24概率论与数理统计第一章1随机事件与概率(工大版)PPT课件
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（并），记为
A1A2 Ai
i1
当 A1,A2, 互斥时
Ai Ai
i1
i1
16
五. 事件的差 A发生而B不发生所构成的事件，称为A与B 的差，记为 A BA B
S A－B B
对任意事件A，
A A , A S , A A . 17
六. 对立事件（逆事件） 由A不发生所构成的事件，称为A的对立事件
一．事件的包含与相等 事件的包含：若事件A发生必导致事件B发生，则
称B包含A或A含于B中，记为AB
S
A
B
任意事件A均有 AS
9
事件的相等：若 AB且 BA
则称事件A与B相等，A=B。 S
BA
10
二．事件的的积（交） 事件A与B同事发生所构成的事件称为A与B的 积或交，记为 A∩B或AB。
S A∩B
S={t: t≥0}.
六.随机事件（简称事件）:在试验中可能发生，
也可能不发生的事件；
用数学语言描述为随机试验E的样本空间S的某
个子集，用A，B，C，…表示，不用X，Y，Z，
…表示。
6
例2 .掷一质地均匀的骰子两次，样本空间 S={(a ，b)|1≤a， b≤6，a ， b∈N},用集 合表示事件A=“两次点数之和为8”，B=“两次 点数均大于4”，C=“两次点数均为奇数”。
反）， （反，正）， （反，反）}。
2.对目标进行射击，直到击中为止，记录结果；
解：S={1，01，001，0001，00001，
……}。
0表示未中，1表示击中。
5
3.在区间[0，1]上随意取一点，记录结果；
解：
S=[0，1]。
4.从一批灯泡中随机地抽一只灯泡，测试它的
使用寿命，设t表示寿命。
解：
12
三．互不相容事件（互斥事件）
若A与B不能同时发生，即 A B 则称A与B
互不相容（或互斥）。S与 互斥。
S
A
B
推广： n个事件A 1,A 2, A n互斥〈==〉
A 1,A 2, A n 中任两个互斥，即，
i≠j, i, j=1,2,3 ,……n.
13
四．事件的和（并） 事件A与B至少有一个发生所构成的事件， 称为A与B的和（并）记为A∪B。当A与B 互斥时，A∪B =A+B。
AB 事件Ａ与事件Ｂ至少有一个发生
AB 事件Ａ与事件Ｂ同时发生
AB 事件Ａ发生而事件Ｂ不发生
A B事件Ａ与事件Ｂ互不相容
集合论 空间（全集） 空集 元素 子集 A的余集 A是B的子集 A与B相等 A与B的并集 A与B的交集 A与B的差集 A与B没有公共元2素0
事件的运算性质：
1.交换率： A∪B=B∪A， AB=BA 2.结合率：（A∪B）∪C=A∪（B∪C），
五．样本空间：基本事件或样本点的全体构成的 集合，用S表示。
样本空间与基本事件的关系
S
.
样本点e 4
例1.写出下列随机试验结果的样本空间。
1.将一枚均匀对称的硬币连续抛两次，
2.
记录两次抛掷的结果；
解： e1=（正，正），e 2 =（正，反），
e 3=（反，正），e 4 =（反，反）； S={ e1 ，e 2 ，e 3，e 4 }={（正，正），（正，
S AB
14
推广：
（1）n个事件A 1,A 2, A n至少有一个发生
所构成的事件，称为 A 1,A 2, A n的和或并，
记为
n
A1A2 An Ai
i1
当A 1,A 2, A n互斥时
n
n
Ai Ai
i1
i1
15
（2）可列无限多个事件 A1,A2, 至少有一个
发生所构成的事件，称为 A1,A2, 的和
三．随机试验（简称试验，用E表示）
1. 试验可以在相同的条件下重复进行； 2. 试验的所有可能结果不止一个，而且是事先
已知的；
3. 每次试验总是恰好出现这些可能结果中的 一个，究竟出现哪一个，试验前不能确切 预言。
3
四．基本事件（样本点）：随机试验的每一个可 能结果，用e表示。 特点：每次试验只有一个样本点出现， 任两个样本点不能同时出现。
不包含任何基本事件，故在每次试验中都不发 生，因此称为：
必然事件S和不可能事件 均不是随机事件，为 研究方便，可看作随机事件的极端情况处理。
总结：1. 理解随机试验、基本事件、样本空间、
2. 随机事件的概念。 2．会求随机试验的样本点、样本空间。8
第二讲 事件的关系与运算
试验E的样本空间为S，Ai，Bi （i=1,2……） 都是S的子集（事件）。
第一章
随机事件与概率
1
第一讲 随机事件
一．自然界的现象分两类
１．必然现象（确定性现象） 特点：结果事先可预知。
２．随机现象（不确定性现象） 特点：结果事先不可预知。
随机现象是否有规律可循呢？ 是
随机现象在相同的条件下，大量重复试验中 呈现的规律性称为统计规律性。
2
二．概率论就是研究随机现象统计规律的一门数 学学科。
解：
A∪B=S，A，B为对立事件，
C B，B，D互斥，C∪D=E，记C+D=E
AE={3，5}， E ={1，2}。
19
事件表示的概率论与集合论对照表
符号
概率论
S 样本空间，必然事件
不可能事件
e 基本事件（样本点）
A 事件 A A的对立事件 AB事件Ａ发生必然导致事件Ｂ发生 AB事件Ａ与事件Ｂ相等
11
推广：
（1）n个事件 A 1,A 2, A n同时发生所构成 的事件，称为 A 1,A 2, A n的积或交，
记为
n
A 1 A 2 A n A i A 1 A 2 A n
i 1
（2）可列无限多个事件A1， A2，……同事
发生所构成的事件称为A1， A2，……
的积或交，记为
Ai
i1
（逆事件）。记为 A
A
A
A A ,A A S ,A A . 18
例1．掷一质地均匀的骰子，A=“出现奇数点”= {1，3，5}，B=“出现偶数点”= {2，4，6}，C=“出现4或6”={4，6}， D=“出现3或5”={3，5}，E=“出现的点 数大于2”={3，4，5，6}， 求 A B ,CD ,A,E E .
解：A={（2 ，6），（6 ，2），（3 ，5），
（5 ，3），（4 ，4）}；
B={（5 ，5），（5 ，6），（6 ，5）， （6 ，6）}
C={（1 ，1），（1 ，3），（3 ，1）， （1 ，5），（5 ，1），（3 ，3）， （3 ，5），（5 ，3），（5 ，5）}。
7
Leabharlann Baidu
样本空间S和空集 作为S的子集也看作事件。由 于S包含所有的基本事件，故在每次试验中都发 生，因此称为：
A1A2 Ai
i1
当 A1,A2, 互斥时
Ai Ai
i1
i1
16
五. 事件的差 A发生而B不发生所构成的事件，称为A与B 的差，记为 A BA B
S A－B B
对任意事件A，
A A , A S , A A . 17
六. 对立事件（逆事件） 由A不发生所构成的事件，称为A的对立事件
一．事件的包含与相等 事件的包含：若事件A发生必导致事件B发生，则
称B包含A或A含于B中，记为AB
S
A
B
任意事件A均有 AS
9
事件的相等：若 AB且 BA
则称事件A与B相等，A=B。 S
BA
10
二．事件的的积（交） 事件A与B同事发生所构成的事件称为A与B的 积或交，记为 A∩B或AB。
S A∩B
S={t: t≥0}.
六.随机事件（简称事件）:在试验中可能发生，
也可能不发生的事件；
用数学语言描述为随机试验E的样本空间S的某
个子集，用A，B，C，…表示，不用X，Y，Z，
…表示。
6
例2 .掷一质地均匀的骰子两次，样本空间 S={(a ，b)|1≤a， b≤6，a ， b∈N},用集 合表示事件A=“两次点数之和为8”，B=“两次 点数均大于4”，C=“两次点数均为奇数”。
反）， （反，正）， （反，反）}。
2.对目标进行射击，直到击中为止，记录结果；
解：S={1，01，001，0001，00001，
……}。
0表示未中，1表示击中。
5
3.在区间[0，1]上随意取一点，记录结果；
解：
S=[0，1]。
4.从一批灯泡中随机地抽一只灯泡，测试它的
使用寿命，设t表示寿命。
解：
12
三．互不相容事件（互斥事件）
若A与B不能同时发生，即 A B 则称A与B
互不相容（或互斥）。S与 互斥。
S
A
B
推广： n个事件A 1,A 2, A n互斥〈==〉
A 1,A 2, A n 中任两个互斥，即，
i≠j, i, j=1,2,3 ,……n.
13
四．事件的和（并） 事件A与B至少有一个发生所构成的事件， 称为A与B的和（并）记为A∪B。当A与B 互斥时，A∪B =A+B。
AB 事件Ａ与事件Ｂ至少有一个发生
AB 事件Ａ与事件Ｂ同时发生
AB 事件Ａ发生而事件Ｂ不发生
A B事件Ａ与事件Ｂ互不相容
集合论 空间（全集） 空集 元素 子集 A的余集 A是B的子集 A与B相等 A与B的并集 A与B的交集 A与B的差集 A与B没有公共元2素0
事件的运算性质：
1.交换率： A∪B=B∪A， AB=BA 2.结合率：（A∪B）∪C=A∪（B∪C），
五．样本空间：基本事件或样本点的全体构成的 集合，用S表示。
样本空间与基本事件的关系
S
.
样本点e 4
例1.写出下列随机试验结果的样本空间。
1.将一枚均匀对称的硬币连续抛两次，
2.
记录两次抛掷的结果；
解： e1=（正，正），e 2 =（正，反），
e 3=（反，正），e 4 =（反，反）； S={ e1 ，e 2 ，e 3，e 4 }={（正，正），（正，
S AB
14
推广：
（1）n个事件A 1,A 2, A n至少有一个发生
所构成的事件，称为 A 1,A 2, A n的和或并，
记为
n
A1A2 An Ai
i1
当A 1,A 2, A n互斥时
n
n
Ai Ai
i1
i1
15
（2）可列无限多个事件 A1,A2, 至少有一个
发生所构成的事件，称为 A1,A2, 的和
三．随机试验（简称试验，用E表示）
1. 试验可以在相同的条件下重复进行； 2. 试验的所有可能结果不止一个，而且是事先
已知的；
3. 每次试验总是恰好出现这些可能结果中的 一个，究竟出现哪一个，试验前不能确切 预言。
3
四．基本事件（样本点）：随机试验的每一个可 能结果，用e表示。 特点：每次试验只有一个样本点出现， 任两个样本点不能同时出现。
不包含任何基本事件，故在每次试验中都不发 生，因此称为：
必然事件S和不可能事件 均不是随机事件，为 研究方便，可看作随机事件的极端情况处理。
总结：1. 理解随机试验、基本事件、样本空间、
2. 随机事件的概念。 2．会求随机试验的样本点、样本空间。8
第二讲 事件的关系与运算
试验E的样本空间为S，Ai，Bi （i=1,2……） 都是S的子集（事件）。
第一章
随机事件与概率
1
第一讲 随机事件
一．自然界的现象分两类
１．必然现象（确定性现象） 特点：结果事先可预知。
２．随机现象（不确定性现象） 特点：结果事先不可预知。
随机现象是否有规律可循呢？ 是
随机现象在相同的条件下，大量重复试验中 呈现的规律性称为统计规律性。
2
二．概率论就是研究随机现象统计规律的一门数 学学科。
解：
A∪B=S，A，B为对立事件，
C B，B，D互斥，C∪D=E，记C+D=E
AE={3，5}， E ={1，2}。
19
事件表示的概率论与集合论对照表
符号
概率论
S 样本空间，必然事件
不可能事件
e 基本事件（样本点）
A 事件 A A的对立事件 AB事件Ａ发生必然导致事件Ｂ发生 AB事件Ａ与事件Ｂ相等
11
推广：
（1）n个事件 A 1,A 2, A n同时发生所构成 的事件，称为 A 1,A 2, A n的积或交，
记为
n
A 1 A 2 A n A i A 1 A 2 A n
i 1
（2）可列无限多个事件A1， A2，……同事
发生所构成的事件称为A1， A2，……
的积或交，记为
Ai
i1
（逆事件）。记为 A
A
A
A A ,A A S ,A A . 18
例1．掷一质地均匀的骰子，A=“出现奇数点”= {1，3，5}，B=“出现偶数点”= {2，4，6}，C=“出现4或6”={4，6}， D=“出现3或5”={3，5}，E=“出现的点 数大于2”={3，4，5，6}， 求 A B ,CD ,A,E E .
解：A={（2 ，6），（6 ，2），（3 ，5），
（5 ，3），（4 ，4）}；
B={（5 ，5），（5 ，6），（6 ，5）， （6 ，6）}
C={（1 ，1），（1 ，3），（3 ，1）， （1 ，5），（5 ，1），（3 ，3）， （3 ，5），（5 ，3），（5 ，5）}。
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Leabharlann Baidu
样本空间S和空集 作为S的子集也看作事件。由 于S包含所有的基本事件，故在每次试验中都发 生，因此称为：