 - EB 2 = 2 ,-------------------------------------------------8 分∴△PBC 为等边三角形，取 BC 的中点 O ，连结 OP ，则 PO = 3 ,-----------------------------10 分∵PO⊥BC，∴PO⊥平面 EBCD ，∴ VS3 ∆EBC1 12 3⋅ PO = ⨯ ⨯ 22 ⨯ 3 = .--------------------------12 分】3 2 319.解：（1）由 m ⨯ 30 + 0.01⨯ 20 + 0.02 ⨯ 20 + 0.025 ⨯10 = 1，解得 m = 0.005 ．---------------------------------------------------------2 分过程一：杂交稻 B 的亩产平均值为：[(730 + 790 + 800) ⨯ 0.005 + (740 + 780) ⨯ 0.01 + (750 + 770) ⨯ 0.02 + 760 ⨯ 0.025] ⨯10= 116 + 152 + 304 + 190 = 762 ．-------------------------------------------------5 分【过程二：设杂交稻 B 的亩产数据为 n 个，则杂交稻 B 的亩产平均值为：[(730 + 790 + 800) ⨯ 0.05n + (740 + 780) ⨯ 0.1n + (750 + 770) ⨯ 0.2n + 760 ⨯ 0.25n ]⨯1n= 116 + 152 + 304 + 190 = 762 ．--------------------------------------------5 分】（2）因为散点图中各点大致分布在一条直线附近，所以可以判断杂交稻 B 的单价 y 与种植亩数 x 线性相关，--------------------------------6 分由题目提供的数据得： b =-0.52 = -0.8 ，0.65由 y = bx + a 得 a = y - bx = 2.82 + 0.8 ⨯1.60 = 4.10 ，ˆ ˆ 2 433 1 3 2 3 1 3 1所以线性回归方程为 y= -0.8 x + 4.10 ．----------------------------------------8 分（3）明年杂交稻 B 的单价估计为 y = -0.8 ⨯ 2 + 4.10 = 2.50 元／公斤，明年常规稻 A 的单价估计为 2.50 ⨯ (1+ 50%) = 3.75 元／公斤；----------------------------10 分明年常规稻 A 的每亩平均收入估计为 500 ⨯ 3.75 = 1875 元／亩，明年杂交稻 B 的每亩平均收入估计为 762 ⨯ 2.50 = 1905 元／亩，因 1905>1875，所以明年选择种杂交稻 B 收入更高．----------------------------------12 分⎧2 x 2 + 3 y 2 = 6,⎪20.解：（1）由⎨ 6⎪ y =x + m . ⎩ 3消去 y 并整理得 4 x 2 + 2 6mx + 3(m 2 - 2) = 0 ，----------2 分∵直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A 、 B ，∴ ∆ = (2 6m )2 - 48(m 2 - 2) > 0 ，即 -2 < m < 2 ， ----------------------------3 分设 A ( x , y ), B ( x , y ) ，则 x + x = - 1 1 2 2 1 2 6m 3(m 2 - 2), x x =1 2 ，---------------------------4 分| AB |2= ( x - x )2+ ( y - y )2= [1+ ( 1 2 1 2 6 3 2)2 ]( x - x )2 = (1+ )[( x + x )2 - 4 x x ]1 2 1 2 1 2即 5 3 ⨯ [(- 6m 25 )2 - 3(m 2 - 2)] = 2 3 6，解得 m =± .--------------------------------6 分3（2）∵ | OA |2 - | OB |2 = ( x 2 + y 2 ) - ( x 1122 + y 2 )21 1 1 1= x 2 + 2(1- x 2 ) - [ x 2 + 2(1- x 2 )] = ( x 2 - x 2 ) = ( x + x )( x - x ) -----------7 分 1 2 2 2 1 2又 | x - x |= ( x + x )2- 4 x x =12121 23 3 6m 2 - 3(m 2 - 2) = 6 - m 2 = 4 - m 2 ---8 分 2 2 21 6 | m | 6 4 - m2 1∴ || OA |2 - | OB |2 | = ⨯ ⨯ = m 2 (4 - m 2 )3 2 2 2∵ m 2 (4 - m 2 ) ≤ (m 2 + 4 - m 22)2 = 4 ，---------------------------10 分∴ || OA |2- | OB |2| = 1 1m 2 (4 - m 2 ) ≤ ⨯ 4 = 1 ，2 2即 || OA |2 - | OB |2 | 的最大值为 1.（当且仅当 m = ± 2 时，取得最大值）---------------12 分e x a e x 121.解：（1） f '(x ) = ( x - a ) + - 1 = ( x - a )( - ) ( x > 0) ，--------------------------1 分e x e x设 g ( x ) = e x 1- ( x > 0) ，e x2 2e x1过程一：由y=和y=-在(0,+∞)上单调递增，e xe x1【过程二：由x>0得g'(x)=+e x2>0】可知g(x)在(0,+∞)上单调递增，又g(1)=0，所以当x∈(0,1)时，g(x)<0，当x∈(1,+∞)时，g(x)>0，①当a≤0时，x-a>0，当x∈(0,1)时，f'(x)<0；当x∈(1,+∞)时，f'(x)>0．-----------------------3分②当0<a<1时，由f'(x)=0得x=a或x＝1，当x∈(0,a)时，x-a<0，g(x)<0，f'(x)>0；当x∈(a,1)时，f'(x)<0；当x∈(1,+∞)时，f'(x)>0．-----------------------5分综上所述：当a≤0时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增；当0<a<1时，f(x)在(0,a)单调递增，在(a,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增．----------------------------------------6分（2）方法一（分析法）：当0<a<1时，由（1）知f(x)在(0,1]上的最大值为f(a)，可知f(a)=-e a-1+a ln a-a<0，所以f(x)在(0,1]上无零点．若x是函数f(x)的零点，则x>1，------------------------------------------------7分00e x1∵f'(x)=(x-a)(-)(x>1)，e x过程一：由y=x-a和y=e x1e x1-在(1,+∞)上单调递增，且->0、x-a>0，e x e xe x1e x1【过程二：设h(x)=f'(x)，则h'(x)=(-)+(x-a)(+e x e x2)，e x1e x1由x>1得->0，(x-a)(+e x e x2)>0，所以h'(x)>0，】可知f'(x)在(1,+∞)上单调递增，-------------------------------------------8分要证f'(3)<f'(x)<f'(3)，只需证32<x<3，----------------------------9分由（1）知f(x)在(1,+∞)上单调递增，只需证f(3)<f(x)<f(3)，又f(x)=0，------------------------------10分00由 ln 3 而 f ( ) = ( - a ) e + a ln 3 由 ln 3 < ln e = 1 ， e > 1 ，得 ln - e < 0 ，又 - < 0 ，所以 f ( ) < 0 ； 所以 f ( ) < 0 < f (3) ，又 f ( x ) = 0 ，即 f ( ) < f ( x ) < f (3) ，--------------------------9 分 2 22 只需证 f (3 ) < 0 且 f (3) > 0 ． 23 1 3 3 3 e 3 f ( ) = ( - a ) e + a ln - = (ln - e )a + - ， 2 2 2 2 2 2 23 e 33 < ln e = 1 ， e > 1 ，得 ln - e < 0 ，又 - < 0 ，所以 f ( ) < 0 ； 2 2 2 2 2f (3) = (2 - a )e 2 + a ln3 - 3 ，由 2 - a > 1得 f (3) > e 2 + a ln3 - 3 > 0 ，综上所述，得证．---------------------------------------------------------------------12分方法二（综合法）：当 0 < a < 1时，由（1）知 f ( x ) 在 (0,1] 上的最大值为 f (a ) ，可知 f (a ) = -e a -1 + a ln a - a < 0 ，所以 f ( x ) 在 (0,1] 上无零点．若 x 是函数 f ( x ) 的零点，则 x > 1 ，--------------------------------------------------7 分 02 2 13 3 3 e 3 - = (ln - e )a + - ， 2 2 2 2 2 3 e 3 3 2 2 2 2 2f (3) = (2 - a )e 2 + a ln3 - 3 ，由 2 - a > 1得 f (3) > e 2 + a ln3 - 3 > 0 ，3 3 0 0 由（1）知 f ( x ) 在 (1, + ∞) 上单调递增，所以e x 1 而f '(x ) = ( x - a )( - ) ( x > 1) ， e x3 2< x < 3 ，----------------------------10 分 0由 y = x - a 和 y = e x 1 e x 1 - 在 (1, + ∞) 上单调递增，且 - > 0 、 x - a > 0 ， e x e x可知 f '(x ) 在 (1, + ∞) 上单调递增，---------------------------------------------11 分3 所以 f '( ) < f '(x ) < f '(3) ，得证．---------------------------------------12 分 022.解：（1）由 ρ 2 cos 2θ = a 2 得 ρ 2 (cos 2 θ - sin 2 θ ) = a 2 ，-----------------------------1 分又 x = ρ cos θ ， y = ρ sin θ ，得 x 2 - y 2 = a 2 ，∴C 的普通方程为 x 2 - y 2 = a 2 ，--------------------------------------------------2 分∵过点 P (2,1) 、倾斜角为 30︒ 的直线 l 的普通方程为 y =3 3( x - 2) + 1 ，----------------3 分； 法二： f ( x ) = ⎨2 x , -1 ≤ x < 1 ，得 -2 ≤ f ( x ) ≤ 2 ， ⎪ 2, x ≥ 1由 x = 2 + 3 2 1 t 得 y = 1 + t 2⎧ 3 ⎪⎪ x = 2 + 2 ∴直线 l 的参数方程为 ⎨ ⎪ y = 1 + t ⎪⎩ 2 t （t 为参数） -------------------------------5 分⎧ 3 ⎪⎪ x = 2 + 2 （2）将 ⎨ ⎪ y = 1 + t ⎪⎩ 2t代入 x 2 - y 2 = a 2 ，得 t 2 + 2(2 3 - 1)t + 2(3 - a 2 ) = 0 ， --------------------------------------------6 分依题意知 ∆ = [2(2 3 - 1)]2 - 8(3 - a 2 ) > 0则上方程的根 t 、 t 就是交点 A 、B 对应的参数，∵ t ⋅ t = 2(3 - a 2 ) ， 1 2 1 2由参数 t 的几何意义知| P A | ⋅ | PB |=| t | ⋅ | t |=| t ⋅ t | ，得 | t ⋅ t |= 2 ，1 2 1 2 1 2∵点 P 在 A 、B 之间，∴ t ⋅ t < 0 ，1 2 ∴ t ⋅ t = -2 ，即 2(3 - a 2 ) = -2 ，解得 a 2 = 4 （满足 ∆ > 0 ），∴ a = ±2 ，------------8 分 1 2 ∵ || P A | - | PB ||=|| t | - | t ||=| t + t | ，又 t + t = -2(2 3 -1)， 12 1 2 1 2∴ || P A | - | PB ||= 4 3 - 2 ． ------------------------------------------------------10 分23.解：（1）法一： | f ( x ) |=|| x + 1| - | x - 1|| ≤| ( x + 1) - ( x - 1) |= 2 ，∴ -2 ≤ f ( x ) ≤ 2 ， f ( x ) 的值域为[-2, 2]；---------------------------------4 分⎧ -2, x < -1 ⎪ ⎩∴ f ( x ) 的值域为[-2, 2]；----------------------------------------------------4 分（2）由 f ( x ) ≤ 3x + a 得 a ≥| x + 1| - | x - 1| -3x ，由 x ∈ [-2,1] 得 x - 1 ≤ 0 ，∴ a ≥| x + 1| + x - 1 - 3x =| x + 1| -2 x - 1 ，---------------------------------5 分设 g ( x ) =| x + 1| -2 x - 1 (-2 ≤ x ≤ 1) ，① 当 -2 ≤ x ≤ -1 时， x + 1 ≤ 0 ， g ( x ) = -( x + 1) - 2 x - 1 = -3x - 2 ，∴ g ( x )max = g (-2) = 4 ；----------------------------------------------------7 分② 当 -1 < x ≤ 1 时， x + 1 > 0 ， g ( x ) = x + 1 - 2 x - 1 = - x ，∴g(x)<g(-1)=1；---------------------------------------------------------9分综上知，g(x)max=4，由a≥g(x)恒成立，得a≥4，即a的取值范围是[4,+∞)．---------------10分。
广东省广州市2019届高三第二次模拟考试数学(文)试题含答案
2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）文科数学2019.4本试卷共6页，23小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号，并将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A={x∈N|0<x<6} , B={2, 4, 6, 8} ,则A∩B=A.{0,1,3,5}B.{0,2,4,6}C. {1,3,5}D.{2,4,6}2．已知复数z=m(3+i)-(2+i)在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是A． B. C． D.3．某公司生产A，B，C三种不同型号的轿车，产量之比依次为2：3：4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A种型号的轿车比B种型号的轿车少8辆，则n=A. 96B. 72C. 48D. 364．执行如图所示的程序框图，则输出z的值是A. 21B. 22C. 23D. 245．从某班5名学生（其中男生3人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动，则所选3人中至少有1名女生的概率为A. B. C. D.6．函数y=的部分图像如图所示，则函数的解析式为A． B.C. D．7．设等比数列{a n}的前n项和为S n，则下列等式中一定成立的是A. S n+S2n=S3nB. S22n=S n S3nC. S22n=S n+S2n- S3nD. S2n + S22n=S n (S2n+S3n)8．已知双曲线拘渐近线方程为5x±3y=0，则此双曲线的离心率为A. B. C. D.9．一个圆锥的体积为，当这个圆锥的侧面积最小时，其母线与底面所成角的正切值为A． B． C． D．10.设a≥b≥c，且1是一元二次方程ax2+ bx+c=0的一个实根，则的取值范围为A．[-2，0] B．C．D．11．在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=2，AB=AC=I，BC=，则该三棱锥的外接球的表面积为A． B． C． D．12.己知函数与的图像上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围为A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量，向量，则=14. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为．15.若函数f(x)=x2 -x+l+ alnx在(0，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是．16.己知点P在直线x+2y-l=0上，点Q在直线x+2y+3=O E，PQ的中点为M(x0，y0)，且-1≤y0-x0≤7，则的取值范围是____．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分．17. （本小题满分12分）△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(1)求的值；(2)若c=2，求△ABC的面积．18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，∠APD=90°，且PA=PD，AD=PB．(1)求证：AD⊥PB；(2)求点A到平面PBC的距离．19. （本小题满分12分）科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如下表：根据上表的数据得到如下的散点图．(1)根据上表中的样本数据及其散点图：(i)求;(ii)计算样本相关系数（精确到0.01），并刻画它们的相关程度．(2)若y关于x的线性回归方程为，求的值（精确到0.01），并根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量．附：参考数据：参考公式：相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为20. （本小题满分12分）从抛物线y 2 =36x 上任意一点P 向x 轴作垂线段，垂足为Q ，点M 是线段PQ 上的一点，且满足(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)设直线x=my+1(m∈R)与轨迹c 交于A ，B 两点，T 为C 上异于A ，B 的任意一点，直线AT ，BT 分别与直线x=-1交于D ，E 两点，以DE 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若过定点，求出符合条件的定点坐标；若不过定点，请说明理由．21. （本小题满分12分）已知函数f(x)=(x+2)lnx+ax 2 - 4x+ 7a ．(1)若a=，求函数f(x)的所有零点；(2)若a≥，证明函数f(x)不存在极值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4 -4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为（t 为参数）．在以坐标原点为⎩⎨⎧+=+=ααsin 3,cos 2t y t x 极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ2= 2p cosθ+8．(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且求直线l 的倾斜角．23.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）己知函数f(x) =|2x-l|-a．(1)当a=l时，解不等式f(x)>x+1；(2)若存在实数x，使得f(x)< f(x+1)成立，求实数a的取值范围.绝密 ★ 启用前2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）文科数学试题答案及评分参考评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数．选择题不给中间分．一、选择题题号123456789101112答案D B B A A B D B D C B C二、填空题13 14． 15． 16．531,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2,05⎡⎤-⎢⎥⎣⎦三、解答题17．解：（1）因为，tan tan 2(tan tan )cos cos A B A B B A+=+所以．………………………………………………1分sin sin sin sinB 2cos cos cos cos cos cos A B A A B A B A B⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭化简得．………………………………………………2分()2sin cos cos sin sin sin A B A B A B +=+即．………………………………………………………………………3分()2sin sin sin A B A B +=+因在中，，则．……………………………4分ABC ∆A B C ++=π()()sin sin sin A B C C π+=-=从而．…………………………………………………………………………… 5分sin sin 2sin A B C +=由正弦定理，得．2a b c +=所以．……………………………………………………………………………………………6分=2a b c+（2）由（1）知，且，所以．……………………………………………………7分2a b c +=2c =4a b +=因为，所以．……………………………………9分=3C π()222222cos 22a b ab c a b c C ab ab+--+-==即．122cos 32ab abπ-=所以．……………………………………………………………………………………………10分4ab =所以．11sin 4sin 223ABC S ab C ∆π==⨯⨯=所以△．……………………………………………………………………………12分ABC 18．（1）证明：取的中点，连结，，，AD O OP OB BD 因为底面为菱形，，ABCD 60BAD ∠= DB A P O所以．…………………………………1分AD AB BD ==因为为的中点，所以． ……………2分O AD BO AD ⊥在△中，，为的中点，PAD PA PD =O AD 所以． ………………………………………3分PO AD ⊥因为，所以平面．………4分BO PO O = AD ⊥POB 因为平面，所以．………………………………………………………………5分PB ⊂POB AD PB ⊥（2）解法1：在△ 中，，所以．Rt PAD 2AD =1PO =因为底面是边长为2的菱形，，所以．……………………………6分ABCD 60BAD ∠= BO =在△中，，，，PBO 1PO =BO =2PB BC ==因为，所以．……………………………………………………………7分222PO BO PB +=PO BO ⊥【6-7分段另证：在△中，，为的中点，所以．APD 90APD ∠= O AD 12PO AD AO ==在△ 和△ 中，因为， ，，所以△ △ BOP BOA PO AO =PB AD AB ==BO BO =BOP ≅．BOA 所以．所以．】90BOP BOA ∠=∠= OP OB ⊥由（1）有，且，平面，平面，PO AD ⊥AD BO O = AD ⊂ABCD BO ⊂ABCD 所以平面．…………………………………………………………………………………8分PO ⊥ABCD 在△中，由（1）证得，且，所以．PBC AD PB ⊥//BC AD BC PB ⊥因为，所以．…………………………………………………………………9分2PB BC ==2PBC S ∆=在△中，，，ABC 2AB BC ==120ABC ∠=所以． (10)分1sin 2ABC S AB BC ABC =⨯⨯⨯∠=设点到平面的距离为，A PBC h 因为，即．……………………………………………………11分A PBCP ABC V V --=1133PBC ABC Sh S PO ∆=所以ABC PBC S PO h S ∆===所以点到平面．…………………………………………………………………12分A PBC 解法2：因为，平面，平面，//AD BC BC ⊂PBC AD ⊄PBC 所以平面．//AD PBC 所以点到平面的距离等于点到平面的距离．………………………………………6分A PBC O PBC 过点作于点．…………………………7分O OH PB ⊥H 由（1）证得平面，且，AD ⊥POB //AD BC 所以平面．BC ⊥POB 因为平面，所以．OH ⊂POB BC ⊥OH 因为，平面，平面，PB BC B = PB ⊂PBC BC ⊂PBC 所以平面．…………………………………8分OH ⊥PBC 在△ 中，，所以．Rt PAD 2AD =1PO =H O PABD因为底面是边长为2的菱形，，所以．……………………………9分ABCD 60BAD ∠=BO =在△中，，，，PBO 1PO=BO =2PB BC ==因为，所以．…………………………………………………………10分222PO BO PB +=PO BO ⊥【9-10分段另证：在△中，，为的中点，所以．APD 90APD ∠=O AD 12PO AD AO ==在△和△ 中，因为，，，所以△ △BOP BOA PO AO =PB AD AB ==BO BO =BOP ≅．BOA 所以．所以．】90BOP BOA ∠=∠=OP OB ⊥在△中，根据等面积关系得．…………………………………………11分PBO PB OH PO OB ⨯=⨯所以．PO OB OH PB ⨯===所以点到平面．…………………………………………………………………12分A PBC 19．解：（1）根据上表中的样本数据及其散点图：（ⅰ）．…………………………………2分262739414953565860614710x +++++++++==（ⅱ）…………3分rnnx y==…………………………………4分==…………………………………………………………………………5分=，6.56≈54.18≈所以．……………………………………………………………………………………………6分0.98r ≈由样本相关系数，可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强．………………………7分0.98r ≈（2）因为回归方程为，即．ˆˆ 1.56ybx =+ˆ 1.56a =所以．ˆ27 1.56ˆ0.5447y abx--==≈【或利用】……………………………10分()()()121ˆn iii nii x x y y bx x ==--=-∑∑()1221ni ii nii x y nx yxn x==-=-∑∑837.80.541548=≈所以关于的线性回归方程为．y x ˆ0.54 1.56yx =+将代入线性回归方程得．……………………………………11分50x =ˆ0.5450 1.5628.56y=⨯+=所以根据回归方程估计年龄为岁时人体的脂肪含量为%．………………………………12分5028.56 【结论没写%扣1分】28.5620．解：（1）设，，则点的坐标为．(),M x y ()00,P x y Q ()0,0x 因为，2PM MQ =所以，………………………………………………………………………1分()()000,2,x x y y x x y --=--即 ………………………………………………………………………………………………2分00,3.x x y y =⎧⎨=⎩因为点在抛物线上，P 236y x =所以，即．………………………………………………………………………3分20036y x =()2336y x =所以点的轨迹的方程为．…………………………………………………………………4分M C 24y x =（2）解法1：设直线与曲线的交点坐标为，，1x my =+C A 211,4y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭由得．21,4,x my y x =+⎧⎨=⎩2440y my --=由韦达定理得=，=．……………………………………………………………5分+1y 2y 4m 1y 2y 4-设点，则．………………………………………………………6分200,4y T y ⎛⎫ ⎪⎝⎭10220101444AT y y k y y y y -==+-所以直线的方程为．AT 2000144y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭令，得点的坐标为．…………………………………………………………7分1x =-D 010141,y y y y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭同理可得点的坐标为．………………………………………………………………8分E 020241,y y y y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭如果以为直径的圆过轴某一定点，则满足．…………………………9分DE x (),0N n 0ND NE ∙=因为．010********,1,y y y y ND NE n n y y y y ⎛⎫⎛⎫--∙=--∙-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ()()()2212001220012124161++y y y y y y n y y y y y y -++=+++所以．………………………………………………………………10分()2200200416161++044y my n y my --+=+-即，解得或．……………………………………………………………11分()2140n +-=1n =3n =-故以为直径的圆过轴上的定点和．………………………………………………12分DE x ()1,0()3,0-解法2：直线与曲线的交点坐标为，，1x =C ()1,2A '()1,2B '-若取，则，与直线的交点坐标为，，()0,0T 'A T ''B T ''1x =-()1,2D '--()1,2E '-所以以为直径的圆的方程为．D E ''()2214x y ++=该圆与轴的交点坐标为和．x ()1,0()3,0-所以符合题意的定点只能是或．…………………………………………………6分()11,0N ()23,0N -设直线与曲线的交点坐标为，，1x my =+C A 211,4y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭由得．21,4,x my y x =+⎧⎨=⎩2440y my --=由韦达定理得=，=．……………………………………………………………7分+1y 2y 4m 1y 2y 4-设点，则．………………………………………………………8分200,4y T y ⎛⎫ ⎪⎝⎭10220101444AT y y k y y y y -==+-所以直线的方程为．AT 2000144y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭令，得点的坐标为．…………………………………………………………9分1x =-D 010141,y y y y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭同理可得点的坐标为．………………………………………………………………10分E 020241,y y y y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭若点满足要求，则满足．()11,0N 110N D N E ∙= 因为0102110102442,2,y y y y N D N E y y y y ⎛⎫⎛⎫--∙=-∙- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭．……11分()()212001220012124164+y y y y y y y y y y y y -++=+++20020041616=4+044y my y my --+=+-所以点满足题意．()11,0N 同理可证点也满足题意．()23,0N -故以为直径的圆过轴上的定点和．………………………………………………12分DE x ()1,0()3,0-21．（1）解：当时，，21=a 217()(2)ln 422f x x x x x =++-+函数的定义域为，…………………………………………………………………………1分)(x f ),0(+∞且．……………………………………………………………………………2分()2ln 3f x x x x'=++-设，()2ln 3g x x x x=++-则． ()()222221122()1x x x x g x x x x x+-+-'=-+==()0x >当时，；当时，，01x <<()0g x '<1x >()0g x '>即函数在上单调递减，在上单调递增，…………………………………………3分()g x ()0,1()1,+∞所以当时，（当且仅当时取等号）．…………………………………4分0x >()()10g x g ≥=1=x 即当时，（当且仅当时取等号）．0x >()0f x '≥1=x 所以函数在单调递增，至多有一个零点. ………………………………………………5分()f x ),0(+∞因为，是函数唯一的零点.(1)0f =1=x )(x f所以若，则函数的所有零点只有．…………………………………………………6分21=a ()f x 1=x （2）证法1：因为，2()(2)ln 47f x x x ax x a =++-+函数的定义域为，且．…………………………………7分)(x f ),0(+∞2()ln 24x f x x ax x+'=++-当时，，………………………………………………………………9分12a ≥()2ln 3f x x x x'≥++-由（1）知．………………………………………………………………………10分032ln ≥-++x xx 即当时，0x >()0f x '≥所以在上单调递增．……………………………………………………………………11分()f x ()0,+∞所以不存在极值．…………………………………………………………………………………12分)(x f 证法2：因为，2()(2)ln 47f x x x ax x a =++-+函数的定义域为，且．…………………………………7分)(x f ),0(+∞2()ln 24x f x x ax x+'=++-设，2()ln 24x m x x ax x+=++-则．2221222()2ax x m x a x x x+-'=-+=()0x >设，则与同号．)0( 22)(2>-+=x x ax x h ()m x ')(x h 当时，由，21≥a 2()220h x ax x =+-=解得， ．……………………………………………8分10x =<20x =>可知当时，，即，当时，，即，20x x <<()0h x <()0m x '<2 x x >()0h x >()0m x '>所以在上单调递减，在上单调递增．…………………………………………9分()f x '()20,x ()2,x +∞由（1）知．………………………………………………………………………10分032ln ≥-++x xx 则．2222222()ln 3(21)(21)0f x x x a x a x x '=++-+-≥-≥所以，即在定义域上单调递增．…………………………………………11分2()()0f x f x ''≥≥()f x 所以不存在极值．…………………………………………………………………………………12分)(x f 22．（1）解法1：因为直线的参数方程为（为参数），l ⎩⎨⎧+=+=ααsin 3,cos 2t y t x t 当时，直线的直角坐标方程为．…………………………………………………………1分=2απl 2x =当时，直线的直角坐标方程为．……………………………………3分2απ≠l ()tan 2y x α=-因为，…………………………………………………………………………4分222,cos x y x ρρθ=+=因为，所以．8cos 22+=θρρ2228x y x +=+所以的直角坐标方程为．………………………………………………………5分C 08222=--+x y x 解法2：因为直线的参数方程为（为参数），l ⎩⎨⎧+=+=ααsin 3,cos 2t y t x t 则有 (2)分sin 2sin sin cos ,cos sin cos ,x t y t αααααααα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩所以直线的直角坐标方程为 ． (3)分l ()sin cos 2sin 0x y αααα---=因为，…………………………………………………………………………4分222,cos x y x ρρθ=+=因为，所以．8cos 22+=θρρ2228x y x +=+所以的直角坐标方程为．………………………………………………………5分C 08222=--+x y x （2）解法1：曲线的直角坐标方程为，C 08222=--+x y x 将直线的参数方程代入曲线的方程整理，得．……………6分l C 05)cos 2sin 32(2=-++t t αα因为，可设该方程的两个根为，，020)cos 2sin 32(2>++=∆αα1t 2t则，．……………………………………………………7分()122cos t t αα+=-+125t t=-所以12AB t t =-=．…………………………………………………………8分==整理得，)2cos 3αα+=故．…………………………………………………………………………………9分2sin 6απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为，所以或，0α≤<π63αππ+=263αππ+=解得或6απ=2απ=综上所述，直线的倾斜角为或．…………………………………………………………………10分l 6π2π解法2：直线与圆交于，两点，且，l C A B AB =故圆心到直线的距离．…………………………………………………6分)0,1(C l 1)22(92=-=d ①当时，直线的直角坐标方程为，符合题意．…………………………………………7分2απ=l 2=x ②当时，直线的方程为．0,,22αππ⎡⎫⎛⎫∈π⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭l 0tan 23tan =-+-ααy x 所以，………………………………………………………………8分1tan 1|tan 230tan |2=+-+-=αααd．tan α=解得．………………………………………………………………………………………………9分6απ=综上所述，直线的倾斜角为或．…………………………………………………………………10分l 6π2π23．（1）解：当时，由，得．…………………………………………1分1a =()f x x >2111x x -->+当时，， 解得．12x ≥2111x x -->+3x >当时，，解得．…………………………………………………………4分12x <1211x x -->+13x <-综上可知，不等式的解集为 ．……………………………………5分()1f x x >+133x x x ⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭或（2）解法1：由，得．1()(1)2f x f x <+1212122a x a x --<+-则．…………………………………………………………………………………6分22121a x x >--+令，()22121g x x x =--+则问题等价于min(())a g x >因为……………………………………………………………………9分123,,211()61,,22123,,2x x g x x x x x ⎧-+<-⎪⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩．min 1()22g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭所以实数的取值范围为．…………………………………………………………………10分a (2,)-+∞解法2：因为，………………………………………………6分2121(21)(21)x x x x --+≤--+即，则．……………………………………………7分221212x x -≤--+≤21212x x --+≥-所以，…………………………………………8分()2121212212g x x x x x =--++-≥-+-≥-当且仅当时等号成立．……………………………………………………………………………9分12x =所以．min ()2g x =-所以实数的取值范围为．…………………………………………………………………10分a (2,)-+∞。
广东省广州市2019届高三第三次模拟考试数学(文)试卷
广东省广州市2019届高三第三次模拟考试数学（文）试题本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】则，选C.2.已知复数的实部和虚部相等，则（）A. 2B. 3C.D.【答案】D【解析】,，，选D.3.已知向量满足，则（）A. －12B. －20C.D.【答案】A【解析】试题分析：由题意得，，由，解得得，则，故选A．考点：1、向量的坐标运算；2、平面向量的数量积公式．4.数列是公差不为零的等差数列，并且是等比数列的相邻三项，若，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设等差数列首项为，公差为，，则，，，；设等比数列公比为，，，选B.5.函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将函数的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】B【解析】解析，将代入得，故可将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象.6.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为(参考数据：)A. 12B. 24C. 36D. 48【答案】B【解析】试题分析：第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：，满足条件，跳出循环，输出.故选B.考点：1.数学文化；2.程序框图.【名师点睛】本题考查数学文化与程序框图，属中档题；数学文化是高考新增内容，程序框图是第年高考的必考内容，掌握循环程序的运行方法，框图以赋值框和条件框为主，按照框图箭线方向和每个框的指令要求运行，注意条件框的要求是否满足，运行程序时要准确. 7.若三个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】,则，不等式有解，则，解得或,选C.8.在上随机地取两个实数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】直线与圆相交,只需圆心到直线的距离小于半径，即，，，由于，在直角坐标系下画出满足条件的正方形区域，其面积为16，满足的面积为，根据几何概型求概率公式得：，选A.9.某三棱锥的三视图如图所示，其侧（左）视图为直角三角形，则该三棱锥最长的棱长等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据三视图恢复为原几何体，原几何体为三棱锥，其中底面，底面为直角三角形，，其中，，计算，最长棱为.10.已知抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为，点是抛物线上的一动点，到双曲线的上焦点的距离与到直线的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】抛物线的焦点,双曲线的渐近线方程为，任取一条渐近线，焦点到渐近线的距离，为抛物线的准线，到准线的距离等于到焦点的距离，到双曲线的上焦点的距离与到直线的距离之和的最小值为，则，选B.11.在等腰直角中，在边上且满足：，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据题意，在线段上，过作，垂足为，作，垂足为，若设，由于，得，根据题意；，即，，故选A.12.定义在R上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知可得时，，当时，，令，，此时无解；当时，由，得；当，由，得；根据函数为奇函数，所以当时，，同样当时，的解依次为，，；所以，选B.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.抛物线的焦点坐标为__________．【答案】【解析】抛物线方程化为，，抛物线的焦点坐标为.14.设函数则__________．【答案】-1【解析】,.15.现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】设球半径为R，正方体边长为a，由题意得当正方体体积最大时：R2，由此能求出所得工件体积与原料体积之比的最大值．【详解】设球半径为R，正方体边长为a，由题意得当正方体体积最大时：R2，∴R，∴所得工件体积与原料体积之比的最大值为：．故答案为【点睛】本题考查空间几何体的体积，，是中档题，关键是确定正方体体积最大时体积之比为最大值.16.已知函数的图像为曲线，若曲线存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围为．【答案】【解析】试题分析：，；若存在与垂直的切线，则有解；即有解，．考点：1．导数的几何意义；2．两直线的位置关系．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数，当时，的最小值为.（1）求的值；（2）在中，已知，延长至，使，且，求的面积.【答案】（1）;（2）.【解析】试题分析：利用两角和公式、降幂公式及辅助角公式把函数解析式化为标准形式，根据的范围求出的范围，根据的最小值为，求出的值；利用，求出角，在根据正弦定理、余弦定理及面积公式解题.试题解析：（Ⅰ），当时，，∴∴由（Ⅰ）知，又,∴，又∴，故∴在中，由余弦定理可得：解得:∴在中，又∴，18.某大学高等数学这学期分别用两种不同的数学方式试验甲、乙两个大一新班（人数均为人，入学数学平均分和优秀率都相同；勤奋程度和自觉性都一样）.现随机抽取甲、乙两班各名的高等数学期末考试成绩，得到茎叶图：（1）学校规定：成绩不得低于85分的为优秀，请填写下面的列联表，并判断“能否在犯错误率的概率不超过0.025的前提下认为成绩优异与教学方式有关？”下面临界值表仅供参考：（参考方式：，其中）（2）现从甲班高等数学成绩不得低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为86分的同学至少有一个被抽中的概率.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：根据茎叶图所提供的数据，填写列联表，根据独立性检验方法先计算随机变量观测值，计算要准确，保留3位小数，根据临界值表发现，因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下，可以认为成绩优秀与数学方式有关；甲班不低于80分有6人，随机抽取两人，用列举法列出15种情况，至少有1名86分的情况有9种，求出概率值.试题解析：（1），因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下，可以认为成绩优秀与数学方式有关.（2）甲班不低于80分有6人，随机抽取两人，用列举法列出15种情况，至少有1名86分的情况有9种，19.如图，正方形的边长等于2，平面平面.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：根据线面平行的判定定理证明线面平行，连接交于，取中点，连接，借助中位线定理和平行四边形的判定与性质证明线线平行，进而得证；根据线面平行，可以转化三棱锥的体积，又，利用平面，求出体积.试题解析：（1）证明：连接，记，取的中点，连接∵点分别是的中点，∴，又∴∴四边形为平行四边形∴，即，又面∴面（2）在面内，过点作，交于点，由已知条件可得，在梯形中，∴，即，从而∴∴∵面面，面面∴面∵面∴点到平面的距离等于点到平面的距离∴.【点睛】求三棱锥的体积要灵活运用转化思想，一是灵活选用顶点，方便利用体高的数值，方便求底面面积；二是灵活使用平行转化、对称转化、比例转化，使所求的四棱锥的体积的底面积与高计算简单准确.20.已知椭圆的一个焦点为，左右顶点分别为，经过点的直线与椭圆交于两点.（1）求椭圆方程；（2）记与的面积分别为和，求的最大值.【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）根据条件建立参数，，所满足的方程，解方程组即可求解；（2）建立的函数表达式，求函数最值即可求解.试题解析：（1）∵点为椭圆的一个焦点，∴，又∵，∴，∴椭圆方程为；（2）当直线斜率不存在时，直线方程为，此时，，与的面积相等，，当直线斜率存在时，设直线方程为（），设，显然，异号，由得，显然，方程有实根，且，，此时，由可得，当且仅当时等号成立，∴的最大值为.考点：1.椭圆的标准方程；2.椭圆中的最值问题.【方法点睛】求解范围问题的常见求法：（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．21.设函数，的图象在点处的切线与直线平行．（1）求的值；（2）若函数，且在区间上是单调函数，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由题意知，曲线y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线斜率为3，求导数，代入计算，即可得出结论；（2）求导数，分类讨论，即可求实数a的取值范围．试题解析：（1）由题意知，曲线的图象在点处的切线斜率为3，所以，又，即，所以．（2）由（1）知，所以，①若在区间（0，+∞）上为单调递减函数，则在（0，+∞）上恒成立，即，所以．令，则，由，得，由，得，故在（0，1]上是减函数，在[1，+∞）上是增函数，则，无最大值，在（0，+∞）上不恒成立，故在（0，+∞）不可能是单调减函数②若在（0，+∞）上为单调递增函数，则在（0，+∞）上恒成立，即，所以，由前面推理知，的最小值为，∴，故a的取值范围是.点睛：已知函数单调性求参即可转化为导数恒大于等于或恒小于等于0问题，即为恒成立问题.（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数）.现以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）写出直线普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）过点，且与直线平行的直线交于两点，求.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：利用两式相减削去参数，把直线的参数方程化为普通方程，再利用公式和把极坐标方程化为直角坐标方程，涉及弦长问题常用直线的参数方程解决，写出过点与直线平行的直线的参数方程，把直线的参数方程化为代入到圆的方程，利用直线的参数方程的几何意义，把表示为，再利用求出 .试题解析：（1）由，消去参数，得直线的普通方程为.又由得，由得曲线的直角坐标方程为.（2）过点且与直线平行的直线的参数方程为将其代入得，则，知，所以23.选修4-5：不等式选讲已知函数（其中）.（1）若时，求不等式的解集；（2）若不等式对任意实数恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：利用零点分区间讨论法解绝对值不等式，得出解集；不等式对任意实数恒成立，根据绝对值不等式的性质得出，只需满足解不等式求出的取值范围.（1）当时即.①当时，得，解得；②当时，得，不成立，此时；③当时，得，解得.综上，不等式的解集为（2）因为，由题意，即或，解得或，即的取值范围是。
广东省2019届广州市高中毕业班综合测试(一)文科数学试题(解析版)
广东省2019届广州市高中毕业班综合测试（一）文科数学试题2019.03一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2−2x<0}，B={x|x>0}，则()A. A∩B=⌀B. A∪B=RC. B⊆AD. A⊆B【答案】D【解析】解：由x2−2x<0，得：0<x<2，则集合A={x|0<x<2}，A、A∩B=A，故本选项错误．B、A∪B=B，故本选项错误．C、A⊆B，故本选项错误．D、A⊆B，故本选项正确．故选：D．先由二次不等式，得到集合A，再借助数轴，得到集合A，B的关系，以及集合A，B 的交集和并集．本题考查二次不等式的解法，以及集合的交并集和集合之间的包含关系．2.已知a为实数，若复数(a+i)(1−2i)为纯虚数，则a=()A. −2B. −12C. 12D. 2【答案】A【解析】解：(a+i)(1−2i)=a+2+(1−2a)i，∵复数是纯虚数，∴a+2=0且1−2a≠0，得a=−2且a≠12，即a=−2，故选：A．根据复数的运算法则进行化简，结合复数是纯虚数，进行求解即可．本题主要考查复数的运算以及复数的概念，根据复数是纯虚数建立条件关系是解决本题的关键．3.已知双曲线C：x2−y2b2=1的一条渐近线过点(b,4)，则C的离心率为()A. √52B. 32C. √5D. 3【答案】C【解析】解：双曲线C：x2−y2b2=1的渐近线方程为y=±bx，由题意可得4=b2，可得b=2，则双曲线的离心率为e=ca=√1+4=√5．故选：C．求得双曲线的渐近线方程，由题意可得b=2，再由离心率公式，计算可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.a⃗，b⃗ 为平面向量，己知a⃗=(2,4)，a−−2b⃗ =(0,8)，则a⃗，b⃗ 夹角的余弦值等于()A. −45B. −35C. 35D. 45【答案】B【解析】解：己知a⃗=(2,4)，a−−2b⃗ =(0,8)，∴b⃗ =12[a⃗−(a⃗−2b⃗ )]=(1,−2)，∴a⃗⋅b⃗ =2−8=−6．设a⃗，b⃗ 夹角，又a⃗⋅b⃗ =|a⃗|⋅|b⃗ |⋅cosθ=2√5⋅√5⋅cosθ=10cosθ，∴10cosθ=−6，∴cosθ=−35，故选：B．由题意利用两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式，求得a⃗，b⃗ 夹角的余弦值．本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式的应用，属于基础题．5.若sinα>sinβ>0，则下列不等式中一定成立的()A. sin2α>sin2βB. sin2α<sin2βC. cos2α>cos2βD. cos2α<cos2β【答案】D【解析】解：∵cos2α=1−2sin2α，cos2β=1−2sin2β，∵sinα>sinβ>0，∴sin2α>sin2β>0，−2sin2α<−2sin2β，则1−2sin2α<1−2sin2β，即cos2α<cos2β，故选：D．利用二倍角公式，结合不等式的性质进行判断即可．本题主要考查不等式大小的半径，结合二倍角公式进行化简是解决本题的关键．6.刘徽是我因魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心O，圆O的半径为2，现随机向圆O内段放a粒豆子，其中有b粒豆子落在正十二边形内(a,b∈N∗,b<a)，则圆固率的近似值为()A. ba B. abC. 3abD. 3ba【答案】C【解析】解：由几何概型中的面积型可得：S正十二边形S圆=ba，所以12×12×2×2×sin3004π=ba，即π=3a b，故选：C ．由正十二边形的面积与圆的面积公式，结合几何概型中的面积型得：S 正十二边形S 圆=ba ，所以12×12×2×2×sin3004π=ba ，即π=3a b，得解本题考查了正十二边形的面积及几何概型中的面积型，属中档题7. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，则直线CE 与D 1F所成角的大小为( )A. π6B. π4C. π3D. π2【答案】D【解析】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 国，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中棱长为2，则C(0,2，0)，E(2,1，0)，D 1(0,0，2)，F(1,2，0)， CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,0)，D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2，−2)， 设直线CE 与D 1F 所成角的大小为θ，则cosθ=|CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CE ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=0， ∴θ=π2．∴直线CE 与D 1F 所成角的大小为π2．故选：D ．以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 国，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CE 与D 1F 所成角的大小．本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．8. 如图，一高为H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h 时，水流出所用时间为t ，则函数ℎ=f(t)的图象大致是( )A.B.C.D.【答案】B【解析】解：函数ℎ=f(t)是关于t 的减函数，故排除C ，D ，则一开始，h 随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h 随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B ， 故选：B ．根据时间和h 的对应关系分别进行排除即可．本题主要考查函数与图象的应用，结合函数的变化规律是解决本题的关键．9. 函数f(x)=sin(x +π12)+sin(x +5π12)最大值是( )A. 2B. 32C. √3D. 2√3【答案】C【解析】解：∵sin(x +5π12)=sin(π2+x −π12)=cos(x −π12)，∴f(x)=sin(x +π12)+cos(x −π12) =sinxcosπ12+cosxsinπ12+cosxcosπ12+sinxsin π12=(sinπ12+cos π12)sinx +(sinπ12+cos π12)cosx ，∵sin π12+cos π12=√2sin(π12+π4)=√2sin π3=√62． ∴f(x)=√62sinx +√62cosx =√3sin(x +π4). ∴f(x)的最大值为√3．故选：C ．根据诱导公式和两角和的正弦公式化简f(x)即可得出结论． 本题考查了三角恒等变换，三角函数的最值，属于中档题．10. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为( )A.13π2B. 7πC.15π2D. 8π【答案】B【解析】解：由题意可知：几何体是一个圆柱与一个14的球的组合体，球的半径为：1，圆柱的高为2，可得：该几何体的表面积为：14×4π×12+2×π×12+2π×2=7π．故选：B ．画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解表面积即可．本题考查三视图求解几何体的表面积，可知转化思想以及计算能力．11. 已知F 为抛物线C ：y 2=6x 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且|AF|=3|BF|，则|AB|=( ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B【解析】解：抛物线y 2=6x 的焦点坐标为(32,0)，准线方程为x =−32 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则∵|AF|=3|BF|，∴x 1+32=3(x 2+32)，∴x 1=3x 2+3 ∵|y 1|=3|y 2|，∴x 1=9x 2，∴x 1=92，x 2=12， ∴|AB|=(x 1+22)+(x 2+32)=8．故选：B ．根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义即条件，求出A ，B 的中点横坐标，即可求出线段AB 的长度..本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离是关键．12. 已知函数f(x)=e |x|−ax 2，对任意x 1<0，x 2<0，都有(x 2−x 1)(f(x 2)−f(x 1))<0，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,e2]B. (−∞,−e2]C. [0,e2]D. [−e2,0]【答案】A【解析】解：由题意可知函数f(x)是(−∞,0)上的单调递减函数， 且当x <0时，f(x)=e −x −ax 2,f′(x)=−1e x−2ax =−2axe x +1e x≤0，据此可得：2axe x +1≥0，即a ≤−12xe x 恒成立， 令g(x)=xe x (x <0)，则，据此可得函数g(x)在区间(−∞,−1)上单调递减，在区间(−1,0)上单调递增，函数g(x)的最小值为g(−1)=−1e ，则(−12xe x )min =e2，据此可得：实数a 的取值范围是(−∞,e2]．故选：A ．由题意将原问题转化为函数单调性的问题，利用导函数的符号结合题意确定实数a 的取值范围即可．本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的最值，恒成立问题的处理方法等知识，属于中等题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)=x 3+alog 3x ，若f(2)=6，则f(12)=______． 【答案】178【解析】解：函数f(x)=x 3+alog 3x ，若f(2)=6， 则f(2)=8+alog 32=6，变形可得alog 32=−2， 则f(12)=(12)3+alog 312=18−alog 32=178；故答案为：178．根据题意，由f(2)的值分析可得f(2)=8+alog 32=6，变形可得alog 32=−2，则有则f(12)=(12)3+alog 312=18−alog 32，代入计算可得答案．本题考查函数值的计算，关键是求出函数的解析式，属于基础题．14. 已知以点(1.2)为圆心的圆C 与直线x +2y =0相切，则圆C 的方程为______． 【答案】(x −1)2+(y −2)2=5【解析】解：根据题意，设圆C 的半径为r ，以点(1.2)为圆心的圆C 与直线x +2y =0相切，则有r =√1+4=√5，则圆C 的方程为(x −1)2+(y −2)2=5； 故答案为：(x −1)2+(y −2)2=5．根据题意，设圆C 的半径为r ，由直线与圆的位置关系可得r =|1+2×2|√1+4=√5，结合圆的标准方程分析可得答案．本题考查直线与圆相切的性质，注意直线与圆相切的判定方法，属于基础题．15. 已知关于x ，y 的不等式组{2x −y +1≥0x +m ≤0y +2≥0，表示的平面区域内存在点P(x 0,y 0)，满足x 0−2y 0=2，则m 的取值范围是______． 【答案】(−∞,43]【解析】解：作出x ，y 的不等式组{2x −y +1≥0x +m ≤0y +2≥0对应的平面如图：交点C 的坐标为(−m,−2)， 直线x −2y =2的斜率为12，斜截式方程为y =12x −1，要使平面区域内存在点P(x 0,y 0)满足x 0−2y 0=2， 则点C(−m,−2)必在直线x −2y =2的下方，即−2≤−12m −1，解得m ≤2，并且A 在直线的上方；A(−m,1−2m)， 可得1−2m ≥−12m −1，解得m ≤43， 故m 的取值范围是：(−∞,43]. 故答案为：(−∞,43].作出不等式组对应的平面区域，要使平面区域内存在点点P(x 0,y 0)满足x 0−2y 0=2，则平面区域内必存在一个C 点在直线x −2y =2的下方，A 在直线是上方，由图象可得m 的取值范围．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强．16. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b =2，c =3，C =2B ，则△ABC的面积为______． 【答案】15√716【解析】解：∵b =2，c =3，C =2B ，∴由正弦定理bsinB =csinC ，可得：2sinB =3sinC ，可得：2sinB =3sin2B =32sinBcosB ， ∴可得：cosB =34，可得：sinB =2B =√74，∴可得：sinC =sin2B =2sinBcosB =3√78，cosC =cos2B =2cos 2B −1=18，∴sinA =sin(B +C)=sinBcosC +cosBsinC =√74×18+34×3√78=5√716， ∴S =12bcsinA =12×2×3×5√716=15√716．故答案为：15√716． 由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式可求cosB 的值，根据同角三角函数基本关系式可求sinB 的值，利用二倍角公式可求sinC ，cosC 的值，根据两角和的正弦函数公式可求sinA 的值，即可利用三角形的面积公式计算得解．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知{a n }是等差数列，且lga 1=0，lga 4=1．(1)求数列{a n }的通项公式(2)若a 1，a k ，a 6是等比数列{b n }的前3项，求k 的值及数列{a n +b n }的前n 项和． 【答案】解：(1)数列{a n }是等差数列，设公差为d ，且lga 1=0，lga 4=1． 则：{a 1=1a 1+3d =10，解得：d =3所以：a n =1+3(n −1)=3n −2．(2)若a 1，a k ，a 6是等比数列{b n }的前3项，则：a k 2=a 1⋅a 6，整理得：a k =3k −2， 解得：k =2；所以：等比数列{b n }的公比为q =4． 所以：b n =4n−1．则a n +b n =3n −2+4n−1，故：S n =(1+1)+(4+41)+⋯+(3n −2+4n−1)， =n(3n−1)2+4n −14−1，=32n 2−12n +13(4n −1)．【解析】(1)直接利用已知条件求出数列的通项公式．(2)利用等比数列求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组求和的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18. 如图，在三棱锥A −BCD 中，△ABC 是等边三角形，∠BAD =∠BCD =90∘，点P 是 AC 的中点，连接BP ，DP(1)证明：平面ACD ⊥平面BDP ；(2)若BD =√6，cos∠BPD =−√33，求三棱锥A −BCD 的体积．【答案】解：(1)证明：如图所示，因为△ABC 是等边三角形，∠BAD =∠BCD =90∘， 所以Rt △ABD≌Rt △BCD ，可得AD =CD ，又因为点P 是AC 的中点，则PD ⊥AC ，PB ⊥AC ， 又PD ∩PB =P ，PD ⊂平面PBD ，PB ⊂平面PBD ， 所以平面ACD ⊥平面BDP ；(2)设AB =a ，在Rt △ABD 中，BD =√6，则AD =√BD 2−AB 2=√6−a 2； 在等边△ABC 中，BP =√32AB =√32a ，在等腰△ACD 中，DP =√AD 2−AP 2=√6−a 2−(12a)2=√6−54a 2；在△BPD 中，由cos∠BPD =−√33，得sin∠BPD =√63；由余弦定理得BD 2=BP 2+DP 2−2⋅BP ⋅cos∠BPD ，即6=34a 2+6−54a 2−2×√32a ×√6−54a 2×(−√33)，解得a =2；所以△BPD 的面积为S =12⋅BP ⋅DP ⋅sin∠BPD =√22，所以三棱锥A −BCD 的体积为V =13⋅AC ⋅S △BPD =13×2×√22=√23．【解析】(1)证明PD⊥AC，PB⊥AC，得出AC⊥平面PBD，从而证明平面ACD⊥平面BDP；(2)利用直角三角形以及余弦定理求出AB的值，计算△BPD的面积和AC的值，即可求得三棱锥A−BCD的体积．本题考查了平面与平面垂直的判定问题，也考查了空间想象能力和逻辑思维能力，以及三棱锥体积的计算问题，是中档题．19.某网络平台从购买该平台某课程的客户中，随机抽取了100位客户的数据，并将这间的中点值作代表，结果保留小数点后两位)；(2)从这100位客户中，对购买该课程学时数在20以下的女性客户按照分层抽样的方式随机抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求这2人购买的学时数都不低于15的概率．(3)将购买该课程达到25学时及以上者视为“十分爱好该课程者”，25学时以下者视，为“非十分爱好该课程者”.请根据已知条件完成以下2×2列联表，并判断是附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d数的平均值为x−=160(7.5×18+12.5×12+17.5×9+22.5×9+27.5×6+32.5×4+37.5×2)≈16.92；所以估计男性客户购买该课程学时数的平均值为16.92．(2)设“所抽取的2人购买的学时数都不低于15为事件A，依题意按照分层抽样的方式分別在学时数为[5,10)，[l0,15)，[15,20)的女性客户中抽取1人(设为a)，2人(设为A，B)4人，(设为c1，c2，c3，c4)，从7人中随机抽取2人所包含的基木事件为：aA，aB，ac1，ac2，ac3，ac4，AB，Ac1，Ac2，Ac3，Ac4，Bc1，Bc2，Bc3，Bc4，c1c2，c1c3，c1c4，c2c3，c2c4，c3c4，共21种，其中事件A所包含的基本事件为：c1c2，c1c3，c1c4，c2c3，c2c4，c3c4，共6个，则事件A发生的概率P=621=27．则K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100(48×24−16×12)264×36×60×40≈16.667>10.828．故有99.9%6的把握认为“十分爱好该课程者”与性別有关． 【解析】(1)根据平均数的公式进行计算即可．(2)利用分层抽样的方法，利用列举法结合古典概型的概率公式进行计算即可． (3)完成2×2列联表，计算K 2的值，利用独立性检验的性质进行判断即可．本题主要考查古典概型的概率计算，以及独立性检验的应用，利用列举法是解决本题的关键.考查学生的计算能力．20. 已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个焦点为F(1,0)，点P(23,2√63)在C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：y =x +m 与椭圆C 相交于A ，B 两点，问y 轴上是否存在点M ，使得△ABM 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形？若在在，求点M 的坐标：若不存在，说明理由．【答案】解：(1)由题意可得c =1，点P(23,2√63)在C 上，∴49a 2+83b 2=1，又a 2=b 2+c 2=b 2+1， 解得a 2=4，b 2=3， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1，(2)假设y 轴上存在点M(0,t)，△ABM 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，线段AB 的中点为N(x 0,y 0)， 由{x 24+y 23=1y =x +m ，消去y 可得7x 2+8mx +4m 2−12=0， △=64m 2−28(4m 2−12)=16(21−3m 2)>0，解得m 2<7， ∴x 1+x 2=−8m 7，x 1x 2=4m 2−127，∴x 0=−x 1+x 22=−4m 7，y 0=x 0+m =3m 7，∴N(−4m 7,3m7)，依题意有AM ⊥BM ，MN ⊥l ， 由MN ⊥l ，可得t−3m 70−(−4m7)×1=−1，可得t =−m7， 由AM ⊥BM 可得y 1−t x 1⋅y 2−t x 2=−1，∵y 1=x 1+m ，y 2=x 2+m ，代入上式化简可得2x 1x 2+2(m −t)(x 1+x 2)+(m −t)2=0， 则2(4m 2−12)7−(8m 7)2+(8m 7)2=0，解得m =±√3，当m =√3时，点M(0,−√37)满足题意，当m =−√3时，点M(0,√37)满足题意 【解析】(1)先求出c 的值，再根据49a 2+83b 2=1，又a 2=b 2+c 2=b 2+1，即可得到椭圆的方程，(2)假设y 轴上存在点M(0,t)，△ABM 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，线段AB 的中点为N(x 0,y 0)，根据韦达定理求出点N 的坐标，再根据AM ⊥BM ，MN ⊥l ，即可求出m 的值，可得点M 的坐标本题考查了椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系，斜率公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题21. 已知函数f(x)=e x−1+a ，g(x)=lnx ，其中a >−2．(1)讨论函数y =f(x)与y =g(x)的图象的交点个数；(2)若函数y =f(x)与y =g(x)的图象无交点，设直线y =t 与的数y =f(x)和y =g(x)的图象分别交于点P ，Q.证明：|PQ|>a +1．【答案】解：(1)函数y =f(x)与y =g(x)的图象交点个数即方程e x−1+a =lnx 根的个数，设F(x)=e x−1+a −lnx ，x >0．则F ′(x)=e x−1−1x 在(0,+∞)上单调递增，且F’(1)=0．当x ∈(0,1)时，F’(x)<F’(1)=0，则F(x)在(0,1)上单调递减；当x ∈(1,+∞)时，，则F(x)在(1,+∞)上单调递增．所以，当x =1时，F(x)min =F(1)=l +a ．当a +1>0，即a >−1时，函数F(x)无零点，即函数y =f(x)与y =g(x)的图象无交点； 当a =−1时，函数F(x)有一个零点，即函数y =f(x)与y =g(x)的图象有一个交点；当−2<a <−1时，F(e a )=e e a −1>0.又F(1)=1+a <0．F(3)=e 2+a −ln3>e 2−2−ln3>e 2−4>0，所以F(x)=e x−1+a −lnx 在(e a ,1)和(1,3)上分别有一个零点．所以，当−2<a <−1时，F(x)有两个零点，即函数y =f(x)与y =g(x)的图象有两个交点．综上所述：当a >−1时，函数y =f(x)与y =g(x)的图象的交点个数为0；当a =−1时，函数y =f(x)与y =g(x)的图象的交点个数为1；当−2<a <−1时，函数y =f(x)与y =g(x)的图象的交点个数为2．(2)由(1)可知，当函数y =f(x)与y =g(x)的图象无交点时，a >−1．设P(m,t)，Q(n,t)，由得m =1+In(t −a)，由ln =t 得n =e t ，|PQ|=|n −m|=|e t −ln(t −a)−1|．设ℎ(t)=e t −ln(t −a)−1，先证明不等式e t ≥1+t ，再证明t −In(t −a)≥a +1，t ∈(a,+∞)．设p(t)=e t −1−t.则p’(t)=e t −1．当t ∈(0,+∞)时，p’(t)=e t −1>0，p(t)=e t −1−t 在(0,+∞)上单调递增， 当t ∈(−∞,0)时，p’(t)=e t −1<0，p(t)=e t −1−t 在(−∞,0)上单调递减， 所以p(t)≥p(0)=0，即e ≥1+t ．设q(t)=t −ln(t −a)−a −1.则q ′(t)=1−1t−a =t−a−1t−a ．当t ∈(a,a +1)时，q’(t)<0，q(t)单调递减：当t ∈(a +1,+∞)时，q’(t)>0，q(t)单调递增．所以q(t)≥q(a +1)=0，即t −1n(t −a)≥a +1．所以ℎ(t)=e t −ln(t −a)−1≥1+t −ln(t −a)−1=t −ln(t −a)≥a +1． 因为t =a +1时，t −ln(t −a)≥a +1中等号成立，t =0时，e t ≥l +t 中等号成立， 而t =a +1>0，所以等号不能同时成立．所以ℎ(t)=e t −ln(t −a)−1>a +1．所以IPQl >a +1．【解析】(1)原问题等价于求解方程e x−1+a =lnx 根的个数，据此构造函数，分类讨论即可确定交点的个数；(2)由(1)可知，当函数y =f(x)与y =g(x)的图象无交点时，a >−1，据此构造函数证明题中的不等式即可．本题主要考查导数研究函数零点的个数，导数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{y =sin 2t x=cost (t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρ(sinθ−acosθ)=12(a ∈R)．(1)写出曲线C 1的普通方程和直线C 2的直角坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1有两个不同交点，求a 的取值范围．【答案】解：(1)曲线C 1的普通方程为y =1−x 2(−1≤x ≤1)，把x =ρcosθ，y =ρsinθ代入ρ(cosθ−asinθ)=12，得直线C 2的直角坐标方程为y −ax =12，即ax −y +12=0，(2)由直线C 2：ax −y +12=0，知C 2恒过点M(0,12)，由y =1−x 2(−1≤x ≤1)，当时，得x =±1，所以曲线C 1过点P(−1,0)，Q(1,0)，则直线MP 的斜率为k 1=0−12−1−0=12， 直线MQ 的斜率k 2=0−121−0=−12， 因为直线C 2的斜率为a ，且直线C 2与曲线C 1有两个不同的交点，所以k 2≤a ≤k 1，即−12≤a ≤12，所以a 的取值范围为[−12,12].【解析】(1)利用平方关系消去参数t 可得C 1的普通方程，利用x =ρcosθ，y =ρsinθ可得C 2的直角坐标方程；(2)根据直线的斜率可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23. 已知函数f(x)=|x +a|−|2x −1|．(1)当a =1时，求不等式f(x)>0的解集；(2)若a >0，不等式f(x)<1对x ∈R 都成立，求a 的取值范围．【答案】解：(1)函数f(x)=|x +1|−|2x −1|，f(x)>0即为|x +1|>|2x −1|，可得(x +1+2x −1)(x +1−2x +1)>0，即3x(x−2)<0，解得0<x<2，则原不等式的解集为(0,2)；(2)若a>0，不等式f(x)<1对x∈R都成立，即有1>f(x)max，由f(x)=|x+a|−|2x−1|=|x+a|−|x−12|−|x−12|≤|x+a−x+12|−0=|a+12|，可得f(x)的最大值为|a+12|=a+12，(a>0)，则a+12<1，解得0<a<12．【解析】(1)运用两边平方和平方差公式，可得不等式的解集；(2)由题意可得1>f(x)max，由绝对值不等式的性质可得f(x)的最大值，解不等式可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题的运用，考查运算能力，属于基础题．。
2019年广东省广州市上学期高三数学(文科)月考考试试卷参考答案
高考数学精品复习资料2019.5广州市高三年级调研测试数学(文科)试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．20xx －1－103．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．11．2 12 13．1 14． 15三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．(本小题满分12分)(本小题主要考查三角函数性质、同角三角函数的基本关系、二倍角公式等知识， 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力)(1)解：2f x x x ()sin sin π⎛⎫=-+⎪⎝⎭x x cos sin =+ ……………1分22x x sin cos ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭4x sin π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． ……………3分由22242k x k ,πππππ-+≤+≤+ ……………4分解得32244k x k k ,ππππ-+≤≤+∈Z ． ……………5分 ∴)(x f y =的单调递增区间是32244k k k [,],ππππ-++∈Z ． ……6分 (2)解：由(1)可知)4sin(2 )(π+=x x f ，∴43f ()sin παα-==，得13sin α=． ………8分∴)42(πα+f =22sin πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ……………9分2cos α= ……………10分()212sin α=- ……………11分9=． ……………12分 17．(本小题满分12分)(本小题主要考查茎叶图、样本均值、样本方差、概率等知识， 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识) (1)解：∵甲班学生的平均分是85，∴92968080857978857x +++++++=． ……………1分∴5x =． ……………2分∵乙班学生成绩的中位数是83， ∴3y =． ……………3分 (2)解：甲班7位学生成绩的方差为2s ()()()22222221675007117⎡⎤=-+-+-++++⎢⎥⎣⎦40=．……5分 (3)解：甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为,A B ， ………6分 乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为,,C D E ． ……………7分 从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：()()(),,,,,,A B A C A D()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,A E B C B D B E C D C E D E ． ……………9分其中甲班至少有一名学生共有7种情况：()()(),,,,,,A B A C A D()()()(),,,,,,,A E B C B D B E ． ……………11分记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事件M ，则()710P M =． 答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为710．……………12分 18．(本小题满分14分)(本小题主要考查空间线面位置关系、三视图、几何体的侧面积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)(1)证明：依题意，可知点P 在平面ABCD 上的正射影是线段CD 的中点E ， 连接PE ，则PE ⊥平面ABCD ． ……………2分 ∵AD ⊂平面ABCD ，∴AD PE ⊥． ……………3分∵AD CD ⊥，CDPE E CD ,=⊂平面PCD ，PE ⊂平面PCD ， ∴AD ⊥平面PCD ． ……………5分∵PC ⊂平面PCD ，∴AD PC ⊥． ……………6分(2)解：依题意，在等腰三角形PCD 中，3PC PD ==，2DE EC ==，在Rt △PED 中，PE ==7分过E 作EF AB ⊥，垂足为F ，连接PF ， ∵PE ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴AB PE ⊥． ……………8分∵EF ⊂平面PEF ，PE ⊂平面PEF ，EFPE E =，∴AB ⊥平面PEF ． ……………9分 ∵PF ⊂平面PEF ，∴AB PF ⊥． ……………10分依题意得2EF AD ==． ……………11分在Rt △PEF 中，3PF ==， ……………12分∴△PAB 的面积为162S AB PF ==． ∴四棱锥P ABCD -的侧面PAB 的面积为6． ……………14分19．(本小题满分14分)(本小题主要考查数列、数列求和等知识， 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)(1)解：∵}1{+n S 是公比为2的等比数列，∴11112)1(2)1(1--⋅+=⋅+=+n n n a S S ． ……………1分 ∴12)1(11-⋅+=-n n a S ．从而11122+=-=a S S a ，221233+=-=a S S a ． ……………3分 ∵2a 是1a 和3a 的等比中项∴)22()1(1121+⋅=+a a a ，解得=1a 1或11-=a ． ……………4分 当11-=a 时，11+S 0=，}1{+n S 不是等比数列， ……………5分 ∴=1a 1．∴12-=nn S ． ……………6分当2n ≥时，112--=-=n n n n S S a ． ……………7分 ∵11=a 符合12-=n n a ， ∴12-=n n a ． ……………8分(2)解：∵12n n na n -=，∴1211122322n n T n -=⨯+⨯+⨯++．① ……………9分 21231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++．② ……………10分①-②得2112222n n n T n --=++++- ……………11分12212n n n -=-- ……………12分 =()121n n --． ……………13分∴()121n n T n =-+． ……………14分20．(本小题满分14分)(本小题主要考查二次函数、函数的性质、方程的根等知识， 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识)(1)解法1：∵()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是()05,，∴可设()()5fx ax x =-，0a >． ……………1分∴25f x ax a /()=-． ……………2分∵函数()fx 在点()()11f ,处的切线与直线610x y ++=平行，∴()16f /=-． ……………3分∴256a a -=-，解得2a =． ……………4分 ∴()()225210fx x x x x =-=-． ……………5分解法2：设()2f x ax bx c =++，∵不等式()0fx <的解集是()05,，∴方程20ax bx c ++=的两根为05,．∴02550c a b ,=+=． ① ……………2分∵2f x ax b /()=+．又函数()fx 在点()()11f ,处的切线与直线610x y ++=平行，∴()16f /=-．∴26a b +=-． ② ……………3分由①②，解得2a =，10b =-． ……………4分 ∴()2210fx x x =-． ……………5分(2)解：由(1)知， 方程()370f x x+=等价于方程32210370x x -+=．………6分设()h x=3221037x x -+，则()()26202310h xx x x x /=-=-． ……………7分当1003x ,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x /<， 函数()h x 在1003,⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减； ………8分 当103x ,⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0h x />， 函数()h x 在103,⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增．… 9分 ∵()()1013100450327h h h ,,⎛⎫=>=-<=>⎪⎝⎭， ………12分 ∴方程()0h x=在区间1033,⎛⎫ ⎪⎝⎭，1043,⎛⎫⎪⎝⎭内分别有唯一实数根，在区间()03,,()4,+∞内没有实数根． ……………13分∴存在唯一的自然数3t =，使得方程()370fx x+=在区间()1t t ,+内有且只有两个不等的实数根． ……………14分21．(本小题满分14分)(本小题主要考查求曲线的轨迹方程、直线、椭圆、抛物线等知识， 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)(1)解法1：抛物线22:4C y x =的焦点F 的坐标为()1,0，准线为1x =-，设点P 的坐标为()00,x y ，依据抛物线的定义， 由53PF =，得01x +53=，解得023x =．……………1分 ∵ 点P 在抛物线2C 上，且在第一象限，∴ 2002443y x ==⨯，解得03y =．∴点P 的坐标为23⎛ ⎝⎭． ……………2分∵点P 在椭圆22122:1x y C a b +=上， ∴2248193a b+=． ……………3分又1c =，且22221a b c b =+=+， ……………4分 解得224,3a b ==．∴椭圆1C 的方程为22143x y +=． ……………5分 解法2：抛物线22:4C y x =的焦点F 的坐标为()1,0，设点P 的坐标为()00x y ,，0000x y ,>>． ∵53PF =，∴()22002519x y -+=． ① ……………1分 ∵点P 在抛物线22:4C y x =上，∴2004y x =． ②解①②得023x =，0y =．∴点P 的坐标为23⎛⎝⎭． ……………2分 ∵点P 在椭圆22122:1x y C a b +=上， ∴2248193a b+=． ……………3分又1c =，且22221a b c b =+=+， ……………4分 解得224,3a b ==．∴椭圆1C 的方程为22143x y +=． …………… 5分 (2)解法1：设点M ()11,x y 、()22,N x y 、(),R x y ， 则()()()11221,,1,,1,FM x y FN x y FR x y =-=-=-． ∴()12122,FM FN x x y y +=+-+． ∵ FM FN FR +=，∴121221,x x x y y y +-=-+=． ① ……………6分∵M 、N 在椭圆1C 上， ∴222211221, 1.4343x y x y +=+= 上面两式相减得()()()()12121212043x x x x y y y y +-+-+=．②把①式代入②式得()()()12121043x x x y y y +--+=．当12x x ≠时，得()1212314x y y x x y+-=--． ③ ……………7分 设FR 的中点为Q ，则Q 的坐标为1,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭． ∵M 、N 、Q 、A 四点共线，∴MNAQ k k =，即121221312yy y y x x x x -==+-++． ④ ……………8分 把④式代入③式，得()3134x y x y+=-+， 化简得()2243430y x x +++=． ……………9分 当12x x =时，可得点R 的坐标为()3,0-，经检验，点()3,0R -在曲线()2243430y x x +++=上．∴动点R 的轨迹方程为()2243430y x x +++=． ……………10分 解法2：当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为()1y k x =+，由()221143y k x x y ,,⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()22223484120k x k x k +++-=． 设点M ()11,x y 、()22,N x y 、(),R x y ，则2122834k x x k+=-+，()()()1212122611234ky y k x k x k x x k+=+++=++=+．…6分 ∵()()()11221,,1,,1,FM x y FN x y FR x y =-=-=-． ∴()12122,FM FN x x y y +=+-+． ∵ FM FN FR +=，∴121221,x x x y y y +-=-+=．∴21228134k x x x k +=+=-+， ①2634ky k=+． ② ……………7分 ①÷②得()314x k y+=-， ③ ……………8分把③代入②化简得()2243430y x x +++=．(*) ……………9分 当直线MN 的斜率不存在时，设直线MN 的方程为1x =-， 依题意，可得点R 的坐标为()3,0-，经检验，点()3,0R -在曲线()2243430y x x +++=上．∴动点R 的轨迹方程为()2243430y x x +++=． ……………10分 (3)解： 由(2)知点R ()x y ,的坐标满足()2243430y x x +++=， 即()224343y x x =-++， 由20y≥，得()23430x x -++≥，解得31x -≤≤-． ………11分∵圆()2211x y -+=的圆心为()10F ,，半径1r =，∴RF ==12=． ……………12分∴当3x =-时，4RF max=， ……………13分 此时，415RT max =+=． ……………14分。
广东省2019届广州市高中毕业班综合测试(一)文科数学试题(解析版)
．
故选： A． 由题意将原问题转化为函数单调性的问题， 值范围即可． 本题主要考查导函数研究函数的单调性， 法等知识，属于中等题．
故选： D．
利用二倍角公式，结合不等式的性质进行判断即可．
本题主要考查不等式大小的半径，结合二倍角公式进行化简是解决本题的关键．
6. 刘徽是我因魏晋时期的数学家，在其撰写的 《 九章算术注 》 中首创 “割圆术 ”，所谓 “割圆术 ”，是用圆内接正多边形的面积 去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，如图所示，圆 内接正十二边形的中心为圆心 O，圆 O 的半径为 2，现随机 向圆 O 内段放 a 粒豆子，其中有 b 粒豆子落在正十二边形内 ，则圆固率的近似值为
12. 已知函数
，对任意
，则实数 a 的取值范围是
A.
B.
【答案】 A
【解析】 解：由题意可知函数
是
且当
时，
，
，都有
C.
D.
上的单调递减函数， ，
据此可得： 令 减，在区间
，即 ，则 上单调递增，函数
恒成立， ，据此可得函数 的最小值为
在区间 ，则
上单调递 ，
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据此可得：实数 a 的取值范围是
则双曲线的离心率为
．
故选： C．
求得双曲线的渐近线方程，由题意可得
，再由离心率公式，计算可得所求值．
本题考查双曲线的方程和性质， 主要是渐近线方程和离心率的求法， 考查方程思想和运
算能力，属于基础题．
4. ， 为平面向量，己知
，
，则 ， 夹角的余弦值等于
A.
B.
C.
D.
【答案】 B
【解析】 解：己知
2019届广州市高三调研测试文科答案.pdf
其中 p 2 ．动圆圆心 C 的轨迹 E 的方程为 y2 4x ．
……………………………3 分
解法 2：设动圆圆心 C x, y ，依题意： x 12 y 2 x 1 . ……………………………2 分
化简得： y2 4x ，即为动圆圆心 C 的轨迹 E 的方程． ……………………………3 分
故 x 1 ，即 a 1 时， h x x x ln x 取最大值 1，故 m 1．
……………………12 分
22．解：（1） 依题意，直线 l1 的直角坐标方程为 y
3 3
x
，
l2
的直角坐标方程为
y
3x ．
……………………………………………………………2 分
由 =2 3 cos 2sin 得 2 =2 3 cos 2 sin ，
因为 2 x2 y2 , cos x, sin y ， …………………………………………………3 分
所以 (x 3)2 ( y 1)2 4 ， …………………………………………………………………4 分
数学（文科）试题参考答案及评分标准 第 5 页 共 6 页
所以曲线
C
的参数方程为
单调递减；
当
x (x0, )
时，
g(x)
0
，
f
'(x)
x 1(xe x x
a)
0
，
f
(x)
单调递增；
故 x x0 时， f (x) 取得最小值，即 m f x0 x0e x0 a ln x0 x0 , …………………………8 分
由 x0ex0 a 0 得 m x0ex0 a ln x0ex0 a a ln a ，
∴ a1 1 ，
2019届广州市高三年级调研测试(文科数学)试题(含评分标准)
2019 届广州市高三年级调研测试文科数学2018．12本试卷共 5 页，23 小题，满分 150 分。
考试用时 120 分钟。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1. 设集合2{|(1)1},{|11}P x x Q x x =-<=-<<，则P Q ⋂=( )A.(1,2)-B. (1,0)-C. (1,2)D. (0,1)2. 若复数z 满足(1)12i z i +=+，则||z =（ ）B.32D.123. 下列函数中，既是奇函数，又在2π（0，）上单调递增的是（ ）A.2sin xy x =- B.12()2xxy =- C.sin y x x =-D.cos y x x =-4. 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2015 年 1 月至 2017 年 12 月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误．．的是（ ） A. 年接待游客量逐年增加B. 各年的月接待游客量高峰期在 8 月C. 2015 年 1 月至 12 月月接待游客量的中位数为 30 万人D. 各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳5. 《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”. 现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为( )C.D.C.D.24π6. 已知ABC ∆的边BC 上有一点满足4BD DC =，则AD 可表示为（ ）A.1344AD AB AC =+B. 3144AD AB AC =+C. 4155AD AB AC =+D., 1455AD AB AC =+7. 已知双曲线C P 在C 上，则C 的方程为（ ）A.22142x y -=B.221714x y -=C.22124x y -=D.221147y y -= 8. 由2sin(6)6y x π=-的图象向左平移3π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，所得图象对应的函数解析式为（ ）A.2sin(3)6y x π-＝ B.2sin(3)6y x π=+C.2sin(3)12y x π=-D.2sin(12)6y x π=-9. 3a =是直线230ax y a ++=和3(1)7x a y a +-=-平行的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10. 若实数,x y 满足不等式组(1)(25)002x y x y x --+-≥⎧⎨≤≤⎩，则2z x y =-的取值范围是（ ）A.[5,3]-B.[5,1]-C.[1,3]D.[5,5]- 11.已知ABC ∆的内角,,A B C的对边分别是,,a b c，且若222sin sin sin sin sin cos cos A B C A Bc a B b A+-=+，4a b +=，则c 的取值范围为（ ）A.(0,4)B.[24)，C.[1,4)D.(2,4]12. 已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的长轴是短轴的2倍，过右焦点F 且斜率为(0)k k >的直线与Γ相交于A ，B 两点。
2019年广东省广州市高考数学二模(文科)试题和参考答案
图1俯视图侧视图正视图试卷类型：A2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）2018．4本试卷共4页，21小题， 满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式： 锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 等于A ．2-iB ．2iC ．2-D ．2 2．已知集合{}}{20,1,2,3,0A B x x x ==-=，则集合AB 的子集个数为A ．2B ．4C ．6D ．8 3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x > C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤ D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤4. 下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是 A．y =．21y x =-+ C ．cos y x = D ．1y x =+5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3， 将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是 A ．16 B ．13 C ．12 D ．386．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为A ．12πB ．6πC ．4πD ．2π7．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，公差0d ≠， 若113132,24k S a a =+=，则正整数k 的值为 A ．9 B ．10 C ．11 D ．128．在△ABC 中，60ABC ︒∠=，1AB =，3BC =， 则sin BAC ∠的值为AB．14 D．149．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为AB．13 D ． 1610．将正偶数2,4,6,8,按表1的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253表1二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．不等式()()120x x +-<的解集为 .12. 已知四边形ABCD 是边长为3的正方形，若2,2DE EC CF FB ==，则AE AF ⋅的值 为 .13．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 .（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t=-⎧⎨=⎩为参数)与圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且12AE EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则△AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R .(1) 求函数()f x 的最小正周期和值域； （2）若0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()12f θ=，求sin 2θ的值. 17．（本小题满分12分）某校高三年级一次数学考试之后,为了解学生的数学学习情况, 随机抽取n 名学生的数 学成绩, 制成表2所示的频率分布表.H FED C BA(1) 求a ，b ，n 的值;(2) 若从第三, 四, 五组中用分层抽样方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2 名与张老师面谈，求第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率.表2 18．（本小题满分14分）如图2，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ， 1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =H 是BC 的中点. （1）求证：FH ∥平面BDE ； （2）求证：AB ⊥平面BCF ； （3）求五面体ABCDEF 的体积.图2 19．（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S 2(,n pn q p q =++∈R )，且235,,a a a 成等比数列. （1）求,p q 的值；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20．（本小题满分14分）已知函数()2ln f x x x ax =++，a ∈R .（1）若函数()f x 在其定义域上为增函数，求a 的取值范围； （2）当1a =时，函数()()1f xg x x x =-+在区间[),t +∞(t ∈N *)上存在极值，求t 的最大 值.( 参考数值: 自然对数的底数e ≈2.71828) 21．（本小题满分14分）已知点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上，直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与抛物线E相交于,B C 两点，直线,AB AC 分别交直线2:1l y =-于点,S T . （1）求a 的值；（2）若ST =，求直线1l 的方程；（3）试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若 不是，说明理由.2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．11．()1,2- 12．9 13．4 141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（1）解：∵()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴ 函数()f x 的最小正周期为2π. ……………2分∵x ∈R ，[]cos 1,14x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， ……………3分4x π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭. ……………4分∴ 函数()f x 的值域为⎡⎣. ……………5分 （2）解法1：∵()12f θ=，142πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………6分∴cos 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………7分 ∴ sin 2cos 22πθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭……………9分212cos 4πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ……………11分212=-⨯⎝⎭34=. ……………12分解法2：∵()12f θ=，M O H F E D C B A142πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………6分1cos cos sin sin 442ππθθ⎫-=⎪⎭. ……………7分∴1cos sin 2θθ-=. ……………8分两边平方得221cos 2cos sin sin 4θθθθ-+=. ……………10分∴ 3sin 24θ=. ……………12分17．（本小题满分12分）(1) 解：依题意，得5200.05,0.35,a b n n n===， 解得，100n =，35a =，0.2b =. ……………3分(2) 解：因为第三、四、五组共有60名学生，用分层抽样方法抽取6名学生，则第三、四、五组分别抽取306360⨯=名，206260⨯=名，106160⨯=名. …………6分 第三组的3名学生记为123,,a a a ，第四组的2名学生记为12,b b ，第五组的1名学生记为1c ，则从6名学生中随机抽取2名，共有15种不同取法，具体如下：{}12,a a ，{}13,a a ，{}11,a b ，{}12,a b ，{}11,a c ，{}23,a a ，{}21,a b ，{}22,a b ，{}21,a c ，{}31,a b ，{}32,a b ，{}31,a c ，{}12,b b ，{}11,b c ，{}21,b c . ……………8分其中第三组的3名学生123,,a a a 没有一名学生被抽取的情况共有3种，具体如下：{}12,b b ，{}11,b c ，{}21,b c . ……………10分故第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率为310.815-=. ……………12分 18．（本小题满分14分）（1）证明：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点，连接,OH EO ， ∵H 是BC 的中点，∴OH ∥AB ，112OH AB ==. ……………1分 ∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =， ∴EF ∥AB . ……………2分 ∵1EF =，∴OH ∥EF ，OH EF =.∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，EO =FH . ……………3分∵EO ⊂平面BDE ，FH ⊄平面BDE ，∴FH ∥平面BDE . ……………4分 （2）证法1：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==， 由（1）知，EF ∥MB ，且EF =MB ， ∴四边形EMBF 是平行四边形.∴EM ∥FB ，EM FB =. ……………5分在Rt△BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB =∴EM =……………6分 在△AME中，AE =1AM =，EM =O HFE D C BA ∴2223AM EM AE +==.∴AM EM ⊥. ……………7分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………8分 ∵FB BC B =，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………9分 证法2：在Rt △BFC 中，H 为BC 的中点，∴112FH BC ==. 在△AEO 中，112AE AO AC EO FH =====, ∴222AO EO AE +=.∴AO EO ⊥. ……………5分 ∵FH ∥EO,∴AO FH ⊥. ……………6分∵,FH BC BC ⊥⊂平面ABCD , AO ⊂平面ABCD , AOBC C =,∴FH ⊥平面ABCD .∵AB ⊂平面ABCD ,∴FH ⊥AB . ……………7分 ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………8分 ∵BC ⊂平面BCF , FH ⊂平面BCF , BC FH H =,∴AB ⊥平面BCF . (9)分 （3）解：连接EC ，在Rt△BFC 中，112FH BC ==， ∴1EO FH ==.由（2）知AB ⊥平面BCF ，且EF ∥AB ，∴EF ⊥平面BCF . ……………10分 ∵FH ⊥平面ABCD , EO ∥FH ，∴EO ⊥平面ABCD . ……………11分 ∴四棱锥E ABCD -的体积为113ABCD V EO S =⋅⋅正方形2141233=⨯⨯=. ………12分 ∴三棱锥E BCF -的体积为213BCF V EF S =⋅⋅∆21111323=⨯⨯⨯=. ………13分∴五面体ABCDEF 的体积为1253V V V =+=. ……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当1n =时，111a S p q ==++， ……………1分 当2n ≥时，1n n n a S S -=- ……………2分 ()()221121n pn q n p n q n p ⎡⎤=++--+-+=-+⎣⎦. ………3分∵{}n a 是等差数列，∴1211p q p ++=⨯-+，得0q =. ……………4分 又2353,5,9a p a p a p =+=+=+， ……………5分 ∵235,,a a a 成等比数列，∴2325a a a =，即()()()2539p p p +=++， ……………6分解得1p =-. ……………7分 解法2：设等差数列{}n a 的公差为d ，则()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭. ……………1分 ∵2n S n pn q =++，∴12d =，12da p -=，0q =. ……………4分∴2d =，11p a =-，0q =. ∵235,,a a a 成等比数列，∴2325a a a =， ……………5分即()()()2111428a a a +=++.解得10a =. ……………6分 ∴1p =-. ……………7分 （2）解法1：由（1）得22n a n =-. ……………8分 ∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅，①……………10分()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅，② ……………11分①-②得0121344444n nn T n --=++++-⋅14414n nn -=-⋅-()13413n n -⋅-=.……………13分∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 解法2：由（1）得22n a n =-. ……………8分∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅.……………10分由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠-， ……………11分两边对x 取导数得，012123n x x x nx -++++=()()12111n n nx n x x +-++-. …………12分 令4x =，得()()0122114243414431419n n nn n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦. ∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：函数()f x 的定义域为()0,+∞, ……………1分∵()2ln f x x x ax =++， ∴()12f x x a x'=++. ……………2分 ∵ 函数()f x 在()0,+∞上单调递增， ∴ ()0f x '≥, 即120x a x++≥对()0,x ∈+∞都成立. ……………3分 ∴ 12a x x -≤+对()0,x ∈+∞都成立. ……………4分 当0x >时, 12x x +≥=当且仅当12x x=,即2x =时,取等号.……………5分∴a -≤即a ≥- ∴a的取值范围为)⎡-+∞⎣. ……………6分解法2：函数()f x 的定义域为()0,+∞, ……………1分∵()2ln f x x x ax =++， ∴()21212x ax f x x a x x++'=++=.……………2分方程2210x ax ++=的判别式28a ∆=-. ……………3分① 当0∆≤,即a -≤, 2210x ax ++≥,此时, ()0f x '≥对()0,x ∈+∞都成立,故函数()f x 在定义域()0,+∞上是增函数. ……………4分 ② 当0∆>,即a <-或a >时, 要使函数()f x 在定义域()0,+∞上为增函数, 只需2210x ax ++≥对()0,x ∈+∞都成立.设()221h x x ax =++, 则()010,0,4h a ⎧=>⎪⎨-<⎪⎩得0a >.故a >. ……………5分综合①②得a的取值范围为)⎡-+∞⎣. ……………6分（2）解：当1a =时, ()()2ln ln 111f x x x x xg x x x x x x ++=-=-=+++. ()()211ln 1x x g x x +-'=+. ……………7分 ∵ 函数()g x 在[),t +∞(t ∈N *)上存在极值，∴ 方程()0g x '=在[),t +∞(t ∈N *)上有解,即方程11ln 0x x +-=在[),t +∞(t ∈N *)上有解. ……………8分 令()11ln x x x ϕ=+-()0x >, 由于0x >, 则()2110x x xϕ'=--<,∴函数()x ϕ在()0,+∞上单调递减. ……………9分∵()413ln 3ln33ϕ=-=4e 2741 2.5ln 0327>>, ……………10分()514ln 4ln44ϕ=-=5e 256513ln 04256<<, ……………11分 ∴函数()x ϕ的零点()03,4x ∈. ……………12分∵方程()0x ϕ=在[),t +∞(t ∈ N *)上有解, t ∈N *∴3t ≤. ……………13分∵t ∈N *，∴t 的最大值为3. ……………14分 21．（本小题满分14分） （1）解：∵点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上， ∴4a =. ……………1分第（2）、（3）问提供以下两种解法：解法1：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意，2211224,4x y x y ==，由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,22x k ==±. ∴12124,4x x k x x +==-. ……………2分直线AB 的斜率2111111124224AB x y x k x x --+===--， 故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………3分令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………4分 同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x xx x x x k k---===+++. ……………6分∵ST =，∴12x x -=.由()221212124x x x x x x -=+-，得22201616k k =+，解得2k =, 或2k =-, …………… 7分 ∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. ……………9分（3）设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=-⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………10分而2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x k k k +-+-==， ……………11分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. 展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………12分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………13分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 解法2：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ……………2分由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=， 即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-.∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………3分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-， 则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………4分 ∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………5分 又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--，化简得122kk k =. ……………6分 ()12121222222k k ST k k k k -⎛⎫⎛⎫=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ……………7分∵ST = ∴()12122k k k k -=.∴()()2212125k k k k -=.由()()()2221212121212454k k k k k k k k k k +=-+=+，专业资料word 完美格式 得()225124k k k +=+， 解得2k =±. ……………8分 ∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. …………… 9分（3）设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………10分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………11分 整理得，()224410x x y k+-++=. ……………12分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-.……………13分 ∴ 以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-.……………14分。
2019届广州市高三年级调研测试(文科数学)答案
所以 OG DC 且 OG 1 DC 1，……………1 分 2
因为 EF AB ， AB DC ， EF 1 ， 所以 EF OG 且 EF OG ，……………………2 分
所以四边形 OGFE 是平行四边形，所以 FG OE ， 又 FG 平面 BED ， OE 平面 BED ，
由余弦定理可得 cos ADE 2 3
所以 sin ADE
5
， …………………10 分
3
数学（文科）试题参考答案及评分标准
第3页共6页
因此 AH AD sin ADE
5
，
3
……………………………………………………11 分
所以点 F 到平面 BED 的距离为 5 ． 6
…………………………………………………12 分
x 1(xe x x
a)
0
，
f
(x)
单调递增；
故 x x0 时， f (x) 取得最小值，即 m f x0 x0e x0 a ln x0 x0 , …………………………8 分
由 x0ex0 a 0 得 m x0ex0 a ln x0ex0 a a ln a ，
………………………3 分
所以 FG 平面 BED ．
……………………………4 分
（2）证明：在 ABD 中， AD 1 ， AB 2 ， BAD 60 ，
由余弦定理得 BD 12 22 2 1 2 1 3 ， 2
数学（文科）试题参考答案及评分标准
…………………………5 分 第2页共6页
……………………………………2 分
∴ a1 1 ，
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2019年广州市高三年级调研测试-数学（文科）A
年高三年级调研测试
数学（文科）
.1
本试卷共4 页，共21 题，满分150 分。
考试用时120 分钟。
注意事项：
1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上， 并用2B 铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4. 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5. 考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{1,2,3A =，{2,4,6}B =，
则图中的阴影部分表示的集合为 A ．{}2 B ．{}4,6 C ．{}1,3,5 D ．{}4,6,7,8 2．函数(
)f x =
A ．1,2
⎛⎤
-∞ ⎥⎝
⎦
B ．1,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭ C ． (],2-∞ D ． [)2,+∞
3．圆心为()0,4，且过点()3,0的圆的方程为
A ．()2
2425x y +-= B ．()2
2
425x y ++= C ．()2
2425x y -+= D ．()2
2
425x y ++=
4．某校为了了解高三学生的身体状况，抽取了100名女生的体重.将所得的数据整理后，画出了如图的频率分布直方图，则所抽取的女生中体重在45~50kg 的人数是 A ．10 B ．30 C ．50 D ．60
5．命题“,x x e x ∀∈>R ”的否定是
A ．,x x e x ∃∈<R
B ．,x x e x ∀∈<R
C ．,x x e x ∀∈≤R
D ．,x x e x ∃∈≤R
6．下列函数()f x 中，满足“对任意1x ，2x ∈（-∞，0），当1x <2x 时，都有
1()f x <2()f x ”的函数是
A ．()1f x x =-+
B ．2()1f x x =-
C ．()2x f x =
D ．()()ln f x x =- 7．已知等差数列}{n a 中，73a =，则数列}{n a 的前13项之和为
A ．239
B ．39
C ．2
117 D ．117
8．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是
A ．16
B ．13
C ．1
2 D
．2
9．已知函数()cos 2()2f x x x π⎛
⎫=+∈ ⎪⎝⎭
R ，下面结论错误．．
的是 A ．函数)(x f 的最小正周期为π B ．函数)(x f 是奇函数 C ．函数)(x f 的图象关于直线4x π=对称 D ．函数)(x f 在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是减函数
10．已知数列：1213214321
,,,,,,,,,,...,1121231234
依它的前10项的规律，这个数列的第项
2010a 满足
A ．20101010a <<
B ．
20101
110
a ≤< C ．2010110a ≤≤ D ． 201010a >
二、填空题： 本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）
11．复数
5
2i
-（i 是虚数单位）的模等于 ． 12．如图所示的程序框图，若输入5n =，则输出的n 值为 ．
主视图
侧视图
俯视图
13．已知两个不同的平面
α、β和两条不重合的直线m 、n ，给出下列四个命题：
①若//,m n m α⊥，则n α⊥； ②若,,m m αβαβ⊥⊥则；
③若,//,,m m n n αβαβ⊥⊂⊥则； ④若//,,//m n m n αα⊂则．
其中正确命题的序号是 ．（写出所有正确命题的序号）
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（《几何证明选讲》选做题）
如图，在△ABC 中，60A ∠=，70ACB ∠=，CF 是△ABC 的 边AB 上的高，FP BC ⊥于点P ，FQ AC ⊥于点Q ，则CQP ∠的
大小为 ．
15．（《坐标系与参数方程》选做题）
以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为cos sin 20ρθρθ-+=，则它与曲线
s i n
c o s 1s i n 2x y ααα=+⎧⎨
=+⎩
（α为参数）的交点的直角坐标是 ．
三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）
设向量(3,OA =，(cos ,sin )OB θθ=，其中02
π
θ≤≤．
（1）若13AB =tan θ的值； （2）求△AOB 面积的最大值．
17．（本小题满分12分）
已知向量()1,2=-a ，(),x y =b ．
（1）若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，
3，4，5，6）先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足1=-a b 的概率； （2）若,x y ∈[]1,6，求满足0>a b 的概率．
18．（本小题满分14分）
如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，
E 是CD 的 中点．
（1）求证：1
AC 平面1AD E ；
（2）在对角线1AC 上是否存在点
P ，使得DP ⊥平面1AD E ？ 若存在，求出CP 的长；若不存在，请说明理由．
19．（本小题满分14分）
已知两点(1,0M -、(1,0)N ，点P 为坐标平面内的动点，满足
||||MN NP MN MP
⋅=． （1）求动点P 的轨迹方程；
（2）若点(),4A t 是动点P 的轨迹上的一点，(,0)K m 是x 轴上的一动点，试讨论直线AK 与圆22(2)4x y +-=的位置关系．
20．（本小题满分14分）
设n S 为数列}{
n a 的前n 项和，对任意的∈n N *
，都有()1n n S m ma =+-m (为常
数，且0)m >．
（1）求证：数列}{
n a 是等比数列；
（2）设数列}{
n a 的公比()m f q =，数列{}n b 满足()1112,n n b a b f b -== (2n ≥，
∈n N *)，求数列{}n b 的通项公式；
（3）在满足（2）的条件下，求数列12n n b +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T ．
21．（本小题满分14分）
已知a ∈R ，函数()()2
f x x
x a =-．
（1）若函数()x f 在区间20,3⎛⎫ ⎪⎝
⎭
内是减函数，求实数a 的取值范围；
（2）求函数()f x 在区间[]1,2上的最小值()h a ；
（3）对（2）中的()h a ，若关于a 的方程()12h a m a ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
有两个不相等的实数解，求实数m 的取
A
B
C D E 1
A A
1B
1
C A
1
D A
值范围．。