阶线性微分方程解的结构

附录A 线性常微分方程

本课程的研究内容与常微分方程理论有非常密切的联系，因此在本附录里，我们将对线性常微分方程的知识——包括解的存在性、解的结构和求解方法做一些回顾和总结。

把包含未知函数和它的j 阶导数()j y

(的方程称为常微分方程。线性常微分方程的标准形式

()(1)110()()'()()n n n y p x y p x y p x y f x --++++=L （）

其中n 称为方程的阶数，()j p x 和()f x 是给定的函数。可微函数()y y x =在区间 I 上满足方程（），则称其为常微分方程（）在 I 上的一个解。，()f x 称为方程（）的自由项，当自由项()0f x ≡时方程（）称为是齐次方程，否则称为非齐次方程。一般来说常微分方程的解是不唯一的，我们将方程的全部解构成的集合称为解集合，解集合中全部元素的一个通项表达式称为方程的通解，而某个给定的解称为方程的特解。

在本附录里，我们重点介绍一阶和二阶常微分方程的相关知识。

一阶线性常微分方程

一阶线性常微分方程表示为

'()()y p x y f x x I +=∈，. （） 当()0f x ≡，方程退化为

'()0y p x y +=, （） 假设()y x 不恒等于零，则上式等价于 而()'ln 'y y y

=，从而（）的通解为 ()d ()p x x y x Ce -⎰= （ ）

对于非齐次一阶线性常微分方程（），在其两端同乘以函数()d p x x e ⎰

注意到上面等式的左端

因此有

两端积分

其中C 是任意常数。进一步有

综上有如下结论

定理 假设()()p x f x I 和在上连续，则一阶线性非齐次常微分方程（）的通解具有如下形式

()d ()d ()d ()()d p x x p x x p x x y x Ce e e f x x --⎰

⎰⎰=+⎰‘ （） 其中C 是任意常数。

观察（）式和（）式，我们发现一阶线性非齐次常微分方程（）的解等于一阶线性

齐次常微分方程（）的通解()d p x x Ce -⎰加上函数()d ()d *()()d p x x p x x y x e e f x x -⎰⎰=⎰

。容易验证，*()y x 是方程（）的一个特解。这符合线性方程解的结构规律。

例1 求解一阶常微分方程

解 此时()2()1p x f x =-=，,由（）式，解为

其中C 是任意常数。

二阶线性常微分方程

将具有以下形式的方程

"()'()()y p x y q x y f x x I ++=∈，， （） 称为二阶线性常微分方程，其中(),(),()p x q x f x 都是变量x 的已知连续函数。称

"()'()0y p x y q x y x I ++=∈，， （） 为与（）相伴的齐次方程.

A ．2．1 二阶线性微分方程解的结构

首先讨论齐次方程（）解的结构。

定理 如果函数12()()y x y x 与是线性齐次方程（）的两个解，则函数1122()()y c y x c y x =+仍为该方程的解，其中12,c c 是任意的常数。

定理1 说明齐次线性常微分方程（）的解如果存在的话，一定有无穷多个。为了说明齐次线性常微分方程（）通解的结构，首先给出函数线性无关的定义。

定义设函数12(),(),,()n y x y x y x L 是定义在区间I 上的n 个函数，如果存在n 个不

全为零的常数12,,n k k k L ，，使得1122()()()0n n k y x k y x k y x ++=L 在区间I 上恒成立，

则称函数12(),(),,()n y x y x y x L 在区间上线性相关，否则称为线性无关。

例如函数221cos ,sin x x ，在整个数轴上是线性相关的，而函数x x e e -和在任何区间(,)a b 内是线性无关的。

特别的，对于两个函数的情形，它们线性相关与否，只需要看它们的比值是否为常数即可，比值为常数，那么它们线性相关，否则线性无关。

有了函数线性无关的概念，就有如下二阶线性齐次微分方程（）通解结构的定理。 定理假设线性齐次方程（）中，函数()()p x q x 与在区间I 上连续，则方程（）一定存在两个线性无关的解。

类似于代数学中齐次线性方程组，二阶线性齐次常微分方程的解集合也存在基础解系。

定理 若12()()y x y x 与是二阶线性齐次常微分方程（）的两个线性无关的特解，则1122()()y c y x c y x =+是该方程的通解，其中12,c c 是任意的常数。

从定理可以看出二阶线性齐次常微分方程（）的任何两个线性无关的特解构成其基础解系。

关于二阶线性非齐次常微分方程（）的通解，有如下结论

定理 若函*()y x 是方程（）的一个特解，()Y x 是方程（）相伴的齐次方程的通解，则()()*()y x y x Y x =+是二阶线性非齐次常微分方程（）的通解。

从定理,可以得到求解二阶线性非齐次常微分方程（）的通解的一般步骤：

（１）求解与（）相伴的齐次方程（）的线性无关的两个特解12()()y x y x 与，得该齐次

方程的通解1122()()()Y x c y x c y x =+；

（２）求二阶线性非齐次常微分方程（）的一个特解*()y x ，那么方程（）的通解为

()()*()y x y x Y x =+

对于一些相对复杂的问题，如下的线性微分方程的叠加原理是非常有用的。

定理 设二阶线性非齐次常微分方程为

12"()'()()()y p x y q x y f x f x ++=+, （） 且12*()*()y x y x 与分别是

和

的特解，则12*()*()y x y x +是方程（）的特解。

A ．2．1 二阶常系数线性常微分方程的解法

如果二阶线性常微分方程为

"'()y py qy f x ++=, （） 其中,p q 均为常数，则称为二阶常系数线性常微分方程。以下分两种情形讨论方程（）的解法。

一、二阶常系数线性齐次方程的解法

此时问题为

"'0y py qy ++=, （） 考虑到方程中的系数,p q 均为常数，可以猜想该方程具有形如rx

y e =的解，其中r 为待定常数，将'rx y re =和2"rx y r e =‘及rx y e =代入方程"'0y py qy ++=得， 2()0rx e r pr q ++=,