2018届高考数学一轮第8章平面解析几何第3讲圆的方程

第3讲 圆的方程

1．已知点A (1，－1)，B (－1，1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( )

A ．x 2＋y 2＝2

B ．x 2＋y 2

＝ 2

C ．x 2＋y 2＝1

D ．x 2＋y 2

＝4 解析：选A.AB 的中点坐标为(0，0)，

|AB |＝[1－（－1）]2＋（－1－1）2

＝22，

所以圆的方程为x 2＋y 2

＝2.

2．(2016·合肥质检)过坐标原点O 作单位圆x 2＋y 2

＝1的两条互相垂直的半径OA ，OB ，若

在该圆上存在一点C ，使得OC →＝aOA →＋bOB →

(a ，b ∈R )，则以下说法正确的是( ) A ．点P (a ，b )一定在单位圆内 B ．点P (a ，b )一定在单位圆上 C ．点P (a ，b )一定在单位圆外

D ．当且仅当ab ＝0时，点P (a ，b )在单位圆上

解析：选B.因为OC →2＝(aOA →＋bOB →)2，且OA →⊥OB →，所以a 2＋b 2

＋2abOA → ·OB →＝a 2＋b 2＝1，因此点P (a ，b )一定在单位圆上，故选B.

3．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )

A ．(x －2)2＋(y －1)2

＝1

B ．(x －2)2＋(y ＋1)2

＝1

C ．(x ＋2)2＋(y －1)2

＝1

D ．(x －3)2＋(y －1)2

＝1

解析：选A.由于圆心在第一象限且与x 轴相切，故设圆心为(a ，1)，a ＞0，又圆与直线4x

－3y ＝0相切，可得|4a －3|5

＝1，解得a ＝2，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2

＝1.

4．(2016·辽宁省五校联考)直线x －2y －2k ＝0与直线2x －3y －k ＝0的交点在圆x 2＋y 2

＝9的外部，则k 的取值范围为( )

A ．k ＜－35或k ＞35

B ．－35＜k ＜3

5

C ．－34＜k ＜34

D ．k ＜－34或k ＞34

解析：选A.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2k ＝0，2x －3y －k ＝0得交点坐标为(－4k ，－3k )．由题意知(－4k )2

＋(－

3k )2

＞9，解得k ＞35或k ＜－35

，故选A.

5．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1，0)且被x 轴分成两段弧长的比为1∶2，则圆C 的方程为( )

A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝43

B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2

＝13

C ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43

D ．x 2

＋⎝

⎛⎭⎪⎫y ±332＝13

解析：选C.由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2

3π，设圆心(0，a )，半

径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23

，即r 2

＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故

圆C 的方程为x 2

＋⎝

⎛

⎭⎪⎫y ±332＝43.

6．(2016·洛阳统考)若直线l ：ax ＋by ＋1＝0(a ≥0，b ≥0)始终平分圆M ：x 2＋y 2

＋4x ＋2y

＋1＝0的周长，则a 2＋b 2

－2a －2b ＋3的最小值为( ) A.45 B.95

C ．2 D.9

4

解析：选B.因为直线ax ＋by ＋1＝0始终平分圆x 2＋y 2

＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，所以圆心(－

2，－1)在直线ax ＋by ＋1＝0上，从而2a ＋b －1＝0.a 2＋b 2－2a －2b ＋3＝(a －1)2＋(b －1)

2

＋1，而(a －1)2＋(b －1)2

表示点(1，1)与直线2a ＋b －1＝0上任一点距离的平方，其最小

值d 2min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|2×1＋1×1－1|22＋12

2＝45

，所以a 2＋b 2

－2a －2b ＋3的最小值为45＋1＝95，故选B. 7．(2014·高考陕西卷)若圆C 的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________．

解析：圆C 的圆心为(0，1)，半径为1，标准方程为x 2＋(y －1)2

＝1.

答案：x 2＋(y －1)2

＝1

8．(2016·太原模拟)已知点P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，点C 是圆x 2＋y 2

－2x －2y ＋1＝0的圆心，那么|PC |的最小值是________． 解析：点C 到直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点P 的最小距离即为点C 到直线3x ＋4y ＋8＝0的距

离，而圆心C 的坐标是(1，1)，因此最小距离为|3×1＋4×1＋8|

5

＝3.

答案：3

9．已知圆x 2＋y 2

＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值范围是________．

解析：因为圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2

＝5－a ， 所以其圆心为(－1，2)，且5－a >0， 即a <5.

又圆关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，

所以2＝－2＋b ，所以b ＝4.所以a －b ＝a －4<1. 答案：(－∞，1)

10．已知圆C 过点(1，0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 截得的弦长为22，则圆的方程为________．

解析：由题意设圆心为(m ，0)(m ＞0)，则圆的半径r ＝|1－m |，圆心到直线l ：y ＝x －1的

距离d ＝|m －1|2，又直线l ：y ＝x －1被圆C 截得的弦长为22，所以2|1－m |2

－⎝ ⎛⎭⎪

⎫|m －1|22＝22，整理得|1－m |＝2，解得m ＝3(m ＝－1不符合题意，舍去)，则r ＝2，故圆的方程为

(x －3)2＋y 2

＝4.

答案：(x －3)2＋y 2

＝4

11．求适合下列条件的圆的方程．

(1)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)； (2)过三点A (1，12)，B (7，10)，C (－9，2)．

解：(1)法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2

，

则有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4a ，

（3－a ）2

＋（－2－b ）2

＝r 2

，|a ＋b －1|2＝r ，

解得a ＝1，b ＝－4，r ＝2 2.