从Cantor集步入分形
Cantor集与Cantor函数
Cantor集与Cantor函数Cantor 集与Cantor 函数【摘要】：本文详细分析并证明cantor 集与cantor 函数的定义与性质，具体内容有：cantor 集的完备性，具有连续统势；cantor 函数的性质，解决了课堂上的小问题（关于cantor 函数的连续性与稠密性）；并借助于cantor 集，给出一个孤立点集，它的导集是一个完备集；最后给出了一些常见的分形。
【关键词】：Cantor 集、Cantor 函数、分形、点集、完备集1 Cantor 集与Cantor 函数的定义1.1 Cantor 集的定义将基本区间A=[0，1]三等分，除去中间的开区间)3231(11，，=I ,记其剩余部分为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1,323101 ，E ；再将1E 中的两个闭区间各三等分，然后分别去掉中间的开区间)3837()3231(222,2221,2，，，==I I ,然后记其剩余部分为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1383732313231022222，，，， E 。
如此继续下去，在第n 步时，去掉的开区间为)313323()3837()3231(12,2,1,n n n n n n n n n n n n I I I --===-，，，，，， 。
其余部分为n2个长为n 31的闭区间，令 n m k k m n mI G 1121,=-==又令 k n k n n n I G G ,,1==∞=，G C \]10[，=，则称所得的C 为Cantor 集。
1.2 Cantor 函数的定义将基本区间A=[0，1]三等分，并除去中间的开区间,同时令把余下的两个闭区间各三等分，并除去中间的开区间)3837()3231(222,2221,2，，，==I I同时令假设是C的内点，则存在，使得这样含于[0,1]中且这个开集的各个构成区间互不相交，这些区间的长度之和大于1，矛盾。
分形的计算方法
分形的计算方法
分形有多种计算方法，以下为您介绍Hurst指数法和箱计数法：
Hurst指数法是最早用于计算分形维数的方法之一，其基本思想是通过计算时间序列的长程相关性来反映其分形特性。
具体步骤如下：
1. 对原始时间序列进行标准化处理。
2. 将序列分解成多个子序列，每个子序列的长度为N。
3. 计算每个子序列的标准差与平均值之间的关系，即计算序列的自相关函数。
4. 对自相关函数进行拟合，得到一个幂律关系，其幂指数就是Hurst指数，即分形维数D=2-H。
箱计数法是一种较为简单的计算分形维数的方法，其基本思想是将时间序列分为多个箱子，然后计算每个箱子内的数据点数与箱子尺寸之间的关系。
具体步骤如下：
1. 将原始时间序列分为多个子段，每个子段的长度为k。
2. 对于每个子段，将其分为多个等长的小区间，将每个小区间的数据点分配到对应的箱子中。
3. 计算每个箱子中数据点的个数，记作N(l)。
4. 对于不同的箱子尺寸l，计算N(l)与l的关系，即N(l)∝l-D，其中D即为分形维数。
此外，还有如Cantor三分集的递归算法等分形计算方法，每种方法有其特点和适用范围。
如果需要更多关于分形计算的信息，可以阅读分形相关的专业书籍或文献，以获得更全面的理解和认识。
浅谈分形
浅谈分形曼德布罗（B. B. Mandelbrot）说过：“云不是球形的，山不是锥形的，海岸不是圆形的。
”在自然界中，许多物体的形状和现象是十分复杂的：纵横交错的江河流域，婉转悦耳的古琴音乐中的旋律，蜿蜒盘旋的山岳高峰，星际空间物质的分布，尘粉无规则运动的轨迹，人体复杂的血管分布，如此等等。
像如此不定型的东西，在欧式几何中是无法解释分析的。
因此“分形”应运而生。
说到分形（fractal），先来看看分形的定义。
分形这个词最早是分形的创始人曼德布罗提出来的，他给分形下的定义就是：分形是由一些与其整体以某种方式相似的部分所组成的形体。
很显然，在曼德布罗的分形定义中，含有“不规则”和“支离破碎”的意思。
但是迄今为止，分形还没有非常具体明确的科学定义。
1989年法尔科内提出类似但较为全面的定义:（i）分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。
（ii）分形集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。
（iii）分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。
（iv）一般，分形集的“分形维数”，严格大于它相应的拓扑维数。
（v）在大多数令人感兴趣的情形下，分形集由非常简单的方法定义，可能以变换的迭代产生。
定义总是抽象的，下面先介绍几种理想的或典型的分形结构，以便对定义中的分形集,自相似性,分形维数,拓扑维数,迭代等有所了解,从而对分形有具体而形象的认识。
（1）康托尔集（Cantor set）。
假设一条为单位长度的线段，将其设为基本区间[0,1]，把它三等分，分点分别为1/3，2/3，去掉该线段中间的三分之一，这样留下的部分将是两段长度分别为三分之一的线段，总长度为2/3，用集合表示为[0,1/3] ∪[2/3,1]。
接下去我们再把这两条线段分别去掉中间的三分之一，这时留下的部分将是四条长度各为九分之一的线段，总长度为4/9,用集合表示为[0,1/9] ∪[2/9,1/3] ∪[2/3,7/9]∪[8/9,1]。
四川省凉山彝族自治州(新版)2024高考数学人教版摸底(综合卷)完整试卷
四川省凉山彝族自治州（新版）2024高考数学人教版摸底(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题十九世纪下半叶集合论的创立.奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集.（Cantor ）”是数学理性思维的构造产物，具体典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的开区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的开区间段，记为第二次操作；….如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的开区间段.操作过程不断地进行下去.以至无穷，剩下的区间集合即“康托三分集”.第三次操作后，从左到右第四个区间为（ ）A．B．C．D．第(2)题已知集合，，，则（ ）A．B．C．D．第(3)题设m ，n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①；②；③ ；④.其中正确的命题是（ ）A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④第(4)题如图是某质点作简谐运动的部分图象，位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系式是，其中，振幅为2，则前3秒该质点走过的路程为（）A．B．C．D．第(5)题设首项为，公比为的等比数列的前项和为，则A．B．C．D．第(6)题已知锐角△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,23cos 2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b 等于( )A ．10B ．9C ．8D ．5第(7)题设集合，，则（ ）A．B．C．D．第(8)题若，则（ ）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题在矩形中，，，以对角线BD 为折痕将△ABD 进行翻折，折后为，连接得到三棱锥，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A．三棱锥体积的最大值为B．点都在同一球面上C．点在某一位置，可使D．当时，第(2)题在正四棱柱中，已知，，则下列说法正确的有（）A．异面直线与的距离为B．直线与平面所成的角的余弦值为C．若该正四棱柱的各顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为D．以A为球心，半径为2的球面与该正四棱柱表面的交线的总长度为第(3)题已知双曲线，直线l：与双曲线有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于，两点.当点M变化时，点之变化.则下列结论中正确的是（）A．B．C．点坐标可以是D．有最大值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知数列的通项公式是，记为在区间内项的个数，则___________，不等式成立的的最小值为___________.第(2)题函数的部分图象如图所示，其中，，若对于任意的，，恒成立，则实数的取值范围为________．第(3)题在复平面内，复数对应的点到原点的距离是_______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为4的正方形，E为PA的中点，过E与底面ABCD平行的平面与棱PC，PD分别交于点G，F，M在线段AE上，且．(1)求证：BG//平面；(2)若PA⊥平面ABCD，且，求平面CFM与平面PCD所成锐二面角的余弦值．第(2)题已知函数．(1)若的最小值为，求a的值；(2)若，证明：函数存在两个零点，，且．第(3)题如图，在中，，，是的中点，在上，，以为折痕把折起，使点A到达点的位置，且二面角的大小为60°.(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值.第(4)题记的内角的对边分别为，已知.(1)求；(2)若，，是上一点，为角的平分线，求.第(5)题已知公差不为0的等差数列的前项和为，且成等比数列，.(1)求数列的通项公式；(2)若，，求满足条件的的最小值.。
数学实验 实验十二 迭代 (2) --分形
@8 D @ D @< 8 < @ @8 @ DD @D@L D @D H @ D @ 8 @ D @D @ @ @D@D D D< < @< D< D D @@@ D 88 @ @D D
@@
;
D
4、龙曲线
dragon ptlist_List := Block
ln01 =
ListPlot Nest dragon, ln01, 12 , PlotJoined ® True, AspectRatio ® 1 1.6, Axes ® None
@ D @ 8 @D < @HHL @D @ D L 8 @D @D < @ @D H@ L D D D D8< < 8 D @@ D
, i, pnum = Length ptlist 3 , 3 i+ 1 , ; , 3 i+ 2 3 i+ 3 Show Graphics tmp , AspectRatio ® 1 GoldenRatio
pol =
-1, 0 , 1, 0 , 0, Sqrt 3
showsierpinski Nest redosierpinski, pol, 6
@ D@ D @8 8< < @ @8 @ D @@ D DD H@D @D @D @ D D @L H@D @D @D @D L H@ D L @D @D @D @D H@D @D @D @D L H@D @D @D @D L H@ D @ D @D L @D @< DD D
从Cantor集步入分形
从Cantor集步入分形前言物理学家Wheeler曾说过"谁不知道熵概念就不能被认为是科学上的文化人，将来谁不知道分形概念，也不能称为有知识"，由此可见分形的重要性。
本文将从Cantor集过渡到分形，主要对分形作简要介绍。
Cantor集到分形我们先来看一下什么是Cantor集：取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下两段，再将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，……，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为Cantor集。
很容易看出来本质就是通过一个简单的递归来构造Cantor集。
Cantor集和Koch雪花有着类似的性质，只是两者在不同的维度上，那就是：虽然Cantor集的线段数目趋于无穷，但是其极限图形长度趋于0，也即相当于一个点集。
利用Hausdorff维数方法计算Cantor集的维度，可知操作n次后：边长r=(1/3)^n，边数N(r)=2^n，根据公式D=ln N(r) / ln (1/r) , D=ln2/ln3=0.631即得康托尔点集分数维是0.631。
通过对Cantor集的简单介绍，我们发现Cantor集的维度是小数维，且其任意一部分都和整体的相似，Mandelbrot就把具有这种性质的形体叫做分形。
现在我们来具体看一下分形的科学概念：分形，具有以非整数维形式充填空间的形态特征。
通常被定义为"一个粗糙或零碎的几何形状，可以分成数个部分，且每一部分都(至少近似地)是整体缩小后的形状"，即具有自相似的性质。
接下来对这个概念进行简要的解读。
粗糙、零碎的几何形状对于粗糙或零碎的几何形状的理解，我们可以联想：弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花缭乱的满天繁星等。
康托集的构造过程及特征
康托集（Cantor set）是由德国数学家Georg Cantor在1874年提出的一种具有非常特殊性质的集合。
它的构造过程如下：
1. 首先，从0到1的闭区间开始。
2. 将该区间分成三等分，去除中间的1/3区间，即保留0到1/3和2/3到1两个不相交的闭区间。
3. 对于保留下来的两个区间，分别再次进行同样的操作，将每个区间分成三等分，去除中间的1/3区间。
4. 重复上述步骤，不断迭代，每次迭代后的集合是前一次迭代的两倍长。
最终得到的康托集是一个闭集，它的特征如下：
1. 康托集是一个完全不可数的集合，即它的元素个数与实数轴上的点的个数相同。
2. 康托集是一个紧致的集合，即它是一个有界闭集。
3. 康托集是一个零测度集，即它的长度为零。
尽管康托集的长度为零，但它的势 （cardinality）与实数轴上的势相同。
4. 康托集是一个无内点的集合，即它不包含任何开区间。
5. 康托集是一个完美集 （perfect set），即它是其自身的极限点集。
对于任何一个点，它的邻域内都含有康托集的其他点。
康托集在数学中具有重要的地位，它展示了非常奇特的性质，涉及到集合论、拓扑学和分形几何等领域的研究。
(5分)cator集和cator函数
它的生成方法是把一条直线等分成三段，将中间一段用夹角为600的二条等长（1/3）的折线来代替，形成一个生成单元，如图(b).然后再把每一条直线段用生成单元进行代替，经过无穷多次迭代后就呈现一条无穷多弯曲的koch曲线。用它来模拟自然界中的海岸线是相当理想的。
4.2.1自相似性
一个系统的自相似性是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的，或者某系统或结构的局域性质或局域结构与整体类似。另外，在整体与整体之间或部分与部分之间，也会存在自相似性。一般情况下自相似性有比较复杂的表现形式，而不是局域放大一定倍数以后简单地和整体完全重合。人们在观察和研究自然界的过程中，认识到自相似性可以存在于物理、化学、天文学、生物学、材料科学、经济学，以及社会科学等众多的科学之中，可以存在于物质系统的多个层次上，它是物质运动、发展的一种普遍的表现形式，即是自然界普遍的规律之一。下面举几个例子来说明自相似性。
二．Cantor集与Cantor函数的基本性质
三．借助于Cantor集，给出一孤立点集，其导集是完备集
四．分形的介绍
五．纬度——性质测量工具
六．关于Cantor和纬度相关的考虑
一．Cantor集与Cantor函数的定义
1、Cantor集的定义
将基本区间[0，1]用分点1/3，2/3三等分，并除去中间的开区间 ,把余下的两个闭区间各三等分，并除去中间的开区间 , ,然后再将余下的四个闭区间用同样的方法处理。 这样，当进行到n次时，一共去掉 个开区间 如此下去，就从 中去掉了可数个不相交的开区间
分形的图像及应用
分形的图像及应用吕克林【摘要】本文首先阐述了分形的基本概念，并具体介绍了一些典型的分形曲线和分形集，加深读者对分形的理解。
重点描述如何生成分形的计算机图像，以及分形主要的应用领域，强调计算机科学与其他学科之间的紧密联系。
【期刊名称】《创新科技》【年(卷),期】2014(000)024【总页数】3页(P94-96)【关键词】分形;自相似;迭代;Mandelbrot【作者】吕克林【作者单位】河南省科学技术信息研究院，河南郑州 450003【正文语种】中文【中图分类】TP391.4随着计算机图形学的发展，最近几年，分形作为一种艺术形式已经相当流行。
对分形有一个基本的了解，能提高人们的鉴赏力，帮助人们更好地体会分形艺术的美。
分形作为一门刚刚诞生的学科，正在许多领域开展应用和探索。
很多传统的科学难题，都由于分形的引入取得了显著的进展。
1.1 分形的出现。
中国的海岸线有多长？很明显，这取决于测量所用的标度单位。
若以公里为标尺，会遗漏大量的细节，标尺越小，测出的海岸线就越长。
随着计算机的迅速发展，人们在讨论和处理一系列问题的时候，逐渐感到无法描述一些自然界普遍存在的对象，如海岸线，树木，岩石，云团，闪电等等。
同样对于星系分布，凝聚生长，湍流等复杂现象，也需要一门新的学科来描述。
1973年，B.B.Mandelbrot在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。
Fractal一词由他所创，其原意具有不规则，支离破碎等意义。
分形几何是一门以非规则几何形状为研究对象的学科，也被称为大自然的几何学。
1.2 自相似性。
自相似性是指部分与整体具有相似的性质。
在自然界中，具有自相似性的客观对象是非常多的。
除了山形的起伏，河流的弯曲，树木的分枝结构外，生物体内也有许多例子，如血管或气管的分岔，神经网络等。
抽象的自相似例子就更多了，例如数列0112122312232334…，这是一个去掉奇数项后，仍然得到自身的数列。
下文中将提到的Cantor集是一个更好，更有故事的例子。
分形几何概述阮火军
分形几何的研究对象（一） —自相似集
1 Cantor集
2 Sierpinski垫片
3 Koch曲线
Cantor集C
Cantor集C中的点的表示
• x[0,1]，可用三进 ： x 制a小 j 3j， 数 aj 展 {0,1,2} 开 ． j1 记x为 (a1a2 an )．
• k 若x aj 3j，其a中 k 0．我们规定： j1 当 a k 2 时 x ( ， a 1 a 2 a k 0 取 ) 0 ； 0
在大多数令人感兴趣的情形下，E以非常 简单的方式定义，可能由迭代产生。
分形几何的研究方法 ——维数和测度
我们仅讨论维数 传统意义下的维数：
点是0维的，线是1维的，平面是2维的， 立方体是三维的，… 用这个维数去刻画分形集合时的困难：
Cantor集：含有无穷多个点，长度为0. Koch曲线：长度为无穷，面积为0. Sierpinski垫片：长度为无穷，面积为0.
Koch曲线
Koch曲线的生成过程 —第0步、第1步
Koch曲线的生成过程 —第2步、第3步
Koch曲线与雪花曲线
—连接在一起的三段Koch曲线构成一个雪花曲线
Koch曲线的一些基本性质
Koch曲线具有与Cantor集，Sierpinski垫 片类似的性质.
长度等于无穷.
自相似集合的定义
f的斥性周期点合 所的 组闭 成包 集 f的 称Ju为li集 a ．
若f(z)z2,则f的Jul集 ia 为单位(圆 验周 证 ) ． ！ 若f(z)z2C,则 当C0时f， 的Jul集 ia 将非常复
Julia集的图象
C = -1
C = -0.5+0.5i
C=-0.2+0.75 i
康托尔集与分形几何学
康托尔集（Cantor Set）是指由德国数学家Georg Cantor在19世纪末提出的一种非常有趣的数学集合。
这个集合的构造方法非常简单，却展示出了许多令人惊奇的性质。
而与康托尔集相关的分形几何学，则是从这个集合的性质出发，探索并研究自然界中的各种奇妙形态。
康托尔集的构造方法是通过不断地取中间区间的方式进行的。
起初，我们有一个单位长度的线段。
然后我们将这个线段分成三等分，去掉中间的那一部分。
接着，我们对剩下的两个线段分别再次进行同样的操作，去掉中间的一部分。
如此重复进行下去，我们可以构造出一个越来越细小的集合。
而最终得到的康托尔集，就是由所有剩下的线段组成的。
康托尔集看起来简单，但它却有许多令人称奇的性质。
首先，康托尔集是一个完全没有内点的集合，这意味着在该集合中任意取一个点，都存在一个区间，这个区间与该点不重合，也就是说，康托尔集实际上没有长度为零的部分。
其次，康托尔集是一个无限的集合，它有着与自然数集相等的势无穷可数。
最重要的是，康托尔集既不是开区间，也不是闭区间，而是介于两者之间的非常特殊的集合。
这些性质使得康托尔集成为了一个引人入胜的数学问题，吸引了大量数学家的研究兴趣。
康托尔集的引入也对分形几何学产生了深远的影响。
分形几何学研究的是那些具有自相似性的几何图形。
自相似性是指一个图形的一部分可以在整个图形中找到相似的结构。
康托尔集的自相似性表现在它的每个部分都可以用完全一样的方式构造出来。
这种自相似性让人想到了分形几何学中的重要概念——“分形”，即无论在什么尺度上观察，都具有相似结构的几何对象。
分形几何学引起了人们对自然界中形态复杂而富有层次感的问题的关注。
例如，树木的分形树冠、闪电的分形形状、大脑皮层的分形结构等等都是分形几何学的应用实例。
分形几何学通过模拟自然界中独特的形态，帮助我们理解自然界的复杂性，并开启了一条新的途径来描述和解释自然界中的各种现象。
综上所述，康托尔集与分形几何学之间存在着紧密的联系。
一类Cantor型集合交的分形结构
１ ５
称 － 口 １ ， ２ ， ） 妒（ 在 力 中 的一个 位 置码 易 于 看 出 限制 在 力 Ａ ～Ａ ） 二（ （ ） （ ） … 为 ） （ 上将 映 满 Ｅ（ Ａ） Ｅ（ ． Ａ） 妒限制在 ｎ” Ａ） （ 上将 映 满 Ｅ（ Ａ） 命题 １ 集 台 Ｅ（ 一Ｅ（ 为 映射族 （ －Ａ —Ａ） 唯一非空 不变 紧 子集 Ａ） Ａ） Ｃ 的 命题 ２ ＥｎＥ ≠ 当 且仅 当 ∈Ｅ—Ｅ 命题 ３ 设 ∈Ｅ（ ～Ｅ（ ． Ａ） Ａ） 自然码 映射 ｐ由（ ） 定义 ， ＥｎＥ ＝｛ ｒ ： ：（ （ ） ｒ ２ ２式 则 （ ） ｒ ｒ １ ． （ ）
Ｖ ０ ． Ｎｏ ２ 【２５ ＡＤｒ ００ ２ ２
２０ ０ ２年 ４月
一
类 Ｃ ｎｏ 型 集 合 交 的 分 形 结 构 ａ ｔｒ
燕 子 宗 梅 家荣
４４２ ） ３ ０ ０
（ 州 师范 学 院数 学 系 荆
摘要
通过 对 一类 Ｃ ｎｏ ａ ｔｒ型集合 交 的结 构 的分 析 ． 获得 了不同位 置 的 Ｃｄｔｒ 集合 交 的 ￣ ｏ型 ２
２ 集合 Ｅ 的结构 分 析 ｎＥ
首 先注 意 到 ∈ Ｓ—Ｓ．＾（ 一１ １ ） ： ，］ ［ ，］ 一ｌ １ ，因此存 在 一个 自然 码 映射 ： ［ ， ］ 它被定 义 ｎ 一 一１ １ ，
为
（ ＝∑ ）
（ ：ｌ ｊ（ ） ｎ ｆ（ ～ｌ １ ） ） ｉ ０ ∈ ｝ ［ ， ］ ａ ｒ
（ｉ） （ ）＝ ｛ ＝（ １ ， ２ ， ）： Ｊ） ｎ Ａ （ ） （ ） … （ ∈Ａ Ｉ ；
（ｊ） Ａ ） ｝ 二（ １ ， ２ ， ， （ ） ： （ ∈Ａ ｝ 其 中 矗∈Ｎ； ｉ ｎ （ ＝ （ ） （ ） … ） ） ， （ｉ） ＊ｒ （ １ ， ２ ， ， （ ， （ ） ｒ ２ ， ， （ ） ， 中 ： （ １ ， ２ ， ， （ ） ∈ ｉ ｉ ＝ （ ） （ ） … ） ｒ １ ， （ ） … ｒ ｍ ） 其 （ ） （ ） … ）
Matlab在分形中的应用研究
Matlab在分形中的应用研究作者：金能智者建武文洮杨博超李葆光来源：《科技创新导报》2017年第02期摘要：Matlab具有强大的科学运算和灵活的程序设计，可提供高质量的图像可视化，已经在很多领域得到广泛应用。
分形是非线性科学的重要分支，分形几何学却具有尺度上的对称性，分型图形是计算机图形学和分形理论相结合的产物。
该文利用Matlab强大的编程工具和图形显示功能实现Cantor集、Koch曲线、分形树图形，这对数学类、计算机图形学和相关专业类研究人员有一定的参考价值。
关键词：分形 Matlab Cantor集 Koch曲线中图分类号：TP312 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2017）01（b）-0105-02Matlab是矩阵实验室（Matrix Laboratory）的简称，是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境。
Matlab提供了强大的科学运算、灵活的程序设计、高质量的图像可视化以及便捷地与其他程序和语言接口的功能[1，2]。
目前，Matlab已经应用到很多科研领域，如，生物信息学[3]、统计学[4]、信号处理[5]、小波分析[6]等。
分形（Fractal）是非线性科学的一个重要分支，应用于自然科学和社会科学的众多领域[7-9]。
1973年，数学家Mandelbrot在法兰西学院讲课时，首次提出了分形的思想。
他给分形下的定义就是：一个集合形状，可以细分为若干部分，而每一部分都是整体的精确或不精确的相似形。
分形的基本特征是具有标度不变性。
其研究的图形是非常不规则和不光滑的，已失去了通常的几何对称性。
但是，在不同的尺度下进行观测时，分形几何学却具有尺度上的对称性或称标度不变性。
分形图形是计算机图形学和分形理论相结合的产物，在电脑模拟研究具有分形特征物体的图像。
分形的计算机生成问题具有明显的挑战性，它使传统数学中无法表达的形态（如，山脉、花草等）得以表达。
分形和分维分形的定义几何图形的维数-固体微结构研究室
§3 分形和分维3.1 分形的定义分形（fractal ）这个名词是Mandelbrot [1,2]在20世纪70年代为了表征复杂图形和复杂过程首先引入自然科学领域的，它的原意是不规则的、支离破碎的物体。
分形可以分为规则分形和不规则分形。
在分形名词使用之前，一些数学家就提出过不少复杂和不光滑的集合，如Cantor 集、Koch 曲线、Sierpinski 垫片、地毯和海绵等。
这些都属于规则的分形图形，它们具有严格的自相似性。
而自然界的许多事物所具有的不光滑性和复杂性往往是随机的，如蜿蜒曲折的海岸线；变换无穷的布朗运动轨迹等。
这类曲线的自相似性是近似的或统计意义上的，这种自相似性只存在于标度不变区域，超出标度不变区域，自相似性不复存在。
这类曲线为不规则分形。
迄今为止，分形还没有一个严格的定义。
1982年Mandelbrot 将分形定义为Hausdorff （豪斯道夫）维数大于拓扑维数的集合。
此定义强调维数，而其中的豪斯道夫维数一般不是整数，下面将介绍如何计算它。
这里需要简单介绍拓扑维数。
拓扑学是研究可以连续变化的图形的学科，而几何学是研究刚性图形的学科。
在几何学中圆和正方形是不同的，但在拓扑学中两者是等价的，因为它们可以连续地相互变换，并且它们都将平面上的点分成三个集合：图形内、图形外和图形上的三个集合，所以它们具有共性。
类似地，一条十分曲折但连续的折线和一条直线是等价的，因为它们可以连续地相互变换，而且两者的拓扑维数都是 1。
下面我们将结合具体的规则分形的实例说明分形的这个定义。
1986年Mandelbrot 给出了一个更广泛、更通俗的定义：分形是局部和整体有某种方式相似的形（A fractal is a shape made of parts similar to the whole in some way ）[3]。
该定义强调图形中局部和整体之间（包括小的局部和大的局部之间，如下面的DLA 模型产生的图形中小枝杈和大枝杈）的自相似性。
经典的分形算法 (1)
经典的分形算法小宇宙2012-08-11 17:46:33小宇宙被誉为大自然的几何学的分形（Fractal）理论，是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。
它与动力系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。
它承认世界的局部可能在一定条件下，在某一方面（形态，结构，信息，功能，时间，能量等）表现出与整体的相似性，它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以是连续的，因而拓展了视野。
分形几何的概念是美籍法国数学家曼德布罗（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯（K.Weierestrass）构造了处处连续但处处不可微的函数，集合论创始人康托（G.Cantor，德国数学家）构造了有许多奇异性质的三分康托集。
1890年，意大利数学家皮亚诺（G.Peano）构造了填充空间的曲线。
1904年，瑞典数学家科赫（H.von Koch）设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。
1915年，波兰数学家谢尔宾斯基（W.Sierpinski）设计了象地毯和海绵一样的几何图形。
这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形几何思想的源泉。
1910年，德国数学家豪斯道夫（F.Hausdorff）开始了奇异集合性质与量的研究，提出分数维概念。
1928年布利干（G.Bouligand）将闵可夫斯基容度应用于非整数维，由此能将螺线作很好的分类。
1932年庞特里亚金（L.S.Pontryagin）等引入盒维数。
1934年，贝塞考维奇（A.S.Besicovitch）更深刻地提示了豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维，他在豪斯道夫测度及其几何的研究领域中作出了主要贡献，从而产生了豪斯道夫-贝塞考维奇维数概念。
以后，这一领域的研究工作没有引起更多人的注意，先驱们的工作只是作为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开来。
真正令大众了解分形是从计算机的普及肇始，而一开始，分形图的计算机绘制也只是停留在二维平面，但这也足以使人们心驰神往。
Cantor集与Cantor函数
Cantor集与Cantor函数【摘要】：本文总结了Cantor集的、Cantor函数的定义和一些基本的性质及其证明。
文末还简单的介绍了有关分形的概念和一些常见分形。
【关键词】：Cantor集、Cantor函数、分形1、Cantor集与Cantor函数的定义1.1、Cantor集的定义将基本区间[0，1]三等分，并除去中间的开区间,把余下的两个闭区间各三等分，并除去中间的开区间,,然后再将余下的四个闭区间用同样的方法处理。
这样，当进行到n次时，一共去掉个开区间如此下去，就从中去掉了可数个不相交的开区间G=(,)∪(,)∪(,)∪(,)∪(,)∪(,)∪(,)∪......集合C=[0，1]\ G称为Cantor集。
1.2、Cantor函数的定义定义C是Cantor集，在[0,1]上定义函数f(x) 如下：f=称为Cantor函数2、Cantor集与Cantor函数的基本性质2.1、Cantor集的性质2.1.1、完备性Cantor集是完备集：证明： C是闭集显然，下面证C中没有孤立点.假设C中有孤立点x，则存在δ>0，使（x-δ，x+δ）∩ C=｛x｝因此（x-δ，x），（x，x+δ）⊂ G故上述两区间包含于G的两个构成区间，而由C的构造过程知，G的构成区间的端点不重合，故矛盾.因此，C中没有孤立点.所以C是完备集.2.1.2、Cantor集是疏集，没有内点证明：假设是C的内点，则存在使得这样⊂ [0,1]，且这个开集的各个构成区间互不相交，这些区间的长度之和大于1，矛盾。
并且可得C中不含开区间，由定义，C显然为疏集。
2.1.3、G=[0,1]\C是[0,1]中的稠密集证明：题目可转化为证明，且显然有,证明即可：反证：任取x且x，则存在x的一个邻域，其中不含有G的点。
可得这个领域在C内。
又，故x C，所以x是C中的内点。
与C是疏集矛盾。
所以。
故，G是[0,1]中的稠密集，证毕。
2.1.4、C具有连续统势证明：由定理可得，(0,1)与无限n元数列全体等价。
应力波透反射系数与界面分形维数的关系初探
应力波透反射系数与界面分形维数的关系初探
张铁军;李业学
【期刊名称】《矿业研究与开发》
【年(卷),期】2008()3
【摘要】为探讨波通过粗糙界面时的透反射规律,在经典cantor三分集基础上,延托出扩展cantor集界面模型,并从理论上给出了维数计算方法。
基于一维应力波的理论,运用从特殊到一般的数学归纳法思想,严格地推导了扩展cantor集的分形维数与波通过该界面时透反射系数间的理论关系。
【总页数】3页(P25-27)
【关键词】cantor集;分形维数;应力波
【作者】张铁军;李业学
【作者单位】河北省交通勘察设计研究院,河北石家庄050011;四川大学,四川成都610065
【正文语种】中文
【中图分类】TU457
【相关文献】
1.土壤颗粒分布体积分形维数与数量分形维数之间的关系 [J], 李毅;李敏;Si Bingcheng;贺缠生
2.以盒维数法分形分析水稻根系形态特征及初探其与锌吸收积累的关系 [J], 汪洪;金继运;山内章
3.基于分形维数和小波的快速分形图像编码 [J], 王英霞; 赵德平; 雷红
4.一种分形维为灰数的分形模型及其应用初探 [J], 施红星;张昊纬;方志耕;刘思峰因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
用matlab实现contor三分集
用matlab画cantor三分集摘要:本文介绍了分形几何中的cantor三分集，并且给出了MATLAB 程序以及运行结果，分形作为双曲迭代函数系统的吸引子。
根据程序中的迭代将分形模拟确为迭代法。
关键词：分形几何、cantor三分集、程序、分法细密一、简介分形是指没有特征长度（特征长度是指所考虑的集合对象所含有的各种长度的代表者）；但具有一定意义下的自相似图形和结构的总称。
典型的分形集一般具有如下几个特征：无论用什么尺度衡量，其复杂性不消失，即具有无穷精细的结构；分型是不规则的，以至于不能用传统的几何语言来描述；部分与整体是相似的，即具有自相似性；可以通过递归、迭代等简单的方式产生；其分维数大于拓扑维数，分形的特点也可以概括为两点，就是自相似性和无限细分。
分型体系的局部与整体是相似的。
任何一个分形，都具有无穷多个分形元，对整体的无限细分，所形成的无数分形元，构成了分形图形的整体。
通常分形都是极度对称的，对称到了完美的地步。
但生成这种图形却不需要非常复杂的程序。
因为他们具有无限的细节表面，就可以使用递归算法来实现。
Cantor 三分集是分形里面的一个小分支，根据迭代的次数不同，可以画出不同的分法细密度。
二、算法Cantor三分集的构造如下图所示，一条线段ab被均分为三段，保留其两边的两段，中间一段去掉，然后把得到的每一段再继续进行划分，如此反复。
根据它生成的原理，可以设计算法如下：Cantor三分集的绘制十分简单，是一种最简单的分形实例，它的算法如下：cx = ax + ( bx – ax )/3cy = ay –hdx = bx – ( bx – ax )/3dy = by –hay = ay – hby = by – h其中h为两层之间的距离。
如此循环下去，画出每个阶段的图形就可以得到cantot三分行的图形。
因为cantor集的生成是无穷的的，在这里我能就规定当线段的距离小于规定的数时，循环就停止。
光学分形实验报告
分形图形学实验报告指导实验报告要求1. 实验名称2. 实验目的、要求3. 实验主要内容（某某算法的实现）4. 实验过程（程序流程图、源代码）5. 实验结果（附上打印的图形）6. 实验小结实验报告一一般分形图形生成实验目的1. koch曲线、sierpinski三角形、cantor集的计算机实现2. 掌握用迭代、递归生成分形实验内容及步骤1、 koch曲线函数：plot(x1,y1) –(x2,y2) （画直线函数）sin( ) （正弦函数）cos( ) （余弦函数）arctan( ) （反正切函数）12、 sierpinski三角形函数： plot(x1,y1) –(x2,y2) （画直线函数）sin( ) （正弦函数）cos( ) （余弦函数）23、 cantor集3实验报告二 l系统语言生成分形图形实验目的1. 掌握用l系统语言生成分形2. koch曲线、sierpinski三角形、cantor集的l系统实现4实验内容及步骤1. 编写程序用l系统语言生成分形图形1) 编写程序生成koch曲线:初始图形是一条线段，生成过程是将线段中间1/3向外折起。
程序伪码如下：kochcurve { ；柯赫曲线angle 6 ；角度增量是60°axiom f ；初始图形是一单位线段f=f+f--f+f ；产生式是将线段中间1/3折起} ；结束2) 用l系统再次生成sierpinski三角。
生成sierpinski三角的伪码如下：hilbert{ ；sierpinski三角，1996-12 angle 4 axiom y ；初始串为任意字母y x=-yf+xfx+fy- ；第一个生成规则y=+xf-yfy-fx+ ；第二个生成规则，由以上规则不断代换 } 3) 模拟草本植物。
注意这里出现了“括号”——可以方便地表示树枝，伪码如下：herbplant { ；生成植物，本程序使用了括号angle 14axiom zz=zfx［+z］［-z］x=x［-fff］［+fff］fx}5篇二：光学实验报告建筑物理——光学实验报告实验一：材料的光反射比、透射比测量实验二：采光系数测量实验三：室内照明实测实验小组成员：指导老师：日期：2013年12月3日星期二实验一、材料的光反射比和光透射比测量一、实验目的与要求室内表面的反射性能和采光口中窗玻璃的透光性能都会直接或间接的影响室内光环境的好坏，因此，在试验现场采光实测时，有必要对室内各表面材料的光反射比，采光口中透光材料的过透射比进行实测。
Cantor集算术和的结构的开题报告
Cantor集算术和的结构的开题报告题目：Cantor集算术和的结构一、研究背景Cantor集是一类具有自相似性质的分形集合，自然数幂级数是分形分析中一个经典问题。
Cantor集的算术和结构是分形分析中的基本问题之一，它涉及到分数位移的数学理论和代数系统的应用，对我们深入了解分数维分形结构有着重要的作用。
近年来，随着数学分析和数学物理领域的发展，Cantor集的算术和结构受到了越来越广泛的关注。
二、研究内容本论文主要研究Cantor集的算术和结构，具体包括以下内容：1. 对Cantor集和Cantor集幂级数展开式进行定义和描述，分析其基本性质。
2. 探究Cantor集和Cantor集幂级数的算术和结构，分析其性质和规律。
3. 研究Cantor集的不同分形维数下的算术和结构，分析其差异和特点。
4. 应用代数系统的理论，推导出Cantor集的一般形式的算术和公式。
5. 对于一些特殊的Cantor集，进行算术和的计算和分析。
三、研究方法本论文将采用数学分析方法和代数系统理论相结合的研究方式，在对Cantor集和Cantor集幂级数展开式进行定义和描述的基础上，分析其基本性质，并探究其算术和结构。
在具体分析不同分形维数下的算术和结构的基础上，应用代数系统的理论，推导出Cantor集的一般形式的算术和公式，并对一些特殊的Cantor集进行算术和的计算和分析。
四、研究意义本论文的研究对于深入了解分数维分形结构、探究其数学规律、发掘其应用价值，具有重要的理论和实践意义。
其主要研究内容包括Cantor集和Cantor集幂级数展开式的定义和描述、其算术和结构的分析和研究、不同维数下的特殊性质分析、代数系统理论的应用、一般形式的算术和公式的推导和特殊Cantor集的算术和的计算和分析等方面。
因此，本论文的研究结果对于分形分析领域的学术研究和应用推广具有一定的促进作用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
从Cantor集步入分形
前言
物理学家Wheeler曾说过"谁不知道熵概念就不能被认为是科学上的文化人，将来谁不知道分形概念，也不能称为有知识"，由此可见分形的重要性。
本文将从Cantor集过渡到分形，主要对分形作简要介绍。
Cantor集到分形
我们先来看一下什么是Cantor集：取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下两段，再将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，……，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为Cantor集。
很容易看出来本质就是通过一个简单的递归来构造Cantor集。
Cantor集和Koch雪花有着类似的性质，只是两者在不同的维度上，那就是：虽然Cantor集的线段数目趋于无穷，但是其极限图形长度趋于0，也即相当于一个点集。
利用Hausdorff维数方法计算Cantor集的维度，可知操作n次后：边长r=(1/3)^n，边数N(r)=2^n，根据公式
D=ln N(r) / ln (1/r) , D=ln2/ln3=0.631
即得康托尔点集分数维是0.631。
通过对Cantor集的简单介绍，我们发现Cantor集的维度是小数维，且其任意一部分都和整体的相似，Mandelbrot就把具有这种性质的形体叫做分形。
现在我们来具体看一下分形的科学概念：分形，具有以非整数维形式充填空间的形
态特征。
通常被定义为"一个粗糙或零碎的几何形状，可以分成数个部分，且每一部分都(至少近似地)是整体缩小后的形状"，即具有自相似的性质。
接下来对这个概念进行简要的解读。
粗糙、零碎的几何形状
对于粗糙或零碎的几何形状的理解，我们可以联想：弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花缭乱的满天繁星等。
而这些又是传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何对象。
也就是自然界的一些分形，可以说分形无处不在，这或许在某种程度上也验证了Wheeler的那句话。
非整数维
生活在三维世界的我们接触的都是整数维的形体，对于小数维可能无法理解，但它确实是存在的。
我们利用之前提到的Koch曲线简单介绍一下分维。
Koch 曲线整体是一条无限长的线折叠而成，显然用小直线段量，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是0(此曲线中不包含平面)，那么只有找一个与Koch曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数显然大于1、小于2，那么只能是小数(即分数)了，也就是分维。
至于维度的计算方法，可以利用上面提到的Hausdorff维数法计算。
Koch 曲线的每一部分都由4个跟它自身比例为1:3的形状相同的小曲线组成，那么我们可计算其维度为d=log(4)/log(3)=1.26185950714...。
那么在某种意义上我们是不是就可以构造任意维数的图形，我们猜测维数是连续的。
而事实确实这样，Mandelbrot就曾提出:我们之所以无法用几何语言去描述这些怪物，是因为我们是在维数为整数的空间中，用维数同样是整数的"尺
子"对其丈量、描述。
而维数不应该仅仅是整数，可以是任何一个正实数。
只有在几何对象对应的维数空间中，才能对该几何体进行合理的整体或局部描述。
以Koch曲线为例，其维数约为1.26，我们应用同样为1.26维的尺子对其进行描述，比如取该曲线前1/4段作为单位为1的尺子去丈量这个几何体，此几何体长度为4。
也正是因其维数介于1维与2维之间，所以此几何体在1维下长度为无穷大，2维下面积为零。
分形的类别
分形主要有以下三种分类：
逃逸时间系统:复迭代的收敛限界。
例如:Mandelbrot集合、Julia集合、Burning Ship分形
迭代函数系统:这些形状一般可以用简单的几何"替换"来实现。
例如:康托集合、Koch雪花、谢尔宾斯基三角形、Peano曲线等等。
吸引子:点在迭代的作用下得到的结构。
一般可以用微分方程确立。
例如:Lorenz吸引子。
小结
Cantor集是一个一维空间认知的集合，数学家们在后续又发现了Sierpinski 三角形及Menger海绵。
在某种形式上，我们可以理解为Sierpinski三角形是Cantor集在二维空间的推广，而Menger海绵是Cantor集在三维空间的推广。
Cantor集和它们的维数是非整数维数且是渐增的，分别为0.63、1.58、2.72，而它们长度、面积、体积则皆为0。
这或许有点颠覆我们的现象，那么我们不妨更加大胆一些，想象一下如果我们生活在一个分数维的空间会怎么样？。