用近似公式开平方
10个常用麦克劳林公式
10个常用麦克劳林公式麦克劳林公式是数学中的一种近似方法，用于将一个函数在其中一点的附近展开成一系列项的和。
麦克劳林公式的近似精度取决于展开的项数，通常越多的项数可以提供更精确的近似结果。
下面将介绍10个常用的麦克劳林公式。
1.正弦函数的麦克劳林公式：sin(x) = x - (x^3/3!) + (x^5/5!) - (x^7/7!) + ...2.余弦函数的麦克劳林公式：cos(x) = 1 - (x^2/2!) + (x^4/4!) - (x^6/6!) + ...3.指数函数的麦克劳林公式：exp(x) = 1 + x + (x^2/2!) + (x^3/3!) + ...4.对数函数的麦克劳林公式：ln(1+x) = x - (x^2/2) + (x^3/3) - (x^4/4) + ...5.正切函数的麦克劳林公式：tan(x) = x + (x^3/3) + (2x^5/15) + (17x^7/315) + ...6.双曲正弦函数的麦克劳林公式：sinh(x) = x + (x^3/3!) + (x^5/5!) + (x^7/7!) + ...7.双曲余弦函数的麦克劳林公式：cosh(x) = 1 + (x^2/2!) + (x^4/4!) + (x^6/6!) + ...8.双曲正切函数的麦克劳林公式：tanh(x) = x - (x^3/3) + (2x^5/15) - (17x^7/315) + ...9.常数e的麦克劳林公式：e^x=1+x+(x^2/2!)+(x^3/3!)+...10.开平方函数的麦克劳林公式：sqrt(1+x) = 1 + (x/2) - (x^2/8) + (x^3/16) - ...这些麦克劳林公式可以用于近似计算各种函数的值，特别是在无法直接计算函数值的情况下。
通过将函数展开成多项式的形式，我们可以用一系列简单的运算来逼近函数值，从而简化计算过程。
2开平方的计算方法
2开平方的计算方法平方根是数学中常见的运算之一，它的计算方法也是我们在学习数学时接触到的。
而以2开平方就是求解2的平方根的过程。
下面将介绍一种常见的计算方法。
我们需要了解什么是平方根。
平方根是指一个数的平方等于给定数的运算，即对于任意实数x，如果x的平方等于给定数a，那么x就是a的平方根。
在数学中，平方根用符号√a表示，其中a为被开方数。
接下来，我们来介绍求解2的平方根的计算方法。
步骤一：估算我们可以先估算出2的平方根的大致范围。
由于2介于1和3之间，所以2的平方根应该介于1和2之间。
步骤二：逼近法接下来，我们可以使用逼近法来求解2的平方根。
假设x为2的平方根，我们可以通过逼近来找到一个越来越接近真实平方根的值。
我们可以先假设一个初始值，比如1.5。
然后，我们将这个初始值代入平方根的定义式中，即计算1.5的平方。
如果计算结果小于2，说明初始值偏小，需要增大初始值；如果计算结果大于2，说明初始值偏大，需要减小初始值。
通过不断调整初始值，直到计算结果足够接近2，我们就可以得到2的平方根的近似值。
步骤三：迭代计算在逼近法的基础上，我们可以使用迭代计算的方法来不断逼近2的平方根的真实值。
迭代计算的思想是通过多次迭代，每次迭代都对当前值进行微小的调整，最终得到一个足够接近真实值的结果。
我们可以使用以下迭代公式来计算2的平方根：x = (x + 2/x) / 2。
其中，x为当前的近似值，将其代入公式中，计算得到新的近似值。
通过不断迭代，我们可以逐渐接近2的平方根的真实值。
通过多次迭代，我们可以得到越来越精确的结果。
当两次迭代的结果非常接近时，我们可以认为已经找到了2的平方根的近似值。
总结：通过上述的计算方法，我们可以求解2的平方根。
首先，我们通过估算确定了2的平方根的大致范围，然后使用逼近法找到一个初始值，最后通过迭代计算逼近真实值。
这个方法可以用于求解其他数的平方根，只需要将给定数代入计算即可。
需要注意的是，由于平方根是一个无限不循环小数，所以我们求得的平方根值只是一个近似值。
开平方的计算方法
开平方的计算方法开平方是数学中常见的一种运算方法，它在数学中有着广泛的应用。
在实际生活中，我们经常会遇到需要计算开平方的情况，比如在物理学、工程学、经济学等领域。
因此，了解开平方的计算方法对我们来说是非常有用的。
首先，我们来介绍一下开平方的定义。
开平方就是求一个数的平方根，即找到一个数，使得它的平方等于给定的数。
开平方的符号通常用√来表示，如√9=3。
在实际计算中，我们可以利用不同的方法来求一个数的平方根，下面我们将介绍几种常见的计算方法。
一、牛顿迭代法。
牛顿迭代法是一种用于逼近实数的方法。
对于求一个数的平方根，可以利用牛顿迭代法来进行计算。
其计算步骤如下：1. 首先，我们假设要求的数的平方根为x，即√a=x。
2. 然后，我们可以利用牛顿迭代公式进行迭代计算，x = (x +a / x) / 2。
3. 重复进行迭代计算，直到计算结果收敛为止。
牛顿迭代法是一种非常有效的方法，它的收敛速度很快，能够在很少的迭代次数内得到较为精确的结果。
二、二分法。
二分法是一种通过逐步缩小范围来逼近目标值的方法。
对于求一个数的平方根，可以利用二分法来进行计算。
其计算步骤如下：1. 首先，我们确定一个范围[a, b]，使得a^2小于要求的数，b^2大于要求的数。
2. 然后，我们取中间值c=(a+b)/2，计算c的平方。
3. 如果c^2等于要求的数，则c就是要求的平方根；如果c^2小于要求的数，则更新范围[a, c]；如果c^2大于要求的数，则更新范围[c, b]。
4. 重复进行范围更新和计算，直到得到较为精确的结果。
二分法是一种简单而有效的方法，它能够在有限次迭代内得到目标值的近似解。
三、牛顿-拉弗森方法。
牛顿-拉弗森方法是一种用于求解方程根的迭代方法，对于求一个数的平方根同样适用。
其计算步骤如下：1. 首先，我们假设要求的数的平方根为x，即√a=x。
2. 然后，我们可以利用牛顿-拉弗森迭代公式进行迭代计算，x = (x + a / x) / 2。
平方根的几种近似计算方法
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为得到更精确的近似值，可再设√ ＝４．８＋ （ 是纯小数，可正可负）。两边平方有
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２０１３年 第 ４期
第 ３１卷 （总 第 １５３期 ）
毕 节 学 院 学 报
ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＢｌＪＩＥ ＵＮＩＶＥＲＳⅡ
ＮＯ．４，２０１３ Ｖｏ１．３１ Ｇｅｎｅｒａｌ Ｎｏ．１５３
平方根 的几种近似计算方法
赖 志 柱 ，吴 德 宝
（１．毕 节 学院数 学与 计 算机 科 学 学院 ，贵 州 毕 节 ５５１７００；２．江 西省石城 二 中，江西 石城 ３４２７００）
≈乃＋∞ ／２乃（ｈ＞ＣＯ）；印度著名的巴克沙里手稿瞳 里取√ ＝√ ＋ ≈ ＋厂／２ 。
２ 求平 方根 近似 值 的几 种算 法 在 中学 时期 我们 求一 个 正数 的算 术平 方根 ，往 往是 通过 查平 方根 表 。然而 ，平 方根 表并 不是万 能 的 ，例如 含很 多 小数位 的正数 的平 方根 就不 能直 接从 平方 根表 查 出 ，因此 很有 必要 掌握 和 了解 一 些近 似 计算 平方 根 的方法 已备 不 时之 需 。 ２．１笔 算法 为简约 ，下 面举 例说 明笔算法 的思想 和计 算步 骤 。
平方开根号计算公式
平方开根号计算公式
平方开根号，是我们在数学学习中经常遇到的一个操作。
它可以帮助我们求取一个数的平方根，也就是找出一个数的平方等于给定数的运算。
这个计算公式在解决各种实际问题中具有广泛的应用，比如在建筑设计中求取边长，或者在金融领域中计算利息等等。
平方开根号的计算公式是这样的：对于一个非负实数x，它的平方根是一个非负实数y，满足y的平方等于x。
这个数我们用符号√x 来表示，读作“x的平方根”。
在进行平方开根号的计算时，我们需要注意以下几点。
首先，平方开根号只适用于非负实数，对于负数来说是没有实数解的。
其次，我们可以使用近似计算的方法，例如二分法或牛顿迭代法，来求取一个数的平方根。
但是，这些方法都需要进行多次迭代计算，所以在实际应用中可能会比较耗时。
平方开根号还有一些有趣的性质。
例如，如果一个数的平方根是一个有理数，那么这个数一定是一个完全平方数，也就是说它本身是一个整数的平方。
这是因为如果一个数的平方根是有理数，那么它可以表示为两个整数的比值，而这两个整数可以约分，从而得到一个更小的整数比值。
所以，这个数也就是一个完全平方数。
总的来说，平方开根号是一个非常重要的数学运算，在各个领域都有广泛的应用。
它可以帮助我们求取一个数的平方根，从而解决各
种实际问题。
在实际计算中，我们可以使用近似计算的方法来求取一个数的平方根。
但是需要注意的是，平方开根号只适用于非负实数，对于负数来说是没有实数解的。
希望通过对平方开根号的理解和应用，我们可以更好地掌握数学知识，提高数学运算的能力。
开方的计算方法
开方的计算方法
开方是求一个数的平方根，即找到一个数，使得它的平方等于给定的数。
假设要计算√x，即x的平方根。
我们可以采用牛顿迭代法进行计算。
首先，我们猜一个初始值y作为x的平方根的近似值。
然后，我们根据这个猜测的近似值y，计算y的平方，即y^2。
接着，我们将y的平方与x进行比较。
- 如果y的平方等于x，那么y就是x的平方根。
- 如果y的平方小于x，那说明我们的猜测值y偏小了，我们
则将y增大一点点，重新计算y的平方，直到y的平方大于或
等于x为止。
这样我们就找到了一个更接近x的数作为新的猜测值。
- 如果y的平方大于x，那说明我们的猜测值y偏大了，我们
则将y减小一点点，重新计算y的平方，直到y的平方小于或
等于x为止。
这样我们也找到了一个更接近x的数作为新的猜测值。
我们不断重复上述步骤，直到找到一个足够接近x的数，我们就认为这个数是x的平方根。
需要注意的是，我们每次更新猜测值y时，可以使用以下公式
进行更新：
y = (y + x/y) / 2
通过不断迭代计算，我们最终得到的y将趋近于x的平方根。
这就是开方的计算方法，即使用牛顿迭代法来逼近一个数的平方根。
如何计算√2范文
如何计算√2范文
如何计算√2范文
要计算√2，可以使用不同的方法，包括近似计算和精确计算。
下面将介绍一些常用的方法：
1.常规近似计算方法：
- 使用计算器或电脑软件进行计算。
直接输入2的开平方根，或使用计算器上的开平方根符号（通常标为√或sqrt）。
-使用分数进行近似计算。
将√2表示为一个分数，并将其简化到最简形式。
例如，√2可以表示为2的平方根，即2^(1/2)。
然后可以使用长除法或其他方法来计算这个分数的近似值。
2.特殊近似计算方法：
-使用二分法。
根据数学性质，√2的值介于1和2之间。
可以选择一个适合的中间值，如1.5，计算其平方，然后将结果与2进行比较。
根据比较的结果，选择一个新的中间值来继续逼近√2，重复这个过程直到得到所需的精度。
3.精确计算方法：
-使用数列法。
可以使用连分数展开或二进制数展开等方法，将√2表示为一个精确的数列。
通过截断数列的一部分来获得√2的有限位近似值。
这种方法的精度取决于所选择的数列的截断位数。
4.基于公式的计算方法：
-使用泰勒级数展开。
可以使用泰勒级数展开公式，将√2的开方运算转化为一系列乘法、加法和幂运算。
根据所选择的级数项数，可以获得不同的精确度。
需要注意的是，计算√2的精确值是一个无理数，不能通过有限的位数进行精确计算。
因此，对于特定的精度要求，可以选择适当的方法来计算近似值。
sqrt方法(一)
sqrt方法(一)sqrt相关方法简介在数学和编程中，sqrt用于计算一个数的平方根。
计算平方根的方法有多种，本文将介绍几种常用的方法。
方法一：牛顿迭代法1.初始化一个猜测值x作为平方根的近似值。
2.使用迭代公式x = (x + n / x) / 2来更新猜测值x，其中n是待求平方根的数字。
3.重复步骤2，直到x的平方接近于n。
方法二：二分查找法1.初始化左边界left为0，右边界right为n。
2.当左边界小于等于右边界时，执行以下步骤：–计算中间值mid，mid = (left + right) / 2。
–如果mid的平方接近于n，则返回mid作为平方根。
–如果mid的平方大于n，则将右边界更新为mid-1。
–如果mid的平方小于n，则将左边界更新为mid+1。
3.返回left作为平方根。
方法三：使用数学库函数1.在许多编程语言中，都提供了sqrt函数来计算平方根。
只需要调用该函数，并传入待求平方根的数字作为参数，即可得到结果。
方法四：二进制近似法1.将n转换为二进制表示。
2.初始化一个近似值x为1。
3.对每一位的二进制数字进行迭代处理：–x的平方不断逼近n。
–如果该位为1，则将x更新为x = (x + n / x) / 2，否则保持不变。
4.重复步骤3，直到迭代收敛。
5.返回x作为平方根。
方法五：插值法1.将平方根的求解问题转化为多项式的求解问题。
2.构造一个具有稀疏系数的多项式。
3.使用插值法来求解多项式的根，即可得到平方根。
结论根据不同的场景和需求，选择合适的方法来计算平方根。
牛顿迭代法和二分查找法是比较常用的方法，而使用数学库函数则是最简单快速的方式。
二进制近似法和插值法则是更为复杂的求解方式，适用于特定的问题。
在实际应用中，可以根据具体情况进行选择。
方法一：牛顿迭代法1.初始化一个猜测值x作为平方根的近似值。
2.使用迭代公式x = (x + n / x) / 2来更新猜测值x，其中n是待求平方根的数字。
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用近似公式开平方
我上初中的时候，计算器还没普及，那时每个学生一本《中学数学用表》，可以查到一个数平方根的4位有效数字。
课本里有笔算开平方的方法，但要列竖式，感觉麻烦，没多久就忘了。
高中的时候，知道有近似公式，但不知道怎么用。
最近一个偶然的机会，发现一种简单的近似算法可以很方便地算出一个数平方根的4位有效数字，误差最大不会超过最后一位有效数字的一个点，在没有电脑、计算器的情况下，倒可以一用，我的感觉，比列竖式简单。
一、近似公式
1.如果C=a²±b，且b≤a，那么√C≈a±b/2a
一般使用这个公式即可达到四位有效数字的要求。
这个公式计算出的结果比真实值略大，如果需要更精确的近似值，可以用下面的公式
2.如果C=a²±b，且b≤a，那么√C≈a±b/2a-b²/8a³
这个公式比第一个公式多减了b²/8a³，稍麻烦，但精确度可达六七位有效数字，在百度百科里，我称之为“精确开方公式”，一般只在需要更精确数值或某些特殊情况下使用。
下面介绍具体怎么用。
二、公式用法
1.四位数的平方根。
也就是1000---9999的平方根
首先估计一下最接近方根的两位数。
个位数是0的两位数的平方根容易很算出来，如70²=4900，80²=6400；个位数是５的两位数也很容易心算出来，如果十位上的数字是ｍ，那么把ｍ＊（ｍ＋１），后面再加25就行了，例如85的平方，十位数字是8，那么8*9=72，后面加25，即 7225就是85的平方。
现在算√2882=？
50²=2500，而55²=3025,所以√2882在50---55之间，我们估算一下53²=2809，2882=53²+73，73﹥53，不合要求，而2882=54²-34，符合公式要求，所以√2882≈54-34/（54*2）≈54-0.3148=53.6852≈53.69，用计算器验算√2882=53.6842621≈53.68，误差非常微小，只是在保留四位有效数字时增大了误差。
再例如√5656=？
5656=75²+31，所以√5656≈75+31/150=75+0.207=75.21，实际√5656=75.206≈75.21，四位有效数字完全一样。
2.三位数的平方根。
即100----999的平方根
基本与四位数的算法一样。
例如√620=？
620=25²-5，所以√620=√（25²-5）≈25-5/50=25-0.1=2４.90。
需要注意：当Ｃ﹤600，且a=b时，计算得到的第三四位有效数字一定为50，应改为49，也可以用第二个公式计算以减小误差，这时公式变为√c≈a±b/2a-b ²/8a³=a±b/2a-1/8a。
例如用第一个公式计算出√240=√（15²+15）≈15+15/30=15.50，用第二个公式计算则为
√240=√（15²+15）≈15+15/30-1/120=15.491666...实际√240=15.491933...，显然第二个公式更接近真实值。
再如用第一个公式计算√132≈11.50，用第二个公式计算则为
√132=11+11/22-1/88=11.4886....实际√132=11.4891...第二个公式更接近真实值。
3.两位数的平方根。
即10----99的平方根
一般是把两位数×100，变成一个四位数开平方，然后把开方结果÷10即可。
例如√62
先计算√6200≈78.74，因此√62≈7.874
不这样做的话，误差有时会比较大，除非是某数恰好很接近一个自然数的平方数。
例如50=7²+1，1与7相比很小，可以直接用本文的第一个公式算。
√50=√（7²+1）≈7+1/14=7.071
4.一位数的平方根。
即2----8的平方根
直接用近似公式误差太大，一律×100变成一个三位数，开平方后把结果再÷10即可。
例如√3=？
√300=√（17²+11）≈17+11/34=17.32，所以√3≈1.732。
5.小数的开平方
一般都是通过小数点移位，变成一个三位数或四位数，开平方后再移位还原。
开平方时小数点每右移两位，开平方后的结果左移一位即是正确结果。
例如√0.50，右移两位小数点后是50，开平方后7.071，再左移一位0.7071即是√0.50 类似的，√3.862可以先算√386.2.....
三、公式的原理
我们通常遇到的需要开方的数Ｃ，其平方根大多是一个无理数，即无限不循环小数，没有一个精确值，只能取前几位有效数字。
我们可以先预估一个尽可能接近平方根的数字，然后采用某种方法减小误差，去逼近真实值。
这里就是先取一个接近平方根的数a，真实的平方根√Ｃ与a的差值k=√Ｃ-a（k可以为负），那么√Ｃ=a+k，即
Ｃ=（a+k）²=a²+2ak+k²这里2ak+k²就是近似公式里的b，所以2ak+k²=Ｃ-a²=b，由于Ｃ和a都是已知数，b也就可以算出来。
2ak+k²=b，可以推出
k+k²/2a=b/2a
k=b/2a-k²/2a
如果∣b∣≤a，那么k﹤0.5，k²﹤0.25，k²/2a就更小了，我们把k²/2a 舍去，得到k≈b/2a，即
√Ｃ=a+k≈a+b/2a （开方公式）
这就是第一个近似公式。
因为少减了k²/2a，所以得到的计算结果总比真实值略大些。
√Ｃ=a+k≈a+b/2a=a+（C-a²）/2a=a+（C/a-a）/2
可见，除了使用的字母不同，表述形式与网上的开方公式，是完全一样的。
计算结果的误差大小主要由k²/2a决定，b相对于a越小，k就越小，k²/2a 也就越小，误差也越小。
为了进一步减少误差，我们可以把第一个开方公式里没减去的k²/2a再减去，其中的k就用b/2a代入，它虽然是一个有误差的数值，但与真实值相差不大，可以使用。
于是公式就变成了
√Ｃ=a+k≈a+b/2a-b²/8a³（精确开方公式）
这就是第二个近似公式。
虽然仍有误差，但比第一个公式大为减小。
在给四位数开平方时，用第一个公式足够，给三位数开平方时，一般用第一个公式也足够，但若需要更精确数值或遇到某些特殊的数字附近，计算并不麻烦
的时候，可以用第二个公式。
主要是b²/8a³可以通过约分化简的时候。
四、误差大小
用第一个公式计算，结果的误差大小主要由k²/2a决定，即由b²/8a³决定，b越小，a越大，误差就越小。
由于一位和两位数是必须先移位变成三四位数再开平方的，三位数里的110就成为平方根计算误差最大的，这时a=b=10，误差接近b²/8a³≈1/80=0.0125，也只是在第四位有效数字错了1而已；四位数里误差最大的是1056，a=b=32，误差接近b²/8a³≈1/256=0.0039，只是在第五位有效数字错了4而已。
用第二个公式计算√9999是误差最小的，这时√9999≈99.994999875
9999的真实平方根值是99.99499987499...精确到取12位有效数字完全相同！
如果需要更精确数值，可以把得到的结果作为a代入，用第一个公式再算一次，精确度足以达到十几位有效数字。
五、初估方根的技巧
（m+1）²=m²+2m+1
（m+2）²=m²+4m+4
（m+3）²=m²+6m+9
可见在m比较大时，比m²大2m的数很接近（m+1）²，比m²大4m的数很接近（m+2）²，比m²大6m的数很接近（m+3）²，这有利于大致估算与方根最接近的数。
例如√2882，由于55²=3025,而2882比3025小143，55的两倍是110，所以√2882应该非常接近54。
再如√5301,由于5301比70²大401，而401接近70的6倍，所以√5301的平方根应该在73附近，比73略小。
六、除法计算中的小技巧
在用第一个公式开平方时，需要做简单的除法运算，而这些除法运算，很多是不用列竖式的。
例如
34/108≈31/100=0.31
31/150≈20.67/100=0.21
41/158≈27/105≈26/100=0.26
11/34=33/102≈32/100=0.32
......
也就是，把分母先估算到100，同时把分子也按同样的比例增减到一个数字，就可以估算出一个两位的小数，熟练后是不用列竖式的。