截尾的极大似然估计
基于自适应逐次II型截尾样本下EIG分布的参数统计推断
基于自适应逐次II型截尾样本下EIG分布的参数统计推断作者：季丹丹闫在在来源：《赤峰学院学报·自然科学版》2019年第03期摘要：近几年，针对缺失数据的处理这方面的应用研究大量涌现，使得缺失数据下的可靠性理论迅速发展.而在可靠性试验和寿命试验中，截尾方案能在试验所花费的总时间、单元个数和基于试验结果的统计推断效率之间取得平衡.在这种情况下，一种自适应的截尾方案被提出来，并且被许多专家学者研究应用.因此本文讨论，基于自适应逐次II型截尾样本，提出了EIG分布的统计推断理论等问题.对于未知参数，提出了极大似然估计（MLEs）.利用MLEs的渐近正态性得到参数的近似置信区间.并运用一组真实数据进行模拟讨论.关键词：EIG分布；截尾数据；极大似然估计；自适应逐次II型截尾中图分类号：O212 文献标识码：A 文章编号：1673-260X（2019）03-0013-051 引言许多情形下，考虑到费用和时间的原因，寿命测试验通常在所有测试单元都失败前终止.这种情况下，人们只能得到部分样本的失效时间，这些数据即为截尾数据.在过去的50年里，一些专家学者已经在研究和讨论基于截尾样本的参数统计推断问题.最常见的截尾方案大体分两种，I型（定时）截尾和II型（定量）截尾.其中I型截尾表示寿命试验在规定的时间T内终止，II型截尾则表示寿命试验在第m次失效时终止，其中m是提前设定的.逐次II型截尾方案是II型截尾方案的推广形式，表示假设有n个单元置于寿命试验中，而只有m个失效单元被观测到.在观测到第一个失效单元时，在剩余的未失效单元中随机移除R1个单元.同样的，在观测到第二个失效时间时，R2个单元被随机移除.寿命试验将在m个失效单元都被观测到终止，最后将Rm=n-R1-R2-…-Rm-1个未失效单元全部移除.产生逐次型截尾样本数据的原因很多，如有些航空航天、核反应堆等零部件，其试验消耗成本过高，为节约时间和费用，通过检验后，人们通常会在未失效的产品中取出一部分作为他用.这样即节约了成本又知道了产品的特性.再如，对某些产品进行跟踪调查时，出于某些原因，使得一些使用者在某个时间后失联，因而我们对这批产品也就只掌握了部分数据.对于逐次截尾的广泛的回顾与讨论，读者们可以参考Aggarwala（1998）[1]、alakrishnan（2008）[2]、Fernandez（2004）[3]、Soliman （2008）[4]和Chansoo K和Keunhee H（2009）[5].2 自适应逐次II型截尾试验Ng et al.[7]提出一个自适应逐次II型截尾方案，它是I型截尾和II型逐次截尾的混合，既节约了试验成本，又增加了统计分析效率.6 结语本文介绍了截尾樣本的由来及种类，并由广义逐次II型截尾试验，引入并阐述了自适应逐次II型截尾试验的实施过程.由于截尾数据的广泛应用性，本文基于自适应逐次II型截尾样本，讨论了EIG分布所含参数的极大似然估计和近似置信区间，并运用真实例子模拟讨论.参考文献：〔1〕Aggarwala R.， Balakrishnan N.. Some properties of progressive censored order statistics from arbitrary and uniform distributions with applications to inference and simulation[J]. Statist. Plann. Inference， 1998，70（1）：35-49.〔2〕Balakrishnan N.， Anna Dembinska. Progressively Type-II right censored order statistics from discrete distributions[J]. Journal of Statistical Planning and Inference，2008，138（4）：845–856.〔3〕Fernandez A. J. On estimating exponential parameters with general type-II progressive censoring[J]. Journal of Statistical Planning and Inference， 2004，121（1）：135-147.〔4〕Soliman， Ahmed A. Estimations for pareto model using general progressive censored data and symmetric loss[J]. Communications in statistics-theory and methods， 2008，37（9）：1353-1370.〔5〕Chansoo K.， Keunhee H. Estimation of the scale parameter of the Rayleigh distribution under general progressive censoring[J]. Journal of the Korean Statistical Society， 2009，38（3）：239-246.〔6〕季丹丹.一种拓展的逆高斯分布的性质及应用[D].内蒙古：内蒙古工业大学，2017.〔7〕D. Kundu， A. Joarder， Analysis of Type-II progressively hybrid censored data[J]，Comput. Stat. Data Anal. 2006，（50） 2258–2509.〔8〕H.K.T. Ng， D. Kundu， P.S. Chan， Statistical analysis of exponential lifetimes under an adaptive Type-II progressive censoring scheme[J]， Naval Res. Logist.2009，（56） 687–698.〔9〕Rezapour M.， Alamatsaz M. H. On properties of progressively Type-II censored order statistics arising from dependent and non-identical random variables[J]. Statistical Methodology，2013，10（1）：58-71.〔10〕Mashail M. AL Sobhi， Ahmed A. Soliman. Estimation for the exponentiated Weibull model with adaptive Type-II progressive censored schemes[J]. Applied Mathematical Modelling，2016，40（2）：1180–1192.〔11〕Nassar M. Estimation of the inverse Weibull parameters under adaptive type-II progressive hybrid censoring scheme[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics，2017，315：228–239.〔12〕魏宗舒.概率論与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，2008.〔13〕N.Balakrishnan， Rita Aggarwala， Progressive Censoring Theory，methods and Applications[M]. Statistics for industry and technology， 1956.〔14〕Rezaei S， Tahmasbi R， Mahmoodi M. Estimation of P[Y < X] for generalized Pareto distribution [J]. J Statist Plan Inference. 2010，140：480-494.〔15〕Greene W H. Econometric Analysis： Fourth Edition [C]. Upper Saddle River， NJ. 2000.〔16〕Alan A. Categorical Data Analysis （2nd Ed.） [J]. Journal of the Royal Statistical Society， 2002， 40（4）.〔17〕Valiollahi R， Asgharzadeh A， Raqab MZ.Estimation of P[Y〔18〕Saracoglua B， Kinacia I， Kundu D. （2012） On estimation of R=P[Y〔19〕 Childs A， Chandrasekhar B， Balakrishnan N， Kundu D.Exact inference based on type-I and type-II hybrid censored samples from the exponential distribution[J]. Ann Inst Stat Math 2003，55：319-330.〔20〕Balakrishnan，Cramer，Kamps. Bounds for Means and Variances of Progressive Type II Censored Order Statistics[J]. Statist Probab. Lett.2001，54，301-315.〔21〕Balakrishnan，N.，Cramer，E.，Progressive censoring from heterogeneous distributions with applications to robustness[J]. Ann.Inst.Statist.Math.2008，60：151-171.〔22〕Guilbaud. Exact non-parametric confidence intervals for quantiles with progressive type-II censoring[J].Scand.J. Statist. 2001，28：699-713.〔23〕Guilbaud O.， Exact non-parametric confidence， prediction and tolerance intervals with progressive type-II censoring[J]. Scand. J.Statist.2004，31：265–281.〔24〕U Balasooriya， N Balakrishnan. Reliability sampling plans for lognormal distribution based on progressively censoredSamples[J]. IEEE Trans. Reliab. 2000，49：199–203.。
数理统计7：矩法估计（MM）、极大似然估计（MLE），定时截尾实验
数理统计7：矩法估计（MM）、极⼤似然估计（MLE），定时截尾实验在上⼀篇⽂章的最后，我们指出，参数估计是不可能穷尽讨论的，要想对各种各样的参数作出估计，就需要⼀定的参数估计⽅法。
今天我们将讨论常⽤的点估计⽅法：矩估计、极⼤似然估计，它们各有优劣，但都很重要。
由于本系列为我独⾃完成的，缺少审阅，如果有任何错误，欢迎在评论区中指出，谢谢！⽬录Part 1：矩法估计矩法估计的重点就在于“矩”字，我们知道矩是概率分布的⼀种数字特征，可以分为原点矩和中⼼矩两种。
对于随机变量X⽽⾔，其k阶原点矩和k阶中⼼矩为a_k=\mathbb{E}(X^k),\quad m_k=\mathbb{E}[X-\mathbb{E}(X)]^k,特别地，⼀阶原点矩就是随机变量的期望，⼆阶中⼼矩就是随机变量的⽅差，由于\mathbb{E}(X-\mathbb{E}(X))=0，所以我们不定义⼀阶中⼼矩。
实际⽣活中，我们不可能了解X的全貌，也就不可能通过积分来求X的矩，因⽽需要通过样本(X_1,\cdots,X_n)来估计总体矩。
⼀般地，由n个样本计算出的样本k阶原点矩和样本k阶中⼼矩分别是a_{n,k}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}X_j^k,\quad m_{n,k}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}(X_j-\bar X)^k.显然，它们都是统计量，因为给出样本之后它们都是可计算的。
形式上，样本矩是对总体矩中元素的直接替换后求平均，因此总是⽐较容易计算的。
容易验证，a_{n,k}是a_k的⽆偏估计，但m_{n,k}则不是。
特别地，a_{n,1}=\bar X，m_{n,2}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}(X_j-\bar X)^2=\frac{n-1}{n}S^2\xlongequal{def}S_n^2,⼀阶样本原点矩就是样本均值，⼆阶样本中⼼矩却不是样本⽅差，⽽需要经过⼀定的调整，这点务必注意。
极大似然估计方法
极大似然估计方法极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，MLE）方法是一种用于估计参数的统计方法，它基于观测到的样本数据，通过选择最大化观测数据出现的概率的参数值来估计未知参数。
极大似然估计是概率论和统计学中最重要的方法之一，广泛应用于各个领域的数据分析与建模中。
极大似然估计方法的核心思想是基于某一参数下观测数据出现的概率，选择使得这个概率最大的参数值。
具体而言，给定一个观测数据集合X，其来自于一个具有参数θ的概率分布，我们要估计未知参数θ的值。
极大似然估计的目标是找到一个参数值θ^，使得给定θ^条件下观测数据集合X出现的概率最大。
数学上，极大似然估计可以通过最大化似然函数来求解。
似然函数是一个参数的函数，表示给定某个参数θ下观测数据出现的概率。
似然函数的定义如下：L(θ|X) = P(X|θ)数的函数，表示给定某个参数θ下观测数据出现的概率。
极大似然估计的目标是寻找一个参数θ^，使得似然函数最大化，即：θ^ = arg max L(θ|X)为了方便计算，通常将似然函数转化为其对数形式，即对数似然函数：l(θ|X) = log L(θ|X)本文将主要介绍如何利用极大似然估计来估计参数。
具体而言，将分为两个部分：首先是介绍极大似然估计的理论基础，包括似然函数和对数似然函数的定义，以及如何通过最大化似然函数来估计参数；其次是通过一个实际的例子，展示如何使用极大似然估计来求解参数。
理论基础似然函数是极大似然估计的核心概念之一。
似然函数是一个参数的函数，表示给定某个参数θ下观测数据出现的概率。
似然函数的定义如下：L(θ|X) = P(X|θ)数的函数，表示给定某个参数θ下观测数据出现的概率。
似然函数的值越大，则表示给定参数θ的取值越可能产生观测数据X。
对数似然函数是似然函数的对数变换，通常在实际计算中会更加方便。
它的定义如下：l(θ|X) = log L(θ|X)对数似然函数和似然函数存在着一一对应关系，因此在求解参数时，两者等价。
定数截尾下 Burr Type XII 分布的统计推断
定数截尾下 Burr Type XII 分布的统计推断王雪琴;李凤;张福玲【摘要】基于定数截尾样本，讨论了Burr Type XII 分布的参数估计，得到了位置参数的极大似然估计和逆矩估计，并利用随机模拟进行比较，模拟结果表明逆矩估计优于极大似然估计。
%Based on the progressive Type II censored , the inverse moment is estimated and the maximum likelihood estimators ( MLE) for the Burr Type XII distribution are obtained .Finally, the two estimators are compared by using simulation , and the simula-tion results show that the proposed estimators outperform the MLE .【期刊名称】《西华大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)002【总页数】3页(P41-43)【关键词】Burr Type XII 分布;定数截尾;极大似然估计;逆矩估计【作者】王雪琴;李凤;张福玲【作者单位】渭南师范学院数学与信息科学学院，陕西渭南 714000;渭南师范学院数学与信息科学学院，陕西渭南 714000;渭南师范学院数学与信息科学学院，陕西渭南 714000【正文语种】中文【中图分类】O211.6;O212.1寿命数据的统计分析是对系统或部件的寿命特性作定量了解的一种重要手段。
通过寿命数据分析，确定寿命分布类型以及获得其参数的估计，或者得到寿命分布本身的估计,最终可以定量地把握系统或部件寿命的性状，并把所获的信息反馈到设计、制造和使用维修中去，以期改善可靠性、降低成本或合理安排维修和更换，使之获得更好的使用价值和经济效果。
定时截尾寿命实验与定数截尾实验下的最大似然估计法
长，由于时间和财力的限制，我们不可能得到完全样本，于是就考虑截尾寿命试验.
常用的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ种截尾寿命试验：
一种是定时截尾寿命试验。假设将随机抽取的 n 个产品在时间 t=0 时同时投入试
验，试验进行到事先规定的截尾时间 t0 停止.如试验截止时共有 m 个产品失效，它们
的失效时间分别为
0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ L ≤ tm ≤ t0 ,
应于样本 X 1 , X 2 ,L, X n 的一个样本值，则似然函数为
n
n
∏ L( p) =
n
p xi (1 −
p)1− xi
=
∑ xi p i=1 (1 −
∑ n− xi p) i=1 ,
i =1
n
n
∑ ∑ 于是 ln L( p) = xi ln p + (n − xi ) ln(1 − p) .
考虑函数
n
∏ f (xi ;θ ) dxi
i =1
n
∏ L(θ ) = L( x1, x2 ,L, xn ;θ ) = f (xi ;θ ) i =1
同样称 L(θ ) 为样本的似然函数.
最大似然估计法的方法:
固 定 样 本 观 察 值 x1, x2 ,L, xn ， 在 θ 取 值 的 可 能 范 围 内 Θ 挑 选 使 似 然 函 数
这一概率随θ 的取值而变化，它是θ 的函数，称 L(θ ) 为样本的似然函数.
随机截尾情形下几何分布的参数估计
随机截尾情形下几何分布的参数估计何朝兵;刘华文【摘要】得到了随机截尾情形下几何分布参数的最大似然估计和近似置信区间,并且求出了平均寿命极大似然估计的数学期望和方差.【期刊名称】《湘潭大学自然科学学报》【年(卷),期】2013(035)001【总页数】4页(P29-32)【关键词】随机截尾;几何分布;最大似然估计;置信区间;中心极限定理【作者】何朝兵;刘华文【作者单位】安阳师范学院数学与统计学院,河南安阳455000;山东大学数学学院,山东济南250100【正文语种】中文【中图分类】O213.2几何分布是一种很重要的离散型寿命分布,并且与指数分布有许多相似性,例如都具有无记忆性等.对几何分布的研究虽然没有指数分布那么成熟,但也有一些研究成果,可参看文献[1～10].文献[11～13]研究了随机截尾试验下连续型分布的参数估计,而对于几何分布情形还没有文献研究.本文得到了随机截尾试验下几何分布参数的最大似然估计和近似置信区间,并且求出了平均寿命极大似然估计的数学期望和方差.1 离散型寿命随机截尾试验模型设受试产品寿命X1,X2,…是相互独立、同分布且取正整数的随机变量序列,Xi的分布律为P(Xi=m)=P(m;p),i=1,2,…,这里p是参数.寿命截尾时间Y1,Y2,…是相互独立、取正整数的随机变量序列,Yi的分布律为P(Yi=m)=gi(m),i=1,2,…,gi(m)与参数p无关.假定Xi与Yi相互独立.现在有n个产品进行寿命试验.设观察到的数据为{Zi},i=1,2,…,n.每个Zi如下取值.(1) 当Xi≤Yi时,产品在截尾之前失效,此时知道产品寿命的确切值,故取Zi=Xi;(2) 当Xi>Yi时,产品寿命大于截尾时间,此时只知道截尾时间而不知道产品寿命,故取Zi=Yi.综上知Zi=Xi∧Yi=min(Xi,Yi).再取i=1,2,…,n.在试验结束时,可得到n组观察值:(m1,δ1),(m2,δ2),…,(mn,δn),这就是我们能获得的随机截尾试验数据.为求似然函数,先求Zi与δi的联合分布律.P(Zi=mi,δi=0) =P(Yi=mi,Xi≥mi+1)=P(Yi=mi)P(Xi≥(k;p),P(Zi=mi,δi=1)=P(Xi=mi,Yi≥mi)=P(Xi=mi)P(Yi≥mi)=P(mi;,故Li(p) =[P(mi;δi(k;p)]1-δi,mi=1,2,… ; δi=0,1.则似然函数,由于截尾时间分布中不含未知参数p,故若记,则.2 随机截尾情形下几何分布参数的极大似然估计当产品寿命Xi服从几何分布Geo(p)时,(Z1,δ1),(Z2,δ2),…,(Zn,δn)的联合分布律,即似然函数为,对上述似然函数求对数,令其导数为零可得p的极大似然估计为δi/,而平均寿命θ=1/p的极大似然估计为/δi.如果Yi服从几何分布Geo(p0),可以求出的数学期望与方差定理在随机截尾寿命试验中,若产品寿命服从几何分布Geo(p),截尾时间服从同一几何分布Geo(p0),产品平均寿命为θ=1/p,为θ的极大似然估计,则;,其中 , b=qq0 , ,q=1-p,q0=1-p0.证明此时,则似然函数,令 , b=qq0 , ,则.的数学期望为的数学期望为3 随机截尾情形下几何分布参数的区间估计假设产品寿命服从几何分布Geo(p),截尾时间服从同一几何分布Geo(p0),下面讨论p的区间估计.设δi,则N服从二项分布b(n,p1).若N=r,由文献[14]知p1的1-α置信区间为,,其中,,而Fα/2(2r+2,2n-2r)是F分布F(2r+2,2n-2r)的下α/2分位点.由,得,则p的1-α置信区间为,,其中,上面求置信区间时只用了(δ1,δ2,…,δn),而未用(Z1,Z2,…,Zn),下面我们利用(Z1,Z2,…,Zn)再求出一个置信区间,然后取它们的并集作为最后的置信区间,这样一来,样本的信息都用到了.由于Zi=Xi∧Yi=min(Xi,Yi)服从几何分布Geo(p2),p2=1-qq0,所以E(Zi)=1/p2,Var(Zi)=q2/.由中心极限定理知～AN(n/p2,nq2/,则≤,zα/2为标准正态分布的上α/2分位点.经过简单计算,得p2的1-α置信区间为[x1,x2],x1<x2,其中x1,x2是下面方程的根, .由p2=1-qq0,得,则p的1-α置信区间为,.设,,∪,,则P(p∈,≥1-α,所以,为p的1-α近似置信区间.参考文献[1] BHOJ D, ABSANULLAH M.Estimation of the generalized geometric distribution using ranked set sampling[J]. Biometrics,1996(52):685-694. [2] FERGUSON T S. A characterization of the geometric distribution[J].Amer Math Mothly,1972,27(2):256-260.[3] 徐晓岭,王蓉华,费鹤良.几何分布的统计特征[J].数学年刊A辑(中文版),1998,19(2):155-164.[4] 毛用才.基于顺序统计量的几何分布特征的进一步结果[J].纯粹数学与应用数学,1995,11(2):115-119.[5] 徐晓岭,费鹤良,王蓉华.几何分布的两个统计特征[J].应用概率统计,2006,22(1):10-20.[6] 杨振海,王松桂.几何分布的参数估计及应用[J].应用概率统计,1998,14(1)：31-37.[7] 吴绍敏,程细玉.几何分布恒加应力寿命试验下的混合数据分析[J].华侨大学学报,1997,18(1):6-10.[8] 徐晓岭,王蓉华,费鹤良.几何分布产品定数截尾场合下参数的点估计[J].强度与环境,2009,36(2):51-63.[9] 魏立力,张文修.几何分布的一类贝叶斯停止判决法则[J].应用数学学报,2003,26(3):181-185.[10] 刘银萍.截断情形下几何分布的参数估计[J].东北师大学报(自然科学版),2009,41(3):14-16.[11] 陈家鼎.随机截尾情形下Weibull分布参数的最大似然估计的相合性[J].应用概率统计,1989,5(3):226-233.[12] 杨纪龙,叶尔骅.带有不完全信息随机截尾试验下Weibull分布参数的MLE的相合性及渐近正态性[J].应用概率统计,2000,16(1):9-19.[13] 陈怡南,叶尔骅.带有不完全信息随机截尾试验下Weibull分布参数的MLE[J].数理统计与应用概率,1996,11(4):353-363.[14] 茆诗松,汤银才,王玲玲.可靠性统计[M].北京:高等教育出版社,2008:128.。
基于截尾数据对女性寿命的估计
第 １ 期
刘 小 锋 等 ： 基 于截 尾 数 据 对 女 性 寿 命 的估 计
４ ５
子 的概率 。Ｃ ：如 果 一个 女性 移居 ，则 Ｃ是她 的移 居 年龄 ，否 则 ｃ 妄∞，ｃ～Ｇ．Ａ：若一 个 女性 的丈夫 在她 生第 Ｊ Ｖ个孩 子 后死 亡 ，此 时女 性 的年龄 是 Ａ，否则 Ａ＝Ｏ ，则 Ａ拥 有 一个 未知 的分 布 函数 Ｄ，Ｄ 是 绝对连 ＿ｏ
ｍａ ｉ ｘ ｍｕｍ ｋ ｌｈ ｏｄｍｅ ｈ ｄ ｗａ ｓ ｄ ｔ ａ ｅｅ ｔｍａｅ ｈ ｋ ｏ ａ ａ ｔｒ ｎ ｔ ｅｍｏｄ １ ｌ ｅ ｉ ｏ ｔ ｏ ｓｕ ｅ ｈ ｖ ｓｉ ｔｄ ｔ ｅｕｎ ｎ ｗｎ ｐ ｒ ｍｅｅ ｓｉ ｈ ｉ ｏ ｅ．
许 多 国外统 计学 家 ，根据 英 国十七 、十八世 纪堂 区登记 册上 的数 据 ，用 不 同的方法 估计 了 当时人们 的
续 的 。Ａ １ ｃ表 示一 个 女性 的死 亡年 龄 是否 被 登记 。 ＝ ）
１ Ｍ≤ Ｔ人Ｃ） 示 一个 女性 的结婚年 龄 是否被 ｛ 表
登 记 。 Ｗ＝ ｛ Ⅳ≤ Ａ ≤ Ｃ＾Ｔ 】表 示 一 个 女 性 的 丈 夫 死 亡 时 她 的 年 龄 是 否 被 登 记 。 ＩＢ Ｎ ｍａ ｛ｔ Ｉ ＝ ｘ ｉ ： ≤ 人ＣＡＣｐ￣ ～个 女 性生 育孩 子的 个数 。ｃ 表 示 女性 更 年期 开始 的 年龄 ，并 假 定所有 ＞ Ｂ ｝ ｍ 女性 更年 期 开始 的年 龄 一样 。 ｙ ｍｉ｛ ，Ｙ ， ｖ － ｘ ｘ ） ＝ ｎｘ 】 ｍａ ｛ ，Ｙ ． ｙ 下面 是 关于 一个 女性 的观 察 值 ：
寿命 。登记册 上包括 所有 生活在 这个 堂区 的人 的出生 、结婚 、生 子 、孩子 或配 偶 的死 亡和 本人 死亡 的 日期 。
第5章 参数估计及点估计
第5章参数估计及点估计5.1考点归纳一、点估计1．矩估计法（1）定义设X为连续型随机变量，其概率密度为，或X为离散型随机变量，其分布律为，其中为待估参数，，，，是来自X的样本，假设总体X的前k阶矩或（X离散型）存在，其中，＝1，2，…，k．一般来说，它们是的函数，基于样本矩依概率收敛于相应的总体矩（＝1，2，，k），样本矩的连续函数依概率收敛于相应的总体矩的连续函数，我们就用样本矩作为相应的总体矩的估计量，而以样本矩的连续函数作为相应的总体矩的连续函数的估计量，这种估计方法称为矩估计法．（2）矩估计法的具体做法设这是一个包含k个未知参数的联立方程组，一般来说，可以从中解出，得到以分别代替上式中的，i＝1，2，…，k，就以，i＝1，2，…，k，分别作为，＝1，2，…，k的估计量，这种估计量称为矩估计量，矩估计量的观察值称为矩估计值．2．克拉默-拉奥（Cramer-Rao）不等式（1）克拉默一拉奥不等式克拉默一拉奥不等式设ξ1，ξ2，…，ξn为取自具有概率函数f（x；0），θ∈Θ={θ：a<0<b}的母体ξ的一个子样，a，b为已知常数，a可以取－∞，b可以取＋∞。
又η=u（ξ1，ξ2，…，ξn）是g（θ）的一个无偏估计，且满足正则条件：①集合{x：f（x；0）>0}与0无关；②与存在，且对一切θ∈Θ，；③令称为信息量，则等式成立的充要条件为存在一个不依赖于但可能依赖于θ的K，使得等式依概率1成立。
特别当g（θ）=θ时，上式可化为：称它为克拉默—拉奥不等式。
也称为信息不等式。
（2）重要性质及定义①性质：若则②定义a．若θ的一个无偏估计使克拉默一拉奥不等式中等式：成立，则称的有效估计。
b．若的一个无偏估计，且克拉默一拉奥不等式下界存在，则称下界与的比为估计的有效率，这里。
c．若当时，一个估计的有效率则称为参数的渐近有效估计。
3．拉奥-勃拉克维尔（Rao-Blackwell）定理（1）拉奥-勃拉克维尔定理设ξ与η是两个随机变量，且Eη＝μ，Dη＞0．设ξ＝x条件下叼的条件期望，则（2）相关定理设ξ1，ξ2，…，ξn是取自一个母体ξ的子样，ξ有概率函数，且是θ的一个充分统计量，不仅是η的函数，且Eη2＝θ，则是θ的充分统计量的函数，其均值＝0，方差。
例如设总体X的均值为方差o均未知...
第七章参数估计统计推断的基本问题可以分为两大类，一类是估计问题，另一类是假设检验问题．本章讨论总体参数的点估计和区间估计．§1 点估计设总体X的分布函数的形式为已知，但它的一个或多个参数为未知，借助于总体X的一个样本来估计总体未知参数的值的问题称为参数的点估计问题．例1 在某炸药制造厂，一天中发生着火现象的次数X是一个随机变量，假设它服从以>o为参数的泊松分布，参数为未知．现有以下的样本值，试估计参数．解由于X，故有＝E(X)．我们自然想到用样本均值来估计总体的均值E(X)．现由已知数据计算得到得E(X)＝的估计为1．22．口.176.点估计问题的一般提法如下：设总体X的分布函数的形式为已知，是待估参数．X，，X：，…，X。
是X的一个样本，是相应的一个样本值．点估计问题就是要构造一个适当的统计量()，用它的观察值（）作为未知参数的近似值．我们称()为的估计量，称()为的估计值．在不致混淆的情况下统称估计量和估计值为估计，并都简记为．由于估计量是样本的函数．因此对于不同的样本值，的估计值一般是不相同的。
例如在例1中，我们用样本均值来估计总体均值．即有估计量下面介绍两种常用的构造估计量的方法：矩估计法和最大似然估计法．(一)矩估计法设X为连续型随机变量，其概率密度为Zf(x；)，或X为离散型随机变量，其分布律为P{X＝x}＝p(x；)，其中为待估参数，是来自X的样本．假没总体X的前k阶矩(其中Rx是X可能取值的范围)存在．一般来说，它们是的函数．基于样本矩：○1多于一个未知参数时，可同样讨论．· 177·依概率收敛于相应的总体矩(i=l，2，…，k)，样本矩的连续函数依概率收敛于相应的总体矩的连续函数(见第六章§2)，我们就用样本矩作为相应的总体矩的估计量，而以样本矩的连续函数作为相应的总体矩的连续函数的估计量．这种估计方法称为矩估计法．矩估计法的具体做法如下：设这是一个包含是k未知参数的联立方程组．一般来说，可以从中解出，得到以Ai分别代替上式中的，i＝1，2，…，k，就以分别作为，i＝1，2，…，k的估计量，这种估计量称为矩估计量．矩估计量的观察值称为矩估计值．例2 设总体X在[a，b]上服从均匀分布，a，b未知．是来自X的样本，试求a，b的矩估计量．．178．·自这一方程组解得解所得结果表明，总体均值与方差的矩估计量的表达式不因不同的总体分布而异．(二)最大似然估计法若总体X属离散型，其分布律P{X．179．=x}=p(x; )，的形式为已知，为待估参数，是可能取值的范围．设是来自X的样本，则的联合分布律为又设是相应于样本的一个样本值．易知样本取到观察值的概率，亦即事件发生的概率为这一概率随的取值而变化，它是的函数。
逐步Ⅰ型混合截尾试验下Burr部件的可靠性分析
逐步 Ｉ 型混合截尾试验下 Ｂ ｕ ｒ ｒ 部件的可靠性分析
赵 娇。 师 义 民
（ 西北工业大学应用数学研究所， 西安 ７ １ ０ １ ２ ９ ）
摘 要： 在逐步 Ｉ 型混合截尾试 验下 ，研究 了 Ｂ ｕ ｒ ｒ 部件 寿命参 数及可靠性指标的极大似然估计 和 Ｂ ａ ｙ ｅ ｓ 估计 。
ａ ｌ ｇ ｏ ｉ ｒ ｔ ｈ ｍ．Ｆ ｉ ｎ ａ ｌ ｌ ｙ ， ｔ ｈ ｅ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｅ ｓ ｔ ｉ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｒｅ ａ ｃ ｏ ｍｐ ａ ｒ ｅ ｄ ｂ ｙ ｕ ｓ ｉ ｎ ｇ Ｍｏ ｎ ｔ ｅ－ Ｃａ ｒ ｌ ｏ ｓ ｉ ｍｕ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ．Ｉ ｔ ｉ ｓ
Ｚ ＨＡ０ Ｊ ｉ ａ ｏ ， Ｓ ＨＩ Ｙｉ — ｍｉ ｎ
（ Ａ ｐ ｐ ｌ ￣ ｄ Ｍ ａ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｉ ｃ ｓ Ｉ ｎ ｓ ｔ ｉ ｔ ｕ ｔ ｅ ， Ｎ ｏ ｒ ｔ ｈ ｗ ｅ ｓ ｔ ｅ ｒ ｎ Ｐ ｏ ￣ ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｃ ｉ ａ ｌ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ， Ｘ ｉ ’ 帆７ １ ０ １ ２ ９ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
两种截断和删失情形下截尾指数分布的参数估计
ｊ
Ｈ （ｅ ） ｅ 。 － Ａ一 一 ）３ １． ｉ
ｆ Ｉ ＝
删失情形 下 的参 数 估计 却 不 是那 么 简单 ，例 如在
文献 ［ ］ 中对定数截 断情形下 的离散 型分 布泊松 ２ 分布 的参 数估 计 问题 进 行 了 讨论 ，但 对 连 续 型分 布却没有 给出进一步 的结论 ． 本 文就是 讨 论在 定 数 截 断 和随 机 删 失这 两 种
进 一步 可得对数 似然 函数 为 ：
ｌ （） ＝ ∑ ｌ （ｅ ） ） ＝ ｎＡ Ｌ ｎ Ａ ｅ 卜 ］ ［
ｉ １ ：
主 １ —Ｙ１ ． ［ ８ Ａ（一 ｎ一 ｈ ｏ ］
对 Ａ求 偏 导 得 ： Ｙ（ ） ． ｏ １一 ］ ＝
ｉ ｌ ＝
情形 下截尾指 数分布 的参数估计 问题 ． １定数截 断情形下 的参数估计 设 Ｘ为非 负 随 机 变量 ， Ｘ 表示 服从 参 数 为 用
＋
２ １ 年第 １ ０１ 期
陆
安 ：两种截断 和删 失情形下截尾指数分布 的参数估计
‘３ ・ ５
设 Ｘ＝（
．， ）为观 测数 据所 组 成 的向量 ， －
霉． … 一Ａ擎 ０） ． ２ ： ｌ ｎ Ｌ （
：
由于种 种原 因 ， 者 没 有 观 测 到 ｘ， 观 测 到 了 Ｙ 笔 只
两种截断和删失情形下截尾指数分布的参数估计
陆 安
（ 安徽大 学数学科 学学院 安徽合肥
关键 词 ：截尾 指数 分布 定数 截 断 随机删 失
２０ ３ ） ３ ０ ９
Ｅ 算 法 Ｍ
极 大似然估 计
中图分类号：０２２１ 文献标识码： 文章编号：１７ ９４ ２ １）０ — ０４一 （３ １． Ａ ６４— ５５（０１ １ ０３ ０） 所 谓截 尾指 数 分 布 ，即指 服 从 指数 分 布 的随 机变量 均为 非负 的情 况．截 尾 指 数分 布 是 概 率统 计 中一种重 要 的分 布 ，也是 生 存 分 析 中最 重 要 的 参数模 型 之一 ．在 实 际应用 中 ，常 用 截 尾 指 数分
定时截尾应力加速寿命试验情形参数的修正最大似然估计
作者简介 ： 李立亚（９９一 ， ， 北恩施人 ， 师， １７ ） 男 湖 讲 硕士 ， 究方向为可靠性统计、 研 统计 决策。
＝５ ０； ０
［ ］Ｚｌ ｓｉ ， ｈ ｎｅ ｅ Ｗ， ａｉ ｄ ，ｔ１ Ｓｆｙ ｆ ｏ － ４ ａ ｗｋ Ｊ Ｅｒ ｂｒ ｒ Ｓｇｅ ｅａ ａ ｔｏＣｍ ｅ ｅ ｇ ｌｒ Ｆ ． ｅ
ｐ ｔ ｒＣ ｎ ｒｌＳ ｓｅ ： ｈ Ｕ ｎ ｅ ｎ ｓ ｌ ｏｔ ａ ｅ Ｄｅ ｄｏ － ｕ ｅ ｏ ｔｏ ｙ ｔｍｓ Ｃ ａ ｅ ｇ ｓ ａ ｄ Ｒｅ ｕ ｔ ｉ Ｓ ｆ ｒ ｖ ｐ ｓｎ ｗ
１ 引言
Ａ 产品在正常应力水平组合（５，５ 和加速应 ｓ ｓ ¨ ）
力水平组合（√ 下的寿命 都服从对数正态分布， ） 其 分布 函数为 ：
对数正态分布是重要的寿命分布之一。对于对数 正态分布已有很多文献 ［ 研究 了它 的估计 问题 ， １ 很 多都是关于完全样本和定数截尾样本 。但对于定时截 尾的样本 ， 研究还不 多见 。文献 ［ ］ 出的矩 型估计 ４提
ｕｂａｅ ｓｍ ｔ ｉｅ ， ｄｔｅｒｌｔ ｄ ｅ ｅｕｔｓｖ ｉ． ｎｉ ｄｅｔ ａｅ ｉ ｇ ｎ ａ ｅａ ｄｍｏｉ ｄｒｓｌｉ ａｄ ｓ ｉ ｄｓ ｖ ｎ ｈ ｅ ｉ ｆ ｌ
Ｋｅ ｒ ｓ ｙ ｅⅡ ｃ ｎ ｏｉｇ；ａ ｃ ｌｒ ｔｄ ｌ ｅ ｙ ｗｏ ｄ ：ｔｐ ｅｓｒ ｎ ｃ ｅｅａｅ ｉ ；ｍａｉ ｍ ｋ ｌ ｏ ｄ ｅｔ ｔｄ ｆ ｘｍｕ ｌ ｅ ｈ ｓ ｍａｅ ｉ ｉ ｉ
定时截尾和缺失数据下瑞利分布参数的估计与检验_芦凌飞李金玉
)
= - 2T02 e
n
2
n
d11 = E[α1δ1 - E(α1δ1)]2
2 - T0 σ
dx1 + T02 e
2
2 2 = E(α1 δ1 ) - [E(α1δ1)]2 = p - p2 (1 - 2e
2
2 - T0 σ 2
) ，
2 - T0 σ
= -T e
2 - T0 σ 2
证明: {αi δi 1 £ i £ n} 为独立同分布的随机变量序列，
n
L
其中
E(α1δ1) = E(α1)E(δ1) = pE(α1) = p[1 × p( X1 £ T ) - 1 × p( X1 > T )] = p[2F (T ) - 1] = p(1 - 2e
a.s. -T σ 即 1 å αi δi ® p(1 - 2e 0 ) n i=1 a.s. 2 2 同理 1 å αi2 δi2 ® E(α1 δ1 ) = p 。 n i=1 T 2 又 E(Z12) = x1 × 2σx1e 0
[2]Al-Omari, J. F.M.,Gourley,S.A. Stability and Traveling Fronts in Lot⁃ on Applied Mathematics, 2003, 63(6).
ka-Volterra Competition Models with Stage Structure[J].SIAM Journal
(责任编辑/易永生)
统计与决策２０1 4 年第 22 期·总第 418 期
27
理论新探
其中 σ > 0 为未知参数。 且截止观测时间为 对这个总体进行 n 次独立观测，
指数分布均值估计量的比较
Abstract: For two given exponential distribution populations, the comparison problem of the maximum likelihood estimation of the mean θi(i=1,2) is discussed based on the truncated samples. The timed censored samples and the censored samples are given respectively, and the sufficient conditions for the θi(i=1,2) maximum likelihood estimation to satisfy the random order are given. Finally, for the two-parameter exponential distribution, based on the successively ending samples, the sufficient conditions for the parameter maximum likelihood estimation to satisfy the random order are given and proved.
i 1 j 1
Rj 1
1,
i 2,3,....., m 1, 和 m。
当检测到第一个失效记为 X1 ， R1 是随机的从剩余的 n 1中抽取产品的个数。接下来，当第二个失效记为
第2节 基于截尾的参数估计
163,166,167,170,172. 试求电池的平均寿命估计.
解 定数截尾试验
n = 50, m = 15,
s(t15 ) = 115 + 119 + ⋅ ⋅ ⋅ + 172 + (50 − 15)× 172 = 8270
寿命分布是指数分布，概率密度
f
(t
)
=
⎪⎨⎧θ1
−t
eθ
,
t
>
0
⎪⎩0 ,t ≤ 0
下面估计θ ：
θ > 0 未知
一个产品在 (ti ,ti + dti ] 失效的概率近似为
f (t
)dt
=
1
e − ti θ
dt
i = 1, 2,⋅ ⋅ ⋅, m
i
θ i
i
∫ ti +dti f (t )dt ti
取似然函数：
θ θ L(
)=
−[t1 +t2 +⋅⋅⋅+tm +(n−m )tm ]
1θ e m
ln
L(θ
)
=
−m
lnθ
−
1
θ
[t1
+
t2
+
⋅⋅⋅
+
tm
+
(n
−
m)tm ]
令
d ln L(θ ) dθ
=
−
m
θ
+
1
θ2
[t1
+
t2
+
⋅⋅
⋅
+
定数截尾试验数据缺失的一些处理方法的探讨
定数截尾试验数据缺失的一些处理方法的探讨田霆【摘要】在电子产品定数截尾试验中,常会遇到数据缺失的问题.如何对“缺失数据”后的现有数据进行统计分析,是一个特殊的、有较大难度的问题.寻找在缺失数据条件下对不完全数据的处理进行科学、有效的可靠性分析方法,现已成为可靠性分析中一个新的、重要的领域.【期刊名称】《电子产品可靠性与环境试验》【年(卷),期】2014(032)003【总页数】3页(P11-13)【关键词】指数分布;定数截尾数据缺失;似然函数;Taylor展开;极大似然估计【作者】田霆【作者单位】华侨大学数学科学学院,福建泉州362021【正文语种】中文【中图分类】TB1140 引言在平时上课给工科学生讲解《概率论与数理统计》 [1] （浙江大学版第四章第二节）“基于截尾样本的最大似然估计”时，常常遇到学生提出在处理实际问题时，若遇到数据缺失问题，用常用的统计方法不能很好地解决，在实际应用中遇到此种问题该如何有效地处理。
这就需要探讨关于电子产品定数截尾试验中遇到的数据缺失的一些处理方法。
可靠性是产品寿命指标的总称，故产品的寿命指标又被称为产品的可靠性指标，它反映了一个产品在规定时间内和规定条件下，完成规定功能的能力。
现在从一个电子元器件、一台电视机到一台设备、一个系统都在研究可靠性指标。
随着科学技术的发展，产品的可靠性愈来愈受到人们的重视。
为了弄清被试产品的寿命，求出各项可靠性指标，研究产品的失效机理，以便对提高产品可靠性提出建议，常常需要进行寿命试验。
因为只有暴露故障才能了解产品的寿命和失效原因。
寿命试验按样品的失效情况又分为两类：a）完全寿命试验。
这种试验要进行到投试样品全部失效为止。
b）截尾寿命试验。
这种试验只是要求进行到投试样品中有部分失效就停止。
譬如有50%或70%投试样品失效就中止的试验就是截尾寿命试验。
截尾寿命试验又可分为两类：1）试验到事先规定的时间τ就停止的试验，这叫做定时截尾寿命试验（或称为Type-I截尾）；2）失效数达到规定的失效数r（＜n）就停止的试验，这叫做定数截尾试验（或称为Type-II截尾）。
关于随机截尾数据的进展
１ 的近似置信区间为：￣ｘ（ ￡手 ）ｊｘ（一 ） ， 一 ［ｅ 一。 ／ ，ｅ ￡孚 ｐ 一 ｃ ｐ 。／ ］ 并给出了 实例验证［ ． １ 引
在恒定加速寿命试验下， 基于随机截尾指数寿命数据的统计分析方法： 杨纪龙等¨ 给出了在恒定加速 寿命试验下 ， 借助简化非线性模型为近似线性模型， 求得了加速系数 ａ ｂ ， 的近似最／Ｚ 乘估计 （Ｓ ）并给 ｂ ． ＬＥ ，
Ｚ ｉ＝ｍｉ Ｘｉ ） ＝， ≤ ） ＝ １２ … ， ｎ（ ， ， （ ｉ ， ，，
对 于该模型 ， 最早的研究可以追溯到 ２ 世纪的 ５ ０ ０年代 ， ａｌ Ｋ ｐａ ｎ—Ｍ ｉ 给出了 Ｆ 和 Ｇ ） ｅｒ ｅ （ ；） （ 经
典非参数极大似然估计 ， 而后来的 Ｂｅｌ Ｎ ，ｒ ｌ．． 和 Ｇｌ Ｒ 发展 了此结果． ｒ ｏ ．Ｃ ｏ ｙＪ ｓ ｗ， ｗ ｉ． ． １ 此后 Ｅｐ ｒ ，． ｌｅ ｎ Ｔ ｉ 和 Ｇ ｒ ｂｋ ， ［ 也作过不少研究． ｅ ｓａｈ Ｉ ６ ｔ ． ３ 在我国 ， 曹晋华 等研究 了寿命分 布为指数分布的情况 ， 陈家鼎
Ｇ ＦＧ 或 、 不连续时在右删失情形下 — 估计 Ｆ （）的弱相合性， Ｌ 随后 Ｓ ｔ在 Ｆ和 Ｇ没有共同跳跃点的情 ｔｅ ｕ 况下得到了Ｆ （ ） 的强相合性 ， Ｓ ｔ得到了Ｆ （ ） 最后 ｔ ｅ ｕ 的一致强相合性． 陈珏芬¨ 也研究了Ｐ 估计 Ｆ （ ） Ｌ 的强表示式． ｎ ＆Ｊ ｇ 利用它系统地介绍了在随机截尾下如何利用完全样本下的经验似然 Ｗａｇ ｉ ｎ
等研究 了寿命分布为 Ｗｅ ｕ 分布的情况 ， ｉｌ ｂ１ 王启华 将经验似然方法应用到完全样本之下．
１ 分 布 函数 Ｆ（ ）与 Ｇ（ ； ）
对于寿命分布 Ｆ ；） （ 和截尾分布 Ｇ ） Ｋ ｐａ （ ， ａｌ ｎ—Ｍ ｉ 给出了它们 的非参数极大似然估计 （ ｅｒ ｅ 简称
可靠性设计与寿命试验
03 寿命实验
•TiB2基复合陶瓷 材料，烧结原料 为Ti与B4C
TBw刀具切削奥氏体不绣钢1Cr18Ni9Ti时刀具 磨损可靠性研究
完全寿命实验
切削用量的选择
由TBw刀具切削奥氏体不锈钢1Cr19Ni9Ti的正交实验、验证实验与优化实验结果可 知,TBw刀具在切削速度V = 60m/min,进给量f= O.1mm/r,切削深度ap =0.1mm时可获得
定数截尾寿命实验 将实验进行到出现指定失效个数就停止的实验，这时实验停止的时间是
随机的，事先无法知道。 记r 个出现故障的样品的寿命依次是
t1≤ t2 ≤ …. ≤ tr
还有n-r 个产品在时刻tr仍未失效，所以总试验时间：
Tr = t1 + t2 + …+ tr + (n-r) tr
02
可靠性数据处理方法
对分布类型进行检验
样本的实验数据与假设的分布是有差异的，所以还需进一步对估计的失效分布
类型进行检验，即拟合优度检验。 拟合优度检验是根据样本来检验总体分布假设的一种方法，也就是说根据样本
来判断估计的失效分布类型是否与寿命试验数据相匹配。常见的拟合优度检验方
法有 K-S 检验法、χ2 检验法。
K-S法具体 检验步骤
采用统计分 析方法 样本观测 值 特征量估 计值
寿命实验
判断失效分布 类型
对分布类型进 行检验
对特征量作出 点估计或者区 间估计
判断失效分布类型
在产品可靠性理论研究过程中发现，当产品试验数据的失效分布 不同时，可靠性特征量的计算方法也不同，产品失效分布（故障 分布、寿命分布）与可靠性特征量有着密切关系。
失效率、平均寿命以及在寿命试验过程中可能出现的各种失效模式。例
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概率统计
.
概率统计
.
第二节基于截尾样本的最大似然估计
产品寿命 T 是一个随机变量，它的
分布称为寿命分布。
为了对寿命分布进行统
计推断，则需通过寿命
试验，取得
寿命数据。
实验方法：一完全样本
，将随机抽取的 n 个产品在时间
t 0时，同时投入试验，直
到每个产品都失效，得
到样本
0
t1
t2
t
，
n
称
为
完
全
样
本
。
二
截
尾样本， (1)定时截
f
(t)
1
e t /
,
t0
0, t 0
0未
知
。
设
有
n个
产
品
投
入
定
时
截
尾
试
验
，
截
尾
时
间
为
t
，
0
得
定
时
截尾样本0
t1t2Biblioteka tmt。0
故
似
然
函
数
为
1
1
[
t1
t
2
t
m
(
n
m
)
t
0
]
L( ) e m
令 d ln L( ) 0，解得 d
ˆ s(t0 )
m 其中s(t0 ) t1 t2 tm (n m )t0
尾样本，假设将随机抽
取的 n 个产品在时间 t 0时同时投入
试验，试验进行到实现
规定的截尾时间 t0停止，停止时共有
m 个产品失效，得到样本
t 1 , t 2 , , t m ( 0 t 1 t 2 t m t 0 )，
称为定时截尾样本。 (2 )定数截尾样本，假设将
随机抽取的 n
个产品在时间 t 0时同时投入试验，试验
截尾样本
0
t1
t2
t
。
m
故
似
然
函
数
为
1
1
[
t1
t2
tm
(
n
m
)
tm
]
L( ) e m
令 d ln L( ) 0， 解 得 d
ˆ s(tm )
m 其中 s(tm ) t1 t2 tm (n m )tm
概率统计
.
基于截尾样本的最大似然估计
设产品的寿命分布是指 数分布，其概率密度为
进行到有 m （事先
规定的截尾数 m n ）个产品失效时停止，
t m ( 0 t 1 t 2 t m )，称为定数截尾样本。
概率统计
.
得到样本 t1 , t2 , ,
基于截尾样本的最大似然估计
设产品的寿命分布是指 数分布，其概率密度为
f
(t)
1
e t /
,
t0
0, t 0
0未知。设有 n个产品投入定数截尾试 验，截尾数为 m ，得定数