第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法优秀课件

求解能力。
• 非线性求解技术的先进性与稳健性已经成为衡量一个结构分析程序优 劣的标准。
非线性问题的有限元求解方法
非线性问题有限元控制方程： K(q)qP
• 非线性方程(组)的求解方法
– 直接迭代法 – Newton-Raphson迭代法 – 修正的Newton-Raphson迭代法
• 非线性问题通常采用增量法求解（追踪加载过 程中应力和变形的演变历史。）
第四章弹塑性有限元法基本理 论与模拟方法
4.1 非线性问题及分类 • 在分析线性弹性问题时，假定：
– 应力应变线性关系 – 结构位移很小（变形远小于物体的几何尺寸）
– 加载时边界条件的性质不变 Kq P
如果不满足上述条件之一，就称为非线性问题
• 非线性结构的基本特征：变化的结构刚度
K(q)qP
非线性问题可以分为三类：
修正的N-R迭代 xk 1xkF (x0) 1F (xk)
f1 f1
x
1
x2
f2 f2
F (x k
)
x
1
x2
f
n
fn
x1 x 2
f1
xn
f2
xn
fn
x n x x k
非线性问题的增量法求解过程
(1) 将总的外力载荷分为一系列载荷段 (2) 在每一载荷段中进行迭代，直至收敛 (3) 所有载荷段循环，并将结果进行累加
s0
p e ln(1nom)E
p
nom nom
F A0 L L0
nom
F A
nom (1 nom )
ln
L L0
ln (1 nom )
s0 p
单调加载
s0
p
s s(p)
理想弹塑性
硬化塑性
反向加载
s ( p )
s0
2 s0
r1
运动硬化
s1
r1
混合硬化
s1
问题:
当材料处于后继弹性状态而继续加载时，应力（或变形） 发展到什么程度材料再一次开始屈服呢？
把复杂应力状态下，确定材料后继弹性状态的界限的 准则就称为后继屈服条件，又称为加载条件。
一般应力状态下弹塑性材料行为
• 屈服准则（初始屈服条件） • 硬化法则
（后继屈服函数、加载函数、加载曲面） • 流动法则 • 加载、卸载准则
屈服准则（初始屈服条件）
• 在单向受力情况下，当应力达到材料的屈服强度时材料 开始产生塑性变形。
q (k 1)
(3) 所有载荷段循环，并将结果进行累加
4.2 材料非线性问题及分类
• 概念：由于材料的应力应变非线性关系引起的非 线性。
• 分类：
–不依赖时间的弹、塑性问题
• 非线性弹性——橡胶 • 弹塑性——冲压成形
–依赖于时间的粘（弹、塑）性问题
• 蠕变——载荷不变，变形随时间继续变化 • 松弛——变形不变，应力随时间衰减
各向同性硬化
s1
各向同性硬化:
s1 r1
运动硬化:
r1s12s0
混合硬化:
s1 r1
r1s12s0
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
在简单拉伸的情况下，当材料发生塑性变形后卸载， 此后再重新加载，则应力和应变的变化仍服从弹性关系， 直至应力到达卸载前曾经达到的最高应力点时，材料才再 次屈服（后继屈服）。
• 材料非线性：体系的非线性由材料的应力应变 关系的非线性引起。
– 如金属变形弹塑性行为、橡胶的超弹性行为等
• 几何非线性：结构的位移使体系的受力状态发 生了显著的变化。
– 如板壳的大挠度问题 ——平衡方程必须建立于变形后的状态
• 接触非线性：接触状态的变化所引起。
– 如金属成形、跌落试验、多零件装配体等
f2(x1,
x2,
fn(x1, x2,
, xn) 0 , xn) 0
, xn) 0
F(x)=0
x1
x
x2
,
xn
f1(x)
F(x)
f2(x),
fn(x)
0 00
0
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
直接迭代法 xg (x ) x k 1g (x k)
N-R迭代
xk 1xkF (xk) 1F (xk)
接触非线性例子
碰到障碍物的悬臂梁（端 部碰到障碍物时，梁端部 的边界条件发生了突然变 化，阻止了进一步的竖向 挠度。）
板料的冲压成形
• 随着有限元算法理论、计算机硬件和软件技术的进步及实际工业的需 求，CAE技术的应用逐步由线性模拟为主向非线性模拟为主快速发展。
– 1969年，第一个商业非线性有限元程序——Marc诞生。 – 目前几乎所有的商业有限元软件都具备较强的非线性问题的分析
– 每个增量步采用Newton-Raphson迭代法
非线性方程的迭代求解方法
f (x) 0
直接迭代法 xg(x) xk 1g(xk)
Newton-Raphson迭代 修正的N-R迭代
xk1
xk
f (xk ) f (xk )
xk1
xk
f (xk ) f (x0)
非线性方程组的迭代求解方法
f1(x1, x2,
非线性弹性材料行为
橡胶应力应变关系曲线
• 弹塑性材料进入塑性 的特征：载荷卸去后 存在不可恢复的永久 变形。
• 应力应变之间不是单 值对应关系，与加载 历史有关。
单轴应力状态下弹塑性材料行为
• 单轴（一维）应力状态下材料的应力应变行为 可以从拉伸试验中获得。
F
nom
som)
这个最高应力点的应力就是材料在经历了塑性变形后 的新的屈服应力。由于材料的强化特性，它比初始屈服应 力大。
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
➢为了与初始屈服应力相区别，我们称之为后继屈服应力。 ➢与初始屈服应力不同，它不是一个材料常数，而是依赖
于塑性变形的大小和历史。 ➢后继屈服应力是在简单拉伸下，材料在经历一定塑性变形
后再次加载时，变形是按弹性还是塑性规律变化的界限。
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
和简单应力状态相似，材料在复杂应力状态下同样存 在初始屈服和后继屈服的问题。
材料在复杂应力状态下，在经历初始屈服和发生塑性 变形后，此时卸载，将再次进入弹性状态（称为后继弹 性状态）。
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
(1) 将总的外力载荷分为一系列载荷段
K(q)qP
(2) 在每一载荷段中进行迭代，直至收敛
K(q)qP
P
( 1
k
)
K
T
(q
( 1
k
)
)
q
( 1
k
)
K(q)qP(k1) N-R迭代:
K T(qi(k)) qi(k) P i(k)
Pi(k) P(k1)Pi(k)
qi(k) qi( k1)qi(k)
q (k )